2012-13 TFA-2- Strumenti_informatici

TFA
Giuseppe Accascina
[email protected]
Software didattico
nell’insegnamento della matematica
Seconda parte
Programmi di geometria dinamica 2D
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Tutte le schede e i file Cabri sono scaricabili da:
http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/2012-13_TFA
(per scrivere il simbolo ~ in Windows:
premere il tasto ALT e contemporaneamente scrivere il numero 126 sul tastiera dei numeri a
destra, quindi rilasciare il tasto ALT).
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SCHEDA 1
1. I primi disegni
Il software Cabri è nato per disegnare. Per far ciò si utilizzano alcuni strumenti che, per comodità
d’uso, sono raccolti in alcune caselle degli strumenti.
Gli strumenti che ci vengono messi a disposizione da Cabri sono di vario tipo. Tuttavia nel fare
disegni noi ne useremo solo alcuni. Vogliamo infatti simulare il disegno in cui si faccia uso
esclusivamente della riga non graduata e del compasso. Useremo quindi gli strumenti Punto (che
disegna un punto che può muoversi a piacere nel piano), Punto su un oggetto (che disegna un
punto che può muoversi solo su un oggetto definito in precedenza), Intersezione di due oggetti
(che disegna un punto che sia intersezione di due oggetti definiti in precedenza), Retta, Segmento,
Semiretta, Triangolo, Poligono, Circonferenza (che disegna la circonferenza di centro assegnato
e passante per un punto assegnato), Arco di circonferenza (che disegna l’arco di circonferenza
delimitato da due punti e passante per un terzo punto).
Problema 1.1.
Disegnare due punti A e B e uno dei triangoli equilateri aventi
come lato il segmento AB (proposizione 1 del libro 1 degli
Elementi di Euclide)
Nota.
Questa scheda, come tutte le altre numerate con numeri interi, sono tratte da:
Giuseppe Accascina, Giovanni Margiotta
Alla ricerca di triangoli equilateri con Cabri
Progetto Alice, n.8 (2002) pp. 175 – 199
http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/Pubblicazioni/2002_Alla_ricercaPrima_parte.pdf
- Progetto Alice, n.9 (2002) pp. 383 – 408
- http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/Pubblicazioni/2002_Alla_ricercaSeconda_parte.pdf
- Progetto Alice, n.10 (2003) pp. 1 – 23
- http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/Pubblicazioni/2003_Alla_ricercaTerza_parte.pdf
Si possono anche scaricare le schede da usare in classe e i relativi file Cabri:
http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/Pubblicazioni/2002_Alla_ricerca_Schede_e_
files/
Le schede non numerate sono state invece create in occasione di questo corso.
Chi vuole usare Cabri sul proprio PC (con sistema operativo Windows o Mac) può usare la versione
demo scaricabile dal sito
http://www.cabri.com/download-cabri-2-plus.html
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SCHEDA 2
Sviluppo del problema 1.1.
Con lo strumento Punto disegniamo due punti che chiamiamo A e B;
con lo strumento Circonferenza disegniamo la circonferenza avente centro in A e passante
per B e la circonferenza avente centro in B e passante per A;
- con lo strumento Punto disegniamo uno dei due punti di intersezione delle due
circonferenze; lo chiamiamo C;
- con lo strumento Segmento disegniamo i segmenti AB, AC e BC.
Il triangolo ABC è equilatero.
-
Figura_1_1
- con lo strumento File Salva con nome salviamo la figura nel file Figura_1_1.fig .
Non esiste in Cabri uno strumento che costruisca il triangolo equilatero. Possiamo costruircelo noi
stessi. Ci costruiamo cioè una macro.
− Costruiamo una macro avente come Oggetti iniziali i punti A e B e come Oggetti finali il
terzo vertice e i tre lati del triangolo equilatero; con lo strumento Definizione di una macro
diamo alla macro il nome Equilat. Salviamo la macro anche come file in modo tale da
poterla caricare quando ne avremo bisogno.
Proviamo ad usare la macro appena costruita.
- Selezioniamo la macro Equilat e disegniamo due punti. Cabri disegna, oltre i due
punti (oggetti iniziali della macro), il terzo vertice e i lati di uno dei due triangoli
equilateri aventi come vertici i due punti (oggetti finali della macro).
Figura_1_1a
- Salviamo la figura nel file Figura_1_1a.fig.
Ora vogliamo ottenere anche l’altro triangolo equilatero di vertici gli stessi due punti. Come fare?
Semplice. Usiamo di nuovo la macro Equilat ma, questa volta, clicchiamo prima sul secondo punto
e poi sul primo.
