ESERCITAZIONI 7- 8- 9- 10
STUDI DI FUNZIONI
A) Esercizi svolti
1. Studiare il dominio ed il comportamento agli estremi del dominio delle seguenti funzioni .
Calcolarne esplicitamente eventuali asintoti orizzontali o verticali .
Trovare gli eventuali asintoti obliqui.
a. f ( x ) = e
−
1
x
(
)
b. f ( x ) = ln e x − 1
e
c. f ( x ) =
2x
x2 − 1
2. Studiare continuità ederivabilità delle seguenti funzioni :
a. f ( x ) =
x ⋅ e− x
b. f ( x ) =
x
x −1
2
2
Soluzioni
1.a. f ( x ) = e
Dominio :
−
1
x
\ {0}
lim f ( x) = e
1
lim −
x
x → +∞
x →+∞
= e0 = 1
lim f ( x) = e 0 = 1
x →−∞
lim f ( x ) = e −∞ = 0
x → 0+
lim f ( x ) = e +∞ = +∞
x → 0−
Dunque : y=1 è asintoto orizzontale sia sinistro che destro .
x=0 è asintoto verticale ( solo a sinistra di zero )
Non esistono asintoti obliqui , poiché c’è un asintoto orizzontale completo .
20
(
)
1.b. f ( x ) = ln e x − 1
Dominio : e x − 1 > 0 ⇒ e x > 1 ⇒ x > 0 per cui D = ]0,+∞[
( )
f ( x ) = ln lim (e − 1) = +∞
lim f ( x ) = ln lim+ e x − 1 = −∞
x → 0+
lim
x →+∞
x→0
x
x →+∞
Dunque : x=0 è un asintoto verticale ( a destra )
Non ci sono asintoti orizzontali.
Cerchiamo eventuali asintoti obliqui ( ovviamente perx → +∞ )
Dobbiamo vedere se esiste ed è finito il seguente limite :
ln e x − 1
f (x)
= lim
= ( applicando il teorema di Del’ Hopital )
m = lim
x →+∞
x →+∞
x
x
ex
x
t
= lim e − 1 = lim
= 1 ( avendo posto e x = t )
x →+∞
t
→+∞
1
t −1
(
)
Ora dobbiamo vedere se esiste , ed è finito , il limite :
lim ( f ( x ) − mx ) = lim ln e x − 1 − x = ( posto e x = t )
x →+∞
x →+∞
((
= lim (ln(t − 1) − ln t ) = lim ln
t →+∞
t →+∞
) )
t −1
t −1
= ln lim
= ln 1 = 0
t →+∞
t
t
Dunque la retta y=x è un asintoto obliquo destro .
1.c. f ( x ) =
e2x
x2 − 1
D = ]−∞ ,−1[ ∪ ]1,+∞[
Dominio : x 2 − 1 > 0 ⇒
1
lim f ( x ) = lim
x →−∞
x →−∞
x −1
2
⋅ lim e 2 x = 0 ⋅ 0 = 0
x →−∞
∞
lim f ( x ) = = ( applicando il teorema di Del’ Hopital )
x →+∞
∞
= lim
x →+∞
2e 2 x
2x
= lim
x →+∞
x2 − 1
⋅ lim 2e 2 x = 1 ⋅ lim 2e 2 x = +∞
x →+∞
x →+∞
x
2 x −1
2
lim− f ( x ) =
x →−1
e −2
lim− x 2 − 1
= +∞
x →−1
21
lim f ( x) =
x →1+
e2
lim+ x 2 − 1
= +∞
x →1
Dunque : x=-1 è asintoto verticale ( a sinistra )
x=1 è asintoto verticale ( a destra )
y=0 è asintoto orizzontale sinistro .
Poiché non esistono asintoti orizzontali a destra vediamo se esiste ( finito ) il seguente limite :
f (x)
e2x
∞
lim
= lim
=
2
x →+∞
x
→+∞
x
x x − 1 ∞
Si può procedere ancora utilizzando il teorema di Del’Hopital oppure , ricordando che la
funzione esponenziale ha ordine di infinito superiore a qualunque potenza di x , si vede che la
frazione tende a infinito ( poiché il numeratore ha ordine di infinito superiore al
denominatore).
