Calcolo differenziale e integrale

.. I
i
.. . I.
·1
Nikolaj S. Piskunov
... 1/:;
i···
'· .•.:1-
Calcolo differenziale
e integrale
Volume secondo
•
"i
::1
;:
•
.
,'j
i···
,"i
'i.'
Editori Riuniti
Edizioni Mir
•
_L _
ri
I
CAPITOLO DICIANNOVESIMO
(tranne che i punti t = 0 et = h) . .Passando al limite per h-+ 0
nell'uguaglianza (88), vediamo che Go (t, h) -+ (jo (t) e scriveremo
quindi
(j~ (t, h) -+ (j~ (t) per h -+ O.
II secondo membro dell'uguaglianza (88)· (jl (t, h) -+ (3 (t) quando
h ~ O. L'uguaglianza (88) si trasforma quindi nell'uguaglianza
condizionata (87).
ESERCIZI
Trovare Ie soluzioni delle seguenti equazioni per Ie condizioni
iniziali date:
._
d~
~
1. 7tZ+3Tt+2x=0,
x= 1,x' = 2
per t=O. Risp. x=4e- t -3e- zt .
dBx
d2 x
2 - - - - =2 0 , x=2, x' = 0,
• dt3
dt
x"=1 per t=O. Risp. x=1-t+e t .
2
3 d x -'-2a~+(aZ+bZ) x=O,x~
• dtZ
dt
=Xo, x' =xo per t=O. Risp.
eat
,
x = -b- [xob cos bt+ (xo - xoa) X
X sen btl.
dZx
dx
r. - - 3 "'. dt 2
dt
+-
2x=e 6t ,
x
=
1,
1
x'=2 per t=O. Risp. x=12X
xe 5t
1
+-:r
·2
ei+'3 e2t .
ddtx +m 2x=acosnt, X=Xo,X ' =
2
= Xo . per
t
= O.
x
=
cos mt)
+
Risp.
a
---:::----n(cos nt Z
2
m -n
Xo cos mt+
x'
sen mt.
m
_0
dZx
0 per
6. -Z- -dx
= t Z, x=O, x '=
dt
dt
1
t=O. Risp. x=2e i -3"t3 - t 2_
-2t-2.
... d3x
1 "t
,. (jj3 +.x ="2 t~e,
x = x ,=,x, = 0
!
! {cos tra-
per t=O. Risp. X=
t
+~)
_2 _et-.!
24 e- r:: t
(t2 -3t +
_
1/a } {t •
-1t3-2-- e
3
, , , 0 Per
8. ddtx3 +x= 1,xo=xo=xo=
1
t=O. Risp. x=1-3" e- t -,-
2
3" X
-.!.
t1/a
Xe z cos--- ·
_
d4x
. d2x
9. - 2 -,,dt 4
dt ..
+ x = sent,
=xo=x~=:Po"=O
1
x=-[et(t- 2}
8
Xo =
per t=O. Risp.
e-t(t +2)
+
+
10. Trovare la soluzione del sistema
d'equazioni differenziali
d2x
' d2y
dt 2 y =1, dt Z +x=O,
che
verifica 19
condizioni
iniziali: xo=Yo=xo=Yo=O per
1
t=O. ,Risp.. x (t)= - 2 cost +
+
1
1
+'4 et+T e-t ,
i
I
~
i
2
+2sent].
2
5.
.
y (t)
.
1 -1 xcos t-'4 et -'4 e- t
1
= -"2-' X
+1.
CAPITOLO Xx
ELEMENTI DI TEORIA DELLE PROBABILITA
E DI STATISTICA lVIATEMATICA
L'esperienza di tutti i giorni conferma che in numerose situazioni
pratiche della vita quotidiana abbiamo a che fare con eventi pel'
i quali Ie leggi del determinismo rigoroso che ci sono familiari
perdono Ia 101'0 va.lidita. Supponiamo che ci interessi sapere quante
chiamate puo ricevere un servizio di pronto soccorso nel corso di
una giornata.
Risulta da numerose osservazioni che non e possibile prevedere
con esattezza il numero di chiamate che il servizio dipronto soccorso puo I'icevere nei prossimi giorni. 'Questo numero e soggetto
a fluttuazioni notevoli e di carattere casuale. :El altrettanto casuale
il tempo impiegato da un medico per' arrivare a soccorrere un ammalato.
'
Se un numero N di pezzi qualsisiano fabbricati in condizioni apparentemente identiche e con 10 stesso materiale e~ sottoposto ad una
proya, il tempo trascorso dall'inizio dell'esperimento alla messa
fuorL d'uso dei pezzi stessi risulta casuale e soggetto a fluttuazioni
assai forti.
Durante Ie esercitazioni di tiro a segno si assiste ad uno sparpagliamento dei proiettHi sparati su un bersaglio. Non e possibile
indicare a priori.la distanza dei punti colpiti dal centro del bersaglio
percM si tratta di una grandezza aleatoria.
La semplice costatazione del carattere casu ale di un evento e,
pero, assolutamente insufficiente e non permette d:i sfruttare efficacemente un fenomeno naturale, 0 di controllare un processo tecnologico; e necessario imparare a valutare quantitativamente gli
eventi casuali, a pronosticarne l'andamento. :El un'esigenza imperiosa posta oggi sia da problemi teorici che pratici. Sono due discipline matematiche: la teoria delle probabilita e la statistica
matematica, ad occuparsi della soluzione dei problemi che si pongono in questa campo e della creazione di una teoria'D+atematica,
generale.
'
La teoria delle probabilita e Ie sue applicazioni nei diversi rami
della scienza, in particolare in quelli nuovi hanno avuto un vasto
sviluppo negli ultimian,ni grazie, soprattutto, aIle I'icerche degli
scienziati sovietici. Sono innanzitutto da citare qui i lavori di
_A. Kolmogorov, B. Gnedenko, N. Smirnov. In questo capitolo sono
esposti gli elementi di teoria delle probabilita e di statiatica matematica.
aO-0330
465 '
:1
Ii
,!
'I
I
CAPITOLO VENTESIMO
I
§ 1
I
EVENTO ALEATORIO. FREQUENZA RELATIVA
DI UN EVENTO ALEATORIO.
PROBABILITA DI UN EVENTO ALEATORIO.
OGGETTO DELLA TEO RIA DELLE PROBABILITA
L' evento casuale (aleatorio) ela nozione fondamentale della teoria delle probabilita. Si chiama evento casuale' un fatto particolare
che, sotto certe modalita, pUO verificarsi 0 no.
Ese m p i 0 1. L' apparizione ,_ di testa 0 croce quando 'si getta
una moneta e un evento casuale.
Ese m p i 0 2. Un bersaglio dato colpito quando si spara con un cannone
dato e un evento casuale.
Ese m p i 0 3. Un errore inferiore a 0,2 mm commesso nella fabbricazione
con mezzi disponibili di un cilindro di diametro richiesto di 20 em e un evento
casuale.
*
Risulta dall' osservazione di diversi fenomeni che Ie frequenze
relativedell'evento A verificatosi in ogni serie possono differire
notevolmente l'una dall'altra, se il 'numero di prove in 9gni serie
e piccolo. Se invece il numero di ripetizione delle prove nelle serie
e elevato, Ie frequenze relative dell'evento A verificatosi in diverse
serie differiscono poco tra di esse, e questa differenza diventa tanto
466 '
minore quanto maggiore e il numero delle prove in serie. Sidice
che per un numero elevato di prove la frequenza relativa perde
sempre di pili il suo carattere casuale. Osserviamo pero che esistono
eventi a frequenza instabile il val ore della quale in diverse serie
puo essere molto diverso.
L' esperienza' dice .che nella grande maggioranza dei casi
esiste un numero p costante tale ehe Ie frequenze relative del verificarsi dell'evento A per un grande numero di prove, ad eccezione
di qualche caso raro, differiscano poco da questo numero p.
Questo dato empirico si esprime simbolicamente' nel modo
seguente:
:I
!
I
I
11 numero p e detto probabilita 'che l'evento casuale A, si verifichi. Quest'ultima frase puo essere scritta simbolicamente cos1:
P (A) =p.
(1)
Ese m p i 0 4. Supponiamo che su un bersaglio dato siano state sparate
da un cannone dato, a condizioni uguali, 6 serie di colpi che hanno fornito
i risultati seguenti:
'
,
La 1a serie di 5 colpi con 2 precisi,
la 2a serie di 10 colpi con 6 precisi,
la 3a serie di 12 colpi con 7 precisi,
la 4a serie di 50 colpi con 27 precisi,
la 5a serie di 100 colpi con 49 precisi,
la 6a serie di 200 colpi con 102 precisi.
'
L'evento A e il colpo preciso. La frequenza relativa dei colpi precisi nelle
serie e:
nella 1a serie 2/5 = 0,40,
nella 2a serie 6/10 = 0,60,
nella 3a serie 7/12 = 0,58,
nella 4a serie 27/50 = 0,54,
nella 5a serie 49/100 = 0,49,
nella 6a serie 102/200 = 0,51.
'II,
.
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
(2)
D e fin i z ion e 1. Si chiama jrequenza relativa p* ,di un
evento casuale A il rapporto ira il numero m* di volte in cui si
e verificato il. dato evento e il numero totale n* di prove identiche
nel corso delle quali I'evento avrebbe potuto verificarsi 0 no. Scriviamo dunque:
m,
-p *_
-P *(A)n*
n
1
I
I
(3)
L~ probabilita p e la caratteristica oggettiva della possibilita
che l'evento A si verifichi per Ie date prove. Questa possibilita e
definita dalla natura dell'evento A.
Per un grande numero di prove, « eccetti casi rari » che si possono trascurare, la frequenza relativa. differisce poco dalla probabilita.
La relazione (2) si esprime in breve nei termini seguenti:
All'aumento arbitrario del numero n* di prove la jrequenza rela-,
, tiva dell' evento A tende alla probabilita p del verificarsi di questo
evento.
o sse l' v a z ion e. Nei ragionamenti preceden:ti abbiamo
postulato empiricamente la relazione (2). Si possono postulare anche
altre modalita naturali che derivano dall'esperienza. Sulla base di
queste modalita si potrebbe stabilire la relazione (2) che di vented\.
allora un teorema. Nella teoria delle probabilita eben nota il teo-·
'
rema di Bernoulli (1654-1705).
Siccome la probabilita e una caratteristica oggettiva della possibilita che si verifichi un certo evento, e necessario quindi saper
determinare la probabilita di certi eventi complessiper poter prevedere la natura dell'andamento di molti processi osservati nella
gestione d~lla produzione, nell'economia, ecc. La determinazione
della probabilita di un evento complesso, a partire dalle probabilita
dei casi elementari che 10 condizionano, e 10 studio di varie leggi
probabilistiche degli eventi casuali costituiscono l' oggetto della
teoria delle probabilita.
,
··1
467
30*
'\1
1
:,1
'
:....
--
----.--~---.
'j
CAPITOLO VENTESIMO
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
§ 2
DEFINIZIONE CLASSICA DELLA PROBABILITA
E CALCOLO DIRETTO DELLE PROBABILITA
L' analisi di un esperimento corrispondente permette~, in molti
casi, di calcolare la probabilita di un evento casuale considerato.
. Riportiamo un esempio per capire meglio i ragionamenti successivi.
Ese m p i 0 1. Prendiamo un dado da gioco (un. cubetto omogeneo)
recante'su ciascuna delle sue sei facce un numero da 1 a 6. Consideriamo un
evento casuale, ossia l'apparizione del :gumero l (1
l'::;': 6) sulla faccia superiore quando si lancia il dado. In virtu della simmetria del dado, gli eventi di
apparizione di un certo numero compreso tra 1 e 6 sono ugualmente probabili,
e~detti percio eventi di equa probabilita. Nel lanciare il dado per un grande
mimero n. di volte si puo attendere che il nu,mero l come pure ogni numero
compreso tra 1 e 6, appaia sulla faccia' superiore per circa ~ volte. ll: un dato
confermato dall'esperienza.
La frequenza relativa sara prossima al numero p* = {- .. Pertanto la
-<
probabilita dell'apparizione sulla faccia superiore del dado del numero
l, 0 di ogni altro numero compreso tra 1 e £, e uguale ad ~ •
Passiamo ora all' analisi degli eventi casuali la cui probabilita
puo essere direttamente .calcolata.
D e fin i z ion e 1. Eventi casuali si dicono incompatibili
per una data prova se nessuna coppia di essi puo verificarsi simultaneamente.
D e fin i z ion e 2. Diremo che eventi casuali costituiscono
un sistema completo se in ()gni prova puo verificarsi ciascuno
di essi e non puo verificarsi alcun altro evento incompatibile
con essie
Consideriamo il sis t e mac 0 m pIe t 0 d i e v e n t i
cas u ali e qui pro b, a b iIi e d i n com pat i b iIi.
Chiameremo tali eventi casi (0 chances).
Un caso di questo. sistema si chiama favorevole al verificarsi
dell'evento A se l' apparizione di questo caso implica I' apparizione
dell'evento A.
Ese m p i 0 2. In un'urna vi sono otto palline numerate da 1 a 8. Le
pallinesegnate con Ie dire 1, 2 e 3 sono bianche, Ie altre nere. L'estrazione della
pallina segnata con 1 (nonchEi delle palline segnate con 2 0 3) e un evento favorevole perchEi appaia una pallina bianca.
II
i
Ii;I
n
Per il caso considerato si puo dare un'altra' definizione della
probabilita, differente da quella del § 1.
D e fin i z ion e 3. Si chiama probabilita p dell'evento A
468
il rapporto tra il numero m dei casi favorevoli e il numero n'di
tutti i casi possibili che costituiscono il sistema completo di eventi
equiprobabili incompatibili, 0 simbolicamente
m
P(A)=p=-.
(1)
n
De fin i z ion e 4. Se tutti gli n casi che costituiscono un
sistema completo di eventi equiprobabili incompatibili sono
favorevoli al verificarsi di un evento qualunque, un tale evento
si dice certo; la probabilita di un evento certo 9 p = L
Un evento al quale non 9 favorevole nessun degli n casi che costituiscono un sistema completo di eventi equiprobabili incompatibili si dice impossibile; la sua probabilita 9 p = O.
o sse r v a z ion e 1. Le affermazioni inverse sono ugualmente valide in questo caso. Tuttavia in altri casi, per esempio, nel
caso di una variabile aleatoria continua (§ 12), Ie affermazioni
inverse possono risultare anchenon vere, Ci09 dal fatto che la probabilita di un certo evento e uguale ad 1 0 0 non segue necessariamente che questo evento sia certo od impossibile.
Risulta dalla definizione della probabilita che essa verifica la
relazlone
O~p~1.
Ese m p i 0 3. Si tira una carta da un mazzo di 36 carte. Qual e la prohahilita che ne esc a una di picche?
Sol u z ion e. Ahbiamo quij 10 schema dei casi d'equa probabilita.
L'evento A consiste nell'apparizione di una carta di :picche. II numero totale
dei casi e n = 36. II numero dei casi favorevoli perche si verifichi l'evento A,
e m= 9.
'
. d'
9
1
Abh lamo
qUIll 1 P =3if=4'
Ese m p i 0 4. Si gettano nella stesso istante due monete. Qual
probabilita dell'apparizione della testa sulle due monete?
Sol u z ion e. Formiamo 10 schema dei casi possibili
I
1°
2°
30
40
caso
caso
caso
caso
Prima moneta
testa
testa
croce
croce
I
Seoonda moneta
testa
croce
testa
croce
Abhiamo in tutto 4 casi possibili dei quali un solo e favorevole.
Di conseguenza, la probabilita che sulle due monete appaia la testa e
Ese m p i
cannone e
io
e la
p={ .
5. La probabilita di colpire un bersaglio sparando da un primo
7
e sparando da un secondo cannone e10' Trovare la probabilita che
0
469 .
11
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
CAPITOLO VENTESI!\'!O
il hersaglio sia colpito . facendo sparare simultaneamente ambedue' i cannoni.
Si ritiene il bersaglio colpito se si fa centro con almeno uno dei cannoni.
Sol u z ion e. Si puo prendere qu!],le modeno di questa problema lil
caso delle urne. Supponiamo che due urne contengano 10 palline ciascuna numerate da 1 a 10. La prima urna contiene 8 palline bianche e 2 nere, Ia second a
ha 7 bianche e 3 nere. Si estrae una pallina da ciascuna urna .. Qual e Ia probabilita 'che delle due' palline estratte~ aImeno una sia hianca?
Siccome qualsiasi pallina della prima urna puo essere estratta assieme a
qualsiasi pallina della seconda urna, il numero dei casi e 100, cosl n= 100.
'. 'Calcoliamo il numere dei cas! favorevoli.
Estraendo ciascuna delle 8palline bianche della prima urna simultaneamente con una llallina qualunque della seconda urna, si avril tra Ie palline estratte
almeno una hianca. numero di tali 'casi 10 X 8 = 80. Estr!],endo una delle 2
palline nere della prima urna simultaneamente con una pallina qualunque di
quelle bianche della seconda urna, si avra tra Ie palline estratte almena una
biabca. n numero di tali casi e 2 X 7 =_14. 11 numero totale dei casi favorevoli
e quindi In = 80 14 = 94.
La probabilita che tra Ie palline estratte ci sia almentl una hianca e
m
94
n
e
+
o ancora
Al oppure Al}.
Passiamo ora al teorema seguente, detto teorema d' addizione delle
probabilitlL.
Teo rem a 1. Supponiamo che nel corso di una data prova
(fenomeno, esperinwnto) possano verificarsi un evento casuale Al di
probabilitlL P (A 1) ed un evento A 2 di probabilitlL P (A 2)' Gli eventi
Al ed A2 sono incompatibili. La probabilitlL della somma di questi
eventi, ctoe dell' evento ehe consiste nel verifiearsi 0 dell' evento Al 0
dell' evento A 2'
allol'd calcolata secondo la formula
e
P (Ai' oppure A 2) = P (AI)
Dim
0
+ P (A
(1)
2).
8 t r a z ion e. Siano
P=n-=100'
Tale
e Ia probabilita
del bersaglio colpito.
o sse r V a z ion e
2. In questo esempio abbiamo ridotto il
problema delle probabilita di tiro a segno a quello d'estrazione di
palline da un'urna. Numerosi problemi elel calcolo elelle probabilita
si possono ridurre a questo « schema delle urne ». Bisogna trattare
percio i problemi d' estrazione elelle palline da urne come problemi
generalizzati.
'
,
·E s e m pi 0 6. In una partita 'di 100 articoli ve .no sonG 10 difettosi.
Qual e la probahilita cho tra 4 pezzi scolti a easo 3 non siano difettosi?
Sol u z ion o. Esistono n = Cioo modi di scolta. di 4 pezzi in una llartita
di 100 pozzi. II numoro doi casi in cui tra questi 4 pozzi 3 saranno non difettosi
€I m = cgo·Gt o .
.
La proba~i1ita eereata sara dunque
m
C~o'Cio
1424 03
P=-n= Cioo =4753~"
Essendo incompatibili gli eventi A1 ed A 2 • per un numero totale
n di casi il numero dei ca8i favorevoli al verificarsi simultaneo degli
eventi A1 ed A2 e quindi uguale a zero, ed il numero def casi favorevoli\al verificarsi 0 dell'evento Al 0 dell'evento A2 e uguale ad
n1.1
m2' Si ha quindi
+
P (Ai oppure A 2) = mJ
+ 11'?2 =
n
mi
n
+ m2 = P (AI) + P (A
n
2),
come 8i voleva dimostrare.
,
Si puodimostrare questo teor~ma in m6do analogo per un numero
qualsiasi di addendi:
P (Al oppure A2 oppure .... oppure An) =
= P (Al)
+ P(Ali) + .. + P (An).
(1')
Quest'ultima uguaglianza si 8criveancora:
n'
n
§ 3
P (2] "At )=2]P (Ai)'
SOMMA DELLE PROBABILITA.
EVENTIALEATORICONTRARI
Os 8 e r V a z ion e. Abbiamo dimostrato il teorema d'addizione per casi in cui la probabilita puo essere determinata da un
calcolo diretto. In seguito Sllpporremo valido il teorema d' aeldizione delle probabilita anche nei casi in cui non €I possibile
effettuare il calcolo diretto delle probabilita. Questa affermazione
€I basata sulle considerazioni segllenti. Le probabilita degli eventi
t=1
D e fin i z ion e 1. Si chiama somma di due eventi Al ed Ail
l'evento C che consiste nel verificarsi di almeno uno di questi due
eventi.
Considereremo qui la probabilita della somma di due eventi
incompatibili Al eel A 2 • Denotiamo la somma di quesH eventi con
Al
+A
470
2•
(1 ")
t=1
1) Notiamo ehe in questa espressione la parola « oppure » non ha il carattore
d'esclusiono, ma significa semplicemente ehe almeno uno di questi eventi si
verifichera eonformemente alIa definizione 1.
471
i"
~~~_~
__
L.~
~
__
~
___ _______
~~
~_~
_ _ _ __
-,-
~
CAPITOLO VENTESIMO
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
per un grande numero di prove sono prossime (eccetti casi rari)
aUe frequenze relative, e per quest'ultime la dimostrazione si fa
in modo identico a quello suindicato. Questa osservazione concerne
anche Ie dimostrazioni dei teoremi successivi che verranno dimostrati
con l'aiuto dello schema delle urne.
Ese m p i 0 1. Si fa un tiro al bersaglio D composto di 3 zone disgiunte
~ ~ (fig. 405). La probabilita di colpire la zona Ie: P (A l ) = 1~0; quella di colpire
la zona II e: P (A 2 ) = 1~00' e quella di colpire la zona III e: P (Aa) = 1~0'
Qual e laprobabilita di colpire il campo D? L'evento A e il fatto di colpire il
. campo D. Abbiamo, in virtu della
Fig. 405
formula (1'):
P (Aj)+P (A 2 ) + P (As) =
5
10
17
32
= 100+ 100+ 100= 100'
D e fin i z ion e 2. Due
eventi si dicono contrari se essi
sono incompatibili e costituiscono un sistema completo.
Se uno degli eventi e deno,,:,
tato con A, quello contrario
verra denotato con A.
Supponiamo che la probabilita di verificarsi deU'evento Asia p,
allora Ia probabilita del non verificarsi dell'evento A, cioe la probabilita del verificarsi dell'evento A, la denotiamo con P (A) = q.
Siccome nel corso deH'esperimento si verifichera obbligatoriamente 0 l'evento A 0 l'evento A, aHora avremo in virtu del teorem a (1):
.
P (A) = P (A) = 1,
doe la somma delle probabilita degli eventi contrari e uguale all'unita:
+
p
q .1.
(2)
Ese m p i 0 2. Si tira un colpo su un bersaglio. II bersaglio colpito
e l'evento A. La yrobabilita di colpire il bersaglio ep: P (A) = p. Determinare
la probabilita de colpo a vuoto.
Siccome il colpo a vuoto e l'evento A contrario all'evento A, la probabilita
.
del colpo a vuoto sara quindi q = 1 - p.
Ese m p i 0 3. Si fa una certa misurazione. L' evento A eche l' errore commesso sia inferioreaA. Sia P (A)=p.L'evento contrarioA eche l'errore com~esso
sia superiore 0 uguale a A. La probabilita di questo evento contrario e P (A) =
=q=
1-p.
.
~
(3)
Dim 0 s t r a z ion e. Siccome gli eventi A l , A 2 , • • • , An.
costituiscono un sistema completo d'eventi incompatibili, il verificarsi di uno di essi e un evento certo. Di conseguenza,
Fig. 406
P (Al oppure A 2 oppure •..
. . . oppure An) = 1.
b
Trasformando il primo membro secondo la formula (1'), si
ottiene l'uguaglianza (3).
D e fin i z ion e 3. Gli
eventi casuali A e B si dicono
compatibili se nel corso di una
data prova possono verificarsi
entrambi, cioe gli eventi A e B
si verificano simultaneamente.
Denoteremo con (A e B) 0 (AB) l'evento che consiste nel verificar~i simultaneo degli eventi A e B. Denoteremo con P (A e B)
la probabilitache gli eventi A e B si verifichino simultaneamente.
~~ Teo rem a 2. La probabilita della somma di due eventi compatibili e determinata dalla formula
P (A oppure B) = P (A)
+ P (B) -
P (A e B).
(4)
Daremo un'illustrazione geometrica della formula (4), ma prima
introduciamo la definizione seguente.
D'e fin i z ion e 4. Sia dato un certo campo D la cui area
e uguale ad S. Consideriamo i1 campo d facente parte del campo D.
SiaS l'areadel campo d. Se il fatto che un punta venga a trovarsi nel campo D e un evento certo, aHora Ia probabilita: che questa
punta venga a trovarsi nel campo d e uguale, per definizione, ad
SIS,' cioe p = SIS. Questa probabilitil. e detta probabilita geometrica. '
-Considerando-certa l'appartenenza del punta al quadrato di lato
uguale ad 1, abbiamo (fig. 406):
j.
P (A oppure B) = area abcda,")
P (A)
:- area abfda, l
P (B)
P (A e B)
= area bcdeb, f
= area debfd.
J
(5)
[j
~
Cor 0 11 a rio 1. Se gli eventi casuali A l , A 2 , • • • , An cosUtuiscono un sistema completo d'eventi incompatibili, si h~ allora l'ugua-
472
glianza
:E: evidente. che si ha l'uguagHanza
area abcda = area abfda
+ area
473
bcdeb - area debfd.
;1
11
'II
i/i~'·I ~:
,.
i
I
CAPITOLO VENTESIMO
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA Dr UN AVVENIMENTO
Riportando in questa uguaglianza i primi membri delle uguaglianze (5), si ottiene 1'uguaglianza (4).
Possiamo calcolare in modo analogo la probabilita della somma
di un numero qualsiasi d'eventi casuali compatibili.
Osserviamo che si puo dimostrare il teorema 2 partendo daUe
definizioni e 'dalle regole delle opera,zioni sopra enunciate.
. questa f ormu1a -ml ed -m2 con 1e 1oro espreSSlOm
. .
Sostituendo 111
n!
§ 4
Ese m p i 0 1. Due arcieri tirano coll'arco su un medesimo bersaglio.
La probabilita cM il primo arciere colpisca il borsaglio e 9/10, quella del secondo
arciere e 5/6. Tutti e due gli arcieri tirano simultaneamente. Determinare la
probabilita che il bersaglio sia colpito da duo frecce.
-
PROD OTTO DELLE PROBABILITA
DI EVENTI INDIPENDENTI
Sol u z ion e.
D e fin i z ion e 1. Si dice che l'evento A s indipendente
dall'evento B se la probabilita del verificarsi dell'evento A non
,dipende dal faito che l'evento B si sia verificato 0 no.
Teo rem a 1. Se gli eventi casuali A e B sono indipendenti la
probabilita del verificarsi simultaneo degli eventi A e B e uguale al
prodotto delle probabilita del
verificarsi degli eventi A e B:
Fig. 407
P (B)
=
nt
m2 .
p (A oppure B)
P (A e B)
= P (A)
+P
(B) -
P (A)·P (B).
(4)
Ese m pi 0 3. Risolvere il problema dato noll'esempio 5 del § 2 con
l'aiuto della formula (4).
,
Sol u z i one. L'evento A e il colpoabersagliodolprim6 cannone.tiL evento B e il colpo a bersaglio del secondo cannone. E evidento che
,
8
7
P (A)=l:O' P (B)=W '
(2)
8
78794
P (A oppure B)=l:O+W-W "10= 100'
- Tutti i casi possibili dell'estraiione simultanea di una pallina
da ciascuna urna sono n1n 2 • II numero dei casi,favol'evoli all'estr~z~o,­
ne delle palline bianche da ambedue Ie urne e mlm2' La probabllIta
del verificarsi simuHaneo deglieventi A e B sara
P (.A e B) - mt m 2 = mt • m2 •
nl
= ~;
Os s e r va z ion e. II teorema 2 del § 3 Ua formula (4)] sulla
probabilita della somma degli eventi compatibili si scrive teriendo
conto della formula (1):
n2
nln 2
P (B)
. Ese m p i 0 2. II perfetto funzionamento di un-j apparecchio dipende
dal funzionamento senza interruzione di ciascuno dei tre elementi che 10 compongono. La p'robabilit~ di .funzionamento perfetto degli elementi nel corso
di UD\ciclo e uguale rlspettlvamente a P.,l = 0,6; P2 = 0,7; ~3 = 0,9. Trovare
la probabilita del funzionamento -perfetto dell'apparecclilO nel corso del
dato cicIo.
Sol u z ion e. Avremo, in _virtu del teorema del prodotto delle probabilita (3): - P = PI 'P2 'Pa = 0,6,0,7.0,9 = 0,378.
(1)
Dim 0 s t r a z ion e. Ap0 0 0 Q. 0'"
plichiamo alla. dimosirazione di
questo teorema 10 schema delle
urne. In ciascuna delle due urne
~ 0 -0 0 0 0 0 0 0
vi sono rispettivamente n 1 ed n 2
'-m2·------h------'
palline. La prima urna contiene
z
ml palline bianch!'l, Ie altre sono
nere. La seconda urna contiene m 2 palline bianche, Ie altre sono
nere. Da ciascuna delle urne si estrae una pallina. Q-ual -s la probabilita che Ie due palline estratte siano bianche?
Sia A l'evento consistente nell'estrazione di una palli:na bianca.
dalla prima urna. L' event 0 B. e l' estrazione di una pallina bianca daIIa seconda urna. Questi eventi sono indipendenti. E evidente che
=!!!:!.,
= 19o,
bersaglio cho si calcola secondo la formula (1):
9 5
3
P (A e B)=l:O'lf=T'
___--=---~A
r~mf 0 0 0
- P (A)
Abbiamo qui P (A)
e la probabilita dei due colpi a
P (A e B) = P (A).-P (B).
nf
n2
ricavate da (2), si ottiene l'uguaglianza (1). L'illustrazione di questo
teorema e data nella fig. 407.
Se vi sono n eventi indipendenti AI, .1 2 , • • • , An, si puo dimostrare in modo analogo la validita dell'uguaglianza
E' del tutto naturale che si sia ottenuto 10 stesso risultato di prima.
• Ese m p i 0 4. La prob~b~lita ~el verificarsi. di un evento ~el corso, di
una prova e uguale a p. Determmlamo II nilmero n dl prove necessane perche la
probabilita del vorificarsi dell'evento sia maggiore 0 uguale a Q.
Sol u z ion e. In virtu dei teoremi sulla soumla e suI prodotto delle
probabilita, possiamo scrivere
Q;;. 1 - (1 _ p)'1.
-n2
474
475
\
..... ..
_ -_.__
... ........
A VVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILIT.a DI UN A VVENlMENTO
CAPITOLO VENTESIMO
Si estrae dall'urna una pallina. Qual e la probabilita dell'evento
che consiste nell'estrazione di una pallina bianca contrassegnata
con un asterisco?
Risolvendo questa disuguaglianza rispetto ad n, otteniamo:
19 (1-Q)
n> 19(1-p)
--~
.
Fig. 408
Un problema del genere che comporta tale soluzione analitica si riduce
facilmente ano « schema delle urne ».
n
§ 5
EVENTI DIPENDENTI. PROBABILIT.A CONDIZIONATA.
PROBABILIT.A TOTALE
D e fin i z ion e 1. Si dice che l'evento A dipende
B, se la probabilita dell'evento A dipende dal fatto che
si sia verificato 0 no.
Denotiamo la probabilita del verificarsi dell' evento
dizione che l'evento B abbia avuto luogo, con P. (AlB)
meremo probabilita dell' evento A condizionata aBo
::Ii
..
';·1·;
Sia B l'evento «estrazione di una pallina bianCal), A l'evento
«estrazione di una pallina con asterisco l}. E evidente che
dall'evento
l'evento B
P(B)=~.
n
A, a conIi la chia-
La probabilita dell'apparizione di una pallina bianca con asterisco, a condizione che sia stata estratta una pallina bianca, sara
P (AlB) =
!:!.. .
.
La probabilita dell'apparizione di una pallina bianca con asterisco e P (A e B). E evidente che
ni
peA e B)=-.
11,
La probabilita dell'evento A, a condizione che l'evento B non si sia verificato (la prima estrazione ha dato una pallina nera), sara
-
3
.
Risulta quindi che
P (A/B) =1= P (A/ii).
. Teo rem a 1. La probabilita del verificarsi simultaneo di due
eventi e uguale al prodotto della probabilita di uno di essi per la pro,babilita condizionata del secondo, calcolata a condizione cke il primo
even to si sia verificato; in altri termini,
P (A e B) = P (B). P (AlB).
(1)
Dim 0 s t r a z ion e. Riportiamo la dimostrazione per gli
eventi che si riducono allo schema delle urne (doe al caso in cui
.
e applicabile la definizione classic a della. pro~abi.lita).
Supponiamo che un'urna contenga 11, pallme dl. CUI Yfl sono b~a~che
ed n 2 nere. Supponiamo an cora che tra Ie 11,1 pallme blanche VI SIano
ni palline bianche contrassegnate con un asterisco e che Ie altre
siano .semplicemente bianche (fig. 408).