Figura_1_1b
- Salviamo la figura nel file Figura_1_1b.fig.
Ecco che al primo triangolo equilatero disegnato in precedenza si è aggiunto il secondo.
Ecco un altro problema.
Problema 1.2
Disegnare due punti A e B, il segmento AB, il suo punto medio e il
suo asse (proposizione 10 del libro 1 degli Elementi di Euclide).
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SCHEDA 3
Sviluppo del problema 1.2.
Con lo strumento Punto disegniamo due punti A e B distinti;
con lo strumento Segmento disegniamo il segmento di estremi A e B;
con la macro Equilat disegniamo uno dei due triangoli aventi come vertici i punti A e B; con
lo strumento Nomi chiamiamo C il terzo vertice del triangolo;
- con la macro Equilat disegniamo l’altro triangolo equilatero avente come vertici i punti A e
B; con lo strumento Nomi chiamiamo C’ il terzo vertice del triangolo;
- con lo strumento Retta disegniamo la retta passante per C e C’; la chiamiamo r;
- con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo il punto di intersezione della retta
passante per A e B con la retta r; lo chiamiamo M.
La retta r e il punto M sono rispettivamente asse e punto medio del segmento AB.
-
Figura_1_2
- Salviamo la figura nel file Figura 1_2.fig.
La costruzione appena fatta è proprio quella descritta da Euclide negli Elementi. Essa fa uso
della macro Equilat. Quest’ultima in effetti fa uso della circonferenza di centro A passante per B
e della circonferenza di centro B passante per A. I punti C e C’ sono i punti di intersezione delle
due circonferenze. Non è quindi necessario disegnare i due triangoli equilateri.
Ecco questa costruzione:
- Con lo strumento Punto disegniamo i punti A e B;
- con lo strumento Segmento disegniamo il segmento di estremi A e B;
- con lo strumento Circonferenza disegniamo la circonferenza di centro A passante per B e la
circonferenza di centro B passante per A;
- con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo i punti di intersezione delle due
circonferenze; con lo strumento Nomi li chiamiamo C e C’;
- con lo strumento Retta disegniamo la retta passante per C e C’; la chiamiamo r;
- con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo il punto di intersezione della retta
passante per A e B con la retta r; lo chiamiamo M.
Figura_1_2a
Salviamo la figura nel file Figura_1_2a.fig.
In effetti in Cabri esiste già lo strumento Asse che costruisce direttamente l’asse di un segmento di
estremi assegnati. Dal momento che abbiamo visto che l’asse di un segmento può essere ottenuto
con riga e compasso d’ora in poi useremo anche lo strumento Asse.
Ecco un altro problema.
Problema 1.3
Disegnare un punto A, una retta r, la retta passante per A e
perpendicolare a r (proposizioni 11 e 12 del libro 1 degli
Elementi di Euclide).
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SCHEDA 4
Sviluppo del Problema 1.3
Analizziamo prima il caso in cui il punto A appartiene alla retta r.
- Con lo strumento Punto disegniamo un punto A;
- con lo strumento Retta disegniamo una retta passante per A; la chiamiamo r;
- con lo strumento Circonferenza disegniamo una circonferenza di centro il punto A;
- con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo i punti di intersezione della
circonferenza con la retta r; con lo strumento Nomi li chiamiamo B e C;
- con lo strumento Asse disegniamo l’asse del segmento BC.
Quest’ ultima retta è perpendicolare alla retta r e passa per A.
Figura_1_3
- Salviamo la figura nel file Figura_1_3.fig.
Analizziamo ora il caso in cui il punto A non appartiene alla retta r.
- Con lo strumento Punto disegniamo un punto A;
- con lo strumento Retta disegniamo una retta r non passante per A;
- con lo strumento Circonferenza disegniamo una circonferenza di centro il punto A
intersecante la retta r;
- con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo i punti B e C di intersezione della
circonferenza con la retta r;
- con lo strumento Asse disegniamo l’asse del segmento di estremi B e C.
Quest’ ultima retta è perpendicolare alla retta r e passa per A.
Figura_1_3a
- Salviamo la figura nel file Figura_1_3a.fig.
Notiamo che la costruzione è identica a quella data nel caso in cui il punti A appartiene alla retta r.
Abbiamo dovuto però scegliere una circonferenza di centro A intersecante la retta r. Notiamo cosa
succede se la circonferenza non interseca la retta r.
Figura 1_3b
La retta cercata non viene disegnata. Anche in questo caso in Cabri esiste lo strumento Retta
perpendicolare che costruisce la retta perpendicolare ad una retta r assegnata passante per un punto
A, non necessariamente appartenente alla retta r. D’ora in poi useremo questo comando.