2.a. f ( x ) = xe − x
Dominio : D = [0,+∞[
2
f(x) è il prodotto di due funzioni continue in D ( x è continua ,e − x è continua ); pertanto è
continua .
Studiamone la derivabilità :
2
poiché x è derivabile in ]0,+∞[ e e − x è derivabile su tutto ,f(x) sarà derivabile in
2
]0,+∞[ , e si avrà :
1 − 4 x 2 − x2
⋅e
2 x
2 x
Per x → 0 + , f ' ( x ) → +∞ ; pertanto il dominio di f’(x) è D1 = ]0,+∞[ .
f '( x ) =
1
e − x + x ⋅ ( −2 x ) ⋅ e − x =
2
2
Dunque per x=0 , f è continua ma nonderivabile ( x=0 è un punto a tangente verticale ).
2.b. f ( x ) =
x
x −1
2
Dominio : D = ]−∞ ,−1[ ∪ ]−11
, [ ∪ ]1,+∞[
In D f è continua ( perché x è continua e x 2 − 1 è continua )
Per studiare la derivabilità scriviamo prima :
−x2 − 1
se x > 0
x
2
2
0
se
x
≥
2
x −1
⇒ f'(x) = 2
f (x) = x −1
−x
2
x +1
se x < 0
se x < 0
x −1
x2 − 1 2
se x=0 : lim+ f ' ( x ) = −1
x→0
,
(
)
(
)
lim f ' ( x ) = 1
x → 0−
Dunque f(x) non è derivabile in x=0 (zero è punto angoloso )
x
−x
Negli altri punti di D , f(x) èderivabile ( perché sia 2
che 2
sono derivabili in D ).
x −1
x −1
22
SCHEMA DI STUDIO DI FUNZIONI
a) Classifichiamo f(x) come :
- pari ( se f(x) = f(-x) )
- dispari ( se f(x) = f-(-x) )
-nè pari nè dispari
- periodica ( se esiste T/ f(
x+T) = f(x) )
Nel primo caso , studiamo f(x) solo perx ≥ 0, e terremo conto che il grafico di f(x) è
simmetrico rispettoall’ asse y.
Nel secondo caso , studiamo f(x) solo perx ≥ 0, e terremo conto che il grafico di f(x)
è simmetrico rispettoall’ origine .
Nel quarto caso , studieremo f(x) solo perx0 ≤ x ≤ x0 + T ( con un opportuno x0 ) e poi
ripeteremo il grafico in intervalli adiacenti .
b) Studio del dominio di f(x)
c) Comportamento di f(x) agli estremi del dominio ( Eventuali asintoti orizzontali o verticali )
d) Ricerca di eventuali asintoti obliqui destriy=mx+n ( vedere se esiste finito e diverso da zero
f (x)
m = lim
e , in caso affermativo , n = lim ( f ( x ) − mx ) ( lo stesso si ripete per x → −∞ ,
x →+∞
x →+∞
x
per cercare eventuali asintoti sinistri ).
e) Zeri di f(x) (eventualmente il segno di f(x) )
f) Studio di f’(x) : zeri e segno di f(x)⇒ monotonia e punti a tangente orizzontale;
punti in cui f’(x) diventa infinita⇒ punti a tangente verticale ;
punti in cui f’(x) ha discontinuità di prima specie (cioè lim+ f'(x) ≠ lim− f'(x) ) ⇒ punti angolosi.
x→ x 0
x→ x 0
g) Eventuale studio di f’’(x) (se richiesto , o se di facile calcolo ) : zeri , segno
⇒ concavità,
eventuali flessi.
h) Disegno del grafico .
