Equazioni derivate parziali

Equazioni derivate parziali
Le equazioni della meccanica dei continui sono equazioni alle derivate parziali non lineari.
Di queste prenderemo in considerazione solo le equazioni lineari pi rappresentative che sono
la equazione delle onde, la equazione di diffusione e la equazione di Poisson per considerare
i metodi di discrettizzazione che consentono di darne soluzioni approssimate. La equazione
delle onde in una dimensione si scrive
2
∂2u
2∂ u
−
v
=0
∂t2
∂x2
e va risolta assegnando le condizioni iniziali u(x, 0), ux (x, 0) e eventuali condizioni al contorno. Questa descrive la propagazione di onde progressie e regressive laddove la equazione
del primo ordine
∂u
∂u
+v
=0
∂t
∂x
descrive la propagazione di sole onde progressive. Se nella prima equazione imponiamo
che la soluzione si annulli afli estremi dell’intervallo [0, L] su cui x varia si trovano invece
onde stazionarie. La equazione di diffusione descrive sia l’andamento di un campo come la
temperatura nei processi termici sia la propagazione della densità di probabilità associata
ad equazioni stocastiche come quella di Langevin.
∂u
∂2u
=D 2
∂t
∂x
Infine l’equazione di Poisson descive il potenziale generato da una distribuzione di carica
assegnata e si scrive
∂ 2u ∂ 2u
+ 2 = −4πρ
∂x2
∂y
Per approssimare queste equazioni nel caso in cui v, D, ρ siano funzioni assegnate delle
coordinate si discretizzano lo spazio ed il tempo. Assumiamo che la coordinata x sia definita
in [0, L] e discretizziamo l’intervallo scegliendovi una successione di punti equispaziati
xj =
j
L
N
j = 0, . . . , N
Tipicamente si sostituisce una derivata con una differenza del valore della funzione in due
punti di griglia. Si noti che detto ∆x = L/N abbiamo
f (x + ∆x) − f (x)
= f 0 (x) + O(∆x)
∆x
f (x + ∆x) − f (x − ∆x)
= f 0 (x) + O(∆x2 )
2∆x
Detti quindi fj = f (xj ) i valori della funzione sulla griglia definiremo quindi la derivata
numerica
fj+1 − fj−1
f (xj + ∆x) − f (xj − ∆x)
=
∆fj =
2∆x
2∆x
1
Per valutare l’errore che commette passando dalla derivata alla differenza è utile fare
l’analisi di Fourier. Mentre nel caso continuo si ha
Z
X
1 L
2πikx ˆ
ˆ
f (x) e−2π ik x dx
f (x) =
e
fk
fk =
L 0
k
nel caso discreto si trova
fj =
X
N
1 X −2π ik j/N
fˆk =
e
fj
N j=1
e2πikj/N fˆk
k
Questa formula di inversione si prova facilmente osservando che
0
N
N −1
1 2πi (k−k0 ) X 2πi(k−k0 )/N j
1 2πi (k−k0 ) e2πi(k−k ) − 1
1 X 2πi j (k−k0 )/N
e
=
e
=
e
e
=0
N
N
N
e2πi (k−k0 )/N − 1
j=1
j=0
se k 6= k 0 mentre mentre la somma vale 1 se k = k 0 . Valutiamo adesso l’errore che