476
(3)
11,1
I.;.
(4)
Ma
(5)
n
11,
11,1
Ri portando nella (5) Ie parti -a sinistra' delle espressioni (2), (3)
~ (4), si ottiene:
P (A e B) = P (B)·P (AlB).
L'uguaglianza (1). e cosi dimostrata.
Se gli eventi considerati non entrano nello schema classico,
la formula (1) serve a definire la nozionedi probabilita condizionata.
Cioe, la probabilita condizionata A, a condizione cke l' evento B si
$ia ve.rificato,
e definita
dalla formula
P (AlB) = P (A e B)
(per PCB) =f= 0).
P (B)
1. Applichiamo quest'ultima formula
o ss e r V a z ion e
all' espressione P (B ed A):
P (B ed A) = P (A). P (BIA)}
477 .
'I
.,I
>/I
Ese m pi 0 1. Un'urna contiene 3 palline Manche e 2 palline nere. Si
estrae una prima pallina all'urna (prima estrazione) e poi una seconda (seconda
estrazione). L'evento B e l'apparizione di una paUina bianca alIa prima estrazione. L'evento A e l'apparizione di una pallina bianca alIa seconda estrazione.
E evidente che la probabilita dell'evento A, essendo stato verificato l'evento B, sara
P (A/B) ='4
(2)
(6)
q
, I
CAPITOLO VENTE,SIMO
,I
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
I prim{ membri delle uguaglianze (1) e (6) sono uguali, perche
si tratta della stessa probabilita. Di conseguenza, sono -ugiIali anche
i secondi membri. Percio possiamo scrivere l'uguaglianza
P (A e B) = P (B). P (AlB) = P (A). P (BIA).
Ese :In p i 0 2.
paragrafo abbiamo:
(7)
Nel caso deU'esempio 1 riportato all'inizio di questo
'31,
P (8)=5' P (AlB) = 2"
.
In virtu della formula (1), otteniamo:
3 1
P (A
3
e B)='"5' 2=10'
.
La probabilita P(A e B) puo essare facilmente determinata da un calcolo
diretto.
Ese m p i 0 3. La probabilita di fabbricazione con una macchina utensile
di un pezzo di qualita rispondente aUa norma e0,9. La prohahilita di apparizione
tra i pezzi fahhricati di un pezzo di qualita superiore alIa norma e 0,8. Determinare Ia probahilita di fahhricazione con Ie. detta macchina utensile di un pezzo
' .
di qualita superiore aUa norma.
Sol u z -i 0 n e. Sill. B l'evento della fahbricazione di un pezzo normale
con Ill. maechina utensile, A l'evento della fahhricazione di un pezzo di qualita
superiore.
'
.
Qui P(B) = 0,9, P = (A/B) = 0,8.
Riportando questi val~ri nella formula (1), si ottiene la prohahilita cercata:
P(A e B) = 0,9.0,8 = 0,72 •.
Teo rem a 2. Se l'evento A pub verificarsi soltanto nel caso
in cui e realizzato uno degli eventi B I , B 2 , ••• , Bn c'ostituenti un
_sistema completo d' eventi incompatibili, allora la probabilita dell' evento
A e definita dalla formula
P (A)""': P (B i )· P (AIB i ) + P (B2) P (AIB 2) + ...
... +
~
P (Bn) P (A/Bn)~
(8)
La formula (8) e detta formula della probabilita totale.
Dim 0 s t r a z ion e. L'evento A puo aver luogo se si
verifica uno dei seguenti eventi compatibili:
(BI ed A), (B2 ed A), ..• , (Bn ed A) ..
Otteniamo dun que in virtu del teorema d'.addizione delle probabilita:
P (A) = P (B1 ed A) + P (B2 ed A) + ... + P (Bn ed A).
Sostituendo i termini del secondo membro con Ie loro espressioni
ricavate dalla formula (1), otteniamo l'uguaglianza (8).
"
P(Bl )
=
PI (1 - P2) (1 - Pa)
+ (1 -
+ (1 -
PI) (1 - P2) Pa
=
PI) P2 (1 - Pa)
+
0,332.
Ragionando in modo analogo, otteniamo:
P (Bl!) = PiP2 (1- Pa)+ Pi (1- P2) Pa+ (1~ Pi) pzPa= 0,468,
P (Ba) = PiP2Pa = 0,144,
P (B 4 )=(1-Pi) (1-pz) (1-Pa)=O,056.
Scriviamo Ie probabilita condizionate della distruzione del bersaglio nel
caso ,del verificarsi di ciascuno di questi eventi:
.
.... P(AIB 1)=O,4
P(4IB 2}=O,7,. P(AjB s}=1,O,
P(AIB(,)=O.
Riportando Ie espressioni ottenute nella formula (8), avremo la prohahilita
che il bersaglio sill. distrutto:
.
+
P (A)=P (BI)·P (A/Bi}+P (B 2 }·P (A/B 2 )
P (8a)· P (AlBa) P (B 4)· P (AIB4) =
+
+
, =0,332.0,4+0,468.0,7+0,144.1,0+0,056,0=0,6044.
Os s e r v a z ion e 2, Se l'evento A non dipende dall'evento B
si h a '
. ,
P (AlB) = P (A),
e la formula (1) diventa
P(A e B)=P(B)·P(A),
cioe si ottlene la formula (1) del § 4.
§ 6
PROBABILITA DELLE IPOTESI. FORMULA DI BAYES
Ese m pi 0 4. Tre colpi sono sparati successivamente su un bersaglio.
La probabilit'a di colpire il bersaglio e uguale rispettivamente .a. ~l ~ q,3 al
primo colpo, P2 = 0,6 al secondo e Ps = 0,8 al terzo. La probablhta dldlstruzione del bersaglio e "-l = 0,4 quando il bersaglio e colpito una volta,
= 0,7
rIm p 0 s t a z ion e del pro b 1 e m a. Come per il teorema 2 del§ 5, considereremo il sistema completo d'eventi incompatibili B I , B 2 , • • • , Bn Ie cui probabilita del verificarsi sono rispettiva:.
mente P(B I ), P(B 2 ), • • • , P(Bn). L'evento A puo verificarsi insieme ad uno degli eventi B I ., B 2 , •• ,', Bn che chiameremo ipotesi.
478
479
"'2
:1
. quando esso e colpito due volte, e "'a = 1,0 quando e colpito tre volte.
Determinare la probahilita di distruzione del hersagUo quando sono sparll.ti tre
colpi (evento A).
Sol u z ion e. Consideriamo il sistema completo di event! incompatibili'
BI - un colpo a bersaglio;
.
B2 - due colpi a bersaglio;
Ba - tre colpi a hersagUo;
B4, - nessun colpo a hersaglio.
Determiniamo Ia probabilita di ciascun evento. II bersaglio sara colpito
una volta se: 0 il primo colpo fa centro mentre il secondo e il terzo risultano a
yuot9; 0 il primo c~lpo ea vuoto,.il seco?-do a centro e il terzo a vuotOj oppure
11 prImo e a vuoto, 11 secondo a vuoto e 11 terzo a cent.ro. Dunque, in virtu dei
teoremi del prodotto e dell'addizione delle probabilita, avremo per la probabilita di un colpo preciso l'espressione
r-,
!
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN A VVENIMENTO
In virtu della formula (8) del § 5, la probabilita del verificarsi
dell'evento A sara
Supponiamo che in seguito all'esperimento l'evento A si sia verificato. Allora
otteniamo secondo la formula (3): .
'
P (A) = P (B t ) P (AIB i ) + P (B 2)P (AIB 2)
... + P (Bn) P (AIB n).
.,
ii
+ ...
0,25·0,7
(1)
P (BiIA), P (BJA), ... , P (BnIA).
Sol u z ion e del pro b 1 e m a. Troviamo l(probabilita
P (A e B l ) con l'aiuto della formuh (7) del § 5:
P (A e B l ) = P (B l )· P (AIB 1) = P (A)· P (BtfA),
i:
da cui
. P (B IA) = P (B l )· P (AIBi)
i
P (A)
.j'
i
Sostituendo P (A) con Ia sua espressione (1), si avra:
P (Bi l A) =
P (B i )· P (AIBi)
n
.
P(B 2 /A)=
O,~~;~,1
=0,11,
P(Ba/A)=
o,~~;~,1
0,11,
P (B4/A)
0,25·0,02 -0 02
0,23 - , .
(2)
P(Bl )
P(B 2 )
P(B3)
P(B 4 )
Si trovano "in modo analogo
P (BJA), P (BalA), ... ,
P (Bkl A) =
P (B k)· P (AIB k) •
n
(3)
2J P (B t )· P (AIB t )
Ese m pi 0 1. Supponiamo che prima dell'esperimento vi fossero quattro
ipotesi equiprobabili:
8 11 8 z, Ba, B4: P(Bi)=P (Bz)=P(Ba)=P(B(,)=0,25.
Le probabilita condizionate del verificarsi dell'evento A sono rispettivamente:
P (A/Bi) =0,7,
P (A/B z) =0,1,
P (A/Ba) =0,1,
P (A/B",) =0 02.
480
0,175
" 1
:/1
I
= (1 - Pi) (1 - P2) = 0,2.0,6 = 0,12,
= PiP2 = 0,8·0,4 = 0,32,.
= Pl (1 - pg) = 0,8 ·0,6 = 0,48,
~ (1 - Pl) pg= 0,2.0,4 = 0,08.
.
Applicando la formula (2), calcoliamo la probabilita condizionata delle
lpotesl:
° °
P (8 /A)
0,12·0
i = 0,12'0+0,32'0+0,48.1+0,08.1 =0,56= ,
0,32·0
P (Bz/A) =0';5'6 =0,
La formula (2) e detta formula di Bayes, 0 teorema delle ipotesi.
o sse r v a z ion e. Risulta dalla formula (3) che nell'espressione della probabilita P (B kl A) (probabilita della realizzazione
dell'ipotesi Bk a condizione che l'evento A si sia verificato) il denominatore non dipende dall'indice k.
"
.1
Determiniamo Ie probabilita condizionate del verificarsi dell'evento:
P (A/Bi) = 0, P (A/B 2 ) = 0, P (A/Ba) = 1, P (A/B 4) = 1.
t=i
,, .
I
= 0,23 ~ 0,76,
Abbiamo avuto qui P(B 1 ) ~ 0,25, ma P(B1/A) = 0,76 e divenuto piii. grande
perche l'evento A si e verificato. In questo caso la probabilita P(A7B1 ) = 0,7
e piii. grande rispetto alle altre probabilita condizionate.
Ese m p i 0 2. Due tiratori hanno sparato simultaneamente a un medesimo piattello. La probabilita che il piattello sia colpito dal primo tiratore ePl =
= 0,8, e dal secondo P2 = 0,4. II piattello e coIto da un colpo. Determinare la
probabilita che il piattello siastato colpito dal primo tiratore. .
Sol u z ion e. L'evento A consiste nel cogliere it piattello con un colpo.
Prima della gara tra i tiratori sono possibili Ie ipotesi seguenti:
B1 - due tiratori hanno sparato un colpo a vuoto,
B2 - due tiratori hanno fatto centro,
8 3 - it primo tiratore ha colpito il bersaglio, il secondo no,
B;" - il primo tiratore non ha colpito il bersaglio, il secondo 81.
Determiniamo Ie probabilita di queste ipotesi sulla base del teorema suI
pl'odotto delle probabilita:
. . .
2J P (B i )· P (AIB t )
i=1
Dunque,
'
P(Bi/A)= 0,25.0,7+0,25.0,1+0,25.0,1+0,25.0,02
. Supponiamo che l' evento A si sia verificato. 11 verificarsi dell'evento A implichera una modificazione della probabilita delle
.ipotesi P (B l ), • • • , P (Bn). Si chiede di determinare Ie probabilita
condizionate del verificarsi di queste ipotesi supponendo che l'evento A si sia verificato, cioe determinare .
I
i
CAPITOLO VENTESIMO
0,48·1
6
P (Ba/A ) =li";56= 7'
I,
P (B /A)-= 0,08-1 =..t
4
0,56
7'
Ese m p i 0 3. II montaggio del 30% di apparecchiature e effettuato da
uno specialista di alta qualifica e il 70% da uno specialista di qualifica media •.
II funzionamento perfetto degli apparecchi montati dal primo specialista
e dal secondo e ris~ettivamente 0,90 e 0,80. Un ap~arecchio scelto a caso
erisultato di qualita buona. Determinare la probabilita che l'apparecchio scelto
sia stato montato dallo specialista di alta qualifica.
31-"0330
481
,:r
"
.,{
1
)i
f,i
II
Ii
CAPITOLbVENTESIMO '
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA'DI UN AVVENIMENTO
Sol U z' ion e. ' L'evento A' e il funzionamento perfetto dell' apparecchio. Prima dell'operazione di controllo sono possibili due ipotesi seguenti:
B1 - il montaggio e effettuato dallo specialista di alta qualifica;
B 2 - il montaggio e effettuatodallo specialista di media qualifica.
Scriviamo Ie probabilita di queste ipotesi:
P(Bl ) = 0,3,
P(B 2) = 0,7.
Le probabilita condizionate dell'evento sono:
P(AIB1) = 0,9, P(AIB g) = 0,8.
Determiniamo Ie probabilita delle ipotesi Bl e B2 a condizione che l'evento A si sia verificato.
Abbiamo in virtu della formula (2):
'
03 9
0;27'
P(Bf/A)= 0,3.0,9+0,7.0,8 0,83=0,325,
La legge di distribuzione puo essere data anche in forma analitica:
P11. = f (X11.)'
n fatto che la:' va~iabile aleatoria x prendera necessariamehteuno
dei'valori della successione xi; x 2 ; • • • , XII, • • • • e un evento certo',
e quindi deve aver luogo la 'condizione
Fig. 409
N
:LJ Pi = 1
i=1
°
(1)
nel caso di una successione finita
di N valori,oppure
°
0, 7 .0,8
0,56
675
P (B fA
2 )= 0,3.0,9+0,7.0,8'=0,83= "
.
00
2l Pi = 1
(1')
i=1
nel caso di una successione infini0
xf X2
.'1:.k x
ta.Osserviamo che il val ore della
variabile aleatoria Xi avente una probabilita maggiore si chiama
moda. La variabile aleatoria x rappresentata nella fig. 409 ha per
'
rilod~ x 2 •
§ 7
VARIABILE ALEA TORIA DISCRETA. LEGGE DI DISTRIBUZIONE
DI UNA VARIABILE ALEATORIA DISCRETA
D e fin i z ion e 1. La grandezza variabile x che assume, il)
seguito ad una prova, uno dei valori di una successione finita 0 infinita Xl! X 2 , ••• , X11., ••• e detta vartabile aleatoria discreta,' se a fciascun valore X11. corrisponde una probabilita P11. che la variabile x
prenda il valore X11.' ' . "
.
.
'
'
Segue dalla definizione che a ciascun valore X11. corrisponde una
'
probabilita P11.' ' ,
La dipendenza funzionale della probabilita P11. da X11. si chiama
Zegge di distribuzione delle, probabilita di una variabile aZeatoria
discreta Xl)
Valori possibili della varia-'
hile aleatoria
Probahilita di questi valori
I
Pi
$2
1
P2
... ... ...
, ... , ... ,
.. ·1
...
$11.
Ph
I
'"
La legge di distribuzione puo essere data anche graficamente,
sotto forma di un poZigono di distribuzione delle probabilita, quando
in un'sistema di coordinate ortogonali sono costruiti i punti delle
coordinate (X11.. P11.) uniti da una linea spezzata (fig. 409).
Ie ».
Ese m p i 0 1. La variabile aleatoria x e il numero di punti apparenti
sulla faccia superiore di un dado quando esso elanciato una volta. La variabile x
puo prendere uno dei valori seguenti: 1, 2, 3, 4, 5, 6. La probabilita del veri'ficarsi di ciascuno' di questi, valori e : . La tabella di distribuzione di questa
variabile avra dunque la forma
P
\
I,
$i
1) Si dice tal volta piu hrevemente: «legge di distrihuzione di una variahi-:-
482
p
I
1
2
3
1
1
6
1
6'
6'
I
I
4
"
5
I
1
1
6'
6
1
6'
:I
,
6
" Ese m p i '0 •
La probabilita che l,'evento A si'verifichi nel co~so di una
prova .singola, di ,una successione infinita di prove e uguale a, p. 'La variabile
"
l'evento A,
aleatoria x e il numerod'ordine della prova nel corso della quale
si e verificato per la prima volta. Trovare la legge di distribuzione della variahiIe aleatoria 'x;'
,
'
,
Sol u z i 0 ,n e. La variabile aleatoria x puo, prendere un valore qualsiasi
int~ro 1, 2, 3, .' .. La probabilita Pi che l'evento A si verifichi alIa prima prOYffi
sara
Pi = P(A) = p.
2:
La probabilita P2 che l'evento si verifiehi non alIa prima, ma alIa seconda
prova sara
'
P2 = P(A ed A) = (1 ~ p) p.
La probabilita Ps ehe l'evento A non si verifiehi ne alla prima ne allm
seconda, bensl alIa terza prova sara
'
Ps =P(A e A e A) = (1 - p) (1- p) p=(1_p)2 p, ecc.
483 .
31>11
r-I
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
CAPITOLO VENTESIMO
Pk
=
x
1
2
P
(1-p) p
I
Ie
I
(1_p)k-1p
I
3
\
Ph
I
I(1_p)Zp I
Abbiamo anche qui:
00
00
2]Pk=2](1-p)R-i p =
k=1
k=1
p
=1.
1-(1-p)
Problema del tiro?- segno sino·al primo
c e n t r o. II problema considerato sopra e applicabile, in particolare, ai problemi del tiro.
.
Supponiamo che siano in corso esercitazioni di tiro sino al primo
ceutro. La probabilita di centro ad ogni sparo e p.
La variabile aleatoria x e il numero d'ordine delcolpo con il
quale e stato colto il bersaglio. La tabella di distribuzione delle
probabilita di questa variabile sara analoga a quella dell'esempio 2.
I
,
i
Ese m p i 0 3. La probabilita che il bersaglio sia colpito ad ogni
colpo ep = 0,8. Ci sono tre proiettili. Determinare la probabilita che siano
usati uno, due 0 tre proiettiIi, se si fa il tiro sino al primo centro
sino ai tre colpi a vuoto. Formare la tabella di distribuzione della
variabile aleatoria x che rappresenta il numero di proiettili usati.
Sol u z ion e. Supponiamo che la variabile aleatoria x aia il numero di
proiettili usati; P (x = Xl) e la probabilita che si usino Xl proiettili.
Allora P (X =1)=p == 0,8 e la probabilita che il bersaglio sia colpito da un
(primo) colpo.
P (x = 2) = (1 - p) p = (1 - 0,8) .0,8 = 0,16
e la probabilita che il primo colpo sia a vuoto e il secondo a segno.
P (x ~ 3) = (1 - p)2 = (1 - 0,8) .(1 - 0,8) = 0,2.0,2 = 0,04,
percM vi sono soltanto tre proiettili e percM si smette di sparare indipendentemente dal fatto se i1 terzo colpo sia stato a segno 0 a vuoto. L 'ultima probabilita
puo essere calcolata anche com~ differenza
1 - P (x = 1) - P (x = 2) = 1 - 0,8 - 0,16 = 0,04.
La tabella di distribuzione sara della forma:
°
1
2
3
0,8
0,16
0,04
o sse r v a z ion e.
11 dato problema puo essere ridotto aIlo «schema
delle urne» e, di conseguenza, puo essere utile nella trattazione di altre questioni. Questa osservazione vale anche per alcuni altri problemi.
484
§ 8
(2)
(1 - p)R-l p.
La tabella di distribuzione delle probabilita sara:
FREQUENZA RELATIVA E PROBABILITA DELLA FREQUENZA
RELATIVA NEL CORSO DI PROVE RIPETUTE
Supponiamo che venga efiettuata una serie di n prove. Nel corso
di ciascuna prova puo verificarsi un evento A con probabilita p.
Sia x la variabile aleatoria che indica la frequenza relativa del
verificarsi dell'evento A nel corso di una serie di n prove. Si chiede
di determinare la legge di distribuzione della variabile aleatoria x
per una serie di n prove.
E evidente che la variabile aleatoria x assumera per n prove
uno dei valori seguenti:
o 1 2
n
Ti' Ti' Ti' ... , n
Teo rem a . 1. La probabilita P (x = : ) eke la variabile
dleat?ria x prenda il valore :
' eioe eke per n prove l' evento A si veri-
fieki m volte e l' evento A (A non si verifiea) n - m volte, e uguale
a C~pm qn_m, dove C~ e il numero dt eombinazioni di n elementi a mj
p e la probabilita del verifiearsi dell' evento A , p = P (Ay
q e layrobabiltta del non verifiearsi dell' evento A, eioe q = 1 - p ,
=P (A).
,
Dim 0 s t r a z ion e. L'evento A si verifichera m volte nel
corso di n prove se, per esempio, gli eventi A ed A si succedono
come segue:
AA ... A
Aii. .. A, '
.m
n-m
"--v---'
-----
cioe nel corso delle prime m prove l'evento A si verifica, e nel corso
delle succ~ssive n - m prove l'evento A no~ si verifica (si verifica
l'evento A). Siccome
P (A) =p"
P(A)=1-p=q,
I
. .
la probabilita di una tale successione degli eventi A ed
virtu del teorema del prodotto delle probabilita,
pm.qn-m. j
A sara,
in
,
Ma l'evento A puo verificarsi m volte per n prove anche' con
un'altra successione degli eventi A ed A. Per esempio, con la succes-
485 '
CAPITOLO VENTESIMO
. AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA.DI UN AVVENIMENTO
~;ione AA ... AA A ... A A. Tuttavia l'evento A deve necessa'-y---I''-y---I
m-i
n-m
t
riamente verificarsi m volte e l'evento A n - m. volte. La probabilita di una tale successione degli' eventi A ed A sara
pm-:iqn-mp = pmqn-m •
'. ". Quante possono essere Ie successioni differenti degli eventi A
ed A per n prove s~ l'evento A si verifiea m volte? E: evidente che il
loro numero corrisponde a1 numero di combinazioni di n elementi
rispetto a m:
oppure
: ) ~.cqn-m + pmqn __~ + ... + pmqn=
or::
. p (x= : )
I
1
0
1
1
-'n
1
1 . qn 1 Ctpqn-i/
-n2 ..
'"
·1
C~p2q~-21 ...
I ..
I
m
n
-'-
cr;pmqn-m
(x =
~)
sono
.
±
(x ~!:.)
=
Cr;:pmqn-m,
n
m=k
Ok)
n
k-i
LJ
10pn
1
ugualiaiter~ini ·~orrispo~..;
n
(2)
m=O
Come e~era daaspettarsi, la somma delle probabilita di tutti
i valori possibili della variabile uguale all'unita perche (p
q)n =
= in = 1.
e
486
C,!!:pmqn-m.
Ese m pi 0 1. Rappresentare grancamente la legge binomiale di distribuzione della variabile aleatoria x per n = 8, p = ~ , q = ~ .
Sol u z ion e. Determiniamo tutti i valori delle probabilita che entrano
nella tabella
r. l: .. ·1 ::
+p)m = LJ C!;'pmqn-m.
(4)
m=O
denti dello sviluppo dell'espressione (q +p}n secondo la formula del
llinomio: .
. .
.
.
(q
!)
(x ~ !) ehe l'ev~nto si veriftchi non meno di k volte sara deter-
La legge' di. distribuzione cosl ottenuta si c4iama -Legge binomiale
perche Ie probabilita P
~
Risulta anehe daUa tabella di distribuzione ehe la probabilitii
P (x~- =1-
1 .. ·1 ...
(x
(3)
overro
II teorema e' dimostrato.
. Li"dimost'razione del teorema ci ha permesso di determinare la
~egge di distribuzioJ;le di una variabile aleatoria x che. esprimeremo
con tabella:
.
-n
evidente che questa probabilita P
e determinata' dall'uguaglianza
P
(1)
X
x~ ! . :E
minata dalla formula
1·2·3 ... m
.
Si ottiene quindi, in virtu del teorema d' addizione:
(x =
evento sia
P
c~= n(n -1) (n -:-;- 2) .. .Tn - (m -1)].
p
o ss e r v a z ion e. Nello studio di numerosi problemi e
necesSario talvolta determinare la probabilita ehe l'evento A si
verifichi « almeno una volta )}, doe ehe la frequenza relativa di questo
+
487·
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
CAPITOLO VENTESIMO
Ese m p i 0 2. Qual e la probabilita che l'evento A si veriftchi due volte:
a) nel corso di due prove; b) di tre prove; c) di 10 prove se la probabilita del
verificarsi dell'evento A nel corso di ciascuna prova ~ 4?
Sol u z ion e. a) qui n = 2, P = 0,4, q = 0,6:
'
2
)
2
·
1
.
'
2
P ( x=2 =qp qO=1.2(0,4)2=0,16;
°
ovvero
Calcoliamo la proba~ilita
p(x<! )=p(x=
bJ qui n=3, p=0,4, _ q=0,6:
Ricaviamo quindi dalla seconda formula:
c) qui n=10,
p=0,4, q=0,6:
2 )
10.9
P ( x=lO =qop2qB = 1.2 (0,4)2.(0,6)B=0,121.
. E ~ e m.p i 0 3 .. Su un ber:saglio si, sparano 5 c<!lpi separati. La probabilita
di c0!5he~e 11 bers~gho ~~ Oglll colpo e 0,2. Per d:~t~uggere il bersaglio sono
sufficienti tre COlPl preCISI. Determmare la probablhta di distruzione del bersaglio.
'
Fig. 410
P
(x>
! )=1-[(0,5)4+4(0,5)4]=0,6875 ~ 0,69.
Ese m p i 0 5. La probabilita che in una data partita di pezzi vi siano
pezzi difettosi e P = 0,1. Qual e la probabilita: che in una partita di tre pezzi
vi siano n = 0, 1, 2, 3 pezzi difettosi?
Sol u z ion e.
P (x= ~ ) =Gg q3=1·0,93=0,729,
P (x=
p
~
P (x=;
P (X=
)=C/i pq 2=
Ii
8
p 3=1.0,13 =0,001.
§ 9
P (x= ~ )+P (x=: )+P (x= ~)
1-
[p (x =
~ ) +P
(x =
i )+
P (x =
Pdlstruz.=qp3q2+Gtp4ql+Ggp5= ~:~:~ -(0,2)3.(0,8)2+
5·4.3·2
+ 1.2.3.4 (0,2)4.08+1-(0,2)5=0,05792 ~ 0,06.
Ese m pi? 4.,. Sono in corso quattro prove indipendenti. La probabilita
che l'evento A SI verlfichi ad ogni prova e 0,5. Determinare la probabilita che
l'evento A. si verifichi non meno di due volte.
Sol u z ion e. Qui n = 4, P = 0,5, 'q = 0,5:
'
(x~
!)= p(x=!)+ p(x=! )+p (x=,!),
488
Sia x una variabile aleatoria discreta la cui legge di distribuzione
I
~ )] .
Si ha in virtu della prima formula:
P
SPERANZA MATEMATICA
DI UNA VARIABILE ALEATORIA DISCRETA
e la seguente:
o dalla formula
, Pdlstruz. =
,0,1.0,9 2 =0,243,
i )=q
8
Sol u z ion e. Qui n = 5, P = 0,2, q = 0,8. E evidente che la prababilita di distruzione e determinata dalla formula
Pdlstl'uz.=
~
)=C§p2q=~:;.0,12.0,9=0,027,
}..4567(X
8
)+p(x=! )=q4+4q3pl=
= (0,5)4+4 (0,5)4= 0,3125.
2 )
3.2
P ( x="3
=C§p2qi=1'2 (0,4)2.0,6=0,2i8j
8
~
i.-..
I,
x
P (X=Xh)
I
I
Xi
x2
Xh
XII
Pi
PI!
Ph
PII
D e fin i z ion e 1. Si chiama speranza matematica della
variabile aleatoria discreta x (la denot.eremo·' con M [x] oppure m x )
la somma dei prodotti di tutti i valori possibili della val'iabile
aleatoria per Ie probabilita di questi valori: '
M [x] =
X1Pi
+ X2P2 + ... + XnPno
489
I
CAPITOLO VENTESIMO
o in breve
n
M [x] =
2J XkPk.
(1)
k=1
e stato indicato sopra,
In questo caso si ha, come
n
2J Pk =
k=1
1.
Se i valori della varia bile aleatoria costituiscono una successione
infmita di valori, si ha"
mx=
2J XhPh',
(1')
~li=i
Considereremo tali variabili aleatorie per Ie qualiquesta serie
converge.
Stabiliamo ora la relazione tra la speranza matematica di una
variabile aleatoria e la media aritmetica dei valori della variabile
aleatoria per un grande numero di prove; in altritermini, mostriamo
che per un grande numero di prove la media aritmetica dei valori 08- ,
servatt e prosstma alla sua speranza, matematica; si puo dire cioe,
con riferimento' al § 1, che 'la media arttmetica dei valort osservatt di
una var,tabile aleatorta tende, quando il numero delle prove cresce I
infinitamente, alla sua speranza' matemattca.
Supponiamo ~he siano in corso N prove indipendenti e che
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ...... .
Xl!
xini'+ X2n2
x
m
,=,' "
xli" ~ .. j x.".
Sicco~e
+";
.'.",,+Xiv;,n" =Xt.. , 'lit ' ,' .. 122" " , ,,' '12~""
N
+X2-' + ... +x - .
,
;
,,' N
, .. N
v
,N
'
Ese m p i 0 1. Determinare la speranza matematica della variabile
aleatoria x rihe esprime il numero di volta in cui si verifica l'evento A per tre
prove in corso, se la probabilita del verificarsi deU'evento ad ogni prova e P =
'
,
= 0,4.
"S 0 I u z ion e. La variabile aleatoria x puo prendere i valori seguenti
xl = 0,
Xn = 1,
Xa = 2,
X4 = 3.
Componiamo la tabella di distribuzione della data variabile aleatoria:
Troviamo la probabilita di questi valori in virtu del teorema delle prove di
ripetizione (n = 3, P = 0,4, q = 0,6):
.p (x = 0) = cg (0,6)8 =0,216,
P (x = 1) =q (0,4) (0,6)2=0,432,
P (x=2)=q(0,4)Z.(O,6)=O,288,
P (x=3) =q (0,4)3=0,064.
La tabella di distribuzione della variabile aleatoria sara:
2J Xh -!.~
2J XkPh' '
N
li=t
h=1
Sotto ipotesi abbastanza naturali si ottiene
, 490,
3
0,216
0,432
,0,228
0,064
(3)
+
°
Ph
Quindi,
."
, M[x];:;:"-:;-M[x].
2
(2),
~ tende' alia' probabilfta del ~~rifi'carsi del val ore xk"sLha
n
1
Calcoliamo la speranza matematica secondo la formula (1):
mx = 0.0,216
1.0,432
2.0,288
3.0,064 = 1,2
di volte del verificarsi dell'evento A.
Ese m p i 0 2. Si fa una prova. La probabilita ch,e nel cordo ,di, questa
prova si verifichi l'evento A e uguale a p. Determinare la speranza matematica
della variabile aleatoria x che esprime il numero di volte in clfi si verifica l'evento A.
'
,
' .
. .
Componiamo la tabella di distribuzione della variabile aleatoria
per un grande nu~~~o N di "prove la freqlie~~a relativa:
."
o
+
Calcoiiaplo,la media aritmetica dei valori ,ottenutidella variabil~' x (denoti~moie c~n M '[xl 0 mx):
~
Os s e r va z i o'n e 1. Se avessimo considerato 10 schema delle
urne contenenti N palline di cui nl palline constrassegnate da Xl' nz
palline contrassegnate da X 2 , ecc., il {< numerosperabile }} all'estrazione di una pallina sara determinato dana formula (2), oppure sara
uguale ad m x •
P (X=Xh)
il val ore Xl si sia veiiftcato' n~' volta;',''''
il valore X2 si sia verificato:: n~; volte,
il valore x." si sia verificato n." volte.
La v!1riapile~ ~leatoria x prende i valo~i
AVVENIMENTO ALEATOiuo. PROBABILITA. DI UN AVVENIMENTO
mx
=
0.(1":" p)
+
1
P
+ 1.p = p •
. 0 sse r v az ion e 2. Vedremo in seguito che la speranza
hlatematica M [xl del numero di realizzazione delI'evento· A nel
coJ;so di n prove indipendenti e uguale al prodotto del numero di
prove per la probabilita p del verificarsi delI'evento A ad ogni prova:
M[x] =np}
(3)
491,
r
:1
II
i
CAPITOLO VENTESIMO
Applicandp la formula (4), il problema dell'esempio 1 si risolve
nel modo seguente:
M [x] = np = 3 ·0,4 = 1,2 realizzazioni.