3. Esercizi svolti
Studiare le seguenti funzioni e tracciare un grafico qualitativo :
i. f ( x ) = 2 ln 1 + x − ln 1 − x
x
ii. f ( x ) = + 2 + 3x + x 2
2
Soluzione
3.ì. a) Studiamo innanzitutto se la funzione è pari o dispari :
f ( x ) = 2 ln 1 + x − ln 1 − x
da cui f ( − x ) ≠ ± f ( x ) : f non è né pari né dispari .
f ( − x ) = 2 ln 1 − x − ln 1 + x
Inoltre f(x) non è periodica ( poiché la funzione logaritmo non è periodica in campo reale )
23
b) Dominio di f(x) : D = ]−∞ ,−1[ ∪ ]−11
, [ ∪ ]1,+∞[
c) lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = −∞
x →−1
x →−1
lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = +∞
x →1
x →1
lim f ( x ) = lim ln
(1 + x)2
(1 + x)2
= ln lim
= +∞
x →±∞ 1 − x
1− x
Dunque x=-1 è asintoto verticale ( sinistro e destro ) .
x=1 è asintoto verticale ( sinistro e destro ) .
Non ci sono asintoti orizzontali .
x →±∞
x →±∞
d) Cerco eventuali asintoto obliqui :
(1 + x)2
ln
1− x
f (x)
m = lim
= lim
=0
x →+∞
x →+∞
x
x
( poiché l’ordine di infinito del numeratore è inferiore all’ordine di infinito del
denominatore essendo di tipo logaritmico ; oppure applicando il teorema di de
l’ Hopital
f'(x)
x−3
m = lim
= lim 2
= 0 ).
x →+∞
x →+∞ x − 1
1
( Lo stesso vale per x → −∞ )
Dunque non ci sono asintoti obliqui .
e) f ( x ) = 0 ⇔ ln
(1 + x)2
1− x
= 0⇔
(1 + x)2
1− x
=1
x1 = 0
se x<1 : (1 + x ) 2 = 1 − x ⇒ x 2 + 3x = 0 ⇒
x 2 = −3
2
2
se x>1 : ( 1 + x ) = x − 1 ⇒ x + x + 2 = 0 ⇒ Nessuna soluzione reale.
Dunque f(x) taglia l’asse delle x solo in x1 = 0 e in x2 = −3 .
f) f ( x ) = 2 ln 1 + x − ln 1 − x
f'(x)
, si ha :
f (x)
2
2( 1 − x ) + ( 1 + x ) x − 3
−1
=
= 2
f'(x) =
−
1+ x 1− x
( 1 + x )( 1 − x )
x −1
Ricordando che D ln f ( x ) = D ln( f ( x )) =
Dom f’(x) = Dom f(x) =
f’(x) = 0 per x = 3
Segno di f’(x) :
\ ({1} ∪ {− 1})
24
f(x) è decrescente in]−∞,−1[ e in ]1,3[
f(x) è crescente in]−11
, [ e in ]3,+∞[
in x = 3 f(x) ha un minimo relativo a tangente orizzontale
⇒ f ( 3 ) = 2 ln 4 − ln 2 = 3 ln 2 = ln 8 > 2
g) f ' ' ( x ) =
− x 2 + 6x − 1
(x
2
)
−1
2
x = 3 − 2 2
f '' ( x ) = 0 ⇒ 3
x4 = 3 + 2 2
Segno di f’’(x)
f ha concavità verso il basso in]−∞ , x3 [
e
in]x4 ,+∞[
ha concavità verso l’alto in ]x3 , x4 [ . x3 e x4 sono punti di flesso .
h) Grafico
x
+ 2 + 3x + x 2
2
x
a) f ( − x ) = − + 2 − 3x + x 2
2
Poiché f ( − x ) ≠ ± f ( x ) , f(x) non è né pari né dispari .
Non è periodica perché somma di funzioni non periodiche .
ìì .
f (x) =
b) Dominio di f(x) : 2 + 3x + x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −2, x ≥ −1
D = ]−∞ ,−2]∪ [−1,+∞[
25
c) f ( −2 ) = −1
,
f ( −1 ) = −
lim f ( x) = +∞
1
2
x →+∞
x
x
3 2
3 2
lim f ( x ) = lim + x 1 + + 2 = lim − x 1 + + 2 =
x →−∞
x →−∞ 2
x x x→−∞ 2
x x
1
3 2 1
= lim x ⋅ lim − 1 + + 2 = − 1 ⋅ lim x = +∞
x →−∞
x →−∞ 2
x x 2 x →−∞
Dunque non ci sono asintoti né orizzontali né verticali .
d) Cerco eventuali asintoti obliqui a destra.