Ecco un altro problema.
Problema 1.4
Disegnare un triangolo ABC e la circonferenza ad esso circoscritta
(proposizione 5 del quarto libro degli Elementi di Euclide).
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SCHEDA 5
-
Sviluppo del problema 1.4.
Con lo strumento Triangolo disegniamo un triangolo ABC;
Con lo strumento Asse disegniamo l’asse del segmento AB e l’asse del segmento AC;
con lo strumento Punto disegniamo il punto D di intersezione dei due assi:
con il comando Circonferenza disegniamo la circonferenza di centro D e passante per A.
La circonferenza ottenuta è la circonferenza cercata.
Figura_1_4
Non esiste in Cabri lo strumento circonferenza circoscritta. Ne costruiamo pertanto una macro.
- Creiamo una macro di nome Circ_Circ avente come Oggetti iniziali tre punti e come
Oggetti finali la circonferenza passante per essi e il suo centro. Salviamo la macro anche
come file.
- Salviamo la figura nel file Figura_ 1_4.fig
Nella nostra costruzione la circonferenza circoscritta ad un triangolo di vertici A, B e C ha come
centro il punto D di intersezione de gli assi dei lati AB e AC e passa per A.
La circonferenza ottenuta, oltre a passare ovviamente per A, sembra passare anche per i punti B e
C. Ma siamo sicuri che ciò avvenga effettivamente?
Ci poniamo anche la seguente domanda:
Dati tre punti, esiste sempre una circonferenza passante per essi?
Spostiamo pian piano il punto C fino a farlo appartenere alla retta passante per A e B. Otteniamo la
seguente figura:
Figura_1_4°
-
Salviamo la figura nel file Figura_1_4a.fig
La figura, nel caso in cui i punti A, B e C sono allineati, non mostra alcuna circonferenza passante
per essi.
Ecco un altro problema.
Problema 1.5.
Disegnare due punti A e B,uno dei triangoli equilateri aventi come
vertici i punti A e B, la circonferenza ad esso circoscritta e il
suo centro.
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SCHEDA 6
Sviluppo del problema 1.5.
Abbiamo a disposizione le macro Equilat e Circ_Circ. Utilizziamole.
- Con lo strumento Punto disegniamo due punti A e B;
- Con la macro Equilat disegniamo uno dei due triangoli equilateri di vertici A e B;
indichiamo con C il terzo vertice;
- Con la macro Circ_Circ disegniamo la circonferenza circoscritta al triangolo ABC;
- con lo strumento Macro costruiamo una macro, che chiamiamo Equilat_Circ_Circ, avente
come Oggetti iniziali i punti A e B e come Oggetti finali il triangolo equilatero ABC, la
circonferenza ad esso circoscritta e il suo centro. Salviamo la macro anche come file.
Proviamo la macro appena costruita.
- Selezioniamo la macro Equilat_Circ_Circ, disegniamo due punti; oltre ad essi, vengono disegnati
uno dei due triangoli aventi come vertici i due punti, la circonferenza ad esso circoscritta e il suo
centro.
Figura 1_5a
2. Le prime esplorazioni con Cabri.
Abbiamo fino ad ora usato Cabri come strumento per far disegni utilizzando solo strumenti che
simulano l’uso della riga non graduata e del compasso.
Vogliamo ora esplorare le proprietà delle figure che costruiamo usando tutti gli strumenti che ci
mette a disposizione Cabri, non solo quelli che simulano l’uso della riga e del compasso.
Problema 2.1.
Disegnare due punti A e B, un triangolo equilatero di vertici A e
B, la circonferenza c ad esso circoscritta, il suo centro O, un
punto P sulla circonferenza c e i segmenti AP e BP.
Cosa possiamo dire sull’ampiezza dell’angolo APB?
Nota. Avremo bisogno delle tre macro Equilat, Circ_Circ, Equilat_Circ_Circ costruite in
precedenza.
Se nel frattempo non abbiamo chiuso Cabri esse sono presenti nel menu delle macro.
In caso contrario le dobbiamo caricare con il comando Apri File avendo cura di indicare Macro
come tipo di File. Troviamo i file delle macro nella cartella Alla ricerca di triangoli equilateriFile.
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SCHEDA 7
Sviluppo del problema 2.1.