Se nella formula (4) sono note M [x] e P, si trova n che e il numero di prove Ie quali danno la speranza matematica richiesta del
numero di realizzazioni dell'evento
AVYENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
e piccola (p
~ 0), ci si puo aspettare allora che il numero di prove
debba essere molto grande (m x ~ (0) percM si verifichi l'evento A.
Si chiama centro di distribuzione delle probabilita della variabile
aleatoria x la speranza matematica della variabile aleatoria x.
o sse r v a z ion e 3. II termine « centro di distribuzione delle probabilita » e stato introdotto per analogi a con il termine « centro·
di gravita ». Se sull'asse Ox sono distribuite nei punti d'ascisse
M [x] .
n= __
Fig. 411
P
Ese m p i 0 3. La probabilita di cogliere un bersaglio con un colpo
0,2. Calcolare il numero di proiettili necessari per garantire la speranza
matematica del numero di colpi preci$i)ale speranza matematica e uguale a 5:
ep =
Fig. 412
p
p
n = 0~ 2 = 25 pro iettili.
(Notiamo che lJroblemi simili hanno luogo in numerosi esperimenti dove la
£rase « colpire un bersaglio» e sostHuita con « evento verificato l),· « colpo »
con « prova ».)
Ese m p 1 0 4. Determinare la speranza matematica della variabile
aleatoria x la cui tabella di distribuzione e la seguente (vedi esempio 2 del § 7):
x
1
2
Pk
p
(1-p)p
3
1 (1_p)2p
I
I
k
I.
(1_p)k-1p
I
Sol u z ion e. Abbiamo in virtu della formula (1) (e ponendo 1 - p =q):
In x =1.p+2qp+3q2p + ... +kqk-1p + ... =
=p (1+2q+3 q2+ •.. +kqk-1+ .. . )=
=p(q+q2+ q3+ ... +qk+ ... )/=p( 1 q q)' =
o
x
1 ,\X2" • • • , Xn Ie masse Pv P2' ... , Pn, si sa dalla geometria analitica che l' ascissa del centro di gra vita di queste masse e determinata
dalla formula
n
2J XkPk
Xc=
k=1
n
2JPk
h=1
·n
Se ~ Ph = 1, si ha aHora
k=1
1-q+q
p
p
1
=p. (1_q)2 = (1_q)2=pz=p •
Dunque,
1
. =-·
P
In x
Notiamo che
mx-1
mx - 00
per p_1,
per p _ O.
Si possono spiegare queste relazioni partendo dal significato del
problema.
Infatti, se la probabilita del verificarsi dell'evento A e prossima,
ad ogni prova, all'unita (p ~ 1), ci si puo aspettare che l'evento A
si verifichi ad una (prima) prova (mx ~ 1). Se invece la probabilita p
492
(5)
La formula (5) coincide formalmente con la formula (1) della speranza matematica.
Abbiamo stabilito dun que che il centro di gravita delle masse
e la speranza matematica si calcolano con l'aiuto di formule analoghe.
A cio e dovuta l'introduzione del termine« centro di distribuzione
delle probabilita ».
Sia data una variabile aleatoria x con corrispondente legge di
distribuzione (fig. 411); sia mx la sua speranza matematica. Consideriamo la differenza tra la variabile aleatoria e la sua ~peranza matematica: x - m x '
Chiameremo questa variabile aleatoria variabile casuale centrata
o scarto, denotandola con xu.
493"
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
C4P1TOLO VENTESnvrO '
:E evidente, che la legge di distribuzione di questa variabile
casuale XO sara
xO
I
x~=xi":"mX
I
Pk
"
P1
I
I
xR=X2- m X
P2
I .,. I
.,.
I I
x~=xk-mx
n
n
= 11.=1'
2J (Xli. -
mx)Ph =
:::::::mx-mx
2J Pk=m
x11.=1
'
(1)
oppure
n
n
2J XkPk - 11.=1
2J mxPk =
li=1'
n
mx ·1=O.
in altri termini, la speranza matematica di una grandezza costante
e uguale
a questa costante.
'
D e fin i z ion e 2. Si ehiama scarto quadratico medio della
variabile aleatoria la radiee quadrata della sua dispersione:
0,
a [x] =
•
DISPERSIONE. SCARTO QUADRATICO MEDIO.
NOZIONE DI MOMENTI
,Aceanto alIa speranza matematiea della variabile aleatoria x
che determina la posizione del centro di distribuzione delle probabilita,esiste un'altra caratteristiea quantitativa di distribuzione della
variabile aleatoria-, detta dispersione, della variabile a1eatoria x.
Denoteremo la~ dispersione con D [x] oppure a2 •
La dispersione e la earatteristiea numerica della deviazione
dei val~ri della variabile aleatoria dalla sua speranza matematiea.
D e fin i z ion e 1. Si ehiama dispersione della variabile
aleatoria x la speranza matematiea del quadrato della differenza tra
V~
liD [xJ,
(Xli. - mx)2 Ph.
(3)
li~,
Lo searto quadratieo medio si denota anehe con ax.
Os s e ,r va z ion e 1. Nel ealeolare la dispersione
talvolta trasformare la formula (1) come segue:
n
n
D [x] =
2J (Xli. li=1
'2
mx) Pk
n
~2
n
= 11.=1
.LJ XkPh -
2
n
n
e opportuno
n
~
.LJ
,li=1
XkmkPk
+ .LJ mxpk =
~2
k=i
2J' x'tPk ..:.- 2mx' 11.=1
'2J XkPk + m~ 11.=1
:2J Pk =
" ,
= M [x 2mx ·mx + m;.1 = M [x m;.
=
li=i
2
]_
] -
Dunque,
494
a [x] =
piu esplieitamente"
2
§ 10
(2)
medio.
e nulla.
O's s e r v a z ion e 4. :E opportuno considerare talvolta una
variabile non casu ale (eerta) costante c come una varia bile aleatoria
che aequista con 1a probabilita 1 il valore c, e con la probabilitaO
altri val~ri.
In questoeaso, e legittimo parlare della speranza matematica di
una costante
'
(6)
M [c]=c.1 =c,
mx)2 Ph.
La dispersione possiede l'unita di misura del quadrato della
variabile aleatoria. Per caratterizzare 1a dispersione, e opportuno
talvoIta utilizzare una grandezza la cui unita di misura coincide con'
quella della variabile aleatoria. Tale grandezza e 10 scarto ,quadratico
,
,Cosl, la speranza matematica di una, variabile casuale centrata
2J (Xli. li=1
D [x] =
Pk
(vedi fig. 412).
,
Troviamo la,speranza matematiea della varia bile easuale cent :ata:
M [x - m;]
, 1a variabile aleatoria x e la sua speranza matematiea :(cioe la speranza matematiea del quadrato della variabile easuale eentrata cor':'
rispondente) :
,
'2'
2
(4)
D [X] = M [X ] - mx ,
..
eioe la dispersione euguale alIa dffferenza tra la speranza matematiea
del quadrato della variabilealeatoria e il' quadrato della speranza·
matematiea della variabile aleatoria.
, Ese m p i 0 1. Si fa un esperimento. La probabilita del verificarsi dell'evento A e p. Determinare la speranza matematica, la dispersione e 10 scarto
quadratico medio.
S 0 1 u z ion e. Disponiamo in tabella i valori del numero di realizzazioni '
.
.
dell'evento A (q = 1 - p):
Pk
1
o
P
q
495
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
CAPITOLO VENTESIMO
Sol u z ion e.
1. M [x]=1.0,3+3.0,4+$·9,3;7=3,
2. 0 [x]:= (1-3)2·0,3+ (3-3)2.0,4+ (5-3)2·0,3:= 2,4,
Ahbiamo quindi:
M [x]=1·p+O·q=p,
}
o [x]=(1_p)2p+(0_p)2q=q2p+p2q=pq,
(5)
a [x] = 1/pq.
3., a[xl=lI2.4=1,55.
.
'Per chiarire il significato delle nozioni di dispersione e di scarto
-quadratico medio come caratteristiche della deviazione della variabile aleatoria, diamo qualche esempio.
La dispersione, la deviazione della variabile aleatoria del primo esempio
e inferiore alIa dispersione della variabile aleatoriadel secondo esempio (vedi
fig. 414 e 415); La dispersione di queste variabili e rispettivamente 0,6 e 2,4.
! Ese m p i 0 4. La variabile aleatoria x e data dalla seguente legge di
distribuzione (vedi fig. 415):
Fig. 415
p
o
e data
Ese m p i 0 2. La variabile aleatoria x
distribuzione (vedi fig. 413):
dalla seguente legge di
x
2
3
4
Ph
0,3
0,4
0,3
1. M [x]=2.0,3+3·0,4+4.0,3=3,
2. 0 [x]=(2-3)2.0,3+(3-3)2.0,4+(4-3)2.0,3=0,6,
3. a [x]=1/D [x]=1/0,6=0,77.
e data
Determinare: 1) la speranza matematica, 2) la dispersione, 3) lo:scarto
quadratic!>. medio.
S.Q 1 u z ion e.
1. M [xl = 3·1 = 3,
2; 0 [xl = (3 -3)201 = 0,
3. a [x] = 0•.
La. dispersione di questa variabile aleatoria.6 nulla ......
a
Si chiede di determinare: 1) la speranza matematica, 2) la dispersione,
3) 10 scarto quadratico medio.
Sol u z ion e.
Ese m p i 0 3. La variabile aleatoria x
distribuzione (vedi fig. 414):
;]
dalla seguente legge di
Os ser v zi 0 ne' 2. Se una grandezza cost ante e considerata
come una variabile aleatoria che prende il valore c con probabilita. 1, e facile dimostrare allora che 0 [c] = O.
D im 0 s t T a z ion e. Abbi~mo gia. dimostrato che M [c] = c
(vedi formula (5) del § 9). Otteniamo mediante la formula (1): "
o [c] = M [(c -
c)2] = M [0] = 0, c.v.d.
Os s e r v a z ion e 3. Per analogi a con la terminologia usata
in meccanica si chiama momento centraledelprimoe del secondo ordine
della variabile aleatoria x la speranza matematica delle grandezze'
(x - m x ), (x - m'JY' Si puo. anche considerare il momento
centrale delterzo ordine .
n
x
Pit
3)
1
3
0,3
0,4
Si chiede di determinare: 1) la speranza
quadratico medio.
10 scarto
496
2J (x/t -,.
h=i
5
0,3
matematica~
2) la dispersione,
mx )3 Ph'
,
Se la variabile aleatoria e distribuita simmetricamente rispetto a1
centro di distribuzione delle probabilita. (fig. 411) e evidente allora
che il suo momento centrale del terzo ordine e nullo. Se i1 momento
centrale del terzq ordine e differente da zero, la variabile aleatoria
non puo essere distribuita simmetricamente.
32-0330
497
1
I
'·1
\
II·
CAPITOLO VENTESIMO
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
.r
Si considera 13. funzione
y = A sen q>
di questa, variabile aleatoria.
.'
.
Disponiamo in una tabella la distribuzione della variabile aleatoria y:
§ 11
FUNZIONI DI VARIABILI ALEATORIE
Supponiamo che la legge di distribuzione della variabile aleatoria x sia data dalla tabella seguente:
I
,I
Xk
Ph
Pi
Pk
-A
--2-
Ph
0,1
0,1
M [A sen q>J= -A.O,1- A
Ph
Yi=f (Xi)
I Y2= f (X2)
P2
Pi
, Yh=f (Xh)
.,
Ph
I
1
1
1
...
...
1
I''''......
.-
,
I Yn=i (xn) .
\
Pn
. Se tra i val~ri Ylt = l' (Xh.) ve ne sono d:i uguali, bisogna riunire
Ie colo nne. corrispondenti .in una sola sommando Ie probabilita
corrispondenti.
'
La speranza matematica della funzione y = 1 (x) della variabile
aleatoria x e determinata da una formula analoga alIa formula (1)
del § 10:'
n
M[f(x)]-:- Lj 1 (Xh.) Ph'
(1)
h.=i
Si determina in modo analogo anche la dispersione della funzione
".'
, .
:
.
n .
Ese m p i o. Una variabile al<iatoria
distl'ibuzione:
CD
-n
2
'-'1
"
I'll
I
I'
-n
T. 0,1
'0,1
1
l
I
498
.
2J
!p, ,8
data dalla seguente legge di
° ·r
0,2
I
n
·n·
4'
2""
'0,3
0,2
I
0,3
I
A
I
0,3
20,1+0.0,2+ A 112.0 3+A.O 3=
'1I
2
2
'
:,',' : :
r
I
"
,
Problemi del genere si pongono nello studio dei processi vibratori.
§ 12
VARIABILE ALEATORIA CONTINUA. DENSITA DI
DISTRIBUZIONE DI UNA VARIABILE ALEATORIA
CONTINtJA.
PROBABILITA CHE UNA VARIABILE' ALEATORIA
APPARTENGA AD. UN DATO INTERVALLO
Per comprendere meglio questo problema, consideriamo un
esempio.
.
.
. Ese ill p i o. Si misura l'usura di un cilindro dopo un certo periodo di
lavoro. Questa grandezza 8 determinata dal valore dell'incremento del diametro
del cilindro. Denotiamola con x. Segue dana n!ltura stes.sa del problema ·che la
graridezza e suscettibile di prendere un valore qualsiasi appartenente ad' un
certo ~ntervallo (a, b) dei suoi valori possibili.
'
x
,
Una talegrandezza e detta variabile aleatorta continua.
Consideriamo du~que una variabile aleatoria continua
data
in un intervallo (a, b) che puo essere anche l'intervallo infinito
(-00, +00). Dividiamo questa "intervallocon i punti arbitrari
Xo, Xl' x 2 , • • • , Xn in piccoli intervalli di lunghezza ~Xi-l = Xi - Xi-I'
Supponiamo che sia nota laprobabilita.. de.ll'appartenenza della
variabile aleatoria x all'intervallo (Xi-I' Xi)' Designeremo questa
probabilita cos,l: P{.ti-l <:t< Xi) e la rappresenteremo come l'area:
del rettangolo di base !1x; (fig. 416) ..
x
(f (~h.)'.i- mf(xl Ph.' ,
h.=1· .
D [I (J:)] = M [(f (x) - M [f (x)])2]'
r
A 112
r_ -2-
=A (0,2+ ~20,2) =A (0,2+0,14)=0,34A
I val~ri della funzione Yh = 1 (xh)saranno i valori della variabile
aleatoria y.
Se tutti i valori Yh. = 1 (Xh.) sono difierenti, la legge di distribuzione della variabile aleatoria y e data aana tabella
I
a
I
Troviamo la speranza matematica della funzione
Pn
Consideriamo la funzione della -'variabile aleatoria x
y = 1 (x).
Y=f (x)
AV2
Y
0;3
499
i·
=F"=-
----.--.---.-.-.-.-'--.--------..- - - - - - . - - = ;..
I
CAPITOLO VENTESIMO
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
Per ciascun interv~lo (Xi -1, Xi) si determina la probabilita che
la variabil~ aleatoria X apparteriga a questo intervallo e, di conseguen~a, puo essere costruito il rettangolo corrispon,dente.· Otteniamo
..
dunque"una 'linea a g r a d i n i . .
,-'''n ~ f r:iJ.1 Z "1 0 n e 'L Se esiste una funzioile y = j (X) tale che
:
'
"1i~
,
-i
P,,(x. <
~x~o
I[
x< X + LlX)'- ! (~),
. i
. (1)
Llx
Juestafunzione e detta densita di distribuzione delle probabilita'
della variabile aleatoria X, 0 legge di distribuzione. (Si dice anche
chiamo a ciascuno ,di· questipiccoli interva:lli la formula (2):, ,,-
P (Xl < X< x0 '"-' f (Xl) /1Xl,
P (x~ < 'x < X3) '',.:.,! (x~) /1X2'
P(Xn < X< Xn+l) ~ f(xn) /1xn.
Facciamo la somma dei primi membri e la somma dei secondi ,membri.' E evidente che avremo a ~~nistra P (a < X < ~). Dunque,
n
P (a <x <~) ~, L} !(Xi) /1XI'
Fig. 416
1=1
:t
o
x O.'3]'f
:
Abbiamo ottenuto un'uguaglianza approssimata. Passando allimite
nel secondo membro quando max /1xi -+ 0 otterremo, in virtu delle
Fig. 418
x x+t:.x
X
!I
'
.'
.~
« densita di distribuzione») 0 « densita di probabilita }): Deno'teremo ~on ;- la variabile aleatoria continua e con X 0 Xk i valori· di
questa '·variabile. (A. volte o:rp.etteremo il trattino orizzontale
sopra la lettera x, se non C'6 motivo di confusione). "La curva
y = t'(:c) '6 ,detta curva di distribuzione delle probabilita, 0 semplice.mente'curva di distribuzione (fig. 417). Utilizzando la nozione di limite, si ricava dall'uguaglianza (1), con precisione a meno di infinitesimi'd'ordine superiore rispetto a /1x l'uguaglianza'approssiinata
P (x < X< X
+ /1x) ~ f (x) /1x •..
(2)
Dimostriamo ora il teorema seguente.
Teo rem a 1. Sia! (x) Ia densita di distribuzione della varia bile
aleatoritL
Allora Ia probabilita eke il valore della variabile aleatoria appartenga ad un certo intervallo (a, ~), e uguale all'integrale
definito della funzione f (x) tra i limiti a a ~, cioe e si ha I'uguaglianza:
x
x.
o
pro prieta delle somme integrali, l'uguaglianza esatta
n
P(a<x<~)=
lim
2J!(Xi)/1Xi'
max ~Xi~O 1=1
(Supponiamo la funzione f (x) tale che illimite a destra esista.) Ma
questo limite a destra e l'integrale definito della funzione f (x) entro
,
gli estremi a e ~. Dunque,
~
P(a<x<~)=) f(x)dx.
ex.
Di m o'S t r a z ion e. Dividiamo l'intervallo (a, ~) con i punti
a = Xli x 2 , • • • , Xn+1 = ~ in n piccoli intervalli (ag. '418). Appli-
Il teorema e dimostrato.,
Conscendo Ia densita di distribuzione di una variabile aleatoria,
possiamo determinare dunque Ia probabilita che il valore della
variabile aleatoria appartenga al dato intervallo. Da un punta di
vista geametrico questa probabilita e uguale all' area del corrispandente trapeziocurvilineo (fig. 419).
,0 sse r v a z ion e. Se si tratta di una variabile aleatoria
xo;
continua, la: probabilita dell'evento consistente nel fatto che
e nulla.
'
500
501
P (a <
x< ~) =
~
~ f (x) dx.
(3)
ex.
x .
1
AVVENIMENTO ALEATORIO.·PROBABILITA. DI UN AVVENIMENTO
CAPITOLO VENTESIMO
Infatti, ponendo nell'uguaglianza (2) x = xo, otteniamo:
§ 1'3
FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE 0 LEGGE
INTEGRALE DI DISTRIBUZIONE.
LEGGE DI DISTRIBUZIONE UNIFORME
DELLE PROBABILITA
d'onde
lim p (xo < X <
Ax-+-O
Xo
+ tlx) =
0
oppure
. D e fin i z ion e 1. Sia j (x) 1a densita di distribuzione di una
variabile aleatoria ;; (-00 < x < +00), allora la funzione
(vedi anche osservazione 1 deL§ 2). Per questo nell'uguaglianza (3),
come pure. nelle uguaglianze precedenti, possiamo serivere non s01tanto p -(ex. < < ~), ma anehe P (ex. ~ ;; ~ ~) perehe
x
p (ex. ~ x~.~) = p (x =
=ex.) + P (ex. <x<~) + P(x=
Fig. 419
P (ex. < x< ~).
Se tutti i va10ri possibili
della variabile aleatoria;; si
:trovano nell'intervallo (a, b), si
ha
.
= ~)
!J
=
~ f (x) dx
F (x) =
si chiama junzione di distribuzione delleprobabilita oppure Legge
integrale di distribuzione.
Fig. 421
Fig. 420
F(x)
---------7 ----------a
b
a
~ f(x) dx= 1, .'
(1)
-00
x
(4)
x
a
perehe si sa con certezza ehe n valore della variabile aleatoria apparterra all'intervallo (a, b).
Se l'intervallo del valori possibili e (-00, +00), si ha
F(x) =
00
~ f(x) dx= 1.
Per una variabile aleatoria discreta la funzione di distribuzione
delle probabilita di tutti i suoi valori XII inferiori ad x:
e uguale alla somma
(5)
2J
Pk'
Xk<X
-00
Notiamo ehe se dalla natura del problema risulta ehe la funzione
(x) e deftnita nell'intervallo ftnito (a, b), si puo eonsiderare che
essa e deftnita in tutto l'intervallo inftnito (-00,+00), rna ponendo
f
/,(x) = 0
al di fuori dell'intervallo (a, b). In questo caso si verifteano sia
l'uguaglianza (4) ehe quella (5). La densita di distribuzione della
variabile aleatoria deftnisee interamente questa variabile aleatoria.
502
Risulta dall'uguaglianza (3) del § 12 ehe la funzione di distribuzione F (x) e la probabilita ehe la variabile aleatoria ;; prenda un'
val ore inferiore ad x (ftg. 421):
F(x) = P (- 00
< x< x).
(2)
Segue dalla ftg. 420 ehe per un dato valore x il valore della funzione di distribuzione e numericamente uguale all' area limitata
dalla curva di distribuzione situata a sinistra dell'ordinata traeeiata
.
.
per il punto x.
II grafteo della funzione F (x)e detto curva integrale di distribuzione (ftg. 421).
503 .
LI
'I
il
I
!]
.....
CA1'ITQLO VENTESIMO
Passando al limite 'nell'uguaglianzif (1) q~ando x
e tenendo conto della formula (5) del § 12, otteniamo:
lim F(x)
X"" + IX>
= li~
X
-+
+00,
IX>
S f(x)dx= S f(x)dx~'L
%.... +IX> -IX>
I)
AVVENIMENTO ALEATORIO;'PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
_IX>
Dimostriamo ora il teorema seguente.
Teo rem a 1. La probabilita eke la variabile aleatoria ;
appartenga al dato intervallo (a,~) e uguale all'ineremento della
h
I
densita di distribuzione f (x) di tale variabile aleatoria;9 data nel
modo seguente:
f (x) = 0 per ,x < a,
f (x) = e per a < x < b,
f (x) = 0 per b.< x.
Nell'intervallo (a, b) la densita f (x) h3. un val ore costante c (fig. 424)
e al di fuod di questo intervallo 9 nulllI.' Una tale distribuzione e
detta anche Legge di densita uniforme.
'
..
.~
i,
,I,
Fig. 422
Fig. 524
Fig. 423'
1
\
I
,I
I
e
x
f3
ex .
(vedi fig. 422).
-00
a
-IX>
di conseguenza,
1
c=--,
b-a
1
b-a=-.
c
t·
i" .
S f (x) dx
-00
Segue dall'ultima uguaglianza che l'intervallo' (a, b) suI quale
uniforme,
9 necessariamente
9 definita la distribuzione
finito.
asslUna
Determiniamo la probabilita che la variabile aleatoria
un valore appartenente all'intervallo (a, ~):
x
P (a<x<~) =F(P) - F(a),
c.v.d. (vedi fig. 423).
Notiamo che la densiti\ di distribuzione f (x) e la corrispondente
funzione di distribuzione F (x) sono collegate dalla relazione
(3)
Cia risultadall'ugtlaglianza (1) e dal teorema sulla derivazione di
un'integrale definito rispetto all'estremo superiore. '
Consideriamo ora una variabile aleatoria con la Legge di distribuzione unifol'me delle probabilita. La legge di distribuzione 0 la
504 '
S f (x) dx = S c dx = e (b - a) = 1,
ex
Utilizzando l'uguaglianza (1), possiamo scrivere'
F' (x), = f (x).
b
IX>
Dim 0 s t r a z ion e. Esprimiamo la probabilita che la variabile aleatoria xappartenga all'intervallo (a; ~). Scriviamo
laformula (a) del § 12 COS1:
'
'
f3
f (x) dx = 1:
-IX>
P(a<-x<~) =F(~) - F(a).
P (a < x <~) = Sf (x) dx = S f (x) dx -
J
Ricaviamo il valore di e dalla condizione
funzione, di distribuzione in questo intervallo
P (a
< x < ~) == 5f (x) dx =
ex
1_1_.
ex
b-a
dx =
~- a .
b-a
La probabilita cercata 9 quindi
P (a <x<~)
~- a
b-a
(questa relazione e analoga alIa definizione della probabilita gr.ometrica per il casu bidimensionale citato alla pag. 473).
505 .
I,
ii'
";'
"
!
CAPITOLO VENTESIMO
!
I
AVVENIMENTO ALEATORTO. PROBABILITlI. DI UN AVVENIMENTO
Determiniamo la legge integrale di distribuziOlle
§ 14
x
Se X < a ,
f (X)
=
~ f (x) dx.
F (x) =
°
-00
CARATTERISTICHE NUMERICHE
DI UNA VARIABILE ALEATORIA CONTINUA
e, di conseguenza,
F-(x) =0.
"
Se a < x
<
b, f
1
(x) = --a
b e, di conseguenza ,
1
x-a
F(x) = ~ - . d x = - - .
ab-a
b-a
x
Se b <
X,
si ha allora
x
00
,
M[xJ= S xf(x) dx.
00
~f (x) dx= 0,
/(x) = 0,
b
"
'.
di 'conseguenza,
x
b
1
b-a
F(x)= ~ f(x)dx=~-'dx=-' =1
-00
a b -a
b- a
(vedi fig. 425).
Citiamo ora qualche esempio concreto di varia bile aleatoria COD
una legge di dens ita uniforme.
Ese m p i 0 1. Nel misurare una grandezza si arrotonda sino alla successiva divisione della scala dell'unita di misura. L'errore commesso in seguito
a questo arrot'ondamento e una variahile aleatoria -con una distrihuzione uniIor,
me di prohahilita. Se 2l e il numero
di unita comprese in una divisione
Fig. 425
della scala, Ill. densita di distrihuzione
di questa variahile aleatoria sara
'
f (:z:)=0
per
:z: <-l,
1
f(:Z:)=2f per ~l<:z:<l,
Dab
Consideriamo , Come abbiamo fatto per una variabile aleatoria
. discreta, Ie earatteristiche numeriche di una variabile aleatoria
continua di densita di distribuzione f (x).
D e fin i z ion ej 1. Si chiama speranza matematica della
variabile aleatoria continua x di densita di distribuzione f (X) l'espressione
x
Se la variabile aleatoria x, pub prendere i valori soltanto suI
segmento finito [a, bl, 1a speranza matematica M [xl sara espressa
dalla formula
b
M [xJ = S xl (x) dx. '
'-.
f (8)=0
per 8 <0,
1
f (8) = 2,,; per 0 < 8 < 2,,;,
f (8)=0
per 2,,; <8.
506
(1 ')
a
"
S1 pub considerare la formula (1 ') quale generalizzazione della form ula (1) del § 9.
'
Infatti, dividiamo il segmento [a, b] in intervalli (Xlt-l, Xlt).
Scegliamo in ciascun intervallo un punta Sit. Consideriamo la variabile aleatoria discreta ausiliaria S che e suscettibile di prendere
i valori
61' S2' ... , h, ... , Sn·
Siap.o PI' P2' ... I Pit, ... I Pn Ie probabilita dei valori corrispondenti della variabile aleatoria discreta:
PI =
Pit =
t (SI) .!lXI'
t (Sit) !:l.XIt,
P2 = t (S2) !:l.x 2 , •• "
... , Pn = f (Sn) !:l.xn1).
La speranza matematica della data variabile discreta
t (:z:)=0
per
l <:z:.
Qui a = -l, b = l, c = 1/2l.
Ese m p i 0, 2. Una ruota simmetrica in rotazione si arresta a causa
deU'attrito. L'angolo 8 formato da un- certo raggio mohile della ruota con il
raggio immohile dopo l'arresto della ruota e una variahile aleatoria la cui densits di distrihuzione e:
(1)
-00
S sara
n
M [s] =
LJ
1t=1
SltPIt,
oppure
M [s] =
sJ (S1) !:l.Xj + 621 (62) .!lX2 + ... + Sit! (Sit) !:l.XIt + ....
n
... + Snl (Sn) !:l.xn =' LJ
Sltl (Sit) !:l.XIt.
1t=1
e
1) Nello stesso tempo f(£It)~:Z:1t
Ill. prohahilita che la variahile aleatoria
continua :z: assuma un valore appartenente all'intervallo (:Z:It_h xlt).
507
__
L....~
.____
' ________
r
~
CAP1'l'OLQ: VENTESIMO
Si ottiene passando al limite' per -max Ii. Xk -+ 0:
'.~"
n
il
II
!
AVVENIMENTO ALEAT():Rlb. ,PROBAIiILITA:,DI UN A VVENIMENTO
De fin i z ion e ' 3. 'Si cliiama: scarto quadratic a media della
variabile aleatoria'x la radice quadrata della dispersione
b
2J 6kl (Sk) f1Xk = a~ xl (x) dx.
max aXk-+o 1i=1
lim
(3)
L'espressione a secondo niembro e la speranza matematica della
variabile aleatoria continua x, suscettibile di prendere qualsiasi
valoie x apparten~nteal segmento [a, b]. Si puo fare UD. ragionamento
analogo anche per l'intervallo infmito, doe per l'espressione (1).
Fig. 426
Fig. 427
Questa formula e' analog a alIa formula (3) ,del § 10. Considerando
esempi ~oncreti vedremo che, come nel caso di una variabile aleatoria discreta" la dispersione e 10
scarto quadratico medio caratteFig. 428
rizzano pure la deviazione dei
valori della variabile aleatoria.
!J
4. Si
D e fin i zi 0 n e
chiama T[l.oda (denotiamola Con
M 0) il' valore della variabile
aleatoria per il quale la densita
di distribuzione ammette val ore
massimo. La moda coincide con
la speranza matematica della variabilealeatoria
la cui curva di
dis,tribuzione e ra ppresentata: nellefig .426-427 .
'D e fin i z ion e 5. Si chiama 'mediana 'il numero denotate
:c'fj , '
,.
con Me che soddisfa l'uguaglianza
,;
ii,
x
Le formule (1) ed (1') sono analoghe alIa formula (1) del § 9 per una
,variabile ,aleatoria discreta. Denote;remo con mx la speranza matematica.
La speranza matematica si chiama centro di distribuzione delle
probabilita della variabile aleatoriaa: (fig. 426). Se la curva di distribuzione e simmetrica rispetto aU'asse Oy, cioe ~a funzione I (x)
,e pa;ri, allora e evidente c h e '
,
-00
In questo caso il centro di distribuzione delle probabilita coincide
con l'origlne delle coordinate (fig, 427). Consideriamo la variabile
m x ., Troviamone la speranza' matematica:
aleatoria centrata
x-
00
M[x-mx]='l (x-mx).!(x)dx=
-00
=mx
-
l
-co
00
xf(x)dx-mx
'if? i(;)l1±= S1(:t)l1x~:!2
-00
Me
(4)
'
(fig. 428). Quest'ultima uguaglianza puo esser scr;itta cosl:
-: 1
p (x <M~), = P(Me <x) = 2" "
00
M[xl = ~ xl (x) dx = O.
00
x
l
-co
f(x)dx=
x
doe e ugualmerite probabile che la varia bile aleatoria prenda nn
'
valore inferiore 0 superiore ad Me.
Si osservi che la variabpe a~eatoria' di per se stessa puo anche
non ammettere Me come val ore possinile.
x
(
m x ·1 =0.
§ 15
La speranza matematica di una variabile aleatoria centrata e nulla.
D e fin i z ion e 2. Si chiama dispersioize della variabile
aleatoria la speranza matematica del quadrato della corrispondente
variabilealeatoria centrata
'
,
x
00
D [xJ-: ~(x -'- m x )2 I (x) dx.
-00
La formula (2) eanaloga alIa formula (2) del § 10.
508
(2)
LEGGE NOR,:MAL'E DI DISTRIBUZIONE.
SPERANZA MATEMATICA DELLA DISTRIBUZIONE
NORMALE.
Lo studio di vari fenomeni dimostra ehe numerose variabili
aleatorie, Come per esempio l'errore di misura, 10 scarto laterale e 10
scarto della gittata del punto colpito da un certo centro nelle esercitazioni di tiro, la grandezza dell'usura dei pezzi in numerosi mec-
509 '
.
i\
'.-i',;
,
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
CAPITOLO VENTESIMO
:···.·1·
canismi, ecc., hanno una densita di distribuzione delle probabilita
che e espressa dalla formula
1
_ (x-a)2
f(x)=--=e 2u 2 •
(1)
crV2n
Si dice aHora che 1a variabile aleatoria obbedisce alIa legge
normale dt distrtbuzione (questa distribuzione e detta anche legge di
Gauss). La curva della distribuzione normale e rappresentata
Fig. 429
nella fig. 429. Nell'appendice
acclusa a questa volume e ripor!J
tata la tabella dei valori della
funzione (1) per a = 0, cr = 1
(vedi tabella 2). Una curva anaa
loga· e stata studiata in dettaglio
tiel.§ g del capitolo V (vol. I)~
Mostriamo anzitutto che la funzione di distribuzione (1)verifica
1a relazione fondamentale (5) del § 12
00
~ f(x)dx= 1.