commettiamo valutando la derivata come differenza centra e scegliamo f (x) = e 2πik x/L
ossia una delle funzioni della base di Fourier.¡In questo caso si trova
2πik 2πik x/L sin(2πk∆xj /L)
e2πik(xj +∆x)/L − e2πik(xj −∆x)/L
=
e
∆fj =
2∆x
L
2πk∆x/L
Ponendo per semplicità L = 2π d’ora in poi ne segue allora che
k 2 (∆x)2
df
sin k∆x
df
1−
∆fj =
(xj )
=
+ ...
dx
k∆x
dxj
6
Si vede quindi che l’errore cresce con k e diventa ordine 1 per k = 1/∆x In modo analogo
definiamo la differenza seconda come
∆2 f j =
f (xj+1 − 2f (xj ) + f (xj−1 )
2(∆x)2
Valutandola per f = 22ikx troviamo
2
2 ikxj
∆ fj = −k e
1 − cos(k∆x)
d2 f
k 2 (∆x)2
=
(xj ) 1 −
+...
(∆x)2 /2
dx2
12
Equazione di diffusione
Consideriamo la equazione di diffusione
∂u
∂2u
=D 2
∂t
∂x
2
e discretizziamo nel tempo e nello spazio con passi ∆t e ∆x rispettivamente. Detti allora
xj = j∆x e tn = n∆t a u(xj , tn ) facciamo corrispondere unj che soddisfa la ricorrenza
un+1
− unj = D
j
∆t
(unj+1 − 2unj + unj−1 )
2
(∆x)
Supponendo x definito in [0, 2π] cerchiamo la soluzione sotto la forma di un modo di Fourier
unj = ûn eikxj
Sostituendo si trova che
∆t
∆t
2
ûn+1 = ûn 1 + 2D
(cos(k∆x) − 1) = ûn 1 − 4D
sin (k∆x)
(∆x)2
(∆x)2
Quindi la condizione di stabilità si ottiene imponendo che la paretesi quadra sia in modulo
minore di 1. Imponendo che sia maggiore di -1 si trova che la si ha stabilità se
∆t < τ ≡
(∆x)2
2D
dove τ è il tempo diffusivo. Questo implica che la velocità con cui si propaga l’informazione
su ∆x è superiore alla velocità di diffusione.
Consideriamo ora un metodo implicito che consiste nel valutare la derivata spaziale al
tempo n ed n + 1 secondo lo schema
un+1
− unj = D
j
∆t
n+1
n
n
n
[λ(un+1
+ un+1
j+1 − 2uj
j−1 ) + (1 − λ)(uj+1 − 2uj + uj−1 )]
(∆x)2
dove 0 ≤ λ ≤ 1 Introducendo un modo di Fourier si trova che
ûn+1 = ûn G
dove abbiamo definito
η = 4D
G=
1 − (1 − λ)η
1 + ηλ
∆t
sin2 (k∆x)
2
(∆x)
Notiamo che se λ = 1 si ha G < 1. In generale abbiamo che G è monotona decrescente in
η poichè
dG
1
=−
dη
(1 + λη)2
e quanto η varia tra 0 e +∞ allora G varia tra 1 e G(∞) che vale
G(∞) =
3
λ−1
λ
La condizione affichè G(∞) ≥ −1 e quindi che si abbia stabilità per ogni valore di η è che
λ ≥ 1/2. Se invece λ < 1/2 la condizione di stabilità G ≥ −1 risulta essere verificata se
2
1 − 2λ
η≤
Pertanto il metodo implicito con λ ≥ 1/2 è sempre stabile. Con λ = 1/2 il metodo è detto
di Crank-Nicholson. Il sistema da risolvere ad ogni passo è un sistema lineare con matrice
tridiagonale.
Equazione delle onde
Per la equazione delle onde del primo ordine
∂u
∂u
+v
=0
∂t
∂x
l’algoritmo che corrisponde al metodo di Eulero si scrive
un+1