1
3 2
x + 1 + + 2
x x 3
2
f ( x)
= lim
=
m = lim
x →+∞
x →+∞
2
x
x
3
x 2 + 3x + 2 − x 2
n = lim f ( x) − x = lim x 2 + 3x + 2 − x = lim
x →+∞
x →+∞
2 x→+∞
x 2 + 3x + 2 + x
2
x + 3
x
3
= lim
=
x →+∞
2
3 2
x 1 + + 2 + 1
x x
3
3
Si deduce che: y = x +
è asintoto obliquo destro .
2
2
Cerco ora eventuali asintoti obliqui a sinistra .
(
)
1
3 2
x − 1 + + 2
x x
f (x)
1
2
m = lim
= lim
=−
x →−∞
x →−∞
x
x
2
x 2 − (x 2 + 3x + 2)
1
2
n = lim f ( x ) + x = lim x + x + 3x + 2 = lim
=
x →−∞
x →−∞
2 x →−∞
x − x 2 + 3x + 2
(
= lim
x − 3 −
2
x
)
=−
3
2
3 2
x 1 + 1 + + 2
x x
1
3
Dunque y = − x − è asintoto obliquo sinistro.
2
2
x →−∞
e) f ( x ) = 0 ⇔ 2 + 3x + x 2 = −
x
2
Nota bene: deve essere x<0
−6 − 2 3
x
,
=
≅ −31
1
x
2
2
3
2 + 3x + x =
⇒ 3x + 12 x + 8 = 0 ⇒
4
x = −6 + 2 3 ≅ −0,9
2
3
2
26
Poiché le due soluzioni appartengono al dominio e sono negative , sono entrambi valori
acettabili.
Dunque la funzione taglia l’asse delle x in x1
f) f '( x ) =
1
3 + 2x
+
=
2 2 2 + 3x + x 2
e
x2 .
2 + 3x + x 2 + 3 + 2 x
2 2 + 3x + x 2
Segno di f’(x):
f '( x ) > 0
se
2 + 3x + 2 x 2 > −3 − 2 x cioè se
− 3 − 2x ≤ 0
∪
2
2 + 3x + x > 0
3
x≥−
2
∀x ∈ D
∪
− 3 − 2x > 0
2
2
2 + 3x + x > 9 + 4 x + 12 x
∃/ x ∈
x < − 3
2
3
3
Dunque se x ≥ − , f '( x ) > 0 , mentre se x < − , f '( x ) < 0 .
2
2
Pertanto in ]− ∞,−2[ f(x) è decrescente, mentre in ]-1,+∞[ f(x) è crescente.
D om f '( x ) = ]− ∞ ,−2[ ∪ ]− 1,+∞[
lim f '( x) = ∞ = lim f '( x)
x →−2
x →−1
Cioè : x=-2 e x=-1 sono punti a tangente verticale ( punti di nonderivabilità.)
g) f ’’(x) non è necessario.
h) Grafico
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B) Esercizi proposti
1. Studiare il dominio ed il comportamento agli estremi del dominio delle seguenti funzioni ,
calcolandone esplicitamente asintoti orizzontali e verticali.
Trovare poi eventuali asintoti obliqui .
a) f ( x ) = x − 1 x
b) f ( x ) = arcsin
(
x
x −1
c) f ( x) = ln x ⋅ e x
d) f ( x ) = e
−x
2
2
)
− x
2. Studiare continuità ederivabilità delle seguenti funzioni.
a) f ( x ) = x 3 + x
b) f ( x ) =
−
1
x −2
xe
x−2
c) f ( x ) = ln
3x + 1
1
1
−
d) f ( x ) =
x −1 x
3. Studiare le seguenti funzioni e tracciarne un grafico qualitativo :
a)
b)
c)
d)
x2 − 1
f ( x) = 2
x +1
f ( x ) = x − arctg x
x +1
f ( x) =
+ ln( x + 2)
x −1
sinx
f ( x) =
x
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