_00
Infatti,ponendo:
x-a
.,r,:::
V 2·
cr
dx=
=tt
possiamo scrivere:
-00
1
_ (x-a)2
. 1
~ - - e' 2u 2 dx=--=
cr~
otteniamo
x=a+
112 crt,
dx=
Quindi,
1
00
F
112 crdt.
112
Vn
Vn
membro e uguale a Vn. Calcoliamo
1
00
00
-00
-00
mx = ., r ~ (a + 112 crt )e- dt = .,;- a ~ e- t2 dt + 2_cr ~ te- t2 dt.
vn
J
t2
-00
II primo integrale a secondo
il secondo integrale
rJ t • e-t dt = - '-21 e2
-00
t2
1°O
0.
-00 =
'
Dunque,
mIX = a.
(3)
II val ore del parametro a facente parte della formula (1) e uguale
alIa speranza matematica della variabile aleatoria considerata.
II punta x = a e il centro di
distribuzione delle probabilita
Fig. 430
o il centro di dispersione. Per
x. = a la funzione f (x) assume il
valor,e massimo. II val ore .x = a
!J
e quindi la mo¢a della variabile.
aleatoria. Siccome la curva (1)
e simmetrica rispetto alla retta
x =a, si ha aHora
a
o
x
~ f (x) dx = ~ f (x) dx,
00
Vn l
-00
112 crdt,
i
00
2
.
1
-
e·- dt= --= Vn:;:::: 1,
t
-00
Vn
perche
00
~ e- t2 dt= V~
-00
a
cioe il val ore x = a e la mediana della distribuzione normale. Se si
pone a = 0 nella formula (1),si ottiene:
1
-L.
f(x)=--e 2u 2 •
(4)
crTh
-00
. V2.a.=t,
La curva corrisptmdente e simmetrica rispetto' all'asse Oy. La
funzione f (x) e la densita della distribuzione normale della variabile'
aleatoria il cui centro di distribuzione delle pro'ba:bilita coincide con
l'origine delle coordinate (fig. 430) . .Le caratteristiche numeriche
delle variabili aleatorie 'distribuite secondo Ie leggi (1)·e (4) che
definiscono il carattere, della dispersione dei valori della variabile
aleatoria rispetto al centro di dispersione, sono determinate dalla
forma della curva, non dip~ndente dalla grandezza a, e quindi coincidenti. II valore a dete'rmina Iii grandezza dello scarto della curva (1) verso destra' (per a > 0) 0 verso' sinistra (per a < 0).
Per semplicita' ci atterremo in seguito alladensita di distribuzione definita dalla formula (4).
510
511
(vedi § 5, cap. :>d\1).
.
Determiniamo la speranza matematica'di uua variabile aleatoria
distribuita secondo 1a legge normale (1). In virtu della formula (1)
.
del § 14, abbiamo:
' " I,
1
...:. (x-a)2
'
mx = ~ x ., r,:::- e 2u 2 dx.
(2}
, ,
00
-00
(J
V 2n
Con la sostituzione di variabile
x'- a .
H
.'
'i
d
____ ~
• __ o~
-r'
_.0 _____ L
·.'C
.,"',
:
:
CAPITOLO VENTESIMO
.
I
DISPERSIONE E SCARTO QUADRATICO MEDIO
DI UNA.VARIABILE ALEATORIA
CRE ,OBBEDISCE ALLA LEdGE DI DISTRIBUZIONE:'
NORMALE
o'¥2~"
x' e
data
(1)
La dispersione di una variabile aleat~ria continua e determin~ta dalla
formul:a (2) del. § 14.
Ne1 :riostro ' caso
mx = a":"- O.
Abbiamo
00
1
X2
D[x]= ~ x2 _ _ e-2;2 dx.
Con la sostituzione
'di
Va:.20- :- t,
varia bile
2200
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBA.BILITA DI UN AVVENIMENTO
i
§ 17
I
(j~
_ -00
PROBABILITA D'APPARTENENZA
DI UN VALORE DELLA VARIABILE ALEATORIA
AD UN INTER'VALLO DATO.
FUNZIONE DI LAPLACE. FUNZIONE INTEGRALE
DI DISTRIBUZIONE PER LA ·LEGGE NORMALE
si ha
200
D [x] = .,~ ~ t 2e- dt = ., ~_ ~ t·2t· e- dt.
V 1&
t2
V 1&
-00
-00
t2
,
Otteniamo, integrando per parti:
~ ~
•
0',
.. 0:: 0: ;.:. 0.;',
~:
-]
D x,
[
~
- ,•. :':.2'
V;:,: (j
[.
Determiniamo ,conformemente alla formula (3) del § 12 la proba-'
bilita che il valore della variabile aleatoria avente la densita di
distribuzione
1
_ (x-a)2
f(x) = --= e 2u 2
(j Y21&
appartenga all'intervallo '(ex, ~):
c
x
0
00
t·e
- t2 1OO
-00
+ J,/
('
-t 2 d ]
'
t.
Siccome
00
~ e- t2 dt = y~,
-t2 =,
0
1·
·lmt·e
t .... oo
-00
-
avremo in deftnitiva:
I:l
P ex<x<~)= ~f(x)dx
(2)
(l',
[x] = Yb lx] (j.
(3)
La dispersione e quindi uguale al parametro (j2 che entra nella
formula' della densita di distribuzione (1). Abbiamo gUt detto in
precedenza che la dispersione cafatterizza la deviazione, dei valori
,
cioe
Conformemente alIa formula (3) del § 14 10 scarto quadratico medio
sara
'1
I:l
(x-a)2
p (ex < x<~) = --= ~'e- 2i12 dx
(j
Y21&
(l',
•
(j
"
o~_
della variabile aleatoria dal centro di dispersione. Vediamo
ora come il val ore 'del parametro (j2 influisce sulla forma della curva
di distribuzione. Nella fig. 431
sono rappresentat!'l Ie curve di
Fig. 431
distribuzione per i val~ri (j = 1/2,
(j = 1,
(j = 2.
Considerando
y
queste curve vediamo che pili
piccolo e (j, tanto pili grande
diventa il massimo della funzione
f (x), la probabilita dei valori
6=f
prossimi al centro di dispersione
' 6=2
(x = 0) e maggiore, la probabi0 ox
!ita dei val~ri lontani dal centro
e minore. Si puo esprimere questo fatto nei termini seguenti:
quanta minore e la dispersione (j2, tanto min ore e 10 scarto della
variabile aleatoria.
,§ 16,'
La densita di distribuzione della variabile aleatoda
dalla formula
' "1
. X2 "
f(x)=-=e-2;2.
o ___________~__
(fig. 432). Con la sostituzione di val:iabile
x-a
Y2a=t
512
33-0330
ti13
(1)
..
[
I
!
CAPITOLO VENTESIMO
, AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVEN:[MENTO
otteniamo:
Quest'ultima, uguaglianza puo essere scritta nel modo segl1ente~
j3-a
'j3-a
_
1 oV2 _ 2
P (a<x<~)=-Vn"
e t dt.
aL
(r)
0112"
L'integrale a secondo membro non si esprime mediante funzioni
" . elementari. I valori di questa integrale si esprimono mediant~
-v;
;i"
Vn
0
0
1
Utilizzando la funzione$ (x) [vedi (2)], possiamo, esp~imere in,
definitiva la probabilita che la variabile aleatoria suhordinata aHa
.:!
Fig. ,434
Ii
x
Fig. 433
. ",
'.
Ct.-a'
' 1 [ 2 0112"
2 01/2"
]
P (a < x <~) = - ~ e~t2dt _'-:-=' ~ e- t2 dt .
2
j
'!, ,
cfJ(x)
,!
"
x
fX
x
j3
valori dell'integrale di probabilita
$ (x) =
.,~ 1e-
t2
legge normale appartenga all'intervallo (a, ~):
dt.
(2)
P
v:n;O
Diamo . alcune proprieta della funzione $ (x) delle quaH
faremo uso in seguito.
1. $ (x) e defrnita per tutti i valori di x.
2. $ (0)
~
3. $ ( +00)
Otteniamo per a = 0:
o.
P (a
'
2
Vii ~ 1.
2 F' t2
== Vn
J e- dt~,
Vii
'--r
,0
4. $ (x)
5. '$ (x)
"
,
(0, 00).
$ (-x) = - $ (x).
6. II graftco della funzione <i> (x) e dato nella fig. 433.
(3)
Esistono tavole particolareggiate dei valori di questa funzione. Una
breve tabella e riportata aHa fine di questo volume (vedi tabella 1).
Scriviamo l'uguaglianza (1/) facendo ricorso al teorema sulladiv~sione dell'intervallo d'integrazione:
, I
j3-a
p (a<x<~) =! [
n
~
e- dt+
or
0
Ct.-a
t2
e-: dtJ =
0112
1
=-,r [
0)/2
J
V nO,
t2
e- dt
514
+
0112"]
t2
~ e- dt.
0
'
(5)
O'Th '
'o'y/2 , , O'll2J
2
=
0
(5')
Occ?re. spesso ~a~colare la probabilita che ilvlilOre della
varl~blle. aleatQrIa appartenga all'intervallo (a -:- l, a
l) sim":,
+
metrlCo rlspetto al punto x = 4 (fig. 434). In questo caso la formula (4) assume la forma:
-'
1 [ $ ( - '1
P(a-1<x<a+1)=-_')
,
2
O'V2
Tene~do c~nto
ottemamo
j3-'-a
"Ct.-a
<x<~) = ~ [$ (a~) - $C~)J.
fl1
x2
,
1 [ $ ( -1-'A) -'$ '( ~ \ ] .
~--e-2a2
dx=Ct.
(4)
'
Uguagliando i secondi membri delle uguaglianz~ (1) con a
e dell'uguaglianza (5), ottenia1no:
'
"
e monotona crescente nell'intervallo
e una funzione dispari perche
t2
(a < x<~) =!2 [$ (~0'112
- a \j - $(aO'V2
- ~ )] .
In
che. ~ (- a
defimtlva:
V2)
= -$ ( a
(l) ] ,~
\0'112
~$, ~
0) [~edi
, ' :"
1) =$ ,(._1_,,)
'P(~'~"l'<x<a+
,'
' , O'Jli.'·,
515 '
formula (3)],
,
(6,),
33*
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBA:BILITA DI UN AVVENIMENTO
CAPITOLO VENTESIMO
11 secondo membro non dipende dalla posizione del centrodi dispersione, di conseguenza, otteniamo per a = 0:
P(-l<x~l)=<D ( ~;;:-).
.
(7)
cr v2
x
Ese m p i 0 1. .La variabile aleatoria e subordinata alIa legge normale
di distribuzione con n centro di dispersione a = 0,5 e di dispersione cr2 = 1/8.
,
Nel nostro caso ct=-1,75, ~=1,75,
Soluzione.
l '
,/ii = 0,372.
cr v 2
In virtu della formula (7), otteniamo:
P (-1,75 <:; < 1,75) =tD (1,75·0,372) =tD (0,651) =0,643.
o sse r
v a z ion e.
Si usa spesso al postodella funziou'e
<D (x) (2) la funzione di Laplace:
_
<D (x) =
1
x
., J:::- ~ e-
t2
8)
2' dt.
v2n 0
Questa funzione elegata allafunzione <D (x) da una semplice relazione. Facendo nell'integr~le (8) la sostituzione ~ = z, si ottiene:
Fig. 435
y
x
-
1
Vi
<D (x) = ,;; ~
x
2
e-z dz =
1
( x )
"2 <D V2.'
Dunque,
Determinare In probabilita che n valore della variabile aleatoria ;; appartenga.
aH'iIitervallo (0,4; 0,6) (fig. 435).
.
.
Sol u z ion e. Qui Vi_ = 2. In 'virtu della formula (4), si ottiene:
cr 2·
-'
1
'
P (O,4<x <0,6)="2 {tD [2 (0,6-0,5)]-11> [2 (O,4-0,5)]) ="
1
="2 {tD (0,2)-tD (-0,2)).
Ma 11> (-0,2) = -11> (0,2) [vedi formula (3)], e, di conseguenza, si puo scrivere:
P (0,4
<
1
x < 0,6) ="2 [tD (0,2) +tD (0,2)] = tD (0,2).
Dalla tabella dei valori della funzione 11> (x) (vedi tabella 1 alIa fine del volume)
ricaviamo:
.
, P (0,4
< 0,6) = 0,223.
Ese m p i 0 2. La lunghezza di un pezzo fabbricato da una macchina
automatica e una variabile aleatoria distribuita secondo la legge normale di
parametri M [xl == 10 ecr2 = 1/200. Determinare la probabilita di pezzi difettosi, se la lunghezza ammissibile del pezzo e 10 '±' 0,05.
,
1
1'
Sol uzione. Nel nostro caso a=10, V- = 10, cr=
,/ii' La pro,
cr 2
,
10 v 2
babilita p di pezzi difettosi verra espressa, in conformita aHa formula (4), nel
modo s e g u e n t e : ,
'
1
p=1- P (9,95 <x < 10,05)=1-"2{tD [10 (10,05-10)]-11> [10 (9,95-10)]) =
<x
"
1
'
'
' ,
=1-"2 {tD (O,5)-tD (-O,5)}=1-tD (0,5)=1-0,52=0,48.,
Ese m p i 0 3. Determinare la probabilita che sia colpita con un proiettile una striscia larga 2l = 3,5 in se il colpo a vuoto obbedisce alIa legge
normale di distribuzione di parametri a = 0, cr = 1,9.
'
516
(9)
e, evidentemente,
:""-.,;-
1
<D (x V 2)="2 <D (x).
(10)
Possiamo scrivere la formula (5) utilizzando la funzione
relazione (9) nel modo seguente:
<D (x)
e la
Fig. 436
P(ex<x<~)=<D( ~) -<D(~)
(11)
e per cr = 1
P (ex <x<~) = <D (~) - <D(ex). '
La tabella dei valori della funzione di Laplace if> (x) e data all~
fine del volume (vedi tabella 3).
'
Determiniamo ora la funzione integrale della legge normale di
distribuzione. Abbiamosecondo la formula (1) del § 13:
x
_
1
x
(x'-a)2
'
F (x) = ~ f (x) dx = .., J:::- ~ e- 2(j2 dx= P (- 00 < x< x).
-00
cr V 2n -00
.
Utilizzando la formula (4) per il caso ex
F (x) =.!.. [<D
2
= - 00,
~
=
(~)
- <D (- 00)] ,
crV2
'
517·
x otteniamo:
'1
CAPITOLO VEJ:Il'TESIMO
ma <I> (-00) = ..... 1 [vedi .Ia formula (3)]. Quindi,
F(x)=i.[<I> (x-'a').+,1].
,
2,
0'112
(12)
Esprimiamo 10 scarto quadratico medio 0' mediante l'errore mediano E.'
Esprimiamo il primo membro dell'uguaglia~za (1) mediante la
E
x2
funzione, <I> (x):
P (- E- <
'.
II grafieo della fllnzione F (x) per a = O'e dato nella fig. 436.
In numerose applicazioni della teoria delle probabilita in particolare nella teoria degli errori d' osservazione nonche n~lla teoria
del tiro, ecc., e utilizzata la caratteristica di dispersione detta
deviazione probabUe 0 mediana, oppure, errore mediano.
"
Fig. 437
2cr2 dx.
(3)
(4)
Nelle uguaglianze (1) e (4) i primi membrisono uguali, di conseguen, za, sono uguaIi anche i secondi membri
'
1
• <I> 0'
= 2" .
(5)
112
(, E)
qui~~i
trx)
D e fin i z ion e 1. S( chiama 'deviazione probabUe (median~)
un numero. E tale che la probabilita d'appartenenza' all'intervallo
(-E; E) dl una variabi,le.al~at~ria (per esempio, un errore) 'subordinata alla legge normale dl dlstrlbuzione
"
1
X2
f(x)=--e~2a2
E
.,;;;; = 0,4769.
O'v2
Si suole indicare questa numero 0,4769 con p:
E
----r::
= p = 0,4769.
0'1/2 '
Donde
E=pV2O', }
0' = ~/'
,
"
pV2
(6)
(7)
O'~
§ 19
(fig. 437), cioe
. ,
1
. P?r o~ni variabile alea~oria subordinata alIa legge normale di
dlstribuzlOne con centro dl dispersione x = a, la deviazione medianil E (fig. 438) verifica la relazione
,
1
P(a~E<x<a'+E)=2'
(2)
ESPRESSIONE DELLA LEGGE NORMALE
DI DISTRIBUZIONE IN FUNZIONE
DELLA DEVIAZIONE MEDIANA.
FUNZIONE RIDOTTA' DI 'LAPLACE
Esprimendo il parametro 0' mediante il parametro E secondo la
formula (7) del § 1813 riportando qu~sto' valore . ne~la~orn:ula (~)
del § 15, otteniamo l'espressione della legge dl dlstrlbuzlOne III
518
519,
P(-E<x<E)=2'
x
(1)
j
I,
I
i
,It
!
Dalla tabella dei 'valori della funzione <I> (x) ricaviamo il valore
delI'argomento x = 0,4769 p'er il quale <I> (x) = ~ . Abbiamo
Fig. 438
o
sia uguale ad ~
/;;:-- e-
-EO'v2n
,P('~E<x<E)=<I> C~).
DEVIAZIONE PROBABILE (MEDIANA)
o ERRORE MEDIANO
,
x< E) =}
Otteniamo con Paiuto della formula (7) del § 17:
§ 18
J(X)
r
AVVENIMEJ:Il'TO ALEATORIC. PROBABILITA DI UJ:Il' AVvENIMENTO
CAPITOLO VENTESIMO
AVVENIMENTO ALEATORIO.PROBABILITA DI UN AVVENlMENTO
funzione della deviazione mediana:
di dispersione (-l, l) si esprimera conformemente alIa formula (3):
x2
t (x)'
. ~ , e_p2 E2.
E v:n
La probabilita d'appartenenza di una variabile aleatoria (per esempio, di un errore) all'intervallo (a, ~), conformemente alla formu,la (5) del § 17, sara
P (a <
x<~) = ~
[cD
(p ! )- cD (p ; )J
(2)
e, conformemente alla formula (7) del § 17,
P(~l<x<l)=cD (r ~).
(3)
I ilUmeri ~ ed ~ contenuti nel secondo membro della formula (2)
sono definiti dalla natura del problema considerato, mentre P e un
numero noto: p = 0,4769.'
.
. Per evitare la necessita di moltiplicare per p, esistono tabelle
speciali per la fimzione cD (px) .. Questa funzione si denota con ciJ (x):
•
P (- 1<
(1)
x< l) = cD ( ~ )
(7)
e·
(8)
Si osservi che la probabilita d'appartenenza della varia bile aleatoria all'intervaHo (a, ~) usando I'errore mediano E, se la speranza
matematica a =1= 0, sara (vedi formula (4) del § 17):
x
1 [ cD
P(a<x<~). 2"
(~PJla)
-:-cD
(' PJl
a- a) ] .
(9)
Quest'ultima uguaglianza sf esprime mediante la funzione ridotta
di Laplace nel modo seguente:
a)
- 1 [A (~_
A
P(a<x<~)=2 cD J l -~
(aJa)l]'
(10)
A
cD (x) = cD (px).
(4)
d> (x) si chiama funzione ridotta di Laplace. Alla fine del volume e
data la tabella dei valori di questa funzione (vedi tabella 1).
In virtu della formula (2) del § 17, la funzione d> (x) e determinata
dall'integrale
. .
2 px
cD (x) =., , S e-t2 dt.
v:n 0
A
Se si sostituisce la variabile t = pz, si ottiene:
xJ=."2p
rn (.\
W
v:n
Xs
O
e-p2z2 dz
(5)
Esprimiamo il secondo membro dell'uguaglianza (2) mediante
la funzione ridotta <Ii Laplace
(6)
In particolare, la probabilita d' a ppartenenza del valore della
variabile aleatoria ad un intervallo simmetrico rispetto al centro
520
§ 20
REGOLA DEI TRE SIGMA. SCALA DELLE PROBABILITA
"---..... - DI DISTRIBUZIONE DEGLI 'ERRORI
Nei calcoli pratici si prende 10 scarto, quadratico medio 0' per
unita di misu.ra della deviazione di una variabile aleatoria, che obbedisce aHa legge normale, dal suo centro di dispersione (dana speranza
matematica). Si ottengono allora, in virtu della formula (7) del
§ 17, Ie. seguenti uguaglianze che sono ·di grande utilita nei calco1i:
P(~ O'<x<O')=cD (~2) =0,683"
I'
P (- 20' <x<20'~ =cD
c1I2) = 0,954,
P(-30'<x<3O')=cD (~) =0,997.'
Si da un'immagine geometrica di questi risultati nella fig. 439.,
.E quasi certo che la variabile aleatoria (l'errore) non devier~
in valore assoluto dalla speranza matematica per pili di 30'. Questa
proposizione si dice regola dei tre sigma.'
>-~-'--'521
"I
CAPITOLO VENTESIMO
ll'~
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA. DI UN AVVENlMENTO
(: j,
Trattando differenti dati statistici 0 diversi problemi connessi
alIa teoria del tiro e opportuno conoscere la probabilita d'appartenenza della va:dabile aleatoria
agli inter valli (0, E)', (E, 2E),
(2E, 3E), (3E, 4E), (4E, 5E), se la densita. di distribuzione e data
dalla formula (1) del § 19. La conoscenza di queste probabilita. permette, in numerosi casi, di ri~urre i calcoli e di facilitare l'analisi
dei fenomeni.
Sol u z ion e. Applichiamo la formula (7) del § 19. Nel nostro caso l =
= 50 m, E = Bd = 20 m. Quindi,
,
x
Fig. 439
P (-50<.; <
j(x)
I;E
x
Per calcolare queste probabilita. applicheremo la formula (8)
del § 19 e la tabella della funzione cD (x):
_
1
=0,2500,
P(O<x<E)= 2 <1>(1)
A
A
.
P (2E <
1
1
1
A
..
p (~15
<x <1:5)=& (!~) =& (1,5)=0,6883 ~ 0,66 ..
§ 21
A
A
,A
"
"
.0,1613,
.-
,
'
A
=0,0180,
'1
P (4E < x < 00) ="2 [<1> (00) - <1> (4)] , "2 (1 - 0,9930) = 0,0035.
I risultati dei calcoli sono' illustrati ge6metricamente nella
fig. 440, detta scala didispersione degli errari. Risulta da questi
ealcoli che e praticamente certo, che il val ore della variabile aleatoria apparterra. all'intervallo (-4E, 4E). La probabilita. che il valore
,della variabile aleatoria vada a fmire al di fuori di questo intervallo e
inferiore a 0,01.
Ese m p i 0 1. Si spara un colpo sU'una striscia larga 100 m. II cannone
,6 stato puntat?· ve!sbla linea me~ia .della stri~cia c~e 6 perpendicolare al piano
,della traiettorla dl volo del prOlettIle. La dlspersIOne segJ?e la leg~e nor~~l~
.con deviazione probabile della gittata E = ~O rp.. Deter~IDare.la. proba~lhta
.ehe la striscia sia colpita (fig. 441). La devlazIOne medlana dl glttata e Bd,
quella laterale Bl.
522
ERRORE ARITMETICO MEDIO
=0,0672,
P (3E <x<4E) ="2 [<1> (4) - <1>(3)]
_
,.,
A '
X< 3E) ="2 [~ (3) - <1> (2)]
,
+
Ese m p io 2. E stato stahilito per via sperimentale che l'errore
di misura di un a pparecchio che serve
a valutare Ie distanze, obhedisce
alIa legge normale d'errore ,mediano
E = 10 m. Determinare la probabilita che la distanza misurata eon questa
apparecchio differisca dalIa distanza esatta non piu di 15 m.
, Sol u z,i 0 n e. Nel presente caso l = 15 m, E = 10 m. Otteniamo secondo
la formula (7) del § 19:
'
'
,
0.018
1
P (E <'x < 2E) ,"2 [<1> (2) - <1> (1)]
JJirezio/le
di volodi
unproL'ettlle
P(-50<x<50) =
= 2 (0,25 0,16 0,04) = 0,90.
+
36 x
~
Os s e r V a z ion e. Si potrebbe risolvere approssimativamente
questo problema senza ricorrere alle' tabelle della fUilzione cD (x).
prendendo invece la scala di
dispersione (fig. 440). Nel nostro
Fig. 441
caso l'= 2,5E. Di conseguenza,
Fig. 440
0.022
50)=&(~) =&(2,5)=0,9082 ~ 0,91.
Si introduce, per caratterizzare gli errori, la nozione d' errore
aritmetico medio, cioe la speranza matematica del valore assoluto
degli errori. Denoteremo con d l'errore aritmetico medio. Determi.niamo I' errore ari tmetico medio se gli errori x sono subordina ti' alla
legge normale (4) del § 15. Secondo una formula analoga aHa formula (2) del § 15 otteniamo (a = 0):
00
1
x2
2 00
x2
d= ~ Ixl---e-"2(f2 dx=--- ~ xe- ~0'2 dx=
-00
2
oTh
0l/2; 0
2':' L
= - - = ( - o·e
00
20'2)10
20
=--=.
01l2n
1I2n
Dunque, l'errorearitmetico medio si esprimemediante 10 scarto
quadratico medio 0 nel modo seguente:
-~- -. /2
d -1I2n
-0 V
n·
523
'
(1)
t
• j
- - - ------------
CAPITOLO VENTESIMO
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
§ 22
§ 23
MI.SURA -DI PRECISIONE.
RELAZIONI TRA LE CARATTERISTICHE DI DISTRIBUZIONE
DEGLI ERRORI
VARIABILE ALEATORIA BIDIMENSIONALE
_ Nello studio di numerosi processi, in particolare nella teoria
del tiro, la densita di distribuzionedella legge normale viene scritta
nella forma
.
, (1)
CQnfrontando Ie formule (4) del-§ 15 e (1), si puo vedere che il parametro introdotto h si esprime in funzione del parametro (J nel modo
seguente:
1'
h= . . 1::'
. (J
(2)
V2
La grandezza h e inversamente proporzionale a (J, cioe e inversa,..
mente proporzionale all' errore quadratico medio 0 alIa deviazione
quadratica mediana. Quanto minore e la dispersione (J2, cioe quanto
minore ela declinazione tanto maggiore eil val ore di h. Per questo h
si chiama. misura di precisione.
.
Ricaviamo dalle formule""(2)·e (1) del § 21:
1
(3)
..
(J=
Si ha a che fare con Ie variabili aleatorie bidimensionali nello
studio dei processi connessi al tiro quando il bersaglio da colpire
si tr~va nel piano (iOy).
n valore di una variabile aleatoria bidimensionale e determinato
da due numeri x ed y; per questo indicheremo con (x, y) la variabile
aleatoria bidimensionale. Supponiamo che ed y-assumano valori
discreti Xi ed Yi" Supponiamo inoltre che ad ogni coppia di valori
(Xi> Vi) appartenenti ad un certo insieme corrisponda una determinata probabilita Pi}' Possiamo comporre la tabella di distribuzione
delle probabilita della variabile aleatoria bidimensionale discreta:
x
.~
Xi
...
x2
...
...
'.
PH
Yt
1
Y2
I
P2i
\
Pi2
I
P22
P1m
.\
P2m
I
I
I
I
I
I
I
I
\
Xn
I
I
Pni
Pn2
h 112'
.(4)
L' errore mediano E si esprime mediante la misura di precisione h
con Ie formule .(7) del § 18 e (3):
.
.'
E= ~.
(5)
E necessario talvolta esprimere una caratteristica di distribuzione
degli errori mediante un'altra. A tale scopo sono utili Ie uguaglianze
seguenti:
E·
.. r
E'
.... ;(J
,/-;
1.
-=p v'2-:-0,6745,-=p vn=O,8453,-= V -=1,2533,1 .
(J'..
d
.
d
2. .
(6)
(J
1
d
1·
.
- = .. I:: = 1,4826,- = . . ;- = 1,1829.
E
p V2
,E
P vn
.
r
J
524
Ym
1
'1
Pnm
E evidente che dev'esser'e veriftcata l'uguaglianza
m
n
'5:, 2J Pi} = 1.
t;;1 i=1
(1)
Determiniamo ora la variabile aleatoria bidimensionale. La probabilita che il valore della variabile aleatoria bidimensionale soddisfi
Ie disuguaglianze x < x-< x
I:!.x, Y < 11< Y I:!.y, la indioheremo nel modo seguente:
, .
+
+
p (x<x;<x+ I:!.x, V<V<V+ I:!.y).
525 '
I
'f'
I
!
CAPITOLO VENTESIMO
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
D e fin i z ion e 1. La funzione f (x) e detta densita di distribuztone della variabile aleatoria bidimensionale (x, '0, se e verificata
con precisione a meno di infinitesimi d'ordine superiore rispetto
~y2 l'uguaglianza approssimata seguente
a ~p = V ~X2
+
+
p (x<x<x +~x,y<y<y ~y) ~f(x, y) I1x l1y.
(2)
La ,form:,-la (2) e interam~nte analoga alIa formula (2) del § 12.
", Consldenamo un sIstema ortogonale di coordinate (xOy).
Se rappresenteremo i valori dellavariabile aleatoria (x, y) con i
Fig. 442
Fig, 443
ze cosl ottenute; Siccome
2J I1s = D e 2J P [(x, y) c: I1s] = P [(x, y) c: D],
otteniamo un'uguaglianza approssimata
P [(x,
con precisione a meno di infinitesimi d'ordine superiore rispetto
a ~s. Passando allimite nel secondo membro dell'ultima uguaglianza
quando ~s -+ 0, otteniamo un integrale doppio e, in virtu delle
proprieta delle somme integrali, l'uguaglianza esatta:
P [(x, y) c: D] = ~ ~ f (x, y) dx dy.
y
.Y
y+ily
y
y) c: D] ~ 2Jf (x, y) I1s
D
II teorema e dimostrato.
Os s e r v a'z ion e 1. Se il campo De un rettaligolo limitato
daUe rette x = CG, X = ~, y = oy, y .....: /) (fig. 443), siha
x
0
:;r;
x+L1x
(J 0
x
P[CG<x<~, y<y</)]= ~ ~f(x,y)dxdy.
punti del piano delle coordinate corrispondenti x ed y, allora l'espressione P (x <:; < x + ~x, ,y < < y + ~y)significhera la
probabilita che la variabile aleatoria bidimensionale (x, y) assuma
un val ore relativo a un punto appartenente al rettangolo tratteggiato l1's. (fig. 442). Diremo allora che « il val ore della variabile
aleatoria appartiene al campo ~s »1).
.
Indicheremo la probabilita P{x < < x
11:i, y< Y<
< y ~y) anche con il simbolo P [(x, '0 c: ~s]. Usando quesH
simboli si puo ,scrivere l'uguaglianza (2) nella forma
Y
x
+
+
P[{x, y)
I1s] ~ f (x, y) I1s.
(3)
Dimostriamo ora il teorema seguente, analogo al teorema 1 del § 12.
Teo r.-e m a 1. La probabilita P [(x, y) c: D] che la varia bile
.aleatoria bidimensionale (X, Y) di densita di distribuzione f (x, y)
appartenga al campo D e espressa da un integrale doppio della funzione
t (x, y) esteso al campo D, cioe
'
P [(x, y) c: D] =
Hf (x, y) dx dy.
(4)-
D
Dim 0 s t r a z ion e. Dividiamo il campo D in superfici
elementari ~s, come abbiamo,fatto nella teoriadegli integrali doppi.
Scriviamo per ciascunll snperficie elementare l'uguagliam;a (3) e
facciamo la somma dei primi e dei secondi membri deBe' uguaglian- ,
1) Si potrebbe prendere nell 'uguaglianza (3) una superftcie' di forma arb it-
raria.'
,
526
(5)
a '\'
Os's e r v a z ion e
verifica l'uguaglianza
be
i
2.
Analogamente all'uguaglianza (1) si
00
.....
~ f (x, y) dx dy = 1,
(6)
-00 -00
percM e stato accertato che una' variabi~e aleatoria bidim,ension~le
prende un certo valore.Dove la funzlOne t (x, y) non e defimta
dal significato del problema, si pone f (x, y) = O.
, Se il campo D e composto di piu rettangoli della forma rappresentata sulla fig. 444, la probabiliH\ ,d'appartenenza della variabile
aleatoria ad un tale campo edefinita come la somma delle probabilita
calcolate per ciascuno dei rettangoli, cioe come la somma degli
integrali definiti estesi a ciascun rettangolo:
P [(x, y) c: D] = P [(x, y) c: D t ] + P [(x,y) c: D 2] + '
+p [(x, y) c: D a].