Con lo strumento Punto disegniamo i punti A e B;
con la macro Equilat_Circ_Circ disegniamo un triangolo equilatero di vertici A e B, la
circonferenza ad esso circoscritta e il suo centro;
- con lo strumento Nomi chiamiamo C il terzo vertice del triangolo equilatero, c la
circonferenza ad esso circoscritta e O il suo centro.
Vogliamo mettere in evidenza l’uguaglianza dei tre angoli del triangolo equilatero ABC:
- con lo strumento Segna un angolo poniamo lo stesso simbolo per i tre angoli del triangolo
equilatero.
Ora disegniamo il punto P e i segmenti PA e PB:
- con lo strumento Punto su un oggetto disegniamo un punto P sulla circonferenza c;
- con lo strumento Segmento disegniamo i segmenti PA e PB.
Vogliamo mettere in evidenza l’angolo APB e determinarne l’ampiezza:
- Con lo strumento Segna un angolo poniamo un simbolo differente dal precedente sull’angolo
APB;
- con lo strumento Misura dell’ angolo misuriamo l’angolo APB;
-
Figura_2_1 Figura_2_1a
- Salviamo le figure.
Notiamo che l’angolo APB misura 120° o 60°.
Formuliamo la seguente:
Congettura. Dato un triangolo equilatero ABC, e dato un punto P sulla circonferenza ad esso
circoscritta, si ha che l’angolo APB misura 120° o 60°.
Ciò va dimostrato o confutato.
Problema 2.2.
Dimostrare o confutare la congettura precedente.
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COSTRUZIONI CON RIGA E COMPASSO
Abbandoniamo per il momento il precorso didattico “Alla ricerca di triangoli
equilateri con Cabri” per assegnare alcuni esercizi sulle costruzioni con riga e
compasso che si possono visualizzare efficacemente usando un software di geometria
dinamica come Cabri.
ESERCIZIO
Data una retta r e un punto A, disegnare con riga e compasso la retta passante per A
parallela a r.
ESERCIZIO
Dati due punti A e B, disegnare con riga e compasso:
a) il terzo vertice di un triangolo isoscele rettangolo in A;
b) il terzo vertice di un triangolo rettangolo in in A con il cateto CA di lunghezza
doppia dei AB;
c) i vertici di un quadrato ABCD avente come lato AB
Per ognuno dei tre casi scrivere la relativa macro.
ESERCIZIO
Dato un triangolo di vertici A, B e C, disegnare con riga e compasso:
a) le sue mediane e il punto di intersezione delle mediane (baricentro)
b) le sue altezze e il loro punto di intersezione (ortocentro)
c) le bisettrici interne, il loro punto di intersezione (incentro) e la circonferenza
inscritta
Per ognuno dei tre casi scrivere la relativa macro.
Possiamo ora tornare al percorso didattico “Alla ricerca …”.
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SCHEDA 12 (parte)
….
3. Le circonferenze di Fermat
Aprire il file Problema 3.1.fig . In esso è contenuta la macro Equilat_Circ_Cir che disegna uno
dei triangoli equilateri di lato assegnato, il suo centro e la circonferenza ad esso circoscritta.
Problema 3.1.
Dato un triangolo ABC, costruire sul lato AB il triangolo
equilatero ABR esterno al triangolo e la circonferenza c1 ad esso
circoscritta; ripetere la stessa operazione sul lato BC e sul lato
AC. Si ottengono i triangoli equilateri BCP e ACQ e le
circonferenze c2 e c3 ad essi circoscritte. Quali proprietà
suggerisce la figura?
Scrivere le proprietà nell’ordine con il quale si sono trovate:
(Nota bene: non si vuole una dimostrazione. In altre parole si vuole un elenco di congetture)
1) __________________________________________
2) ___________________________________________
3) ___________________________________________
4) ___________________________________________
5) ___________________________________________
6) ___________________________________________
7) ___________________________________________
8) ___________________________________________
9) ___________________________________________
10) ___________________________________________
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SCHEDA 13
Sviluppo del problema 3.1.
Disegniamo con lo strumento Triangolo un triangolo ABC;
- applichiamo al lato AB la macro Equilat_Circ_Circ per disegnare il triangolo ABR e la
circonferenza circoscritta c1 di centro O1;
- applichiamo al lato BC la macro Equilat_Circ_Circ per disegnare il triangolo ABR e la
circonferenza circoscritta c2 di centro O2;
- applichiamo al lato AC la macro Equilat_Circ_Circ per disegnare il triangolo ABR e la
circonferenza circoscritta c3 di centro O3.
Figura_3_1
Chiamiamo le circonferenze c1, c2 e c3 circonferenze di Fermat.