− unj = −v
j
∆t n
(uj+1 − unj−1 )
2∆x
Se consideriamo un modo di Fourier la ricorrenza diventa
∆t
sin(k∆x)
ûn+1 = ûn 1 − iv
∆x
Il fattore tra parentesi quadra è un numero complesso di modulo maggiore di 1 e pertanto
il metodo è sempre istabile. Un metodo stabile si ottiene a partire dall’aloritmo seguente
dovuto a Lax
1
∆t n
un+1
− (unj+1 + unj−1 ) = −v
(uj+1 − unj−1 )
j
2
2∆x
In questo caso il modo di Fourier fornisce il seguente risultato
∆t
ûn+1 = ûn cos(k∆x) − iv
sin(k∆x) = Gûn
∆x
La condizione per la stabilità diventa
2
2
|G| = cos (k∆x) + v
2
che risulta soddisfatta se
∆t
∆x
2
sin2 (k∆x) ≤ 1
∆t
≤1
∆x
nota come condizione di Courant. Questo significa che la velocità con cui si propaga
l’informazione è maggiore di quella con cui si propaga l’onda.
v
4
Consideraimo l’equazione d’onda del secondo ordine
2
∂2u
2∂ u
−
v
=0
∂t2
∂x2
e la sua discretizzazione
un+1
j
−
2unj
+
ujn−1
=v
2
∆t
∆x
2
(unj+1 − 2unj + unj−1 )
L’analisi per un modo di Fourier conduce a
ûn+1 − 2ûn + ûn−1 = −4v
2
∆t
∆x
2
sin2
k∆x
ûn
2
Possiamo riscrivere quindi la ricorrenza
ûn+1 − 2(1 − 2α2 )ûn + ûn−1 = 0
Si cerca una soluzione del tipo ûn = λn dove
2
2
λ − 2(1 − 2α )λ + 1 = 0
α=v
che fornisce
λ = 1 − 2α2 ± (1 − 2α2 )2 − 1
∆t
∆x
sin
k∆x
2
1/2
Risulta che |λ| ≤ 1 se si verifica che |1 − 2α2 | ≤ 1 condizione soddisfatta se |α| ≤ 1 ossia se
v
∆t
≤1
∆x
Quanto abbiamo appena trovato suggerisce un altro metodo per avere uno schema stabile e
questo consiste nell’uso di una differenza centrata per la derivata temporale nella equazione
del primo ordine. Questo schema, detto leap-frog, è definito dall’algoritmo
un+1
− ujn−1 = −v
j
∆t n
(u
− unj−1 )
∆x j+1
Usando il modo di Fourier si trova che
ûn+1 − ûn−1 = 2iαûn
α=v
Ne segue che la ricorrenza è risolta da ûn = λn dove
λ2 − 2iαλ − 1 = 0
5
∆t
sin(k∆x)
∆x
risolta da
λ = iα ± (1 − α2 )1/2
e la condizione |λ| ≤ 1 e soddisfatta se la condizione di Courant v∆t/∆x ≤ 1 è verificata.
Equazioni di Maxwell
Ricordiamo che le equazioni sono
rot E = −
1 ∂B
c ∂t
rot B =
1 ∂E
c ∂t
cui si aggiungono div E = 0 e div B = 0. Considerando E = E(x)ey e B = B(x)ez si ha
rot E =
∂E
ez
∂x
rot B = −
∂B
ey
∂x
e le equazioni di Maxwell si scrivono
∂E
1 ∂B
=−
∂x
c ∂t
1 ∂E
∂B
=−
∂x
c ∂t
Utilizzando lo schema di Lax pr la discretizzazione abbiamo
Bjn+1 =
∆t
1 n
n
n
n
(Bj+1 + Bj−1
)−c
(Ej+1
− Ej−1
)
2
2∆x
Ejn+1 =
1 n
∆t
n
n
(Ej+1 + Ej−1
)−c
(B n − Bj−1
)
2
2∆x j+1
Introducendo un modo di Fourier Ejn = Ên eikxj e Bjn = B̂n eikxj si trova
Ên+1 = Ên cos(k∆x) − ic
∆t
sin(k∆x)B̂n
∆x
B̂n+1 = B̂n cos(k∆x) − ic
∆t
sin(k∆x)Ên
∆x
che si riscrive in forma matriciale