Es e in p i 0, La 'delJ.sita di distribuzione della variabile aleatoria
mensionale
e data
bidi-
dalla formula
'(x, y)
1
n2(1+x2){1+y2) '
Determinare la 'probabilita che il valore della variabile aleatoria appartenga al
rettangolo limitato dalle rette x
=
0, x
=
1, y
;527 '
'1
= V3'
y
=
113.-
-~
I
I
I
CAPITOLOVENTESIMO
8"0 I u z ion e. Otteniamo in virtu. della formula (5):
•
_1
_.
1 1~
ax dy
P[O>.:z:<1, VS<Y<V31=n2
~ (1+.:z: Z)(1+y Z)
La densita di probabilita di una varia bile aleatoria bidimensionale e uguaIe alla derivata mist a del secondo ordine della
funzione integrale· di distribuzione.
J
V3
1 1 d.:z: Va dy
1
=Z ~ - -Z ~ - - = 2 arctg.:z:
Ii 1+.:z:
n
1. 1+yZ
n.
\i arctg y Iva =
0
Va
Z
F (x, y)
=
f-f f
(u, v) du dv
(7)
funzione 'integrale di distribuzione delle probabilita della
variabile' aleatoria bidimension·ale
.J
(x, 0.
1
f (x, y) =
-00 -00
e detta
"
\
D e fin i z ion e 1. La distribuzione di una variabile aleatoria bidimensionale si dice normale se la densita di distribuzione
di questa grandezza e data dalla formula
ion e 2. La funzione]
2nax ay
x2
y2
--2-~
2ax
2ag.
'
(1)
II grafico di questa funzione e una superficie rappresentata nella
fig. 446 .
Fig. 446
Fig. 445
;Fig. 444
e
j(:x.y)
y
.I
IJf
x
o
E evidente che la funzione integrale di distribuzione esprime lao
probabilita che :i< x, Ii < y,,: cioe
F(x, y) = p (x <
Xj
Y<
y).
Da un punto di vista geometrico la funzione di distribuzione
esprime la probabilita che la variabile aleatoria bidimensionale
.
appartenga aI rettangoIo infinit6 tratteggiato. nell~ fig. 445.
Applicando il teorema sulla derivazione dl u~ mtegraIe defin~t~
rispetto. ad ~n parametro,. si s~abilisce uD:a ~eIa~lOn~ tr~ la denslta
di distnbuzlOne e la funzlOne mtegrale dl dlstrlbuzlOne.
of
Y
- = ~ f(x, v)_dv,
ax
II
-00
}
o2F
-=f(x,y).
ax oy
528
(8)
II centro di dispersione della variabile aleatoria Ia cui legge di
distribuzione e data dalla formula (1), e il punta (0, 0)1). I valori ax
e a y SODO detti scarti quadratici medi principali.
Scriviamo la formula (1) cosl: .
X2
f (x, y) =
1
e-
y2
2a~
1
e-
2a~ •
(2) ,
V2na x
~O'~
Si puo considerare quindi.f (x, y) come il prodotto delle due distribuzioni normali delle variabili aleatorie ed y. Come nel caso di
una variabile aleatoria' a una sola· dimensione determiniamo gli
scarti probabili principali Ex ed E y della variabile aleatoria bidi-
x
• 1) ,Se il crntro di dispersione si trova nel punto (a, b), la legge di distribuZIOne e data dalla formula
(x-a)2
J
f
34-0330
1
(x, y)=
e
2naxa y
529
I·
itI
LEGGE NORMALE DI DISTRIBUZIONE NEL PIANO
Va
,Ii
f
§ 24
_i_
=;Z (~-O) (~-i)=~·
D e fin i
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
2
20x
(y-b)2
20/I2
(1')
CAPITOLO VENTESIMO
AVVENlMENTO ALEATORIO. PROBABILITA. DI UN AVVENIMENTO
,
niensionale (vedi formula (7) del § 18):
(3)
Ex=p V2 O'x,
Ey = p V2 O'y.
Riportando nella formula (1) i valori di O'x e cry espressi mediante Ex
ed E y , otteniamo:
.
p2
_p2 ( -==- + L)
i(x,y)=--e
Ei E~.
(4)
nExEy
Consideriamo Ie linee di Hvello della superficie (4)
x2
y2 .
- = k2 =costante
(5)
E2x
E2y
- +
(siavra allora i (x, y) = cost). Le linee di Hvello sono ellissi i cui
semiassi sono' uguali rispettivamente a kE x e kEy. Queste ellissi
sono dette ellissi di dispersione. I centri delle ellissi coincidono con
i centri di dispersione. I loro assi sono detti assi di dispersione. Si
chiama ellisse unitaria di dispersione un'ellisse i cui semiassi sono
uguali agli scarti probabili Ex ed E yo Si' ottiene I' equazione dell' ellisse unitaria ponendo nell'equazione (5) k = 1:
x2
y2
-2
+-2
= 1.
(6)
Ex
Ey
Si chiama ellisse totale di dispersione un'ellisse i cui semiassi sono
uguali a 4Ex e 4E y. L'equazione di questa ellisse e
x2
y2
(4E x)2 (4Ey)2 = 1.
(7)
+
Vedremo nel prossimo paragrafo che la probabilita d'apparte- ,
nenza della variabile aleatoria bidimensionale all'ellisse tot ale di
dispersione e uguale a 0,97, cioe e un evento praticamente certo.
§ 25
PROBABILITA CHE UNA VARIABILE ALEATORIA
BIDIMENSIONALE NORMALMENTE DISTRIBUITA
APPARTENGA AD UN RETTANGOLO
DI LATI PARALLELI AGLI ASSI PRINCIPALI Dr
DISPERSIONE
!
i
Ii
II
!i
Ii
I,
i1
"
Sia
2
_p2 (-==- + JC..)
i(x, y) =-P-e
E~ E~.
nExEy
Secondo la formula (5) del § 23 (vedi fig. 443) la probabilita d'appal'tenenza della variabile aleatoria al rettangolo' limitato dalle
fi30
rette x = ex, x = ~, y = V, Y = & e determinata dall'espressione
_
_
p'(ex<x<~, V<y<<<5)=
~
II
2
J J-p-e
ex '\' nExEy
_p2 (
-==- + JC..)
.E~. E~ dxdy.
:',
n
(1)
Presentando
Ia
.
. .funzione integranda come prodotto di due funzioni ,
pOSSlamo SCrIvere
P(ex<.x<~, y<y<<<5)=
~ p
=
_p2
J., ;-;:;- e
ex
~~
Ex
vnEx
II
dx
P
_P2~
J- - e
'\' VnEy
E~ dy.
(2)
e, in virtu della formula (6) del § 19, otteniamo in definitiva:
p (ex<.x<~, y <y<<<5) =
=
! r¢(:J -¢(;J] [q; (:J -q; (;J ].
(3)
S.e pOI?.iamo .nel~'ultima formula ex = -':"Z1l ~ = 111 Y = -12' «5 = 12 ,
ClOe se. .consldenamo un rettangolo avente per centro l' origine' delle
coordinate, la formula (3) sara della forma, in virtu della formula (7)
del § 19:
.
-.
4(l1)4(l)
P(-l1<'x<lil
-12<y<12)=cD
Ex cD ;y •
(4)
o sse r v a z ion e. S1 potrebbe risolvere il problema della
ricerca della probabilita d'appartenenza della variabile aleatoria
ad un rettangolo di lati paralleli agli assi coordinati nella maniera
seguente. II fatto d'appartenenza della variabile .aleatoria al rettangolo e un evento composto che consiste nella coincidenza dei due
eve~ti indipendenti: il fatto di appartenere alIa striscia -11 <
< X < 11 .ed il fatto di appartenere alIa striscia -=-1 2 < Y< 1q.
(Per rendere pi~ se~p~ic.e la scrittura, ~onsideriamo un rettangofo
avente per centro lorlgme delle coordmate.) Supponiamo che Ia
densita di distribuzione della variabile aleatoria sia
x
P
I
x2
_p2_
i1 (x) = ., / _ e
vnEx
Ei
La densita di distribuzione della variabile aleatoria
1
_P2~
f2(Y) =-=e
E~'
VnEy
531
i
'.]'
ye
I
_____ L _ _ _ _,_
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
CAPITOLO VENTESIMO
Calcoliamo Ie probabilita d'appartenenza della variabile aleatoria alIa striscia -ll < X < II ed alIa striscia -l2 < Y< l2' Otteniamo in virtu della formula (7) del § 19:
P (- li <
_
< li) = <l> (li)
Ex
A
X
'
p (- l2 < Y< l2) = <D (;) .
La probabilita dell'evento composto, ossia -il fatto di appartenere
al rettangolo, sara uguale al p:odotto delle rispettive probabilita:
p ~cx<x<~, 'V <y<6) = P (-li <X<li) P (-l2<y<l2) =
(;J <D (;) .
=<D
~-v--
x2
E;
---
100
X
Ese m p i o. Nelle esereitazioni di tiro al bersaglio si~usa un rettangolo
di lati 200m e 100 m limitate dalle rette
_x = -100, x = 100, y = -50, y = 50.
Le devia~ioni ~ediane prineipali sono rispettivamente Ex = Bd =:= 5Q m .ed
E = Bl = 10 m.Trovare - la probabilita -ehe il rettangolo slaeolplto
y
(fig. 447).
Sol u z ion e. Nel nostro easo
II = 100,
l2 = 50,
Ex = 50,
Ell = 10.
Riportiamo questi valori nella formula (4) e servendoei della tabella per la
funzione cb (x) (vedi tabella 1 alIa fine del volume) troviamo:
e~~)
.
ll>
(~~) =& (2).& (5)=0,8227.0,9993=0,8221.
532
2
(1
do po questa trasformazione l'ellisse De diventa un cerchio
u2
v2 = k 2 •
+
Siccome 10 jacobiano della trasformazione
l'uguaglianza (2) assumera la forma:
-50
P=ll>
y2
+ E~ =k,
(2)
dove il campo De e limitato dall'eUisse (1). Facciamo la sostituzione
di variabili ponendo
x=Exu,
y=Eyv;
u~
JJl(
0 _ ng
Nella teoria degli errori e necessario considerare il problema
seguente. Calcolare la probabilita che una variabile aleatoria, per
esem pio un errore suI piano, a ppartenga all' eUisse di dispersione
_ _
p2
_p2 [-4 + 4 ]
P [(x, YI- cD] = ~ ~ - - e
Ex Ey dx dy,
De nExEII
Fig. 447
toO
PROBABILITA CHE
UNA VARIABILE ALEATORIA BIDIMENSIONALE
PRENDA UN VALORE APPARTENENTE ALL'ELISSE
DI DISPERSIONE
se la densita di distribuzione e data dalla formula (4) del § 24. Abbiamo, in virtu della formula (4) del § 23:
Abbiamo ottenuto la formula (4).
50
§ 26
P [(x, y) c De] =
!
n
~ ~_ p2e
e uguale
-p2(U
2
(3)
a 1= Ex·Ey,
+v 2) du dv.
(4)
D1I.
Nell'ultimo integrale: passiamo a coordinate polari
u = r cos qJ, v = r = sen cp.
II secondo -membro dell!uguaglianza (4) prende aHora la forma:
1 211: 11.
P [(x, y) c De] = - S ) p2e-p2r2r dr dqJ.
n 0 0
Facendo i calcoli nel secondo membro, otterremo'l'espressione della
probabilita d'appartenenza all'ellisse di dispersione
P [(x, y) c De] = 1 - e- p211.2 •
533 -
(5)
"I
I
I
I
CAPITOLO VEN'TESIMO
Consideriamo qualche caso particolare. La probabili ta. d' a ppartenenza all'ellisse unitaria di dispersione si ottiene se nella formu.
la (5) si pone
p2
p [(x, y) cD ]k=1 = 1 - e- = 0,203.
(6)
La pro~abi~ita d'appartenenza all'ellisse totale di dispersione (7)
del § 24 SI othene se nella formula (5) si pone k = 4:
p [(x, y) cD ]h=4 = 1 - e-16p2 = 0,974.
(7)
,Consideriamo il caso particolare in cui nella formula (4) del
§ 24 si .ha Ex = Ey. = E. L'ellisse di dispersione (5) del § 24 si trasforma III un cerchlO
(8)
di raggio R = kE. La probabilita d~appartenenza della variabile
aleatoria bidimensionale al cerchio di raggio R sara conformemente
alIa formula (5)
_
R2
_p2_
_
P[(x, y). cD n]=1-e
E2
(9)
D e fin i z i ,0 n e 1. Si chiama scarto radiale probabile un
numero En tale che la probabilita d'appartenenza di una variabile
aleatoria bidimensionale al cerchio di raggio R = En 8 uguale a .i...
Risulta dalla definizione che la grandezza R = En 8 definfta
dalla relazione
E~
1
1 -e-p2 E2 =2"
Dalla tabella dei val~ri della funzione esponenziale ricaviamo
En = 1,75E.
§ 27
PROBLEMI DELLA STATISTICA MATEMATICA.
MATERIALE STATISTICO
Le osservazioni e la registrazione deifenomeni casuali di massa,
permettono di. ottenere dati statis'tiei, 0 il materiale statistieo. In
particolare, gli errori eommessi in differenti misure possono costituire un tale materiale statistico.
Se la gr~ndezza osservata 8 una variabile aleatoria, si applieano
al suo studIO metodi della teoria delle probabilita. Per eomprendere
534
AVVEN'IMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
la natura di questa variabile aleatoria e necessario conoscerne la
legge di distribuzione. La determinazione delle leggi di distribuzione
delle grandezze considerate e la valutazione dei val~ri dei parametri
della distribuzione sulla base dei val~ri osservati eostituiseono
l'oggettodella statistiea matematica.
Un altro compito della statistic a matematiea sta nella elaborazione dei metodi di trattamento e d'analisi del mate,riale statistieo
al fine di trarre determinate conclusioni ehe sono indispensabili per
l'organizzazione del proeesso ottimale al quale parteeipano Ie grandezze considerate.
Citiamo qualche esempio di osservazioni fatte su vari fenomeni
ehe permettono di raecogliere materiale statistico.
,,',
Ese m pi 0 1. La misura reiterata di un certo fenomeno per mezzo di
uno strumento di misura, in particolare la determinazione della distanza da un
oggetto, dil valori differenti della grandezza considerata. Questi valori Ii chiameremo valori osservati (chiameremo COS1 tutti i valori ottenuti in seguito aHo studio di un fenomeno qualunque).
I val~ri eosl ottenuti debbono essera sistematizzati e trattati
prima che si possano trarre conclusioni in merito.
Cb,me abbiamo gia detto, la differenza 6 tra il valore osservato x
ed il vero valore della grandezza considerata a (x - a = 6) 8 detta
errore di misura. Si puo esprimere quanto abbiamo detto nei termini
della teoria degli errori. Gli errori di misura richiedono un trattamento matematico al fine di ottenere determinate conclusioni.
Ese m p i 0 2. La produzione in serie richiede di controllare la deviazione
di una certa dimensione del pezzo fahhricato (per esempici; la lunghezza) da una
dimensione data (errore di fabbricazione).
Ese m p i 0 3. La differenza tra Ie coordinate del punto colpito durante
Ie esercitazioni di tiro e quelle di mira costituisce l'errore di tiro (dispersione). Tali errori richiedono uno studio matematico.
Ese m p i 0 4. n valore misurato della deviazione delle dimensioni di
, un pezzo usato, dalle dimensioni di questo pezzo prima della messa in funzione
(dimensioni di progetto) dev'essere sottoposto ad un'analisi matematica. Queste
deviazioni si possono considerare come « errori ».
Risulta dagli esempi citati che Ie grandezze considerate sono
variabili aleatorie e che ciascun val ore osservato dev'essere considerato come un val ore particolare della variabile aleatoria.
Per esempio, l'errore di gittata (dispersione) commesso nelle
esercitazioni di tiro '8 dovuto all'errore di misura della carica di
lando, all' errore di peso nella fabbricazione del proiettile, all' errore
di mira, all'errore di determinazione della distanza, al cambiamento delle condizioni meteorologiche, ecc. Tutti questi fattori
sono grandezze variabili aleatorie, e la dispersione come risultate del 101'0 influsso comune e la variabile aleatoria.
535 .
i
!
.
~L
\:
~-"
\
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA. Dr UN AVVENIMENTO
CAPITOLO VENTESIMO'
§ 28
Intervalli
SERlE STATISTICA. ISTOGRAMMA
mil.
II materiale statistico ottenuto in seguito a oSservazioni (a
misure) si dispone in una tabella. Nella prima riga e indicato il
Jlumero d'ordine della misura i, nella seconda il val ore ottenuto Xl
della grandezza misurata X
1
2
3
I I
n
X2
Una tabella del genere si chiama serie statistica semplice. Quando
il numero di misure e molto grande, e difficile avere una visione totaIe del materiale statistico sistemato in questa tabella e, di consegueIiza, la sua analisi e assai complicata.Per questo si forma no
gruppi in base alIa serie statistica semplice. Cio si fa nel modo seguente.
.
Tutto l'intervallo dei valori ottenuti della grandezza X e diviso
in intervalli parziali uguali (a o, al), (aI' a 2 ), • • • , (a"'_l' a;.,) e si
conta il numero mil. di valori della grandezza x che appartengono
all'intervallo (ak-l' ak)' I valori appartenenti agli estremi dell'intervallo vengono attribuiti 0 all'intervallo sinistro, oppure all'intervallo destro (si decide talvolta di dare la meta del val ore all'intervallo sinistro e l'altra meta a quello destro). II numero
*
Pk
I
I
I
e
la frequenza relativa corrispondente all'intervallo
(ak-ll ak).
E evidente che
1..
2J p~= 1.
I risultati di un tale trattameI].to ci permettono di compilare una
tabella formata da tre righe. Nella prima riga si indicano gli intervalli nell'ordine. delle all. crescenti, nellaseconda riga i numeri mil.
corrispondenti a questi intervalli, nella terza riga Ie frequenze
mil.
.
536
I
mz
pi
I .. . I
(ak_i. ak)
I I
I ...
mk
'"
P~
J
I ... I
I ... I
I ... I
(a;"_i. aJ.,)
m1..
pi
~
~
I
Xi
I
x2
mil.
I
I
ml
I
mz
pt
I
P:
p~
I ... I
I ... I
I I
'"
~
Xk
mil.
p:
I
I
'"
'"
I
I
I I
'"
~
XA.
mA.
p~
(2)
Ii=i
Pk=n:
pt
(ai. a2)
xk
(1)
n
mi
I
I
Abbiamo ottenuto cosl un gruppo. Si puo otten ere il gruppo
geometricamente nel modo seguente. Sull'asse Ox indichiamo i
punti a o , all "', all., ••• , a1... SuI segmento [ak--l' all.], preso
come base, costruiamo un rettangolo la cui area e uguale a P:'
La figura cosl ottenuta si chiama
istogramma (fig. 448).
p
Sulla base del gruppo e dell'istogramma si costruisce con
una certa a pprossimazione la funzio,ne statistica di distribuzione.
L 'ulteriore spoglio dei -dati e ao at 0 az a3 a" as a6 a7 a 8 a:
fatto nella maniera seguente. Si
indica con Xk Ie meta dell'intervallo (ak-l' ak), e questa val ore
si considera come risultato di una misura ripetuta mil. volte. Dopo
di che, al posto della tabella che rappresenta il gruppo, si compila
la tabella seguente:
~
*
-·=Pk
mh
(ao. ai)
Questo spoglio dei dati e realizzato partendo dal fatto che tutti i
valori contenuti nell'intervallo(ak_l' all.) sono prossimi gli uni
agli altri in modo tale da poter essere considerati uguali all 'ascissa
Xh. della meta dell'intervallo.
Ese m p i o. Sono state efiettuate 100 misure della distanza di un
oggetto i cui risultati ci hanno permesso di costruire il gruppo seguente:
537 -
CAPITOLO VENTESIMO
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
I:!Tf; 180-110 \110-140 1140~170 \170-200 1200-230 1230-260 1260-290 1290-320
come valori particolari della variabile aleatoria x. Prendiamo aHora
per val ore accettabile della grandezza da definire la media aritmetica
dei valori ottenuti
mh
I
2
,Ph 1 0, 02
I
5
\
1
0,05
16
\
24
1
28
I
0,28
1 0,16 1 0,24
18
I
6
I
1 0,18
I 0,06
n
1
1
2J Xi
i=1
*
mx=--.
n
1 0,01
La grandezza m~ si chiama media statistica.
Se il numero n di misure e grande, si usa allora il materiale della
tabella considerato nel § 28 e si calcola m~ nella maniera seguente:
Utilizzando i risultati del gruppo, eostrUlamo la rappresentazlOne graftea
della serie statistiea (l'istogramma) (fig. 449).
Fig. 449
>I<
X1
mx=
p
m1
+ X2~ + ... + Xhmh + ... + x",m",
n
oppure, servendosi delle notazioni (I) del § 28,
m~=
Q28
o.t8
o.f6
o,OB 0.01
a
170 200 230 260 290 320 X
Ph*
5
I
16
0,05
I
0,16
I
I I
I I
1
mh
I
155
125
95
2
0;02
I
185
I
24
I 0,24
\'
I
215
28
0,28
1
I
245
I
18
1
I 0,18
I
,Ii
: 1\'I
i
,
,I,
IfI
1, ;
, ri
J:
2J (Xi i=1
6
I
m~?
(3)
n
1
Questa grandezza caratterizza la dispersione dei valori di un' fenomeno osservato.
Se si ricorre al materiale delle tabelle del § 28, la dispersione
statistica e data allora dalla formula:
1
\ 0,06 1 0 ,01
DETERMINAZIONE DEL VALORE ACCETTABILE
DI UNA GRANDEZZA MISURATA
Supponiamo che i risultati delle misure di. una certa gra?dezza
, abbiano fornito i valori Xl, X 2 , • • • , Xn che Sl possono cons1derare
538
D*
305
275
§ 29
,\1
(2)
n
Costruiamo in seguito la tabella seguente:
Xh
2J'" XliP~;
1i=1
il valore ottenutci si chiama media ponderata.
o sse r v a z ion e. Nei casi che seguono denoteremo con una
medisima lettera i risultati dei cal coli eseguiti secondo Ie formuIe (1') e (2). Questa osservazione concerne anche Ie formule (3) e (4).
Si puo dimostrare che la media statistica, sotto alcune ipotesi
restrittive, tende in probabilita per n -+ 00 alIa speranza matematica
della variabile aleatoria x. Questa asserzione deriva dal teorema di
Cebyscev.
Determiniamo ora la dispersione statistica. Per definizione essa
e data dalla formula l ):
a24
~
(1)
I
:
h
'
D* =
.
Questa formula
2J (Xli li=i
m;)2p:.
e analoga alla formula
(4)
(2) del § 10.
Ese m p i o. Determinare la media statistiea e la dispersione statistiea
servendosi del materiale statistieo dell'es~mpio riportato nel § 28. ,
1) In realta e preferibile ealeolare la dispersione statistiea servendosi di
un'altra formula ehe diamo alIa pag. 542.
.
539 '
CAPITOLO VENTESIMO
Sol u z ion e.
I'
Ricaviamo dalla formula (2):
matica a (si puo ritenere, senza perdita di generalita, cke a '= 0) e di
n
LJ
dispersione
O'tteniamo secondo la formula (4):
2i
D* [x]=
(xk-m%)2 ?
n
~
?
~ (xk- mi)2Pk =
k=i
r-'
~
2J
*2
x~Pk-mX
=
.. k=i
=952.0,02+1252.0,05+1552.0,16+1852.0,24+2152.0,28+
+245 2.0,18+275 2.0,06+305 2.0.01- (201,20)2= 1753.56.
xn
§ 30
VALUTAZIONE DEI PARAMETRI
DELLA LEGGE DI DISTRIBUZIONE.
TEOREMA DI LIAPUNOV. TEOREMA DI LAPLACE
x
n
Siano una variabile aleatoria, per esempio il risultato di una
'misurazione, a la grandezza da mis'llTIlIe, .2-.)'errore di misu!,a.
Queste grandezze sono collegate allora dalla reIazione
(1)
I numerosi esperimenti e Ie osservazioni dimostrano che dopo aver
~nato l'errore sistematico, cioe un ,errore costante in tutte
le_misure(ad esempio, l'errore commesso dagli strumenti) oJlJlure
un errore che varilLSecQI').do _una tegK~_:rJ..Qta_.da ~na misurazione
\ /' i al~'al~fa,e ~o'pQ_~~_e,~~~~~~to ~i errori g:oss.ola~I; ~h error1' di\,
\ \ I.IDlsura _ubJnd.1§IlQl!SL_l'!:l1a::iegg!3 normale dl dlstrlbuzlOne avente '
\ ilP~e~tr~~~~~~zio~~1.:~~i~~~el1e?o'o~.~linate. Questo fatto I:
It e confermato anche da conslderazlOlll teorlChe.
'.
Se una variabile aleatoria e la somma di un gran numero di
variabili aleatorie, questa somma, sotto certe condizioni restrittive, segue la legge normale di distribuzione. Questa asserzione
e formulata nei termini del teorema limite centrale stabilito da A.
Liapunov (1857-1918). Enunceremo qui questo teorema in forma
alquanto semplificata.
Teo rem a 1. Se le variabili aleatorie indipendenti Xl' z , ..•
. . ., xn
x
seguonoJ la stessa legge di distribuzione di speranza, mate-
540
Xi
i=';;. ,
L'importanza pratica del teorema di Liapunov consiste in quanto
segue. Si considera una variabile aleatoria, ad esempio, 10 scarto
di una certa grandezza da un valore dato. Questo scarto e dovuto
all'azione simultanea di numerosi fattori ciascuno dei quali da una
certa componente della scarto. Non ci sono note tutte queste componenti, come pure possono risultare incognite Ie leggi di distribuzione
delle variabili aleatorie componenti. Ma segue dal teorema di Liapunov' che la variabile aleatoria, ossia 10 scarto generale, ,obbedisce
aHa legge normale.
sono
Risulta dal teorema di Liapunov che se x;, , ;2' ... ,
i risultati delle misure di una grandezza (ciascuna it e una
vadabile aleatoria), aHora la variabile aleatoria definita daHa media
aritmetica
n
k=i
allora la legge di distribuzione della somma !in =
cr n
quando n cresce infinitamente, differira assai poco dalla Zegge normaZe
(Yn e distribuita. secondo la norma in modo tale cke M (Yn] = 0,
o [!in] =1).
+215.0,28+245.0,18+275.0,06+305.0,01 = 201,20.
r-'
0'2,
.,I
obbedisce, per n sufficientemente grande, ad una legge di distribuzione assai prossima aHa legge normale, a condizione che Ie variabili aleatorie Xl obbediscano ad una stessa legge di ~is,tribuzione.
Il teorema rest a valido anche per somme di varhibili aleatorie
che obbediscono a leggi di distribuzione diverse, sotto certe condizioni
complementari che sono di regola soddisfatte per Ie variabili aleatorie
considerate in pratica. L'esperienza dimostra che per un numero di
termini non superiore a 10 si puo ormai ritenere che la 101'0 somma
sia distribuita n o r m a l m e n t e . '
Denotiamo con e 2 i valori approssimati della speranza matematica e della dispersione. Possiamo aHora scrivere Ie leggi approssimate di distribuzione delle variabili aleatorie (j ed X:
aa
-
1
-fJ2
f (6) =--=e 2cr2
alhn
,
,
(x-a'j2
1
---f (x) = =--=e 2cr2 •
crlhn
541
(2)
(3)
_.i
CAPITOLO VENTESIMO
AVVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
parametro
determinato a partire dai dati sperimentali secondo
la formula (1) del § 29:
quel val ore assoluto I Ymed I nella serie dei valori assoluti che sta
. al (n 2 1
1 ) - esimo posto; se n e pari, si adotta per Em la media
n
ae
n
I':
LJ Xi
1=1
a=--.
n
(4)
Cia risulta dal cosiddetto teorema di Cebyscev (1821-1894). Senza
"soffermarci sulla dimostrazione, indichiamo che per valutare il
parametro (J sarebbe pin naturale servirsi non' della formula (3) del
§ 29, bensl della formula
+
aritmetica deivalori assoluti che occupano i posti di indici ~ ed
.,
~+1.
"
Valutiamo poi l'errore aritmetico medio secondo la formula
n
i
n-1
i
i.'.1
(6)
n
;:i
i
.'
LJ IYII
d=.;..t=...;t,-_
(5)
Con 1'aiuto della formula (5) determiniamo 10 scarto quadratico
medio
- {1~1Y~
Notiamo che il secondo membro della formula (5) e il secondo
membro della formula (3) del § 29 differiscono per il fattore n n'l'
che nei problemi pratici e prossimo all 'unita.
Ese m p i 0 1. Dare l'espressione della legge di distribuzione della
variabile aleatoria servendosi dei risultati di misurazione citati nell'eseID:pio
del § 28 e dei risultati dei calcoli nell'esempio del § 29.
Sol u z ion e. Partendo dai calcoli efiettuati nell'esempio del § 29,
otteniamo:
a=m~=201,
-2
n
100
cr =ii=1 D* ='99 .1754= 1771,
a= V1771 ~ 41.
Riportando questi val~ri nella formula (3), avremo:
(x-201)2
f(z)
1
---::= e
41
2 ·1771
lI21t
o sse r V a z ion e. Se si considera la funzione statistica di·.
distribuzione per una certa variabile aleatoria, la questione sulla
sua subordinazione 0 no alIa legge normale di distribuzione si puo
risolvere nella maniera seguente.
Siano dati i valori della variabile aleatoria:
0'=
Determiniamo in fine i rapporti
(7)
--.
n-1
E:;
ed
Ecr .
Per una varia bile' aleatoria subordinata alIa legge normale,
i rapporti
ed
sono rispettivamente uguali a 0,8453 e 0,6745
! !
(vedi formula (6) del § 22). Se i rapporti
E:;
e'd
Ecr differiscono rispet-
tivamente da 0,8453 e da 0,6745 per meno del 10%, si ammette
convenzionalmente che la variabile aleatoria Y obbep,isce alIa legge
normale.
Quale corollario del teorema limite centrale e I importante teorema di Laplace sulla probabilita che I 'evento si verifichi non meno
di a volte e non pin di ~ volte. L'enunceremo senza dimostrazione.
Teo rem a 2 (d i Lap I a c e). Se si janno n prove indipendenti tali eke la probabilita del verijiearsi di un evento A
a p per ciaseuna di esse, si ka la relazione:
e
uguale
'
Xl, X 2 , ••• , X n •
Determiniamo con l'aiuto della formula (4) la media aritmetica
Determiniamo i valori della variabile aleatoria centrata
a.
Yl, Y2' .•. , Yn •
Formiamo una serie di valoriassoluti di Yi in or dine crescente.
Se n e dispari, si adotta per scarto mediano od errore mediano Emed
542
e il numero
di realizzazione dell'evento A, q = 1 - p; Pea <
it numero di rea.lizzazioni dell' evento A
sia eompreso tra a e [1.
La funzione cD (x) e definita alIa pag. 514.
dove m
<m<
~)
e la proba.bilitlL eke
Diamo qualche applicazione
risoluzione dei problemi.
,'I·
.:
,..(
del teorema di Laplace alIa
A VVENIMENTO ALEATORIO. PROBABILITA DI UN AVVENIMENTO
CAPITOLO VENTESIMO
, .
,:
;! '
Ese m p i 0 2. La probabilita di un difetto nella fabbricazione di certi
-pezzie p = 0,01. Determinare la probabilita che su 1000 pezzi il numero di
pezzi 'difettcisi non sia superiore a 20.
8 0 I u z ion e. Nel caso considerato
n = 1000, p = 0,01, q = 0,99, r:t. = 0, ~ = 20.
Troviamo allora:
r:t.-np
0-10
=.-2,25,
V2Vnpq V 2 V 9,9
20-10
~-np
V21/9,9 2,25.
V2Vnpq
f
I
Otteniamo con l'aiuto della formula (8):
,
1
P ~o <. m
20) =2' [Ill (2,25)-1ll (-2,25)]=<1> (2,25).
-<
DaIle tabelle per la funzione <1> (x) ricaviamo:
P (0
m
20) = 0,9985.
-< -<
. Osse!v!a,mo che ~ teoremi di. Bernoull~, ~iapunov, Cebyscev, Laplace
del qual! Sl e parlato III questo capltolo, costltUlscono la cosiddetta legge dei
grandi numeri della teoria delle probabilita.
"
E8ERCIZI
1. 8i lanciano simultaneamente due
dadi. De~erminare la probabilita
che la somma dei punti apparsi
sia uguale a 5. Risp. 1/9.
2. In una lotteria ci sono 10 biglietti di cui 5 vincenti e 5 nulli.
Prendiamone due. Qual 8 la
probabilita di vincere? Risp. 7/9.
3. 8i lancia un dado 5 volte.
Quale 8 la probabilita che almena
una volta non appaia la cifra 4?
Risp. 0,99987.
4. La probabilita di colpire un aereo
sparando con un fucHe e 0,004.
. Quanti tiratori debbono sparare
simultaneamente perche la probabilita di colpir!) l'aereo sia
superiore al 70%·? Risp. n > 300.
