Calcolo e biostatistica: prima prova in itinere del 20/11/2013
(Per i test a scelta multipla la prima risposta è quella correta.)
Gruppo test 1: Domini
√
[1] Il dominio naturale della funzione f (x) = x2 − 1 è
(1) (−∞, −1] ∪ [1, +∞)
(2) (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
(3) [−1, 1]
(4) (−1, 1)
[2] Il dominio naturale della funzione f (x) = log(1 − x2 ) è
(1) (−1, 1)
(2) (−∞, −1] ∪ [1, +∞)
(3) (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
(4) [−1, 1]
Gruppo test 2: Retta tangente
[3] L’equazione della retta tangente al grafico della funzione y = 4 arctan x2 + 3 x + 1
nel punto di ascissa 0 è:
(1) y = 6 x + π
(2) y = 6 x
(3) y = 4x(2x + 1)/(1 + x2 )
(4) y = π
[4] L’equazione della retta tangente al grafico della funzione y = 4 arctan 2 x2 + 2 x + 1
nel punto di ascissa 0 è:
(1) y = 4 x + π
(2) y = 4 x
(3) y = 4x(4x + 2)/(1 + x2 )
(4) y = π
Gruppo test 3: √
Limiti
[5] Il limite lim
x→0
1 + 4x − 1 /x
(1) vale 2
(2) vale 1/2
(3) vale +∞
(4) non esiste
[6] Il limite lim [sin(x − 1)]/(x2 − 1)
x→1
(1)
(2)
(3)
(4)
vale 1/2
vale 1
vale +∞
non esiste
Gruppo esercizi 1: Grafici elementari
[E.1] Partendo dai grafici delle funzioni di base, dedurre medianti operazioni
elementari (traslazioni, dilatazioni, riflessioni, etc.), da spiegare e illustrare una
per una, il grafico delle seguenti funzioni:
f (x) = 3 − ex ,
g(x) = 2 − |x − 1|.
1
[E.2] Partendo dai grafici delle funzioni di base, dedurre medianti operazioni
elementari (traslazioni, dilatazioni, riflessioni, etc.), da spiegare e illustrare una
per una, il grafico delle seguenti funzioni:
f (x) = 2 − log x,
g(x) = |x + 1| − 3.
Gruppo esercizi 2: Studio di funzione
x+1
[E.3] Studiare la funzione f (x) = (x+3)
2 (dominio, segno, limiti, asintoti,
crescenza e decrescenza, concavità e convessità).
Nota:
Dominio: R \ {−3}. Segno: f è positiva in (−1, +∞), nulla in −1 e
negativa negli altri punti del dominio.
Limiti: la funzione ha asintoto orizzontale y = 0 per x → ±∞, asintoto verticale
in x = −3 con limx→3 f (x) = −∞.
x−1
Derivata prima: f 0 (x) = − (x+3)
3 ; la funzione è crescente nell’intervallo (−3, 1],
decrescente in (−∞, −3) e [1, +∞). Il punto di ascissa x = 1 è di massimo
assoluto.
(x−3)
Derivata seconda: f 00 (x) = 2(x+3)
4 . La funzione è convessa in (1, +∞), concava
in e (−∞, −3) e (1, +∞); il punto di ascissa x = 3 è di flesso.
x+2
[E.4] Studiare la funzione f (x) = (x−3)
2 (dominio, segno, limiti, asintoti,
crescenza e decrescenza, concavità e convessità).
Nota:
Dominio: R \ {3}. Segno: f è negativa in (−∞, −2), nulla in −2 e
positiva negli altri punti del dominio.
Limiti: la funzione ha asintoto orizzontale y = 0 per x → ±∞, asintoto verticale
in x = 3 con limx→3 f (x) = +∞.
x+7
Derivata prima: f 0 (x) = − (x−3)
3 ; la funzione è crescente nell’intervallo [−7, 3),
decrescente in (−∞, −7] e (3, +∞). Il punto di ascissa x = −7 è di minimo
assoluto.
(x+12)
Derivata seconda: f 00 (x) = 2(x−3)
La funzione è convessa in (−12, 3) e
4 .
(3, +∞), concava in (−∞, −12); il punto di ascissa x = −12 è di flesso.
Gruppo esercizi 3: Integrale indefinito
[E.5] Calcolare le primitive delle seguenti funzioni, illustrando tutti i passaggi:
√
2
f (x) = x log(x),
g(x) = x ex −1 .
R
Nota: Per parti: f (x) dx = 23 x3/2 log x − 49 x3/2 + c.
R
2
Per sostituzione: g(x) dx = 12 ex −1 + c.
[E.6] Calcolare le primitive delle seguenti funzioni, illustrando tutti i passaggi:
g(x) = x cos(x2 + 3).
f (x) = x arctan(x),
R
2
Nota: Per parti:
f (x) dx = x2 arctan x − 21 x +
R
Per sostituzione: g(x) dx = 21 sin(x2 + 3) + c.
2
1
2
arctan x + c.