 


∆t
Ên+1
sin(k∆x)
cos(k∆x)
−ic ∆x
Ên

=


∆t
B̂n+1
−ic ∆x sin(k∆x)
cos(k∆x)
B̂n
L’equazione agli autovalori è data da
2
2
λ − 2 cos(k∆x) λ + cos (k∆x) + c
6
∆t
∆x
2
sin2 (k∆x) = 0
La soluzione si scrive
λ = cos(k∆x) ± ic
∆t
sin(k∆x)
∆x
Da cui segue che la condizione di stabilità è ancora data da |λ| ≤ 1
c
∆t
≤1
∆x
È facile verificare che se la derivata temporale viene rappresentata con la differenza semplice
(Ejn+1 − Ejn )∆t e lo stesso per B l’algoritmo risulta sempre instabile
Equazione di Burger
La equazione di Burger è un modello 1D della equazione di Navier-Stokes e si scrive
∂u
∂2
∂u
+u
=ν 2
∂t
∂x
∂x
con condizioni iniziali assegnate u(x, 0) = u0 (x). La soluzione generale si trova attraverso
la trasformazione di Cole-Hopf che linearizza l’equazione. Si pone
u = −2ν
∂
1 ∂φ
= −2ν
log φ
φ ∂x
∂x
Infatti possiamo riscrivere la equazione
∂u
∂
+
∂t
∂x
u2
2
−ν
∂ 2u
=0
∂x2
Effettuando il cambio di vuariabile si ottiene
2
∂
∂
2 φx
2 ∂ φx
−2ν log φ + 2ν 2 + 2ν
=0
∂x
∂t
φ
∂x φ
che diventa
∂
∂x
φt
φxx
−2ν + 2ν 2
φ
φ
=0
Quindi φ soddisfa l’equazione di diffusione
φt = νφxx
dove con l’indice in basso qui indichiamo le derivate rispetto a x. La soluzione della
equazione di diffusione è data da
Z +∞ exp − (x−y)2
4νt
√
φ(x, t) =
φ(y, 0) dy
4πνt
−∞
7
Dalla equazione
1
1 ∂
φ(x, 0) = − u(x, 0)
φ ∂x
2ν
segue che
1
φ(x, 0) = exp −
2ν
Z
x
0
u(x , 0) dx
0
0
Infine la soluzione generale della equazione di Burger è espressa da
Z +∞
Z y
1
∂
(x − y)2
−1/2
0
0
log (4πνt)
−
u(x, t) = −2ν
exp −
u(x , 0) dx dy
∂x
4νt
2ν 0
−∞
Si noti che per t → 0 il kernel gaussiano tende alla δ(x − y) e si ottiene la condizione
iniziale u(x, 0). Invece il limite ν → 0 è singolare. In questo caso si ottieien la equazione
di Hilbert per le onde non lineari
∂u
∂u
+u
=0
∂t
∂x
in cui la velocità di propagazione è uguale all’ampiessa dell’onda c = u. Questo provoca la
rottura dell’onda e la propagazione di uno shock. La soluzione è definita implicitamente
da
u = u0 (x − ut)
come si può verificare direttamente. La equazione di Burger può essere discretizzata con
differenze centrate
un+1
− ujn−1
unj+1 − unj−1
unj+1 − 2unj + unj−1
j
+ unj
=ν
2∆t
2∆x
(∆x)2
Il metodo delle caratteristiche
Consideriamo una equazione alle derivate parziali del primo ordine
m
X
i=1
ai
∂u
=0
∂xi
allora le curve soluzione della equazione differenziale ordinaria
dxi
= ai
ds
sono dette caratteristiche ed appartendono alla superficie u(x) = c dove u è la soluzione
della equazione alle derivate parziali. Infatti
X ∂u
du X ∂u dxi
=
=
ai
=0
dt
∂xi dt
∂xi
8
Nel caso di una equazione non omegenea
m
X
i=1
ai
∂u
=b
∂xi
ci si riporta al caso omogeneo ponendo xm+1 = u. Pertando la equazione diventa
m
X
ai
i=1
∂u
∂u
−b
=0
∂xi
∂xm+1
e il sistema di equazioni per le caratteristiche è dato da
dxi
= ai
ds
i = 1, . . . , m
dxm+1
= −b
ds
Nel caso in cui b = 0 la equazione ci dice che xm+1 = u risulta costante. Consideraimo
allora la equazione delle onde
∂u
∂u
+c
=0
∂t
∂x
Le equazioni per le caratteristiche sono
dt
=1
ds
dx
=c
ds
du
=0
ds
da cui segue che
t=s
x = x0 + cs
u = u0
Questo vale anche nel caso in cui c = c(u). La differenza è che se c è costante allora le
caratteristiche sono rette tra loro parallele. Se c dipende da u la loro inclinazione varia e
queste si intersecano. Per arrivare alla soluzione scriviamo
u = u0 (x0 )
da cui segue che
u = u0 (x − ct)
Nel caso in cui c = c(u) la soluzione è la stessa ma in questo caso u è definito implicitamente.
9