Jj. Due cannoni hanno sparato un
colpo ciascuno su un bersaglio.
La probabilita che il primo cannone colpisca il bersaglio e 0,7
e del secondo 0,6. Determinare la
probabilita che almena un colpo
vada a segno. Risp. 0,88.
6. 8i hanno 100 biglietti, numerati
da 1 a 100. Determinare la probabilita cheun biglietto scelto
a caso sia 5. Risp. 1, 19.
7. Vi sono 4 macchine.· La probabilita che in un momenta t arbitrario funzioni una macchina 8 0,9.
Determinare la probabilita che
nel momento t funzioni almena
una macchina. Risp. 0,9999.
8. La probabilita di cogliere un
bersaglio e p = 0,9. Determinare
la probabilita che in una serie
di tre colpi sparati tutti e tre
vadano a segIlo. Risp. ~0,73.
9. Una cassa contiene i1 30% di
pezzi di qualita superiore, una
seconda cassa i1 40%. 8i estrae
un pezzo da ciascuna di esse.
Determinare la probabilita che
ambedue i pezzi estratti siano
di qualita superiore. Risp. 0,12;
10. Un meccanismo 8 composto di tre
pezzi. La probabilita di un difetto 8 Pl = 0,008 per il primo
pezzo, P2 = 0,012 per i:1 secondo,
Pa = 0,01 per il terzo. Determinare la probabilita che tutto il
meccanismo
sia
difettoso.
Risp. 0,03.
11. La probabilita di colpire un
bersaglio con un solo colpo e p =
= 0,6. Qual 8 la probabilita che
544
I
I
i
I
t
~i
!
1
dei tre colpi sparati almena uno
vada a segno? Risp. 0,936.
f2. 8u 350 meccanismi 160 sono di
prima, 110 di seconda e 80 di
terza qualita. La probabilita di
difetto e di 0,01 :Rer i meccanismi di prima qualita, di 0,02
per i meccanismi di seconda qualita, di 0,04 per i meccanismi di
terza qualita. 8i sceglie a casaccio'
un meccanismo. Quale 8 la probabilita che esso non sia difettoso?
Risp. 0,98.
13. 8i sa che a causa di errori commessi nella preparazione del tiro
iI.centro didispersione dei proiettili (CDP) puovenir a trovarsi,
al primo. colpo, in uno di cinque
punti. Le probabilita che i1 CDP
si trovf in questi puriti sono
rispettivamente: Pi = 0,1, P2 =
= 0,2, Pa = 0,4',P4 = 0,2 e P5' =
=' O,L 8i sa mche che se i1 CDP
si trova' nel p:dmo punto, la proh.abilitadi colpire il bersaglio
iit· gittata sara Pi. = 0,15, e per
gli altd punti rispettivamente:
colpi siano alti e 3 colpi corti.·
Risp. 5/16 . .
17. Trovare la speranza .matematica
del numero di punti quando un
dado e lanciato una sola volta.
Risp. 7/2.
18. Trovare la dispersione della variabile aleatoria x data dalla
tabella di distribuzione:
.'
2
3:1
5
':.
,i
p
0,1
0,6
\. 0,3
15. 8i sparano 6 colpi. Determinare
la probabilita che non tutti i
colpi siano alti, se la probabilita
del colpo alto e P = 1/2 .e del
colpo corto q = 1/2 (il tiro su un
bersaglio « stretto }». Risp ..31/22.
16. Nellecondizio.ni del problema ,15,
determinare la prbbabilita· che 3
'24. Un·l!.· variabile aleatoria x '8 data
· dalla funzione-integrale di distri-
35-0330
..,
.i
Risp. 1,05.
19. La probabilita del verificarsi di
~ event? A'nel corso di uI!-a prova
e O,~ •. 81 fanno 5 p.rove ~ndipen· dentl.Trovare la dispersIOne del
numero di realizzazioni dell'evento' A. Risp. 1,2.
20. 8i fanno esercitazioni' di tiro
a·segno. La probabilita di colpire
il persaglio. e 0,8. Si spara sino al
prImo colpo' a segno. Ci sono
a ·disposizione 4 'proiettili:' Determinare la speranza matematica
del numero di proiettili usati.
Risp. 1,242.
. .
·21. Nelle esercitazioni di tiro a
.b~rsliglio « sotti!e >), la probabilita
dl colpo alto e 1! = 1/4 e di
colpo corto q == 3/4. Determinare
". la probabilita di una combinazione
· di 2 colpi lilti e di 4 colpicorti
se vengono sparatf sei.colpi. Risp.
0,297.
.
22. La prohabilita che un pezzo sia
difettoso e p = 0,01. Quale e'
la probabilita che in una partita
di 10 pezzi vi 'siano 0, 1, 2 3
pezzi difettosi?' .Risp.Q,9045;
0,0904: 0,0041; 0,0011.
23. Trovare Ie probabilita di ottenere
almena un colpt> a· segno su 10
colpi sparati, se la prohabilita di
cogliere il bersaglio per ogni colpo
e p = 0,15. Risp. 1 - (0,85)10 ~
Pz=0,25; Pa=0,60,
P4=0,25, P5=9,15.
Aggiustata la mira e stato
sparato un colpo che non ha
raggiunto il bersaglio. Qual e la
probabilita che sia stata presa la
mira corrispond,ente a ciascuno di
questi punti? In .altri termini, si
chiede di determinare la probabilita dei 'casi relativi ai .diversi
errori nella posizione del CDP
dopo la realizzazione della prova
(sparo). Risp. 0,85; 0,75; 0,4,0;
0,75; 0,85.
'
.
14. 8i lancia un dado cinque volte.
Quale e' la probabilita che due
volte appaia il sei e tre volte altro
numero? Risp., 625/3888.
II
~·0,803.
545
11
,'.
:'i
:1
II
,jl
,III .
iI
r
I'
I
I
.1·
CAP~TOLO
buzione
°per,;.
VEl'fTESIMO
AVVEl'fIMEl'fTO ALEATORIO. PROBABILITA DI Ul'f AVVEl'fIMEl'fTO
= 15 m, y = 35 m serve da
bersaglio n~lle esereitazioni di
tiro. La direzione di tiro divide
'P(z)= :c perO<x<1,
. illato corto a: 'due meta. Gli scarti
.,
1 per 1<x.
.prohabili di dispersione son~ Ex =
=' 5 m, Ey = 10 m. TFovare la
Trovare la densita· di ,distribu- prohabilitadieolpire il rettangolo
zione f (x), M [x], D [x]. Risp.
con un colpb sapartoi Risp.: 0,25.
'
0 per x<O,
30. L'errore eli. fahhricazione di un
pezzo di 20 em di .lunghezza e
1 per 0<x<1, M'[x]=
una variabile 'aleatoria chs segue
l'
.- -- 1
la legge normale; cr2 = 0,2 cm.
{ =2" t D [xl=12 ,
Determinare la' probabilita ehe
la lunghezza del pezzo fabbricato
. 0 per 1 < x.
differisca dal valore dato per meno
di 0,3 cm. Rtsp. 0,866.
25. Una variabilealeatoria 'a: obbe"
disce alIa legge normale di 'dt- 81. Nelle eondizioni deU'esempio 30,
'. stribuzi'OIiIl con speranza' 'materna,;; .
determinare l'srrore 'di fabbricatica . 30 e con dis~ersione 100.
zione di un pezzo ehe non potral
Trovare la probabilita che n valoessere sup erato eon una probahilire della variabile aleatoria appar:"
ta 0,95. Risp. 0,392.'
.
tenga all'intervallo (10; 50). Risp. 32. Una variabile aleatoria x e distri- i
0,954.
.
buita secondo la legge normale di
26.' Una variabile aleatoria obbeparametri M [x] = 5 e cr = 2.
disce alIa legge normale di
Quale e la probabilita che ill
2
distribuzione con dispersione cr =
valore. di questa variabile appar= 0,16. Trovare la probabilita
tenga all'intervalIo (1; 10)? Farel
che il valore' della variabile aleail disegno. Risp.O,971.
toria differisca in ·"albre asso- 33. La lunghezza di un pezzo fabhriluto dalla speranza matematica
cato da una maechina utensile e
.
per meno di 0;3. Risp. 0,5468.
una variabile aleatoria ehe obbedi27. Una variabile aleatoria x ohbesce alla legge normale di distribudisce 'alIa legge normale di
zione {lon pai'ametri M [x] = 15
distribuzione con centro di dispere cr = 0,2. Trovare la probabilita
sione a = 0,3 e con misura. di
del difetto se Ie dimensioni amprecisione h = 2. Trovare la promissibili del pezzo sono15 ± 0,3.
babilita d'apparteneJ;lza all'interQuale preeisione -. di lunghezza
vallo (0,5; 2,0). Risp. 0,262.
del pezzo fabbricato si puo
garantire con :una probabilita
28. Una striscia larga 4 m serve
0,97? Fare il disegno.·
,
da bersaglio nelle esercitazioni
di tiro. L'errore sistematico di 34. Misurando una' grandezza e stata
e uguale ad 1 m..
mira
ottenuta: la seguente serie staLo scarto probabile e di 5 m.
tistica:
{
:c
< 0,1
.
-rex) -... -
1
Frequenza
"
20
2
, 15
Trovare la probahilita di eolpire
la striscia se vale la legge normale
di dispersione. Risp. 0,211.
29. Un rettangolo limitato dalIe rette
Xl = 10 m, ;1:2 ~ 20 m, '~Y1 =
,'
i
3
,I
. 10
I
4
,
5
I
X
Frequenza
I
0,18
I
4
I
I
I
0,20
..
18
0,22
33
/
a
I
0,24 .
I
35
./
0,26
.,
0,28
..
I
9
,I
1
Determinare la media statistica
saglio e p:::d 1/2. Quale ella,
probabilita che su 250 eolpi spara-'
e la dispersione statistica 02'.
ti il numero di eolpi a segno sia,
Risp. 0,226; 0,004.
.
eompreso tra 100 e 150? Risp.:
86. La probahilita di difetto nel
0,998.
eorso di una eerta produzione .,38. La prohahilita di un difetto dD
e p = O,02.''Trov.are· la prohabilifabbrieazione di aleuni' pezzi
til che in una partita di 400 pezzi .
e p = 0,02. Determinare la proil numero di pezzi difettosi sia
babilita ehe tra 1000 pezzi scelti
compreso tra 7 e 10. Risp. 0,414.
a caso ilnumero di pezzi difettosi
37. La prohahilita di eolpire un bernon superi 25. Risp. 0,87.
I
.....
,i
I
I,
l
I
i
I
I!
".
Determinare la media statistica
,e la dispersione statistica. Risp.
!I
: . " '"
11
:1
2; 1.
,11
35. I risultati diuna mislira' sono
.dati dana: tabella seguente:
·,1
li
35*
1
i
MATRICI
CAPITOLO XXI
si chiama matrice dell'applicazione (1). I simboli II
\I 0 ( ) sono
i simboli della matrice.
.
Le matrici vengono designate anche con una sola 1ettera, per
esempio con A 0 II A II,
1z
A = II au a ll.
(2)
.a21· a22
Il determinante formato. degli elementi di questa matrice (10
designeremo con 6" (A»
'111#
MATRICI. SCRITTURA MATRICIALE
DEI SISTEMI E DELLE SOLUZIONI
DEI SISTEMI Dl EQUAZIONI
DIFFERENZIALI LINEARI
Iau a121 :
§1
TRASFORMAZJONI LINEARI.
..
6" =
. al.Z a22
si chiamadeterminante della matrice.
MATR~CI
Consideriamo due piani P e Q. Sia dato nel piano P unsistema
df coordinate ortogonali X10X2 e neI piano Q un sistema di coordinate Y10Y2'
. .
I piani P e Q possono coincidere. Possono coincidere anche i
sistemi di coordinate. Consideriamo il sistema d 'equazioni
Yi .....:.. aUxi
Yz = aZ1 x 1
Fig. 450
+ ai2x
+ a22XZ'
Z,
(1)
In virtu delle uguaglianze (i),
a ciascun punto M (Xl. X 2) del
piano' (X10X\l) corrispoilde un
punto M (Y1' Y2) del piano
-o."J----- (yPY2)'
.
a
Yt
Si dice allora che Ie equazioni
(1) sono trasjormazioni lineari
delle coordinate. Queste equazioni applicano il piano (X10X2) a1
piano (YiOY2) (ma non necessariamente a tutto il piano). Siccome
Ie equazioni (1) sono lineari, anche l'applicazione e detta applicazione lineare.
.
Se consideriamo nel piano (xpx 2 ) uncerto campo A, Ie uguaglianze (1) possono servire a definire un insieme di punti A del piano
(Y10Y 2) (fig. 450).
Os s e r v a z ion e. Si possono considerare anche Ie applicazioni non lineari
Y1 = <P (Xi, X Z),
Y2 = '\jJ (Xl' x 2)·
Ci limiteremo qui aUo studio delle applicazioni lineari.
L'applicazione (1) e interainente determinata dai coefficienti ali'
Ese m p i
i
'I
0
1. L'applicazione
II ::: ::: I
0
548
Yl
=
Xl COS
Y2
=
Xl
ct - X 2 sen ct,
sen ct + X2 cos ct
e una rotazione di un angolo ct. Questa applicazione fa corrispondere a ciascun
punto M di coordinate polari (p, 8) un punto ii1di coordinate pol~i (p, 8
ct),
se i. sistemi di coordinate (x10X2) e (y10Y2) sonG coincidenti (fig. 451).
+
Fig. 452
Fig. 451
x,
o
.. La matrice·di questa applicazione
",.
y,
e
..4=11 sen
cos ct-sen ct II.
ct cos ct
Ese m p i
e una
0
2. L'applicazione
Y1
Y2
= kXl'
= 3: 2
dilatazione lungo l'asse,Ox1 con coefficiente di dilatazione k (fig. 452).
matrice di questa applicazione e
.
~a
A=II~ ~II·
a12 , a 2l' a 22 •
La tabella rettangolare formata da questi coefficienti e scritta
nella forma
(3)
Ese m pi
0'
3.
L'applicazione
Y1
Y2
= kx1 ,
= kX2
e una dilatazione di k volte sia lungo l'asse OX1 che lungo l'asse 03: 2 (fig.
549
453).
I,
r
CAPITOr.O VENTUNESIMO
La matrice di questa applicazione
MATRICI
e'
Si 'possono considerare Ie trasformazioni lineari a matrice non
,quadrata, cioe una matrice ,nella, quale il numero di righe non
~ uguale al numero !Ii colonne. CosI, la trasformazione
A=II~,~II'
Ese m p i
0
4. La trasformazione
Yl . , 'aUxt'~ d12X2, }
Y2
a2i X t
a22x ,
y~ 'aSixi
0;82 X2
, Y1 =,-x1',' '
= %2
,stchiama trasformazione'di stmmetrta rtspetto; all'asse OXa (fig. 454)., ,
.t...
La matrice di questa trasforma.
Fig. 453
zione e
',
' .. '
A=II-~ ~II·'
k=3
, Ese m p i
zione
=
Yl
I
zio
(Yl' y,};, Ys)· '
La matrice di questa trasformazione
A
(7)
=;: a21, a22
a:i1 ail2
+ t..xa
,".::
I
Si considerano matrici aventi un numaro arbitr,ario di righe e di
colonne. Le matrici sono utilizzate non solamente per Ie trasformazioni lineari, ma anche per altri fini. Per questo Ia matrice eun ente
matematico indipendente analogo alla nozione di determinante.
in seguito alcune definizioni conness,e alla nozione di
matrice.
Daremo
.
'.
.
\
o
Yt
§2
Si puo considerare un'applicazione line are con nu~ero qualunque
di variabili.
Per esempio, la .trasformazione
Yi = afixi
Y2 -:- a21 x i
e
'
e
aH a12
si chiama traslaztone'nella dtreztone
dell' asse Ox~ (fig. 455), La matriqe .d,i
questa trasIormazione e
:, ' ,,'
=El
I
xl
(6)
e un'applicazione del piano X l OX 2 ad un insieme di punti nello spa-
5. ,La trasforma-
= X2
'Ya
I
0
+
+
=
Ya
Ys = aSfxi
+ ai2x 2 + aiSxS, }
+ a22x 2 + a2SxS,
+ aS2x + assxs
2
e
:;Cz
-~JIJ
0
!:It
spazio tridimensionale (Y1' Y2'
zione e
Ys).
au
A= .'
aHo
,
ill'2
. ...
tLm1 tLm2
...
'
.. ,
Si scrive anche pili succintamente:
'
A .
XI,
Yt
La matrice di questa trasforma-
II au II
aln
(1)
tLmn
"
(i = 1, 2, ' , "m;
j,: 1, 2, ' , "n),
(2)
dove ail sono gli elementi della n;tatrice.
',
Se il numero delle righe 'e uguale a qu'ello· delle colonne m = n,
la matrice si, dice quadrata:
"
au a12 " , ai~
A=
a21 a22
.. '.
a2n
(3)
.'
au
A =
Yz
=.=~
xL
a
X 2 , Xs) ,
Fig, 455
x 2 Yz
~--
D fin i z ion e 1. Si chiama matrtce una tabella rettangolare
contenente mn numeri e formata di m righe e di n colonne
'
un 'applicazione della spazio tridimensionale (Xl'
Fig. 454
DEFINizIONI GENERALI
INERENTI ALLA NOZIONE 'DIMATRICE
n
ani a 2 ,. , ann
a12 alS
a2l a22 a2S
aSl aS2 ass
550
(5)
, D e fin i z ion e 2, n determinante formato da elementi di
una matrice quadrata e detto deterrriinante della matrice; 10 denotere-
551
mo con/::. (A):
/::. (A)
au' a12 ... a1n
a2l aZ2 ... a2n •
=
(4)
anI a n2 '" ann
Si osservi che una matrice non ,quamata non possiede rleterminante.,
,
De fin i z ion e 3~' La matrice A*e detta la trasposta della'
matrice A se Ie colonne della matrice A sono Ie righe della IIlatrice A*.
>"
"
" MiATRIcr"
CAPITOLO VENTUNESIMO
,
,>
Ese m p i o. Sia
ovvero
II aii II = [I bi} II
se
(i =
. .. ,
1, 2,
Ii
m; j = 1, 2, . '," n),
(8)
(9)
. E opportuno talvolt;;t identificare l,lna rriatrice-colonna con un
vettore nellb spazio di dimensione corrispodente dove gli elementi'
della matrice sono Ie proiezioni di questa vettore sugli assi' delle
coordinate corrispondenti.. Possiamopercio scrivere
Xl
(10)
X2, =Xli,+X2i+xak.
Xa
E opportuno talvolta ldentificare con un vettore anche unamatrice-riga.
La matrice trasposta A'" sara
A *= II' au
"',
a2I:a3~11 :'
§ 3
, ai2 a22 a32
i
D e fin i z'i 0 n e 4. La matrice A e detta'siinmetrica rispetto
alla diagonale principale, se,au = aji, E.evidente che una matrice
simmetrica coincide con la sua trasposta.
D e fin i z ion e 5. Una riiatrjce quadrata nella quale tutti
gli elementi non situati sulla ,diqgonale princi pale sono nulli si
chiama matrice ,diagonale. Se gli elementi di una matrice diagonale
situati sulla dhlgonale "jlrincipale sonouguali all'unita, la matrice
si c1;liama matrice unitaria. Designamola con la lettera E:
~ 1 0 ... 0
,
E
,
=? .1.-,:" ?
(5)
. 0 0 ... 1
D e fin i z ion e 6. Si considerano matrici formate di una
sola colonna 0 di una ,sola 'riga:
y
=
IlY1Y2 ... Ym
II·
(6) ,
Xm
La prima si chiama matrice-colonna, la seconda' matrice-riga.
, D e fin i z ion e 7.' 'Due matrici' A e B sono dette uguali
se esse hanno un num~ro identico' di righe e di colonne e se i loro
uguali, cioe
elementi
sono tutti·
... corrispondenti
.'
"
....
.'
,.
A = B,
(7)
';'
,
552,
TRASFORMAzIONE INVERSA
, Segue, dalle equazioni(1) del § 1,
Yl = aU x l aI2:j;2, '}
(1).
Y2 = a2l xi
a22 x2
che l'applicazione del piano XiOx2 al'piano y10Y", eunivoca percM ad
ogni punta del piano X10X 2 corrisponde un solo punta del piano y10Y2'
Se il determinante della matricee differente da zero
+
+
=
Iaua2l a121
=1= 0
a22
oppure aUa22 - a2laI2 =1= 0,
(2)
.,
allora, come e noto,' il sistema d'equazioni (1) puo avera un'unica
soluzione rispetto ad xi ed x 2:
/::. (A)
I~~ :~: I
au ai2 \ '
\ a2l a22
oppure in forma espHcita
,
a22
- ai2
)
'Xl=-Yl +--Yz, I
/::.
/::.
~
-a2l
au:
X2=-/::.-Yi
Vi'
+-/::.
5.53.
JI
,
(3)
j
I:
I'
CAPITOLO· VEN'l'UNESIMO
MATHIeI
A ciascun punto M (Yl' YIl) del piano YI0YIl corrisponde un'de-terminato punto . ¥. (x!., XI!) del p~a~o, xlOXI!' In questa ·caso. l'applicazione (1) €I detta biunivoca (non degenere). La trasformazione(3)
delle coordinate (YI' YIl) in coordinate (Xl' XI!) (3) €I detta inversa.
In questa caso 1'applicazione inversa €I anche lineare. Notiamo che
un'a.pplicazione lineare non degenere ·e detta affine. La matrice
della trasformazione inversa €I una matrice che denoteremo con A -1:
e hiunivoca percM il determinante
e differente da zero:
.
.
A (..4.) della matrice della trasforniazione A
12 . 11
.
A(A)= 1 -1 =-3.
La trasformazione inversa sara
.
1
.
'
..
1
X1="3 Yt+3'Y2,
.
j-
1
A- i =
a22
- ai2
~
~
-a2!
afi'
~
..
2
XIl =3' U1-3' YI!'
,-
(4)
Conformemente alla formula (4), la matrice deJla ,trasformazione inversa sara
1 '1
1
A-
~
Ese m p i
(5)
I
. la trasformazione (1) €I detta degenerej essa non sara biunivoca.
Dimostriamo questo, fatto. Cogsideriam() iseguienti duecasi
possibili:
1) Se all = aU. = a ll1 = all II , 0,' allora· per ognixi' edXIl ci
saranno Yl = 0, Yll = O. 11;1 questa caso ,ad, ogni punta (Xl' XI!) del
piano xlOxl! deve corrispondere l'origine. delle coordinate del pia. no y10Y2'
.
.
2) Supponiamo 'che almeno uno dei coefftcienti ·dellatrasforma':'
zione sia differen.'te da zero, per esempio all ::;6: O.
.,
.
Moltiplicando la prima delle equazioni (1) per al!l,<la seconda
per ~l e sottraendo otteniamo, tenendo conto della uguaglianza (5):
a~i Il'Yi = ai~x1 + a12x2,
au Y2 = a21 xi + a22x2;
a21Yi- auih .
O.
(6)
Dunque, qua1unque siano Xl ed X 2 , si ottiene per i va10ri Yl ed Y\l
l'uguaglianza (6), cioe, it punta cQrrispondente. ,del, piano xlOx\l
appartiene alIa retta (6) del piano Y10Y\l~,E evidente che questa applicazione non €I biunivoca. perche a ciascun punta della retta (6) del
piano YiOY2 corrisponde un Insieme di punti del piano xpx ll situati
sulla retta Yl = ~lX1 + alllx ll •
.
. . ,
In ambedue i casi I'applicazione non €I biunivoca.
Ese m p i
0
1. La trasformazione
'Ill ~
Y2=
2xl +'x 2
Xl -
554
x';
33
1
2,
'3-3'
Se il determinante della matrice A €I nullo:
i
=
e
2. La trasformazione line are
iil = Xl 2x2 ,
h= 2xl+ 4x g
degenere percM il determinante della matrice della tra'sformazione
0
+
A (A)=I~
!I=o.
Questa trasformazione fa corris'pondere a tutti i punti del piano (xl! x2)
ipunti della retta Us - 2Yl = 0 del piano (Yl' Us),
,
'
§ 4
OPERAZIONI SULLE MATRICI.
ADDIZIONE'DELLE MATRICI
D e fin i z ion e I. B.i chiama somma di duematrici II aiJ II
e II biJ II aventi 10 stesso numero di righe e 10 stesso numero di colonne
Ia mattice II eii II il ~ui elemento ell €I uguale alla somma alj + biJ
deg1t. e1ementi corrispondenti delle matrici II au II e II bil II doe
II au II
se
+ II btl II = II etl II,
(i ~1, 2, ... , m; .j = 1, 2; ~ . " n).
Esempio 1.
(1) ,
(2)
,
, II alli
at! a11l1·' + II bu bill' I = II au + bu at2 +b1211.
a22
blli bll2
. a2! +b21 allll +b21l
.
I
E deftnita in modo ana1ogo 1a differenza di due matrici. .
L'opportunita di una tale definizione di somma di due matrici
deriva dalla rappresentazione dl un vettore sotto forma di .una matrice-co10nn a.
555
T
.
CAPITOLO VENTUNESIMO
o pili brevemente
Moitiplicazione di. una matrice per un
n u mer o. Per moltiplicare una matrice per un nu:tnero 'A, occorre
moitiplicare ciascun element~ d.ella matrice per questo numer,?
'A
II at'} II
=
'II 'Aaij II.
0=11 C21
cli
(3)
La matrice (9)
Se 'A e un numero intero, ·Ia formul8. (3) si ottiene come conseguenz{\ della regola d'addizione di due matrici.
bH
did u e
0
ill:
. ,
+
+
.A
.I
b mi
Sv-pponiamo inoltre che sia fatta Ia trasformaziorie del piano
y10Yz suI piano zlOzz
+
Zl
bi1Y~ ,bizYz,
Z2 = b2iYi +~ b 22Y2
=
la cui matrice di 'trasformazione
}
ai211=llbuau + b 12aa 2i b ai2+ bi2aZ211'
11.11 au
a2l a22
bZi au + b ZZ 2i bZi aiZ + bZ2a22
U
bit biZ ... bill. au
aZi
I
(5)
e detta il prodottodelle matrici(7) e (5) e si scrive
bm2
.. .
-
e
+
b2i (aUxi + ai2x 2) +b22,(a21x1 + a22x2)
ovvero
Zi
= (buau + ,bi2(z2i) Xi
= (b2!aii ,b2ZCz2l) Xi
+
+ (b ii a i2 + b iZa 22)X2,
+ (b~iai2:'+ b2Za h) X2;
(8)
}
,
'!lbii~U+
bi~~2i'
a
'b Z1 ii
+ b ZZaZ1
556
biia12+bi2a22!!.
b 2l a I2
b ZZ a22 \
+
aM ak2
...
...
akj
akn
Cin
(9)
Cmn
11.
eij = ,,=i
2} bO.a"i
.
1)
.
(13)
••• Cp •••
L 'elemento Cij della matrice C che rappresenta il prodotto di
Bper A, e uguale alIa somma dei prodotti degli elementi che si
trovano sull'i-esima riga della matrice B'per gli elementi corrispondenti sulla j-esima colonna della matrice A, cioe
allora
La matricedella b-asformaz'fone ottenuta Sara
. (I
aZ2
Cmi
Ese m p i
Z2
ai2
(6)
Si chiede di determinare Ia matrice di trasformazione del piano
X10X'l. suI piano zlOzz' Sostituendo l'espressi~ne(4) nelle uguaglianze (6), si ottiene:
Zl = bU (a it X l
alzx 2) + b i2 (a2i xi + a22x2),
=
b mk
'Cit
(7)
Z2
(11)
B·A=C.
(12)
Formuliamo ora Ia r~goia che permette di moltiplicare due matrici A e B, se Ia: prima ha m righe e k colonne, e la seconda k righe
ed n colonne .
Questa regoia puo essere illustrata schematicamente dalla uguaglianza seguente:
a t ric i. Sia
u ai2111.
·lla.
. a2l a22
(10)
C1211.
C2Z
bzz
II
o semplicemente
. aU x l
a12 x Z, }
(4)
Yz = aZl x l
a2Zx 2
una trasform~zione Uneare del piano X~OX2 suI piano y10Yz la cui
matrice di trasformazione e
Yl
bIZ
b I2
Esemp io 2.
Pro dot t
ldATRICI···
2)
0
(i = 1,2, ... , m; j
3. Siano
B=II ~ ~II,
= 1,
2, ... , n).
A=II~ ~II,
.
BA~II~ ~II'II~ ~II="II~ ~II,
AB=II~ ~II'II~~II~II~ ~II·
.557
j.;
CAPITOLO VENTUNESIMO
,
Notiamo qui che
BA::fo AB.
Siamo guinti dunque allaconclusione seguente: il prodotto delle
matrici . non obbedisce alla legge commutativa.
una matrice i cui elementi sono formati secondo la,l'egoladi moltiplicazione dei determinanti, e,evidente' che sussiste l'uguaglianza
seguente:
Ll (AB) ='il(A).Ll (B).
(19)
Mol tip 1- i c a z ion e per una mat ric e u nit aria. Gome abbiamo detto sopra,_ si cliiama matrice unitaria una
matrice i cui elementi della diagonale principale sono uguali all 'unita, mentretutti gli altri elementi sono nulli.
Cosl, la matrice unitariadel sec?n~o or dine sara
Ese m pi 0 4. Date Ie matrici
00'11 ,
A= .111~.~~'
E=II~ ~l
Calcolare AB e BA.
Sol u z ion 'e. Trovia~o con 1'aiuto della formula (13):
1.0+0.2+0.1
0.0+2.2+1.1
11 3.0+0.2+0.1
0.1!..j-1.0+0.3
BA= 2.1+0.0+1.3
11 1.1+0.0+1.3
0
(29)
Otteniamo" in virtu della regola dimoltiplicazione delle matrici:
AB~
Ese m pi
"C,.': :M;ATRICI '
cioe
,- AE = A,
e anche
,5. Troviamo il prod otto delle matrici:
au at2' alII 11·11
bu ,bi2 biS
• blli bll2 blls
au, all2 ailS
bSi bS2 bss
I
_II
==
+a11lbbllll +
aubu + alllb:.li + aisbS1a U bl1l
-a21 bU +a12 b2i + a2S bSl a 21 btll +
alSbSll a U blS + alllb2s+alsbssll
a21l llll + allsbllll a 21 b13+ a Illlb llS + a2sb3S •
S1 puc) ccinvincersene verificando direttamente che per Ie matrici.
sono valide Ie relazioni seguenti (k e un numero, A, B, C sono Ie
matrici):
.
(kA).B =A·(kB),
(14),
(A+B)·C=A.C+B·C,
(15)
C·(A+B)=CA+CB,
(16)
A (BC) = (AB) C.
(17)
EA=A.
(22)
E facile vedere che n pro'dotto di una matrice quadrata di or dine
qualunq;ue per una niatrice unit aria dell 'ordine corrispondente
e uguale aIla matrice iniziaIe, cioe sussistono Ie uguaglianze (21)
e (22). La matrice unit aria gioca nel prodotto matriciale il ruolo
'dell 'unit a e, per questo e detta unitaria.
AIla'matrice unitaria (2) corrisponde Ia trasformazione
. Yl =X1I
Y2
= icn Ll (A) ..
(18)
Siccome la moltiplicazione di due matriciquadrate Ae B dB.
558
= X2'
Una tale trasformazione si dice identica. Inversamente, ad una
trasformazione identica corrisponde una matrice unitaria. In modo
analogo viene determinata Ia trasformazione identica per un numero
"""
.
,
qualsiasi di variabili.
§ 5
Segue, dalle reg ole di moltiplicazi6ne di una matrice quadrata A
per un numero k e dalla regola che, permette di portare al di fuori
del segno di matrice il'fattore comune degli elementi situati sulle
colonne di un determinante per una matrice diordine n, che
Ll (kA)
(21)
. TRASFORMAZIONE DI UN VETTORE
IN UN ALTRO VETTORE CON L'AIUTO
D I UNA MATRICE
"
Sia dato unvettore
X = ;i;ii +x 21
+ xak
559 '
_.,c._, __.L-
_ _ : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
CAPITOLa VENTUNESIMO
MATRICI
che scriviamo in forma di matrice-colonna
§ 6
Xl
.X=
(1)
Xz
MATRICE INVERSA
Xs
Sia dato un vettore X suI quale si operi una trasformazione con
l'aiuto della matrice quadrata A il che ci permette di ottenere un
vettore Y:
Trasformiamole proiezioni di questo vettore con l'aiuto della
matrice
X=AY.
a12 alS
a21 a22 a23
a3i a32 aa3
ali
A
=
Yl = aU x l
Y2 = a2i x i
Ya = aSl x i
(2)
,
+ + a13:LJ, }
+ a22x2 + a2aXa,
+ aSZ + aa3 a·
g,iZX2
(3)
X
X2
= y~i
+ ai2x2 + ai3Xa
a2l x l + a22 x 2 + a23 Xa
aalXl + aa2X2 + a33 x a
Yl
¥= Y2 Ya
ali Xi
X
(4)
Utilizzando la regola di moltiplicazione, delle matricl,' sflpuo
scrivere questa operazione di trasformazione nella forma seguente:
ala
a2l' a22 a23
aSl aa2 ass
ali ai2
Xz -
ali x l
a2l Xl
Xs
aSl x i
Xi
+ a12x2 + a13Xa
+ a22x2 + a2aXs •
+
a32X2
+
(5)
a3a Xs
(2)
A-1A=E.
za matriciale (4), qu,ando vengono uguagliati gli elementi delle
,~
,
,
'"
'
matrici a sinistl'a' ed a destra.
