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2.2.6 Il contenuto geometrico degli Elementi
F. Circonferenza e cerchio
Teorema
Data una qualsiasi corda AB di una circonferenza di centro C il suo asse di simmetria passa per il centro della
circonferenza.
IPOTESI: la retta r è asse di simmetria della corda AB.
TESI: `C in r`.
DIMOSTRAZIONE
L'asse del segmento AB è formato dai punti equidistanti da A e B. Il centro è equidistante da A e da B per definizione di
circonferenza, quindi esso appartiene all'asse del segmento.
Teorema
Il diametro perpendicolare a una corda la divide a metà.
DIMOSTRAZIONE: Il triangolo COH e il triangolo OHD sono rettangoli, hanno il cateto OH in comune e OC≅OD
perché sono entrambi raggi. Per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli avendo congruenti un cateto e l'ipotenusa i
triangoli COH e OHD sono congruenti. Essendo congruenti lo sono tutti i loro angoli e lati, e in particolare lo sono quindi
anche CH e HD.
Teorema del diametro perpendicolare a una corda.
Teorema
La perpendicolare a una corda passante per il centro di una circonferenza è l'asse della corda.
Teorema
Se due corde sono congruenti allora esse hanno la stessa distanza dal centro. Viceversa se due corde hanno la stessa
distanza dal centro allora sono congruenti.
Teorema
Se una corda ha distanza maggiore dal centro rispetto a un'altra allora la sua lunghezza è minore.
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Per un punto esterno alla circonferenza passano sempre due rette tangenti, i segmenti dal punto esterno al punto di
tangenza sono detti segmenti di tangente. Per un punto sulla circonferenza passa una e una sola retta tangente. Per un
punto interno alla circonferenza non passano rette tangenti.
Teorema
Condotte le rette tangenti a una circonferenza per un punto esterno ad essa i segmenti di tangenza sono congruenti.
Teorema
Condotte le rette tangenti a una circonferenza per un punto esterno ad essa la retta passante per il punto esterno ad
essa e per il centro della circonferenza è la bisettrice dell'angolo formato dalle rette tangenti.
Il teorema che segue ha una dimostrazione elaborata che qui non viene dimostrata ma va svolta per casi. Tale teorema
è importante perché permette di dimostrare agevolmente i corollari che seguono.
Teorema
In una circonferenza l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza.
Corollario
Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti tra loro.
Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco.
Corollario
I triangoli inscritti in una circonferenza aventi come lato il diametro sono tutti rettangoli.
Costruzione
A partire da una circonferenza di centro O e da un punto A esterno ad essa tracciare le rette tangenti alla circonferenza
passanti per A.
Procedimento:
• Si determina il punto medio M del segmento OA.
• Si traccia la circonferenza di centro il punto medio M e raggio OM.
• La circonferenza di centro M e raggio OM interseca la circonferenza di centro O in due punti S e T. Le rette
tangenti sono quelle passanti per A e S e per A e T.
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Costruzione delle rette tangenti a una circonferenza per un punto esterno a d essa.
Teorema
Si indichino con O e O' i centri di due circonferenze e con r e r' i loro raggi. In tal caso valgono le seguenti doppie
implicazioni:
• Le circonferenze sono esterne se e solo se OO'>r+r'.
• Le circonferenze sono tangenti esternamente se e solo se `OO^'~=r+r^'`.
• Le circonferenze sono secanti se e solo se `r-r^' lt OO^' lt r+r^'`.
• Le circonferenze sono tangenti internamente se e solo se `OO^'~=r-r^'`.
• Le circonferenze sono interne se e solo se `OO^' lt r-r^'`.
• Le circonferenze sono concentriche se e solo se `O~=O^'`.
Teorema (condizioni di inscrivibilità di un poligono)
Un poligono è inscrivibile in una circonferenza se e solo se tutti gli assi di simmetria dei suoi lati si incontrano in un
punto.
DIMOSTRAZIONE
`=>`) Se un poligono è inscrivibile a una circonferenza allora i suoi vertici appartengono tutti alla circonferenza, pertanto
il centro ha la stessa distanza da tutti i vertici. L'asse di simmetria di ogni lato è formato dai punti equidistanti dai vertici,
e se il centro ha la stessa distanza da tutti i lati allora appartiene a tutti gli assi di simmetria.
`lArr`) Se tutti gli assi di simmetria si incontrano in un punto allora, per definizione di asse di simmetria, tale punto è
equidistante da tutti i vertici, e questo punto è dunque il centro della circonferenza.
Teorema (condizioni di circoscrivibilità di un poligono)
Un poligono è circoscrivibile ad una circonferenza se e solo se tutte le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un punto.
Teorema (condizioni di inscrivibilità di un quadrilatero)
Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari.
Teorema (condizioni di circoscrivibilità di un quadrilatero)
Un quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma
degli altri due.
Osservazioni
• Tutti i poligoni regolari hanno tanti assi di simmetria quanti sono i loro lati.
• Tutti i poligoni regolari con un numero pari di lati hanno un centro di simmetria.
• Tutti i poligoni regolari sono inscrivibili in una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria è il
centro della circonferenza circoscritta ed è detto centro del poligono regolare.
• Tutti i poligoni regolari sono circoscrivibili a una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria è il
centro della circonferenza inscritta ed è detto centro del poligono regolare.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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