Fisica dei Plasmi
Un plasma un mezzo formato da elettroni e ioni, che si mantiene globalmente neutro
quando la temperatura supera la soglia di ionizzazione. Un plasma carico invece costituito
da cariche dello stesso segno confinate da un opportuno potenziale. Esempi dei tipi di
plasma sono dati da un gas ionizzato e da un fascio di protoni od elettroni in un acceleratore.
Lunghezza di Debye
Consideriamo un plasma carico in cui la densità di cariche positive è n0 e dove si crea
localmente uno scompenso tale per cui si raggiunda una distribuzione di equilibrio alla
temperatura T . Vogliamo mostrare che si può determinare il raggio λD della sfera detta di
Debye all’interno della quale avvergono i processi collisionali che ristabiliscono la uniformità
di carica. Con un procedimento del tutto simile si procede per un plasma neutro in cui si
altera localmente la neutralità . Dalla distribuzione di Boltzmann abbiamo
n = n0 e−eV /kT
La equazione di Poisson si scrive quindi
∆V = −4πe(n − n0 ) = −4πe n0 e
−eV /kT e
−1
Supponiamo che la perturbazione sia debole eV kT in modo che valga
∆V =
V
4πe2 n0
V = 2
kT
λD
dove definiamo la lunghezza di Debye λD tramite la relazione
λ2D =
kT
4πe2 n0
Assumendo simmetria sferica V = V (r) e usando coordinate polari
∂
1 ∂2
1 ∂
r = 2 r2
∆=
2
r ∂r
r ∂r ∂r
la equazione di Poisson diventa
1
∂2
(rV ) = 0
(rV
)
−
∂r 2
λ2D
whose solution reads
V =Q
e−r/λD
r
10
L’origine è un punto singolare come nel caso in cui la lunghezza di Debye è infinita che cossionde al caso di una carica puntiforme nella origine. Applicando il teorema di gauss possimao ricavare il valore della carica contenuta in una sfera di raggio r con centro nell’origine.
Z
Z
Z
1
1
q(r) = e
(n − n0 )dr =
div E dr =
E · ndσ =< r 2 E(r)
4π S(r)
4π Σ(r)
S(r)
Con E(r) indichiamo la componente radiale del campo elettrico Notando che E(r) é dato
da
Q
1
r
1
0
−r/λD
E(r) = −V (r) = Q
e
= 2 1+
e−r/λD
+
r2
λD r
r
λD
troviamo
r −r/λD
q(r) = Q 1 +
e
λ
Da questa ultima relazione segue che vicino all’origine la carica complessiva è Q mentre
andando all’infinito la carica totale si annulla. Di fatto q(r) è lo scompenso di carica che
ovviamente deve annullarsi all’infinito.
Per valutare la lunghezza di Debye è conveniente riscriverla come segue introducendo il
raggio clessico dell’elettrone e la densità critica per un plasma in cui si propaga un’onda
elettromatica di lunghezza d’onda λ. La densità critica nc è definita come la densità limite
per la propagazione dell’onda, vale a dire se n > nc il mezzo diventa opaco e l’onda viene
riflessa. Nel seguito deriveremo la espressione per nc che scriviamo qui
rc =
e2
= 2.8 10−13 cm
2
mc
nc =
π
1021
cm−3
=
2
λ rc
λ(µm)
Si ha quindi
λ2D
1
kT
=
me c2 4πrc n0
λD
λ
=
2π
kT nc
mc2 n0
1/2
Ad esempio se kT = 0.5 MeV e se n0 = 1021 cm−3 allora si trova che λD ∼ 0.17µm.
Ricordiamo anche che k = 0.8610−4 eV K−1 .
11
Oscillazioni di plasma
Consideriamo un plasma e descriviamone il comportamento nella approssimazione fluida
in cui i campi rilevanti sono densitá n, velocitá vi e campo elettrico che soddisfano alle
equazioni di continuità , del momento, e di Poisson. Consideriamo il plasma inizialmente
netro ed indichiamo con n0 la densità di elettroni e ioni. Tutte le cariche sono ferme ed il
campo elettrico è nullo. Supponiamo poi che si abbia una fluttuazione della densità degli
elettroni data da n = n0 + n1 . Gli elettroni acquistano una velocità v e si genera un campo
elettrico E.