L'uguaglianza (4) dil la trasfOl;mazione 'del vettore X in un
vettare Y con l'aiuto della matrice A.
Tutti i ragionamenti concernenti i vettori nella spazio. tridimensionale si possono applicare alIa trasformazione dei v,ettori in uno
\
spazio ad un numero qualunquedi; dimensioni.
(3)
(4)
L'uguaglianza (3) 8 della formal
X=EX.
(5)
'T e 0 rem a 1. SeA -1 e la matrice inversa della matrice Ai!
ela matrice inversa della matrice A -1, cioe si ha l'.uguaglianza
A~lA=AA-l=E.
(6)
Il prodotto dt una matrice 'quadrata' per una matrice-colonna da,
una matrice-colonna con lo stesso numero di righe.
Notiamo che il sistema di uguaglianze (3) deriva dalla uguaglian-
= A-lAY.
Abbiamo effettuato suI vettore X successivamente una trasforma. zione con Ie matrici A ed A -I, Ci08 abbiamo effettuato una trasformazione con la matrice (A -lA). Come risultato abbiamo ottenuto
una trasformazione identica il che vuol dire che la matrice A-I A
e una matrice unitaria
'
allora A
doe,
Y=AX.
= A-ly.
Qui X, Y, AX sono matrici-colonna, A-I e una matrice quadrata.
Sostituendo ad ¥ del secondo membro dell'uguaglianza (2) iT secondo
mem?ro dell'uguaglianza (1), si ottiene:
+ Y2~ + Yak,
che puo essere scritto in forma di matrice-colonna:
I'
Supponiamo che il determinante della matrice Asia differente
da zero: (). (A) :;zf: O. Esiste aHora una ,trasformazione inversa del
vettore Y in X. Questa trasformazione si trova mediante la soluzione
del sistema d'equazioni (3) del § 5 rispetto ad Xl' X 2, Xa' La matrice
della trasformazione inversa si chiama matrice inversa ,di A e si indica
con A-I. Possiamo quindi scrivere
X
Otteniamo un nuovo vettore
y
I
(1)
(6) ,
.n i m 0 s t r a ~ ion' e. Applichia~o ai due m~mbri dell'uguaglianza (3) la trasformazione per mezzo della matrice A: "
AX =A(A-lA)X.
In virtu della pro prieta d' associativita del prodotto di matrici
si puo scrivere quest'ultima uguaglianza nella forma seguente;
AX = (A A-I) AX.
Ne segue:
AA-l = E.I,
(7)
II teorema e dimostrato.
,
36-0330
561
I
I'
CAPITOLO VENTUNESIMO
MATRICI
Segue dalle uguaglianz~ (4) e (7) che Ie 'ma!ric! A ed A- 1 .sono
inverse una dell'altra. Rlsulta anche dalle .sumdwate uguaghanze
che
, (A -1)-1 = A.
(8)
lnfatti, segue dall'uguaglianza (7) che
A-1 (A-l)-1 = E.
Confrontando l'ultima uguag!ianza con la (4), si ottiene l'uguaglianza (8). ' ,
Infatti, in virtu della regola di moltiplicazione delle matrici
gli elementi diagonali della matrice 0 sono somma dei prodotti
degli elementi di una riga del determinante ilper i corrispondenti
complementi algebrici divisa per il determinante fl, cioe sono uguali
all'unita. ,Per esempio, l'elemento ell vie.ne determinato nel modo
seguente:
.
"
CALCOLO DELLA MATRICE INVERSA
1
1\
(1)
au ai2 alS
a2i a22 a2S'
aSi aS2 ass
Dimostriamo che la matrice inversa e
Au A2i As!
fl D.. fl
..4. - i = Ai2
"fl
AiS
fl
A22
fl
A 23
fl
o =AA-
i
=
562
A
A
+ a'2 Ass
3 - = a21 3l + a22 S2 + a2sAss -
fl
fl
fl
0_
_
0
-fl-'
,II teorema e quindi dimostrato.
O'~ s e r v a z ion e. La matrice
Au A2i As~
A12 A22 AS2
Ala A 23 Ass
.1=
(4),
di A. La matrice inversa A -1 si esprime,
in funzione di A nel modo seguente:
A-i=~A.
AS2
fl
AS3
fl
fl
AS2
23
-
e dettamatrice aggiunta
(5)
fl(A)
(3)
Questa uguaglianza deriva dall'uguaglianza (3).
Ese m p i o. Data la matrice
dove At} e i1 complemento algebrico dell'elemento atj del
nante D.. = D.. (A).
' 1
Calcoliamo la matrice 0 uguale al prodotto AA- :
Au A2! As!
,
fl
au a!2 ais
'
a2! a22 a2S, A!2
as! aS2 aSS . fl
A 1S
fl,
+a
(2)
=1= O.
1.
fl
- a ASl
C23-~~
Sia data una matrice non singolare
au a12 alS
A = a2l a22 a2S ,
aSi aS2 ass
+ a!2Ai2 + alSA 1S =
Ciascuno degli elementi non diagonali e uguale alIa Somma dei prodotti degli elementi di una riga per i complemeriti algebrici di una
altra riga divisa per il determinante flj ad esempio, l'elemento c
e determinato cosl:
23
§.. 7
fl = fl (,;,4,) =
au A u
fl
A22 AS2 fl fl
A23 Ass
fl·!l
100
010
001
A_"~ ~ ~II'
deter~i-
Trovare la matrice inversa A -1 e la matrice aggiunta .1'.
Sol u z ion e. Troviamo il determinante della matrice ...4.:
d (A) = 5.
, Troviamo i complementi algebrici:
AH =5,
A 2l = -4,
As! =2,
A 1Z =O,
A 2Z =2,
A S2 = -1, .
563
A l s=O,
A Z3= -1,
'Ass=3.
:\1
36*
I'i~
I,
I',"
L
i
__
MATRICI
CAPITOLQ VENTUNESIMO
i.
Infatti, nell'ultima uguaglianza il primo membro rappresenta
il prodotto di due matrici. Questo prodotto e uguale ad una matricecolonna i cui elementi sono definiti dall'uguaglianza (5). II secondo
membro rappresenta pure una matrice-colonna. Due matrici sono
uguali se i 101'0 eleinenti sono rispettivamente uguali. Uguagliando
gli elementi corrispondenti, otteniamo il sistema d'equazioni (1).
L'uguaglianza matriciale (5) puo essere scritta nella forma succinta
seguente:
(6)
AX=D.
Otteniamo quindi, in virtu della formula (3):
5
4
2
o
5 -5
5 -5
5
2
1
1
o -5
3
5
. Troviamo infine la matrice aggiunta con l'aiuto della formula (4):
A=II~ =~ -ill.
Ese m pi o. Scrivere in forma matriciale il sistema d'equazioni
Xl
2X2
= 5,
+
3x 2
x2
~ 8
A~
aZixi
a3ixi
aiZx.2
aZZX2
a3ZxZ
+
+
+
=
aZ3 X a =
a33x3 =
ai3x 3
dh
dz,
}
a2~
§ 9
SOLUZIONE DI UN SISTEMA
D'EQUAZIONI LINEARI CON IL METODO MATRICIALE
(2)
aZZ a23 .'
a3i agZ ag3
Xi
X=
D
=
(3)
X2 ,.'
.:: :Xg
D~llill'
I ~ ;!11·11:; 11=11 ill·
d3
au aiZ. ai3
=
xoclH
(1)
consideriamo Ie tre matrici seguenti: ,
A
mil.
II dato sistema d'equazioni lineari potra essere scritto nella forma matriciale seguente:
Ragioneremo in termini di spazio tridimensionale. Dato il sisteina d' equazioni lineari
.
+
+
+
X3
Sol u z ion e. Scriviamo separatamente la matrice A d.el sistema, la
.matl'ice X delle soluzioni e la matrice D dei secondi memhl'i:
.
SCRITTURA MATRlcIALE
DI UN SISTEMA D'EQUAZIONI LINEARI
E DELLE SOLUZIONI DI UN SISTEMA
DI EQUAZIONI, LINEARI
. aUxi
+ = 9,
+ 2x8 = 8.
.,'
*'
Supponiamo che il determinante :della matrice Asia' diverso
da zero: ~ (A)
O. Moltiplicando a sinistra i due membri dell'uguaglianza (6) del § 8 per la matrice A -1 inversa di A, otteniamo:
A:-1AX = A-1D. '
(1),
Ma
,J.-1A = E, EX = X,
di ,
dz '.
(4)
d3 . ,
Possiamo aUora, utilizzando la; regola di moltiplicazione delle
matrici, scrivere il sistema (1) nella segllente formamatriciale:
au a12 a13
Xi
dl
a2l aZ2 azg • X2 dz •
(5)
..a3l a32 agg . xi
dg
I
percio risulta dalla (1) che
X = A-1D.
(2)
Quest'ultima uguaglianza puo essere scritta, timendo contodell'uguaglianza (5) del § 7, nel modo seguente:
1 ""
X=--AD
(3)
'~(A)
'."1
~\
565
1\
": \
"t•.
, I
CAPITOLO VENTUNESIMO
MATRICI
i :'
ill
oppure in forma esplicita
Sol u z ion e.
Troviamo il determinante della matrice del sistema:
"d
;
Au A2L ASi
Ai2' A22 AS2
AiS A 2S Ass
t"
t
,i
A(A)=II~ ~ !11=5.
di
J
•
(4)
d2
ds
Determiniamo la matrice inversa secondo la formula (3) del § 7:
Moltiplicando Ie matrici del secondo membro, otteniamol
Xi
X2
Xs
+ d A +dsAsi
+d +
,
diAiS + dzA23 + dsAss
l ' diAU
= - - di A12
11 (A)
2
2i
2A22
(5)
daAs2
.,
, ,!
dl A
X,
U
= d,A"
~=
X,
= d,A"
+ d2A2l + dsAsl
+ d~" + dsA .. '
.1,
d2
i,
I'
X1
=
a12
~
ds aS2 ass
au ai2 alS
..;-"--~~,:,-
X2=
a21 a22 a2S
aSi
aS2
ass
au
a12
a21 a22
Xs=
Ese m p i
0
au di alS
a2i d2 a2S
aSi d s ass
au (ti2 aiS
a2i a22 a2S
as! aS2 aSS
d1
d2
aSi aS2 d s
au ai2 a1S
a2i a22 a2S
aSi aS2 ass
1. Risolvere il sistema d'equazioni
1.
2X2 = 5,
3x 2
X3 = 9,
x2
con il metodo matriciale.
+
+
+ 2x8 = 8
566
2
1
'5 -"5
1 .
3
-"5
"5
Scriviamo la soluzione del sistem,a (2) in forma matriciale:
xii
+ a.:" + d,A ... J
a1S
"5
D~II~II
)
,iI
a22 a2S
2
-"5
La matrice D sara
La soluzione (6) pUG essere scritta in forma di determinanti:
, d1
0
A-1=
0
Uguagliando gli elementi delle_ matribi del primo e del secondo
membro, otteniamo:
i,
4
1
)
i
4
5
2
-5
1
5
-:'5
X2
0
5
X3
0
-5
2
1
3
2
2
1
1.5--:-
5 .9+ 5 .8
9 =
0.5+
5 .9- 5 .8
8
0.5-
5
1
.9+
3
5
.8
Uguagliando gli elementi rispettivi delle matrici-colonna a sinistra e(a destra,
otteniamo:
4
2
X1= 1.5- .9+
.8= 1,
5
x2=0.5+ : ·9-
(7)
4
5
5
~
·8= 2,
1
3
xs=0.5- 5 ·9+ ,8=3,
5
Ese m pi 0 2. Risolvere il sistema d'equazioni
X1+ 2x2+ X3=0,
2Xi+X2+X3=1,
. X1+ 3x2+ X3=2
col metodo matriciale.
Sol u z ion e. Troviamo il determinante della matrice del sistema:
12 1
A (A) =
2 1 1 = 1 =F O.
13.1
567
-
.
"
,
-----~'"-------.-------
-----------------------~-
--,.,.---
-----~-~~-
---
-------~~--"'---'-'---'-'-'-'---'-'-"=;;;;;;;;~~=:;;;.;;;./
,
MATRICI'
CAPITOLO VENTUNESIMO
Troviamo la matrice inversa:
A-l:;=
slazione di ~utto 10 spazio considerato come un corpo solido, 0 meglio.
una traslaZlOne ed una trasformazione di simmetria. Determineremo
la matrice di questa trasformazione.
Esprimiamo i vettori unitari e;, 8;, e~ tramite i vettori unita-
-2
1
1
-1
0 -1
5 -1 -3
Scriviamo la soluzione del sistema in forma matriciale:
Xi
-2
1
1
-1
0
1
5 -1 -3
o
=
e! =CX,Uel
e2 = a12el
e; = a13el
3
1 =
2
Xa
2
-7
Uguagliando gli elementi delle matrici-colonna a sinist.ra ed a destra, avremo: Xz
--------
.
Xa
=
§ 10
+ a23e2 +,
}
(3)
a3SeS'
Qui abbiamo:
au =cos (e1o e;),
a21 = cos (e2' e1),
a 31 =cos(ea, e1),
-7.
+ a21e2 + a31ea,
+ a22e2+ a32ea,
a12 = cos (el' e;),
a22 = cos (e2' e~),
_a 33 =cos (e3' e;),
(4)
Scriveremo i nove coseni direttori in forma matriciale:
APPLICAZIONI ORTOGONALI. MATRICI ORTOGONALI
Siano dati nella spazio tridimensionale due sistemi ortogonali
di coordinate (Xl' x z, xa) ed (x~, X;, x~) aventi un'origine comune O.
Supponiamo che il punta M abbia Ie coordinate (Xl' x z, xs) ed
(x~, X;, x~) per il prhno ed il secondo sistema di coordinate (non
e necessario che Ie origini coincidano).
Denotiamo con el , e z, e a i vettori unitari sugH assi delle coordi- nate per n primo sistema, e con e~, e~, e; per il secondo sistema.
I vettori e1' e z, e3 sono i vettori di base nel sistema (Xl; x z, x s),
ed i vettori e~, e;, e; sono i vettori di base del sistema (x~, x;, x;).
'II vettore OM del' primo sistema di coordinate puo aHora esser
scritto cosl:
(1)
OM = Xlel
x Ze 2 xse a.
+
S
el = a11 e!
e2 = a21 e l
e3 = a31 e1
I!
I:
I
568
(5)
+ a12e~ + a13e~, }
+ a22e2 + a23e3,
+ a3282+ a33e;.
(6)
E evidente che la matrice
S'"
e del secondo sistema:
Considereremo la trasformazione del punto arbitrario M di coordinate Xl' x z, Xa in un punta di coordinate x~, x~, x~.Si puo dire
che si tratta della trasformazione dello spazio (Xl' x z, xa) nello
spazio (X;, X;, x~).
Questa trasformazione ha la pro prieta che un segmento di lunghezza l si trasforma in un altro segmento della stessa lunghezza l.
Un triangolo si trasforma in un triangolo uguale e, di conseguenza,
due vettori uscenti da un medesimo punta e forniti, di, angolo 'Ijl tra
, di essi si trasforrriano in due vettori di uguale lunghezza e forniti
dello stesso angolo 'Ijl;
La trasformazione -avente questa pro prieta a 'detta,' ortogonale.
Si puo dire che una trasformazione ortogonale implica una tra-
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
Utflizzando Ie relazioni (4) possiamo anche scrivere:
+
(2)
=
=
au a 12 a13
a21 a22 a23 '
a31 a32 a33
(7)
ala trasposta della matrice S. Siccome i vettori e~, e~, e~ sono vettori
unitari reciprocamente perpendicola.ri, il loro prodotto vettoriale
scalare euguale a ±1. Abbiamo quindi:
a 11 a 21 a31
(e1 e;e;) ~ a12 a22 a~2
a13 a23 a33
=±
(8)
1.
Analogamente possiamo scrivere:
(el e2ea)
= ~ (8*) =
au a12 a13
a21 a22 a23
a31 aa2 a33
569
'];]
=±
1.
(9)
CAPITOLa VENTUNESIMO
MATRICI
[i
Calcoliamo il prodotto delle matrici:
i
;!
,I
10 0
aH ai2 alS
a2l a22 a2S = 010 =E.
aSl aS2 ass
1001
ait a2l a3l
S 8* = ai2 a22 a32
alB azs ass
Mo.ltiplicando successivamente I 'uguaglianza (15) per e l , e 2 , e s
si ottiene:
+ +
(11)
+
(12)
"
La matrice trasposta 8* coincide dunque con la matrice inver'
sa 8-1 :
,8* = 8-1 •
(14)
Una matrice che soddisfa Ie condizioni (13) 0 (14), Ci06 una matrice
inversa della sua tras osta si dice orto onale. Troviifmo o.ra Ie formu1.e di passagglO e e co.o.rdinate (Xli X2, xs) alle cOllrdinate (x;, x~; x;)
.ad inversamente. In virtu delle formule (3) e (6), i secondi membri
delle uguaglianze (1) e (2) si possono. esprimere sia tramite la base
{ell e2' e s) che tramite la base (e;, e~, e;). Cio signiftca che si puo
scrivere l'uguaglianza:
. ~ i
i
+
=
'I
II
Ii
Xi el + X2 eZ + xse; xi ei + XiBi xses.
(15)
Moltiplicando successivamente tutti i termini dell'uguaglianza
0(15) per il vettore B~, poi per n, vettore
ed infine per il vettore B;
e tenendo conto che
e;
eiBj = 0
BiB} = 1
Bie; =atlt
11
per i =i= j, }
per i =j,
!
i,
+
,Xi
X= X2
I X;
Xs
i'sis~emi (17) e (18) si po.sso.no. scrivere cosl:
X'
(13)
+
+
Xi = aHx~ ai2x~ aiSx~, }
Xz = aZi xl aZ2x 2 azsxs,
(18)
Xs = aSixi aS2xi assxs.
Dunque, la matrice delle trasformazioni ortogonali (17) e la
matrice 8, e la matrice della trasformazione inversa (18) e la matri.,.
ce8*.
Abbiamo quindi dimostrato. che, in un sistema cartesiano di
co.o.rdinate, ad una trasjormaztone ortogonale corrisponde una matrice
ortogonale. Si puo dimostrare che se Ie matrici delle trasformazioni
diretta' ed inversa (17) e(18) veriftcano Ie relazioni (13) 0. (14), Ci0.6
sono. o.rto.go.nali, la trasfo.rmazione sara pure orto.gonale.
Se introduciamo Ie matrici-colonna
+
In efietti, se denotiamo con Clj gli elementi della matrice di
", prodotto, avremo:
Cu = a~1 + a~i + a~1 = 1, }
c22=a~2 a:2 a:2= 1,
CSS = a~3 + a~s + a~3 = 1,
Ci2 = ~ita12 + a2l a 22' aSlaS2 = (eie;) = O.
,Analogamente avremo:
CiJ = eiej = 0 per i =l=j (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3).
Dunque,
S8* = E.
,I,
+
+
(10)
==
xi
X2
,X' = 8X,
X = 8- 1 X'.,
(19)
(20)
(21)
Se intro.duciamo. Ie traspo.ste delle matrici (19):
X,'* = IIxix2xall;' X* ='llx1xzxslI
(22)
si puo scrivere
X'* = X*8-1,
X* = X'*S.
(23)
§ 11
AUTOVETTQRE DI UNA TRASFORMAZIONE LINEARE
D e fin i z ion e 1. Sia dato un vettore X:
(1)
(16)
dove
+ +
otteniamo:
+
+
xi = aitxi +'a2i x2 aSlxS, }
X2 = aiZxi + a22x2 + aS2XS, '
xi = ai3 x1 a2SX2 aS3xS'
+
570
(17)
x~ x~ x~ =1= O.
Se do.po la trasfo.rmazione del vettore X con l'aiuto della matrice
A (vedi (2), § 5) o.tteniamo. un vettore Y:
, ..
Y=AX:t
(2)
571 '
CAPITOLO VENTUNESIMO
MATRICI
tale ehe
Y = AX,
(3)
dove A 8 un numero, allora il vettore X si ehiama autovettore della
matrice A oppure autovettore dellatras!ormazione lineare data; il
numero A si diee autovalQre.
Determiniamo l'autovettore·
x=
Xi
X2
Xa
per la data trasformazione line are 0 per la data matriee A. Perehe
il vettoreX sia un autovettore-· della matrice A 8 necessario che
si verifichino Ie uguaglianze (2) e (3). Uguagliando i secondi membri
di queste uguaglianze, otteniamo:
AX = AX
(4)
o
Questa 8 un'equazione di terzo gradodspetto a 'A,~ E~sa si chiama
equazione caratteristica della matrice A. Questa equazione permette
di calcolare gli autovalori di A.
Consideriamo il easo in cui tutte Ie radici dell'equazione caratteristica siano reali e distinte. Denotiamole con AI, 1. 2 , Aa.
A eiascun autovalore di 'A, corrisponde un autovettore Ie cui
coordinate sono determinate mediante il sistema (7) per un valore
corrispondente di A. Denotiamo gli autovettori con 'tl , 't 2 , 't a.
Si puo dimostrare ehe questi vettori sono linearmente indipendenti,
ci08 nessuno di essi si esprime in funzione degli altri.· Cio significa
ehe ogni vettore puo essere espresso in funzione dei vettori 't1 , 1:'2' 't 3 ,
essi possono essere ei09 presi come vettori di base.
. Osserviamo senza dimostrazione che tutte Ie radici dell'equazione
caratteristica di una matrice simmetrica sono reali.
Ese m p i
della matrice
0
-l. Trovare gli autovettori e gli autovalori corrispondenti
//! ~ II·
AX = AEX,
ei08
(5)
Sol u z ion e. Scriviamo l'equazione caratteristica e troviamo gli autovalod:
'Segue da questa uguaglianza ehe il vettore X 8 determinato a
meno di una eostante.
L'uguaglianza (4) si scrive, evidentemente, in forma esplieita
nel modo seguente:
1
=0, doe Z -41.-5=0, 1. 1 =-1, J.z=5.
3-J.
Troviamo l'autovettore corrispondente all'autovalore J.l = -1 a partire dal
sistema d'equazioni (7):
(A -
'A,E) X = O.
. Ii-I.
+
+ aiZxZ aiaxa ='A,Xh .}
aZixi + aZ2x 2 +azaxa = AXz,
aaixi + aaZX2 + aa3xa = ?i.xa,
aUxi
I
8
(1 - AI)
Xl
8xl
(6)
I.
+
+ (3 -
= 0,
X2
~)
=
Xl =
X2
Risolvendo questo sistema, troviamo
arbitrario. L'autovettore e
°
m,'
+
+
= 0,
0.
-2m,. ove m
0
2xl
0
8xl
X2
=
x2
4X2
=
e un numero
e l'uguaglianza (5) si serive cos1:
(au - 'A,) Xi +
~i2X2 ~
aiaXa· . 0, }
aZiXj + (a2Z - 'A,) Xz +
azaXa = 0,
aaiXi +aa2X 2 + (aaa - A) Xa = O.
Per l'autovalore 1.. 2
(7)
L'autovettore
Otteniamo un sistema d'equazioni lineari omogenee per determinare Ie coordinate Xl' X 2 , Xa del vettore X. Perche il sistema (7)
abbia una soluzione non nulla 8 necessario e sufficiente che il determinante del sistema sia nullo:
au - 'A,
a12
a2i
aZ2 - 'A,
aa2
aai
o
~ (A - I.E) =
572
(8)
o.
(9)
=
5 scriviamo il sistema d'equazioni
-4x1
x2 = 0,
+
8xl
e
-
2X2
=
0.
'tz=mi+4mj.
Ese m p i
0
2. Trovare gli autovalori e gli autovettori della matrice
7 -~
.0
-2
6-2
°
-2 . 5
Sol u z) () n e. Scriviamo l'equazione caratteristica
·7-J. -2
-2 6-J. -2 =0, cioe ~;.,a+18;';z-99J.+162=0.
°
°
-2 5+;"
573 -
CAPITOLO VENTUNESIMO
MATRICI
Le radici di questa equazione sono: 1.1 = 3, 1.2 = 6 1.s = 9. Per 1.1
vettore e determinato a .partire dal sistema d'e~azioni
4xi-2x2
=0,
-2X1+3x2-2x3=0,
-2x2+2xs=0.
Ponendo Xi = m, si ottiene x!l=2m, xs=2m. L'autovettore e
=
3 I'auto
possia~o
scrivere:
Abbiamo quindi
aii ai2 ai3
a2! a22 a2S
as! a;2 aS3
'fi=mi+2mj+2mk.
Analogamente troviamo:
6 in un sistema di equazioni
{
.
'f2=mi+ mj-mk,
2
+ a12'0 + a13'0, }
+ a22' 0 + a2S' 0,
+ aS2' 0 + aSS' O.
Ai = a~!.1
o= a2i ·1
o= aSi ·1
Rica'viamo da questo sistema:
1 .
'fs= -mi+mj-T mk.
§ 12
't'~ =A2't'2,
ricav~amo
't[ = At'tt, }
't2 =A2't2,
't; = As'ts ,
in modo analogo:
a12=0,
a13=O, .
Determiniamo ora la matrice di una trasformazione line are in
una base costituita dagli autovettori 't1, 'til' 't a• Per una tale
trasformazione debbono veriftcarsi Ie relazioni seguenti:
Determiniamo gli elementi di questa matrice. Possiamo scrivere
.
nella base 't1; 'til' 't3
1
0 •
o
Siccome il vettore 't'l dopo la trasformazione con It aiuto della
matrice A' diventaun vettore 't'~ = At't'I:
't'T = At't't
+ 0·i2 + O·'t's,
574
o
°
e
aS3=~S'
quindi:
0
A20
Q
(5)
AS
Atxi,
Y2=
Ys=
.(2)
a;i aS2 ass
+ 0·'t'2 + O·'t's =
0
aS2=0,
La . trasformazione line are sara
y~ =
•
Ai
A"=
. a~t a~2 a~3
'tt ---.: 1·'tt
a22=A2,
a2S=0,
La matrice della trasformazione
(1)
* 't2*, 't*g sono le 'Immaglnl
" del' vettor~. 't1' 'til" 't a•
. dove 'tt,
Supponiamo che la matrice della trasformazione 'sia .
a~i a~2 a~3
(4)
DaIle relazioni
MATRICE DI UNA TRASFORMAZIONE LINEARE
PER LA QUALE I VETTORI DI BASE SONO
GLI AUTOVETTORI
A~ =
(3)
Se
*
At = A!! = AS = A
(6)
la trasformazione line are diventa:
yi:i::A*xi,
Y2=A*X2,
Ys -:- A"'xs.
Una trasformazione di questo. genere e detta trasformazione di
similitudine. di coefficiente A*. Per questa trasformazione ciascun
vettore dello spazio diventa un autovettore con il corrispondente
autovalore A*.
575
MATRICI
CAPITOLO VENTUNESIMO
I
I
i
i
§ 13
X2
X3
=
Xlei
+ X2e2 + Xaea
(1)
dato nella base (el' e 2 , e 3 ).. II vettore X si trasforma con l'aiuto .
della matrice A in vettore Y:
Y
=
Yi
Y2
Y3
= Yl e l + Y2 e2 + Yaea,
Y=.AX.
1ntroduciamo neHo spazio considerato una nuova base
lega:ia aHa vecchia base dalle formule di passagg~o
e~ = bHel +
e2 = bl:ie i
e; = b13el
Supponiamo che nella nuova
b2l,e2 + b3le3' }
.
\ x~
(e~,
+ b22 e2 + b32e3,
+ b23e~ + ba3e3'
X' =xiei
'I'
, ,I:
avremo evi.dentemente l'uguaglianza
I
Y = BY'.
+ X2 e2 + x;e; =1 x~
(3)
Moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza per B-1, ottenialIl:0 :
y' = B-lABX'.
(12)
e;, e;)
(4)
•
+ X2e2 + X3e3 = xiei + X2e2' + x;e;,
Ese m pi o. Supponiamo che con l'aiuto della matrice A
X3= b31 Xi
i,
:,'I
Q,
+
si fa~cia una .trasformazi~ne del vettore nella base (el! 8 2, e3)' Determinare la
matrwe A' dl trasformazlOne nella base (ei, 8 2, e~) se
, ,
el=ei+ 2e 2+ ea,
82 = 2ei + e2 3e3,
e8=e1+ e 2+ ea.
+
(6)
Sol u Z ion e. Qui la matrice B ha per espressione (vedi formule (4)
e (9)):
B=
(7)
a, '
ba2 X2 +b33 X
B-1=:
I?X',
576
=
121
21'1
131
·Troviamo -Ia matrice inversa (ll (B).= 1):
pili I;!emplicemente,
X
110
101
011
A=
(5)
(11)
Di conseguenza, la matrice A' di trasformazione sara nella nuova
base
·A' = B-1AB.
(13)
Xi
i
:
i'
(10)
Sostituendo Ie espressioni (8)e (10) in (3), otteniamo:
base il vettore X si scriva:
= buxi + b12X2 + b13Xa, }
X2 = b21 xi'+ b22X 2+ b23 X ;,
f
i
BY' =ABX'.
dove a secondo membroe stata sostituita l'espressione (4). Uguagliando i coefficienti dei vettori el' e 2 , e a a destra ed a sinistra, otte'
niamo Ie uguaglianze:
'!
y' = yi e;
'J
(2)
,
' X3
Possiamo allora scriyere l'uguaglianza
Xlei
+ y;e2 + y;e;,
i
Xi
(9)
. 9uesta matrice. non degener~ ha una matrice inversa B-1 perche
11 slstema (7) posslede una soluzlOne ben determinata rispetto ad x'
x;, x;. Se nella nuova base scriviamo i1 vettore Y:
11
Sia X" un vettore arbitrario:
=
bu bi2 bi3
b2l bZ2 b2a
bal b32 b33
=
B
TRASFORMAZ10NE DELLA MATR1CE D1 UNA
TRASFORMAZ10NE L1NEARE
QUANDO S1 PASSA DA UNA BASE AD UN'ALTRA
X
dove
-2
-1
1
'0
,1
1
5 -1 -3
(8)
37-0330
577
"=
T
.
-"'~·'=--~-·"-:"?'~:-1·"-""""-"'-;;' - -- -' - -- -:::.--- -·-::F~~--<"~-<~:--'~--, -~-1
,I
CAPITOLO VENTUNESIMO
MATRICli
Inoltre:
dove aij sono numeri dati; il coefficiente 2 compare per rendera!:piii
semplici Ie formule successive.
;; :;
Si puo scrivere l'uguaglianza (1) nel modo seguente:,
, , ! ; . II;,
-1 -1
2
-1
0 1 "
4 .2-4
Con l'aiuto della formula (13) troviamo in definitiva:
~1·
30
A' = B-iAB =
o 10
4 -22
B-iA=
F=
+
dove
Dimostriamo ora il seguente teorema.
Teo rem a 1. Il polinomio caratteristico (tl primo membra,
dell'equazione (8) del § 11) e indipendente dalla scelta della base per
una trasformazione lineare data~
Dim 0 s t r a z ion e. Scriviamo due uguaglianze matriciali
A' = B-1AB,
E = B-1EB,·
aiJ
Xi (aHXi
+ ai2x2 + aiSXS) + X2 (a2iXi + Q22X2 + a2SXS) +;": :,
Xs (aSi X1
+ aS2x 2 + assxs),·
(i = 1;1 2, 3; j
~2 = a21 ,
= 1,
(2)
2, '3) sono numeri dati, ed inoltre
(3)
La matrice '
A =
au ai2 ai8
a21 a22 a28
aSi aS2 aS3
(4)
e una matrice
SlmmetrlCa.
,
Considereremo (Xl. X 2 , Xs) ~~me" coordinate di un punta nella
spazio 0 come coordinate di un vettore nella base ortogonale
(el , '(12' e s), dove ell e 2• e s sono, i vettori unitari.
.
Esaminiamouna trasformazione line are nella base
(e
e
e)'
.
1,
2.
8'
s~ chiam.a matrice della forma quadratica (1). Questa'
dove A ed A' sono Ie matrici corrispondenti aHe diverse basi per una
medesima trasformazione lineare" Bela matrice di passaggio, dalle
coordinate nuove a quelle vecchie, E e la matrice unitaria. Otte- '
niamo da queste:
A' - ').E = B- 1 (A - 'AE) B
+
+
+
+
. X~ = aUx1 ai2X2 ai8xS, }
X2 = a21 x1 a22x2 a28xS'
Xs = a81 Xi a82 x2 a8SxS' .
