FACOLTA’ DI INGEGNERIA Corso di laurea in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio e Ingegneria Telematica Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 12/03/2009 - Durata della prova: due ore Non si può uscire dall’aula prima di aver consegnato definitivamente il compito. Non si possono consultare i libri di testo. Usare solo la carta fornita dai Docenti. I 1) Scrivere e studiare il fascio di Φ coniche bitangenti alla retta x − y = 0 nell’origine ed alla retta x + y − 1 = 0 nel punto A(1, 0). 2) Sia C la conica del fascio passante per il punto (0, − 21 ). Dire di che conica si tratta e trovare una sua forma canonica. II 1) Sia C la circonferenza del fascio Φ. Trovare il cono di vertice V (1, 0, 1) e direttrice C . 2) Studiare il fascio di quadriche di equazione hx2 + (h + 1)y 2 + z 2 + 2yz − x + z = 0 III In IR , sia dato il seguente spazio vettoriale V = L(v1 , v2 , v3 ) dove v1 , v2 e v3 sono i vettori v1 = (0, −1, 1, 0), v2 = (1, 1, −1, 0) e v3 = (2, 0, 1, 1). Sia f : V → V l’endomorfismo definito da 4 f (v1 ) = (0, −h, h, 0) f (v2 ) = (h, h + 1, −h − 2, −1) f (v3 ) = (2h, 1 + 2h, −1 − 2h, 0) con h parametro reale. 1. Studiare MB B (f ) con B una base di V , al variare del parametro h trovando una base per Imf e Kerf . 2. Studiare la semplicità di f , e nei casi in cui è semplice determinare una base di autovettori. 3. trovare f −1 (−1, 1, −2, −1) al variare del parametro reale h Soluzione I La retta OA ha equazione y = 0, pertanto il fascio richiesto ha equazione Φ : (x − y)(x + y − 1) + hy 2 = 0, da cui Φ : x2 + (h − 1)y 2 − x + y = 0. pertanto 1 |B| = 0 − 12 0 h-1 − 12 1 2 0 1 2 =− (h) 4 Allora 1. |B| = 0 ⇔ h = 0. per h = 0 si ha la conica spezzata nelle due rette (x − y)(x + y − 1) = 0 2. |B| = 6 0 ⇔ h 6= 0 e si hanno coniche irriducibili. Essendo |A| = 1 0 0 =h−1 h-1 Si ha: |A| = 0 ⇔ h = 1. E si ha la parabola, ℘ = x2 − x + y = 0 . |A| > 0 ⇔ h > 1 e si hanno ellissi. Nel nostro caso si ha per h = 2 la circonferenza C : x2 + y 2 − x + y = 0 |A| < 0 ⇔ h < 1 e si hanno iperboli. In particolare, T rA = 0 ⇔ h = 0 e quindi non si hanno iperboli equilatere. 2) La conica C del fascio richiesta è quella che si ottiene per h = 3, ovvero x2 +2y 2 −x+y = 0. Essa è un’ellisse. Gli autovalori relativi alla sottomatrice A, sono α = 1 e β = 2. Dall’uguaglianza −αβγ = |BC | si ottiene γ = 38 . Quindi una forma canonica di C è X 2 + 2Y 2 = 38 . II 1) La circonferenza richiesta è C : x2 + y 2 − x + y = 0 Quindi da z(ax + by + cz + d) + x2 + y 2 − x + y = 0 imponendo che si abbia il punto V (1, 0, 1) sia 1 0 a2 0 1 0 0 b 1 0 a b 2 d2 c 2 1 2 2 1 1 0 2 d2 0 vertice si ottiene =0 da cui a = −1, b = −1, c = 0, d = 1 . Pertanto il cono richiesto è il seguente x2 + y 2 − xz − yz − x + y + z = 0. 2) la matrice del fascio è la seguente h 0 |B| = 0 - 12 0 h+1 1 0 0 1 1 - 21 0 1 2 0 1 2 h = − (h + 2) 4 e h |A| = 0 0 0 h+1 1 0 1 = h2 1 Quindi: |B| = 0 ⇔ h = 0, −2. Se h = 0 allora rk(B) = 3 ed essendo |A| = 0 la quadrica è il cilindro:Ψ : y 2 − x + 2yz + z 2 + z = 0 . Se h = −2 allora rk(B) = 3 ed essendo |A| = 6 0 la quadrica è il cono:Ψ : −2x2 − y 2 − x + 2yz + z 2 + z = 0 . Sia |B| = 6 0 ⇔ h 6= 0, −2. In tal caso, si hanno quadriche non degeneri; in particolare, essendo |A| = 0 ⇔ h = 0, non si hanno paraboloidi. Per sapere se ci sono iperboloidi e/o ellissoidi, studiamo il segno degli autovalori relativi al polinomio caratteristico