∂n ∂nvi


+
=0


∂t
∂xi


 ∂v
∂vi
i
m
+ mvk
= −eEi

∂t
∂vk




∂Ei


= −4πe(n − n0 )
∂xi
Al primo ordine le equazioni del moto

∂n0 vi
∂n1


+
=0


∂t
∂xi



∂vi
m
= −eEi

∂t




∂Ei


= −4πen1
∂xi
Deriviamo la seconda equazione rispetto a xi ed usiamo la terza equazione ottenendo
−e ∂Ei
e2
∂ 2 vi
=
= 4π n1
∂xi ∂t
m ∂xi
m
Se deriviamo la prima equazione rispetto a t ed usiamo la equazione scritta sopra la
equazione di evoluzione per la fluttuazione di densità diventa
∂ 2 n1
+ ωp2 n1 = 0
2
∂t
dove abbiamo introdotto la frequenza di plasma
4πe2 n0
m
ωp2 =
Introducendo il raggio classico dell’elettrone
rc =
e2
mc2
e la densità critica per un’onda di frequenza ω la frequenza di plasma può essere scritta
come segue
1/2
n0
2
2
ωp = 4πrc n0 c
ωp = ω
nc
12
L’indice di rifrazione
Partiamo dalla equazione di Maxwell che scriviamo nella forma
4π
1 ∂E
1 ∂D
j+
=
c
c ∂t
c ∂t
rot B =
Supponiamo di avere un’onda piana che scriviamo nella forma seguente
E = E0 ei(k·r−ωt)
La derivata temporale diventa
∂E
= −iωE
∂t
In modo analogo ricaviamo la espressione per la corrente per gli elettroni, sempre al primo
ordine
j = −en0 v
Dalla equazione del moto per gli elettroni si ottiene
m
∂v
= −eE
∂t
− miωv = −eE
Ne segue che la corrente é espressa da
j=−
e 2 n0
E
miω
Per il vettore spostamento D si ricava
−iω
iω
4π e2 n0
D=− E−
E
c
c
c miω
Ne segue che la relazione tra E e D é data da
D = E
= n rif
2
L’indice di rifrazione quindi vale
n rif =
2
1−
4πe n0
mω 2
1/2
=
ωp2
1− 2
ω
!1/2
Possiamo quindi determinare le relazioni di dispersione. A tal fine usiamo l’altra equazione
di Maxwell
1 ∂B
rot E = −
c ∂t
13
Prendendo il rotore di questa equazione ed utilizzando l’altra equazione di Maxwell
rot rot E = −
ω 2 − ωp2
1 ∂ 2D
ω2
1 ∂
rot B = − 2
=
D
=
E
c ∂t
c ∂t2
c2
c2
Usando la espressione di E come onda piana l’ultima relazione diventa
k × (k × E) = −
ω 2 − ωp2
E
c2
Notiamo che
k × (k × E) = k(k · E) − k 2 E = −k 2 E⊥
Quindi sostituendo nella precedente equazione si trova
E⊥ (−c2 k 2 + ω 2 − ωp2 ) + Ek (ω 2 − ωp2 ) = 0
Quindi per quanto concerne la direzione parallela a quella di propagazione si trova che
ω = ±ωp e quindi le onde corrispondono alle oscillazioni di plasma. Nella direzione perpendicolare abbiamo invece
!1/2
ωp2
ω
k=
1− 2
c
ω
Quando ωp > ω il numero d’onda diviene immaginario e si ha un decadimendo esponenziale
e quindi un’onda evanescente. Il coefficiente di decadimento é κ dato da
κ=
(ωp2 − ω 2 )1/2
1
=
`s
c
La lunghezza caratteristica quando ω ωp viene detta skin depth ossia profondit di pelle
e vale
c
`s =
ωp
Il valore della densità nc alla quale per una fissata frequenza l’onda diventa evanescente si
chiama densità critica. Per calcolarla eguagliamo la frequienza alla frequenza di plasma
ω 2 = 4πrc c2 nc
da cui segue
nc = π
π
ω2
= 2
2
2
4π c rc
λ rc
14