La matrice di questa trasformazione coincide con la matrice della
forma quadratica .
Determiniamo in seguito due vettori:
Passando daUe matrici ai determinanti ed utilizulndo la regola
di moltiplicazione delle matrici e def determinanti. otteniamo:
A (A' ~ 'AB) = A (B- 1 (A - 'AE) B.) = A (B-1). A'(A-'AE) A (B).
.·Ma
A (8-1) A (B) = A (B- I B) = A (E) =1 L
+
+
Di conseguenza,
! .;
(6)
A (A' - 'AE.) = A (A - 'AE).
In questa uguaglianza abbiamo a sinistra. ed a destra i polinomi
caratteristici delle matrici della trasformazione. II teorema e dimostrato.
X~
X"= X;
X;._
§ 14
FORME QUADRATICHE' E LORO TRASFORMAZIONI
D e fin i z ion e 1. Si chiama forma quadratica in piuvariabili un polin'omio omogeneo di secondo grado in queste variabili.
Una forma quadratica nelle 'tre va,ria.bili Xl' X 2, Xs sara data da
(1)
578
{I
(7)
Scriviamo la trasformazione (5) nella forma
I
X' = AX.
(8)
Si pub aHora esprimere la· forma quadratfca (2) come il pl'odotto
seal are di questi vettori:
.
F'X·AX.
(9)
~iano e;. ~~. e;. gli autove~tori ortogonali della trasformazione (8)
corrIspOndentl agh autovalorl 'At, 'A 2• '\3' Si puo dimostrare chs sa
579
37*
CAPITOLO VENTUNESIMO
MATRICI
la matrice e simmetrica, esiste allora una base ortogonale composta
dagli autovettori della matrice A. Facciamo la trasformazione (8)
nella base (e;, e~, e;). La matrice della trasformazione sara allora
diagonale in questa base (vedi § 12):
Ivi 0 0
..1= 0 IvzO
(10)
0 Iva
Si puo dimostrare che applicando questa trasformazione alla
forma quadratica (1) si puo ridurre quest'ultima' al tipo
Se A e una matrice quadrata d'ordine n, il rango k di questa
matrice soddisfa la relazione k ~ n. Come abbiamo detto sopra,
se k = n la matrice si dice non singolare (regolare), se invece k < n
matrice si dice singolare.
.
Per esempio, Ia matrice
o
F = Iv~~
+ Iv~~ + 1v;X~:
Le direzioni degli autovettori e;,
principali della forma quadratica.
e~,
e non, singoIare
perche n
r
(11)
=
perche II (A)
3, k = 2.
=
010
001
11 0
1
0; Ia matrice deU'esempio 2
*
La nozione di rango d'una matrice trova largo impiego nella
teoria dei sistemi d' equazioni lineari. Si ha il teorema seguente:
Teo rem a 1. Sia dato un sistema d' equazioni lineari
e; sono dette direzioni
aU x l
aZl x l
aal Xl
§ 15
RANGO DI UNA MATRICE. ESISTENZA DELLE SOLUZIONI
DI UN SISTEMA D'EQUAZIONI LINEARI
+ aiZx 2 +;a13X3 == bi~ }
+ +~azaX3 = b2,
+ aa2x 2 +.aa3Xa = ba•
aZZx 2
(2)
1. Sia data la matrice
0
au
e la matrice orlata
a12 a13 ai~
r;;;l
bf,
au
af2 ala
aZl a22' 223 b2
aa! a32 a33 b3
a2i a22 aZ3 aZ4
a3i a32 aS3 aS4
Si ottengono i minori del terzo or dine di questa matrice doro aver
soppresso una colonna e sostituito il simbolo II
II della matrice con i simbo10 I I del determinante. Ve ne sono quattro. Si ottengono i minori del
secondo ordine dopo aver soppresse due colonne ed una riga. Ve ne sono 18. I
minori del primo ordine sono 12.
Ese m pi
e 2.
La soluzione del sistema (1) esiste, se il rango della matrice A
e uguale al rango della matrice B. Il sistema non ha 'soluzione se il
II! !: I
580
581 .
Si chiama rango di una matrice A,;:,
~e!f~~1Itlllinore non nullo della matrice A.
.
0
.1
(3)
rango della matrice A e inferiore al rango della matrice B. Se a'rango
delle matrici A e B e uguale a 3, il sistema ha un'unica soluzione .
Se il rango delle matrici A e B e uguale a 2, it sistema ha un'infinita
di soluzioni, e in questa caso due delle incognite si esprimono in funzione
·
'della terza che ha un valore arbitrario.
Se il rango delle matrici A e B e 1, ... a sistema ha un'infinita di
soluzioni, e in questo caso due delle incognite hanno valori arbitrari
.
e la terza si esprime in funzione di esse.
Si verifi.ca facilmente la validita di questo teorema sulla base
dell' analisi, ben nota in algebra, delle soluzioni del sistema d' equaz~oni. Q~est.o teorema e valida per i sistemi di un numero qualunque
dl equazlom.
.
.n e fin i z ion e 2.
.:,;"",-1-1 or4i:c\t.
(1)
'lntroduciamo la matrice del sistema
D e fin i z ion e 1. Si chiama minore di una matrice A il
.determinante formato dagli elementi rest anti della matrice dopo
la soppressione di qualche sua riga 0 di qualche sua colonna.
Ese m p i
e singoIare
2. E fa6ile varificare che il rango della matrice
1 -1 0
2
0 1
1
1 1
E sempi 0 3. II rango della matrice
,
"
I
CAPITOLO VENTUNESIMO
MATRICI
§ 16
L'uguaglianza (3) puo essere scritta in modo pill conciso nella
forma simbolica seguente:
DERIVAZIONE ED INTEGRAZIONE DELLE MATRICI
Sia data una matrice II au(t) " i cui elementi alJ (t) sono funzioni
di una variabile indipendente t:
. :t II
= ~2! (~) • ~22. (~!
,,:'. ~2~ (~)
(1)
ami (t) am2 (t) •.• amn (t)
0,
II
pill semplicemente:
a (t) " =
II aij
(t)
II
(i = 1, 2, ... , mj
j =
1it 2, ••• ~ n). (2)
Supponiamo che gli elementi di questa matrice abbiano derivate
dau (t)
,
dt
... , damn (t)
dt
daB da12
dt
dt
dain
dt
d
-lIa(t) II~ da2i da22
dt
dt
dt
da2n
dt
li~ .!. {II ali (t + At)" - II aii (t) II} =
lim II ali (t
At-+o
At-+O
+ At)I 1
- aU (t) \1 =
t.
'11 lim ali (t + At) - au (t) II'~
.
582
I1t
3:-."
a (t) II = II 3:-. a (t) II.
dt
"dt
(5)
E pill comodo talvolta utilizzare al posto del simbolo di derivazione ~
dt il "simbolo Dj l'uguaglianza (5) si scrive allora:
D II a "II = II Da II.
(6)
D e fin i z ion e 2. Si chiama integrale d'una matrice II a (t) "
e si denota con
~ "a (z)" dz
to
la ~atrice i cui elementi
della matrice inizialet
SODO
uguali agli integrali degli elementi
t
to
t
a
~ II (z) " dz =
(:?)
Osserviamo che questa definizione di derivata di una matrice si
ottiene in un modo naturale, se si aggiunge alle operazioni gilt introdotte di sottrazione delle matrici e di moltiplicazione di una matrice
per un numero (cfr. § 4) l'op.erazione di passaggio al limite:
At-+O
(4)
t
~ au (z) dz
.....
dami dam2
damn
- - - ... dt
dt
dt
.
ali (t)"
t
D e fin i zi 0 n e 1. Si chiama derivata di una matrice " a (t) "
la. matrice denotata con : t II a (t) II i cui elementi sono Ie derivate
p.egli elementi della matrice II a (t) II, cioe
I1t
:t
o ancora
au (t) ai2 (t) ... ain (t) ~
" at! (t)ll
II = II
a (t)
to
. .
.t
) ain(Z) dz
"
to
t
) a2i (z) dz ... ) a2n (z) dz
:0. . . . . ••• t~
t
t
) ami (z)dz
to'.
(7)
•••••
.•. \' amn (z) dz
io
o in modo pill conciso:
t
J"a (z) " dz =
to
t"
II ~ ali (z)dz II ,
t.o
oppure ancora
t .
t
~ lIa (z) " dz = II ~ a (z) dz II.
t
Ilsimbolo
to'
to
(9)
J' ( )dz viene sostituito talvolta con una sola lettera,
per esempio c~~ S. In questa caso si pUO, per analogi a con "(6), scrivere I 'uguaglianza (9) nel modo seguente:
.
S " a " =
583
II Sa II.
(10)
._ ..
l._._~.~_~_~
__
_____________
._~
___________
~
__________
~.
CAPITOLO VENTUNESIMO
MATRICI
§ 17
Scriviamo la matrice dei coefficienti del sistema d'equazioni differenziali:
SCRITTURA MATRICIALE
DI UN SISTEMA D'EQUAZIONI DIFFERENZIALI
- E DELLE SOLUZIONI DI UN SISTEMA D'EQUAZIONI
DIFFERENZIALI A COEFFICIENTI COSTANTI
Consideriamo 'un sistema di n equazioni differenziali lineari a n
f'unzioni incognite Xl (t)t X2 (t), ••• , Xn (t):
dXi
-
+ ai2X2 + ... + ain Xm
-dX2 = a2i x i + a22x + .... + a2n Xn,
-dt =
aU x i
l
)
2
dt
(1)
aiJ
Utilizzando la regola di moltiplicazione delle matrici (vedi § 4),
possiamo scrivere il sistema d'equazioni differenziali (1) in forma
matriciale:
dX
I
i
au ai2 ... ain Xi
dt
dX2
dt
-
a2i a22
...
X2
a2n
ani a n2
•••
ann
o semplicemente~ in virtu della regola di derivazione delle matrici,
-llx(t) 11=llallllxll.
dt
(2)
Xn (t)
dXi
dt
I ~;II=
584
-=ax,
dt
dove x si chiama anche soluzione vettoriale,
'
della matrice II ali II.
Sia
(7)
a e la
notazione breve
(8) .
dX2
dt
(3)
dX n
dt
(6)
Quest'ultima uguaglianza puo essere scritta ancora piu semplicemente:
dx
Questa e la matrice delle s9luzioni 0 1a soluzione vettoriale del
sistema (1). Definiremo in seguito la matrice delle derivate delle
soluzioni:
)
(5)
Xn
d
,II~II ' :2(t)
Ii,
'.
dt
Xi (t)
.,
,',
dx~
sono costanti. Introduciamo :le notazioni:
'£..,.
,i
'1
~... ~n;X; ~ ~.,~, ~. :. ~ ~n~~n.· J
I coefficienti
(4)
-«
dove CGi sono numeri.
Cercheremo l'insieme delle so1uzioni del siste~a d'equazioni
differenziali sotto forma (vedi formule (2), § 30, cap. XIII)
II xl/ = ekt 1/ ex 1/,
585 .
(9)
CAPITOLa VENTUNESIMO
Scriviamo il sistema (14) per determinare i valor! aill,a~ll per la
radice k1=1:
(2-1) aill+2a~1l=O,
ail) + (3 -1) a~l) = O.
"
1
Ponendo aill = 1, otteniamo a~ll = - 2' .
In modo analogo troviamo ai2) ed a~2) corrispondenti alIa radice k2 =4.
Qtteniamo:
Possiamo "ora sCfivere la soluzione del sistema in forma matriciale
[formula (17)]:
1 1
1/
1 ·11
II:: 11=
~:::t
_L
2
o nella forma abituale:
X1=C 1et +C2 e4t ,"
1
xII= -2" Cte t C2e4t •
+.
" Ese m p i 0 2. Scrivere in forma matriciale il sistema e la soluzione
del sistema d'equazioni differenziali
" dx "
-i-=xhil
dXII
n_
Cit=Xt+=2,
dxs
MATRIeI
di conseguenza,
ki=1,
k2=2,
ka=3.
Determiniamo ail), a~ll, aAI) corrispondenti alIa radice kr=1, a partire
dal sistema d'equazioni (14):
ail) a~ll
= 0,
ail) +a&l) + 2a~1l = 0,
e troviamo
ail) = 1,
a~l) = -1,
a~l) = O.
Determiniamo ai21 , a&21, a~21 corrispondenti alIa radice kg = 2, a part ire
dal sistema
""
2""':'a§21
=0,
21
a1
=0,
a121 + a~2) + a~21 = 0,
e troviamo:
ai21 = 0,
a~21 = 1,
. a~21 = -1.
Determiniamo alsl , a~SI, a~8i corrispondenti alla radice ka =3, a partire dal
sistema
-2aiSI
=0,
aiS) - a~S) = 0,
aiS) + a~SI = 0,
e troviamo:
aiSI = 0,
a~S) = 0,
afiSI = 1.
Scriviamo la soluzione del sistema in forma matriciale [vedi formula (17)J
+
1
"
lit =Xi+ X2+:3.XS'
Sol u z ion e. Scriviamo la matrice del sistema
100
A=;=
120
113
Di conseguenza, il sistema d'equazioni si scrive nella seguente forma
matriciale [vedi equazione(5)]:
o -1
o nella forma abituale
1
/l:1=C 1et ,
XII = -C1et+C2e2t,
Xa= -C2 e2t Cae3t •
+
§ 18
dxt
at
dX2
Cit
dXa
Cit
0 0
1 0
~
10 1
1 20
113
Scriviamo l'equazione caratteristica (16) e troviamone Ie radici:
1-k
0
0
1 2-k 0
=1, cioe (1-k) (2-k)(3-k)=Oi
1
1 3-k
588
SCRITTURA MATRlqIALE DI UN'EQUAZIONE LINEARE/
" DI OR1)INE Ni
Sia data un'equazione
a coefficienti costanti
fdn ............ dn-1
differenziale
line are
di· ordine n
n-2
X b- X
,......'" d
x
'" ~I
~
...--=a
~dtn
n --+a~-l"--+
dtn-1 J
n- dtn-2
. • • +atx'.
t"1
(1)
Osser-namo che nel corso della nostra esposizione sivedra quant.o
589 .
...':'
I
CAPITOLO VENTUNESIMO
MATRICI
sia comoda la numerazione adottata dei coefficienti. Poniamo
Ese m·p io. Scrivere in forma matriciale l'equazione
d2x
dx
7t2=P'dt +qx.
)
Sol u z ion e. Poniamo x =
Xi;
.
avremo alIora
dXl
-"--d =x2,
• t
. . . . . . . . . . . . . ..
"
1
- -n =
Xn ,
dxdtdx
.
~ = aixi
dt
,.
,
dX2
-at=PX2+qXl'
j
(2)
II sistema d'equazioni si scrivera in forma matriciale cosl:
dx j
d~2 ~ II ~ ~ 11·/1 ;~ II-
..'
+ a2x2 +. ... + anXn
o
-at
Scriviamo la matrice dei coefficientidi questo sistema
§ 19
0100 ... 0
001 0 ... 0
lIa*lI- ......... .
(3)
' - 0 0 0 0 ... 1
ai a2 aa at, •..• an
Possiamo aHora scrivere il sistema (2) analogamente aHa formula (5)
del:§ 17:
dXi
0 1 0
0
Xi
dt
dX2
dt
0 0 1 . ~. 0
dXn-i
dt
Supponiamo si chieda di trovare la soluzione di un sistema
d' equazioni' differenziali lineari a coefficien~i variabili
d
.i:!
dt = au (t) Xl + a12 (t) X2 + ... + aln (t) Xn,
X2
(4)
000
. RISOLUZIONE DEI SISTEMI D'EQUAZIONI' DIFFERENZIALI
LINEf\.RI A COEFFICIENTI VARIABILI CON IL METODO
DELLE APPROSSIMAZIONI SUCCESSIVE
ED UTILIZZANDO LA SCRITTURA MATRICIALE
1
dX2 = a21 (t) Xl
dt .
+ a22 (t). X2 + ... + a2n (t)
).
Xm
.. .........
........
dx·
~
dt = ani. (t) Xi + an2 (t) X2 + . + ann (t) Xn,
(1)
cbe soddisfa Ie condizioni iniziali
Xl
C)
semplicemente
.E..llx 11= lIa* 1I·llxlI..
(5)
dt
Si trova poi la sohizione proceden'do in modo analogo come n~l
§ 17, percM l'equazione matriciale (5) rappresen,ta u,n caso .part~)
colar~ dell'equazione (6)del§ 17.
590
= XI0, X2 = X20, ••• , Xn = XnO. per t = to.
(2)
Se accanto alla matrice dei coefficienti del sistema ed alla matrice
delle soluzioni consideriamo la matrice delle condizioni iniziali
. X10
(3)
591'
CAPITOLO VENTUNESIMO
MATRICI
sl potra. allora scrivere il sistema d 'equaiioni (1) con Ie condizioni
iniziali (2) nel modo seguente: '
Possiamo aHora, utilizzando 1'operatore S, scrivere Ie uguaglian·
ze (9) nel modo seguente:
I
.,'
+ S (axo),
X2 = Xo + S (axf) = Xo +S (a (xo + S (axo»)!
(4)
Xi
= Xo
con Ie condizioni iniziali
(5)
II x II = \I Xo II per t = to·
Qui II a (t) II indica nuovamente la matrice dei coefftcienti del ~iste:na:
. Risolveremo questo problema con il metodo delle approsslmazlOUl
successive.
'
Per semplicita applicheremo g metodo delle approssimazioni
successive anzitutto ad una equazione lineare del primo ordine (vedi
cap. XVI, § 26):
Si chiede di trovare la' soluzione di una equazione
dx .
(6)
-=a(t)x
dt
Xg
= Xo + S (a (xo + S (a (xo + S (axo»»),
d
dx Ilx II = II a(t) 11·llx II
con Ie condizioni iniziali
x = Xo per t = to.
xm = Xo + S (it (xo + S (a (xo + S (a (xo + S (a • •• »»»).
Sviluppando Ie parentesi, avremo:
Xm = Xo
m volta
+ to~ a (z) x (z) dz.
I
.!
l
Xi
=
Xo
+ to~ a (z) Xo dz,
X2=XO+
.
::
I;
Jo a(z)xi(z)dz,
.......
SaSa .. . Sa
m volte
\
( ) dz.
.
(9)
x=
(t - to)m
ml
.
.
[.1 + a t - 1 to + a2(t. -:-21 to)2 + •••. + am (t -mlto)m + ... ] Xo
"
.0
.
$
. xoeaCt-to).
.
(13)
II metodo di risoluzione di una' equazione (6) che abbiamo esaminato
si.applica alla risoluzione deL~istema (1) con Ie condizioni iniziali (2):
II sistema (1) con Ie condizioni iniziali (2) si scrive in forma
(10)
to
592
a
.
In questo caso, la (12) diventa:
Introduciamo, per abhreviare l'operatore d'integrazione S
S ( )= ~
m
'-_---.-_----''=
)
t
t
a (t -to),
SaSa = a2S (t _ to) = a2(t - t o)2 ,
.:
2
+ ~o a (z) Xm-i (z)dz,
................
"
(11)
Sa = aS1
(8)
. . . . . . . . . . . . . .. 1
Xm = Xo
xm =[1 +Sa +SaSa + ... +SaSa
... Sa]xo.
' -_ _._--'
" Ahhiamo dimostrato in precedenza (nel § 26, cap. XVI) che se
al.(t)e una funzio~e co~tinua, la successione {xm} converge. II limite '
dl questa succeSSIOne e una serie convergente:
x = [1 + Sa + SaSa + ... J Xo. .
(12).
o s s: e r v a z ion e. Se a (t) = cost,' la formuia (12) assume
una forma semplice. Infatti, in virtu della (10), possiamo scrivere:
Risolveremo questa equazione con il metodo delle approssimazioni successive:
·t
otteniamo:
m volte
Partiremo dall'ipotesi che a (t) sia una funzione continua.
Come estato indicato nel § 26, cap. XVI, la soluzione dell'equazione
differenziale (6) con Ie co:ndizioni iniziali (7) si riduce aHa soluz~one
dell 'equazione integrale
X = Xo
--'
ecostante),
,Portando Xo al di fuori delle parentesi (xo
(7)
t
+ Saxo + SaSaxo + SaSaSaxo + ... +'SaSaSa
. .. Saxo.
---.
38_0330
I
593
:
MATRIC!
CAPITOLa VENTUNESIMO
matriciale nel modo seguente:
d
'
dt IIxll=lIa(t)lIllxll
con Ie condizioni iniziali
II x II =
II Xo II
(14) ,
it interessante not are la circostanza seguente. Se i coefficienti del
sistema (1) sono costanti, si puo scrivere allora, utilizzando la regola
chepermette di portare al di fuod del simbolo di matrice un
fattore comune a tutti gli elementi della matricel):
8
,
(15)
per t = to.
Utilizzando la regola di moltiplicazione delle matrici e di integrazione delle matrici, si puo ridurre la soluzione del sistema (14)
con la condizione (15) aHa soluzione dell'equazione matriciale
integrale
,
Ilx(t) 11= [IIEII + t 1 tOllall + (t
t
II Xm (t) II = II Xo II + ~ II a (z) 1111 Xm-t (z) II dz.
to
(17)
Portando successivamente Ie ,approssimazioni successive sotto il
segno d'integrazione, si pUO esprimere la soluzione del sistema in
forma matriciale nel modo seguente:
ZI
to
to
II x (t) II = II Xo II + ~ II a (Zt) II (II Xo II + ~ II a (Z2) II (II Xl} II +
t
IIx(t)II=llxolI+ to~ II a (Z1) II II xoII dZ1. +
... + (t -mlto) mII a IIm +... ]
II Xo II·
(21)
Quest 'ultima uguaglianza si scrive simbolicamente nella maniera
seguente:
II x(t) II = e(t-to) \I a II11 Xo II.
(22)
r
II a (212) 1111 Xo II dz z dZ i + . ..
+
(18)
+ ... ]
n·
L'operatore tra parentesi quadre viene denotato di solito con
una sola le,ttera. Denotiamolo con ~lr~fI. L 'uguaglianza (19) si scrive
aHora brevemente cosl:
II x (t) II = ~lr~h) \111 Xo II.
594
A=
Y1=3x1+2x2, Y2= 7x 1+ 5x2':
Utilizzando l'operatore d'integrazione S, si possono scrivere Ie
uguaglianze (18) nel modo seguente:
II x (t) II = [II E II S II a II S II a liB II a II
II Xo
(19)
+
;;ollla I12 + ...
, ESERCIZI
1. Trovare la matrice della trasforma4. Date Ie matrici
zione inversa della trasforma1
2 3
zione lineare
oppure
+ I'll a (211) II
21
Nel caso di coefficienti costanti la formula (19) diventa:
Troviamo Ie approssimazioni successive
, t
(t - to)211 a 112,
8 II a liS II a 118 II a 11= (t - to)3 11 a 113, ecc.
31
(16)
to
,
1
8 II a 118 II a II =
__ t
Ilx(t) II = II xoII + ~ lIa (z) 11·llx (z) II dz.
lIa 11= t - tOllall,
(20)
RiSP'II_~ -: II.
2. Trovare la matrice dellatras£ormazione inversa
Y1=Xi- XZ. Y2=xi'
RtSP./I_~
!II·
3. Calcolare i1 prodotto delle matrici
1/1:
I~
!/1·11: _~ II·
Rtsp.
=:fl·
2
0 1
3 -1 1
I
i
"
e
507
1 2 3 ,
-1 0 2
calcolare i prodotti AB e BA.
4
4 19
Risp.
9
0 16 e
13 -2 20
B=
26
3
14 -1
22
8.
5 -4 -1
1) •Q~i lasciamo ~~ parte il problema del passaggio aI limite per fare 1e
operaZlOnl 'sulle matrlCI.
595
38*
CAPITOLO VENTUNESIMO
+
6. Abbiamo la matrice ..4. =
10Xl+ 5x2+:l:3=11,5
e calcolare xii X2, :1:3'
Xl
11 -4
Risp. X2
-25
9
3
X 11
+5..4..
Risp·II!~ !~ \1·
1:'1
2+
X3=20,
$1+ 3x2+ X 3=30 .
in forma matriciale e calcolare
$3·
-2
-1
-
1,
0
5 -1
X3
1
1 X
-3
10
:x 20 , x1=3Q, x2=20,
30
=-60. , ,
{~':'
.
Laplace d:> (x) = 11> (px)
'.
:I:
I
<I> (:I:)
I
A
I
'a, (:I:)
I
0,0000
269
0,0269
269
I
A
0,0564
561
O,to
0,1125
555
0,0538
268
0,15
0,1680
547
0,0806
267
0,20
0,2227
536
0,1073
266
0,25
0,2763
523
0,1339
265
0,30,
0,3286
508
0,1604
262
0,35
0,3794
490
0,1866
261
0,40
0,4284
471
0,2127
258
0,45
0,4755
450
0,2385
256
,
0,50
0,5205
428
0,2641
252
+:'4$ -0
.~:-.
0,55
0,5633
406
0,2893
250
Risp. x1=C1e2t+C2e-2t,
X2= -2(C1e2t-Cze-2t).
0,60
0,6039
381
0,3143
246
0,65
0,!l420
358
0,3389
243
0,70
0,6778
334
0,3632
238
Rtsp. l\l'on ~sistono,
Trovare ,gli autovettorl della
matrice
at
."
e- t2 dt e della funzione ridotta di
0
0,05
dt
.' dX2
;.
y n
564
dx!
0
--+X2= ,
:1:3=
1:- J
0,0000
400
0,4 ()
004
R isp. Tutti i vettori sono autovettori.
14. Risolvere con il metodo matriciaIe il sistema d'equazioni differenziali lineari
2X1+ X
Valori della funzione <D (x) =
0,00
I ~~~ ~ ~~~ ~II·
fs',
Tabella 1
:I:
k1
vettore arbitrario che 'soddisfa la
condizione (1:'11:'2) = 0, m e un
numero arbitrario.
'
12. Trovare gli autovettori della
matrice'
+ 2X2+X8= 10,
X1
,Risp. X2
= 6, kg = ks = -3;
.
+
= m't 2"1 mJ - mk
, 't'2'e un
Risp.
-25
9-2
15 -5
1
'9. Scrlvere Ie soludon! del ,sistema
d'equRzioni
ZI, X2,
J
J
1
2-4
2 -2 -2
-4 -2
1
S. Calcolare la matrice inversa A-I,
111
:se ..4. = '5 4 3 . Risp.
10 5 1
11 -4
1
Xi
1
11. Calcolare gli autovalori e gl
autovettori della matrice
Calcolare A2+
,
-2 X
xl=O,5, x2=1,
X3= 1,5.
11,5'
~I1~ ~~ II·
I ~ :II·
1
15 -5
II! !II·
Calcolare la matrice ..4. 2• Risp.
'7. Sia..4.
APPENDICI
10. Scrivere in forma matriciale la
soluzione del sistema di equazioni
:l:1+:l:2+ X 3=3,
5Xl +43: 2 +3:1:3= 11,
1 .2 3
'5. Abbianio A= 5 7 10
4 3 1
E e la matrice unitaria del terzo
ordine. Calcolare la matrice A
323
+2E. Risp.
5 9 10 •
4 3 3
':
.
'
597
,
.-.--~
.. - - - - - - - -
<l> (x)
I
ll.
.
""',
'., ~,-.
,'~.
I
<i>
(x)
I
ll.
x
I
<l> (x)
I
ll.
I
<i>
(x)
I
309
0,3870
235
2,00
0,9953
10
0,8227
105
0,80
0,7421
286
0,4105
231
2,05
0,9963
7
0,8332
102
0,85
0,7707
262
0,4336
226
2,10
0,9970
6
0,8434
96
0,90
0,7969
240
0,4562
221
2,15
0,9976
5
0,8530
92
0,95
0,8209
.- 218
0,4783
217
0,9981
4
0,8622
87
1,00
0,8427
197
0,5000
212
. 2,20
2,25
0,9985
3
0,8709
83
1,05
0,8624
178
0,5212
207
,
2,30
0,9988
3
0,8792 '
79
1,10
0,8802
159
0,5419
201
,
2,35
0,9991
2
0,8871
74
1,15
0,8961
142
0,5620
197
2,40
0,9993
2
0,8945
71
1,20
0,9103
126
0,5817
191
',2,45
0,9995
1
0,9016
66
1,25
0,9229
111
0,6008
186
2,50
0,9996
1
0,9082
64
1,30
0,9340
98
0,6194
181
2,55
0,9997
1
0,9146
59
1,35
0,9438
85
0,6375
175
2,60
0,9998
0,9205
56
i
1,40
0,9523
74
0,6550
169
2,65
0,9998
°1
0,9261
53
!
1,45
0,9597
64
0,6719
164
2,70
0,9999
0,9314
50
1,50
0,9661
55
0,6883
159
2,75
0,9999
0,9364
46
2,80
0,9999
°
°1
0,9410
44
2,85
0,9454
41
1,55
0,9716
47
0,7042
153
1,60
0,9736
41
0,7195
147
•
!
1,65
0,9804
34
0,7342
143 '
2,90
0,9495
39
1,70
0,9838
29
0,7485
136
2,95
0,9534
36
1,75
0,9867 '
24
0,7621.
132
3,00
0,9570
33
1,80
0,9891
20
0,7753
126
3,05
0,9603
32
1,85
0,9911
17
0,7879
121
3,10
0,9635
29
1,90
0,9928
14
0,8000
116
3,15
0,9664
27
1,95
0,9942
11
0,8116
111
3,20
0,9691
25
598
..
1,0000
599
i
I
0,7112
:
.
ll.
0,75
"
",'
Tabella 1 (segue)
Tabella 1 (segue)
j
.
APPEN:bICI
APPENDICI
x
,
I
! :
;
'\ '
APPENDICI
APPENDICI
Tabella 1 (segue)
x
,
I
II> (x)
I
A
I
tD (x)
3,25
0,9716
3,30
0,9740
3,35
0,9761
3,40
9,9782
3,50
0,9818
.-
3,60
0,9848
3,70
0,9874
3,80
0,9896
3,90
0,9915
4,00
0,9930
4,10
0,9943
4,20
0,9954
4,30
0,9963
4,40
0,9970
4,50
0,9976
4,60
0,9981
4,70
0,9985
4,80
0,9985
4,90
0,9991
5,00
0,9993
5,10
0,9994
;
5,20
0,9996
5,30
0,9997
5,40
0,9997
600
I
Valori della funzione f (x)=y_ e
.
2n
A
x
24
21
21
36
30
.
26
22
19
15
13
11
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0;90
0,95
1,00
I
t (x)
1/
0,3989
0,3984
0,3970
0,3945
0,3910
0,3867
0,3814
0,3752
0,3683
0,3605
0,3521
0,3429
0,3332
0,3230
0,3123
0,3011
0,2897
0,2780
0,2661
0,2541
0,2420
x
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
I
t (x)
I
0,2299
0,2179
0,2059
0,1942
0,1826
0,1714
0,1604
0,1497
0,1394
0,1295
0,1200
0,1109
0,1023
0,0940
0,0863
0,0790
0,0721
0,0656
0,0596
0,0540
0,0488
I
x
__
Valori della funzione II> (x) =
1
yn-
6
3
3
2
1
2
1
°
3,10
3,15
3,20
3,25
3,30
3,35
3,40
3,45
3,50
3,55
3,60
3,65
3,70
3,75
3,80
3,85
3,90
3,95
4,00
e
2
f (x)
0,0033
0,0028
0,0024
0,0020
0,0017
0,0015
0,0012
0,0010
0,0009
0,0007
0,0006
0,0005
0,0004
0,0004
0,0003
0,0002
0,0002
0,0002
0,0001
Tabella 3
x_-=-
J
I
x
dz
o
x
5
4
II
0,0440
0,0396
0,0355
0,0317
0,0283
0,0252
0,0224
0,0198
0,0175
0,0154
0,0136
0,0119
0,0104
0,0091
0,0079
0,0069
0,0060
0,0051
0,0044
0,0038
9
7
2
t (x)
2,10
2,15
2,20
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
3,05
Tabella 2
-.,=:
1
•
0,00
0,01
0,05
O,iO
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
I
II> (x)
0,0000
0,0040
0,0199
0,0398
0,0596
0,0793
Oj0987
0,1179
0,1368
0,1554
0,1736
0,1915
0,2088
0,2257
0,2422
0,2580
0,2734
0,2881 .
0,3023
0,3159
/I
·x
I
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
.1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
iii(X)
0,3289
0,3413
0,3531
0,3643
0,3749
0,3849
0,3944
0,4032
0,4115
0,4192 .
0,4265
0,4332
0,4394
0,4452
0,4505
0,4554
0,4599
0,4641
0,4678
601
1/
x
1,90
2,00
2,iO
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4.50
5,00
I
II> (x)
0,4713
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499927
0,499968
0,499997
0,500000