associato alla sottomatrice A. Quindi: |A − IT | = h-T 0 0 0 h+1-T 1 0 1 = 1-T = −T 3 + 2(h + 1)T 2 + (−h2 − 3h)T + h2 e dalla regola di Cartesio (vedi nota) si trova che si sono iperboloidi per h < 0 ed ellissoidi per h > 0. Ed essendo |B > 0 ⇔ −2 < h < 0, e |B < 0 ⇔ h < −2 ed h > 0, si hanno iperboloidi iperbolici per −2 < h < 0 e si hanno iperboloidi ellittici per h < −2. Nota Regola di Cartesio: dato un polinomio alla permanenza di segno di due coefficienti consecutivi, ovvero uno di grado n e l’altro di grado n − 1 entrambi negativi o positivi, corrisponde una radice negativa del polinomio. E ad una variazione di segno tra i due, ovvero uno positivo ed uno negativo o viceversa, corrisponde una radice positiva del polinomio. Si può costruire -3 -1 0 -1 la seguente tabella: 2(h + 1) + + −(h2 + 3h) + + h2 + + + + dove i termini della prima riga in alto rappresentano i valori che annullano i coefficienti della variabile T ; i termini a sinistra sono i coefficienti della T in ordine decrescente rispetto alle potenze di T , ed i segni positivi e/o negativi in ogni riga rappresentano rispettivamente i segni di ogni coefficiente nell’intervallo considerato. III Sia B = [v1 , v2 , v2 ] una base di V . Si ha h 0 |A| = |MB (f )| = B 0 1 h+2 -1 -1 2h = 2h2 0 Quindi: |A| = 6 0 ⇔ h 6= 0 ed in tal caso f è un isomorfismo. Sia h = 0. In tal caso si ha: 0 1 −1 0 A = 0 2 0 −1 0 e rkA = 2. Pertanto dim Imf = 2 ed una base è data da {(1, 2, −1)B , (−1, 0, 0)B }; dim Kerf = 1 e Kerf = {(x, y, z) ∈ V | y = 0, z = 0}, pertanto una base è data da {(1, 0, 0)B } = v1 . Calcoliamo adesso |A − IT | = h-T 0 0 1 h+2-T -1 -1 2h = (h − T )[−T (h + 2 − T ) + 2h] = -T = (h − T )[T 2 − (h + 2)T + 2h] = (h − T )(T − h)(T − 2) = (T − h)2 (2 − T ) Si hanno quindi i seguenti autovalori: T1 = h, con molteplicità algebrica uguale a due e T2 = 2 . Allora T1 6= T2 se h 6= 2 e si ha che f è semplice se e solo se dim Vh = 2 e dim V2 = 1. Sia quindi h 6= 2. Essendo Vh = Ker(f − hI) si ha che la matrice associata all’endomorfismo f − hI è 0 1 −1 A − hI = 0 2 2h 0 −1 −h Per dire che il rango di questa matrice è due serve l’ulteriore condizione h 6= −1 , quindi se h 6= −1, 2 f non è semplice. Se h = −1 invece il rango di A − hI è uguale ad uno, quindi dim V−1 = 2, e dim V2 = 1 e pertanto f è semplice. Troviamo una base di autovettori per h = −1. Si ha: V−1 = {(x, y, z)B ∈ V | y = z} = L(x, y, y)B ed una base è data dai vettori a1 = (1, 0, 0)B = v1 e a2 = (0, 1, 1)B = v2 + v3 V2 = {(x, y, z)B ∈ V | x = −z, y = −2z} ed una base è data dal vettore a3 = (−1, −2, 1)B = −v1 − 2v2 + v3 . Quindi una base di autovettori per h = −1 è {a1 , a2 , a3 } . Sia h = 2; si ha T1 = 2 triplo. Quindi f è semplice se dim V2 = 3. Calcoliamo dim V2 ; essendo il rango della seguente matrice 0 1 −1 1 2 1 0 −1 −2 uguale a due si ha dim V2 = 1 e pertanto per h = 2 f non è semplice. 3) Per calcolare f −1 (−1, 1, −2, −1), bisogna prima trovare le componenti di v = (−1, 1, −2, −1) rispetto alla base B, ovvero [v]B = (0, 1, −1)B e basta risolvere il seguente sistema lineare non omogeneo la cui colonna di termini noti è data da (0, 1, −1), ovvero: h 1 −1 | 0 0 h + 2 2h | 1 0 −1 0 | −1 si ha per il Teorema di Cramer per h 6= 0 una ed una sola soluzione (x, y, z)B = (− 3h+1 , 1, − h+1 2h )B Se h = 0, applicando il teorema il Rouchè2h2 Capelli il sistema è impossibile e quindi f −1 (−1, 1, −2, −1) = ∅