Instabilitá dei due flussi Two stram instability
Si suppone che i campi imperturbati ns , vs , E siano stazionari ed uniformi. Le quazioni
imperturbate si scrivono
∂ns
+ vs · ∇ns + ns ∇ · vs = 0
∂t
∂vs
qs
E
+ (vs · ∇) vs =
∂t
ms
X
∇ · E = 4π
q s ns
s
Le prime due equazioni sono automaticamente soddisfatte mentre l’ultima richiede che
X
q s ns = 0
s
Consideraimo quindi delle piccole perturbazioni δns , δvs , δE e scriviamo le equazioni
precedenti al primo ordine
∂δns
+ vs · ∇δns + ns ∇ · δvs = 0
∂t
∂δvs
qs
+ (vs · ∇) δvs =
δEs
∂t
ms
X
∇ · δE = 4π
qs δns
s
Prendendo uno sviluppo di Fourier e riferendoci ad una sola componente eik·r−iωt riscriviamo le equazioni precedenti indicando con δns , δvs , δE d’ora in poi le componenti di
Fuorier. Quindi ∂t → −iω ∇ → ik e si ha
− ωδns + vs · kδns + ns k · δvs = 0
qs
− iωδvs + i(vs · k) δvs =
δEs
ms
X
i k · δE = 4π
qs δns
s
Dalle prime due equazioni si ricava che
δns =
ns k · δvs
ω − k · vs
δvs =
qs
δE
ms −iω + ik · vs
e sostituendo la seconda nella prima si ottiene
δns = i
k · δE
q s ns
ms (ω − k · vs )2
15
Allora inserendo questo risultato nella terza equazione si ha
ik · δE 1 −
X 4π ns q 2
s
s
ms
1
(ω − k · vs )2
!
=0
Di qui segue la relazione di dispersione che é data da
X
s
ωp2 s
=1
(ω − k · vs )2
Consideriamo il caso di due sole componenti e definiamo la velocitá di fase vφ = ω/k. La
relazione di dispersione si scrive allora
ωp2 1
ωp2 2
+
= k2
2
2
(vφ − v1 )
(vφ − v2 )
Questa é una equazione di quarto grado in vφ
20
G
k2c
0
-1
3
v
FiguraGrafico di G(v)=1/(1−v)2 +1/(2−v)2
Come mostra la figura il ramo centrale della curva ha un minimo che si puó calcolare
analiticamente. Derivando G(vφ ) troviamo
ωp2 1
ωp2 2
−G (vφ ) =
+
=0
(vφ − v1 )3
(vφ − v2 )3
0
Da qui segue che
3/2
vφ
3/2
ωp 1 v 2 + ω p 2 v 1
3/2
3/2
ωp 1 + ω p 2
16
e quindi
3/2
kc2
3/2
(ωp 1 + ωp 2 )3
=
(v1 − v2 )2
Per k > kc si hanno 4 radici reali e quindi onde che si propagano. Per k < kc si hanno
invece due zeri reali e due complessi coniugati. Pertanto si hanno due onde con frequenza
immaginaria e di segno opposto. Una di questa cresce esponenzialmente nel tempo e
corrisponde all’instaurarsi di una instabilitá.
Flussi uguali ed opposti Quando le velocità sono uguali ed opposte v1 = −v2 = v e
supponendo e le due frequenze di plasma sono uguali la relazione di dispersione diventa
ωp2
ωp2
+
=1
(ω − kv)2
(ω + kv)2
che diventa
2ωp2 (ω 2 + v 2 k 2 ) = (ω 2 − k 2 v 2 )2
La equazione quadratica in ω 2 data da
ω 4 − 2ω 2 (ωp2 + k 2 v 2 ) + k 4 v 4 − 2ωp2 k 2 v 2 = 0
La soluzione si scrive
ω 2 = ωp2 + k 2 v 2 ± (ωp4 + 4ωp2 k 2 v 2 )1/2
Si hanno due soluzioni immaginarie per ω quando ω 2 diventa negativo. Questo accade per
ωp4 + 4ωp2 k 2 v 2 > ωp4 + 2ωp2 k 2 v 2 + k 4 v 4
ossia per
√ ωp
2
v
Quando tale condizione si realizza si ha ω = iωI . Il modo più instabile si ha in corrispondenza al massimo di ωI 2 = −ω 2 . Dericando la soluzione ω 2 con il segno negativo si
trova
dω 2
2v 2
2
=
v
−
ω
p
dk 2
(ωp2 + 4v 2 k 2 )1/2
k < kc =
da cui segue
k = km =
√
3 ωp
2 v
Il massimo di ωI si raggiunge per k = km e vale
ωI m =
ωp
2
Quindi il modo più instabile ha un coefficiente di crescita confrontabile con la frequenza
di plasma.
17
3
ω
ωm
0
√
k√
2
FiguraGrafico di ω=(1+k 2 + 1+4k2 )1/2 in blu e di ωI =( 1+4k2 −1−k2 )1/2 in rosso con il suo massimo ω>I =1/2
18
Equazioni di Vlasov
Le equazioni de moto per una particella relativistica di carica e ( un elettrone ha carica
−e) in un campo elettromagnetico sono date da
dx
p
=
dt
mγ
dp
e p
= eE +
×B
dt
c mγ
dove abbiamo usato la espressione per l’impulso relativistico
−1/2 1/2
p2
v2
= 1+ 2 2
p = mvγ
γ = 1− 2
c
m c
Le equazioni nel vaso non relativistico si ottengono ponendo γ = 1. I campi sono specificati
dalle equazioni di Maxwell
rot E = −
rot B =
1 ∂
B
c ∂t
4π
1
j+
c
c
÷B=0
∂
E
∂t
÷ E = 4πρ
Potenziali scalare e vettore
B = rot A
E = −grad Φ −
1 ∂
A
c ∂t
rendono automaticamente soddisfatte le prime due equazioni. I potenziali sono determinati
a meno di una trasformazione di gauge
A → A + grad f
Φ→Φ−
1 ∂f
c ∂t
È quindi possibile imporre il vincolo
1 ∂
Φ=0
c ∂t
div A +
e in questo caso la funzione di gauge deve soddisfare
∆f −
1 ∂ 2f
=0
c2 ∂t2
Scegliamo un gauge particolare, quello in cui Φ = 0 e quindi div A = 0 ed in questo caso
il campo elettrico è espresso da E = −c−1 ∂A/∂t. La lagrangiana relativistica è data da
L = −mc
2
v2
1− 2
c
1/2
19
e
+ mc2 + v · A
c
Detti allora P i momenti canonicamente coniugati alle coordinate legati ai momenti ordinari da
e
p = mvγ = P − A
c
l’hamiltoniana è espressa da
eA
H = c m2 c 2 + P −
c
2 !1/2
− mc2
Le eqauzioni di Vlasov sono un sistema di equazioni non lineari per la densità di probabilità
di una particella nello spazio delle fasi f (x, p, t) che soddisfa l’equazione di Liouville
∂f
+ [f, H] = 0
∂t
dove però il potenziale vettore è quello associato ai campi le cui sorgenti sono una densità
di corrente ed una densità date da
Z
Z
j = e f vdp
ρ = e f dp
Nel caso puramente elettrostatico per una particella non relativistica l’hamiltoniana diventa
p2
H=
+ eV
2m
dove il potenziale V soddisfa la equazioni di Maxwell sono sostituite dalla equazione di
Poisson
∆V = −4πρ
La tecnica numerica per integrare queste equazioni consiste nel rappresentare la distribuzione nello spazio delle fasi mediante un campionamento con particelle numeriche,
ciscuna delle quali evolve secondo le equazioni del moto scritte all’inizio di questo paragrafo, nel calcolare una densità ed una corrente tramite interpolazione e nel risolvere le
equazioni di Maxwell tramite un metodo alle differenze finite.
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