Questa costruzione potrebbe esserci utile in seguito. Creiamo quindi una macro:
- Costruiamo quindi una macro avente come Oggetti iniziali tre punti e come Oggetti finali il
triangolo da essi determinato, le sue tre circonferenze di Fermat e i loro centri; con lo
strumento Definizione di una macro diamo alla macro il nome Circonferenze_Fermat.
Salviamo la macro anche come file.
Mettiamo alla prova la macro.
- Selezioniamo la macro Circonferenze_Fermat e disegniamo tre punti. La macro, oltre ai tre
punti, disegna tutti i punti finali richiesti.
- Salviamo la figura.
SCHEDA 13.1
Le tre circonferenze di Fermat hanno molte proprietà. Ne elenchiamo alcune.
1) Le tre circonferenze di Fermat si intersecano in un punto F (che chiamiamo punto di
Fermat)
2) Il triangolo O1O2O3 è equilatero (Teorema di Napoleone)
3) I punti FCR sono allineati
4) I punti FAP sono allineati
5) I punti FB e Q sono allineati
6) I segmenti AP, BQ e CR hanno uguale lunghezza
7) AF+BF+CF=AP = BQ = CR
Alcune di queste proprietà si dimostrano facilmente. Altre meno.
Il fatto interessante è, che di solito, la proprietà 1), sebbene sia ben visibile, non sempre
viene osservata.
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SCHEDA 27 (parte)
6. Triangoli equilateri circoscritti a triangoli.
In tutti i problemi esaminati fino ad ora non abbiamo mai trovato grandi difficoltà nel disegnare
con Cabri le figure proposte. Le difficoltà sono di solito nate nel momento in cui abbiamo
cercato di dimostrare ciò che le figure costruite suggerivano.
Vogliamo ora studiare un problema nel quale la prima difficoltà risiede proprio nella
costruzione della figura con Cabri.
Consideriamo il seguente problema descritto a pagina 25 del libro di Maria Dedò
Trasformazioni geometriche, Decibel, Zanichelli, Bologna, 1996
Problema 6.1.
Dato un triangolo ABC, determinare
A*,B*,C* ad esso circoscritto.
un
triangolo
C*
B
A
A*
C
B*
Figura_6_1
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equilatero
SCHEDA 28
Sviluppo del problema 6.1.
Il problema non è di facile soluzione. Diamo pertanto qualche suggerimento.
Mostriamo alcuni particolari che nella Figura_6_1 avevamo nascosto.
C*
B
A
B*
A*
C
Figura_6_2
Riproponiamo il nostro problema.
Problema 6.2.
Determinare un triangolo equilatero circoscritto al triangolo
ABC.
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SCHEDA 29
Sviluppo del problema 6.2.
Forse il problema non è ancora di facile soluzione. Mostriamo allora qualche altro particolare e
riproponiamo il nostro problema.
C*
C'
B
A
A*
C
B*
A'
B'
Figura_6_3
Problema 6.3.
Determinare un triangolo equilatero circoscritto al triangolo
ABC.
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SCHEDA 30
Sviluppo del problema 6.3.
Ora dovrebbe essere tutto chiaro. Gli archi di circonferenza disegnati sono archi delle
circonferenze di Fermat del triangolo ABC. Questi archi sono i luoghi dei punti del piano esterni
al triangolo che vedono i tre lati con angoli di 60°.
La costruzione di un triangolo A*B*C* circoscritto al triangolo ABC è presto fatta.
Scegliamo un qualsiasi punto C* sull’arco AC’B e da esso conduciamo le semirette passanti
per A e B.
Esistono pertanto infiniti triangoli equilateri che circoscrivono il triangolo ABC.
Descriviamo in tutti i suoi particolari l’algoritmo di costruzione di un triangolo equilatero
circoscritto al triangolo ABC.
− Con gli strumenti Punto e Segmento disegniamo tre punti A, B e C e i lati del triangolo ABC;
− con la macro Equilat disegniamo i tre triangoli equilateri ABC’, ACB’, BCA’ esterni al
triangolo;
− con lo strumento Arco di circonferenza disegniamo gli archi di circonferenza AC’B, AB’C e
BA’C;
− con lo strumento Punto su un oggetto disegniamo un punto C* sull’arco AC’B;
− con lo strumento Semiretta disegniamo la semiretta s di origine C* passante per A;
− con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo il punto B* di intersezione della
semiretta s con l’arco di circonferenza AB’C;
− con lo strumento Segmento disegniamo il segmento C*B*;
− con lo strumento Mostra/Nascondi nascondiamo la semiretta s;
− con lo strumento Semiretta disegniamo la semiretta s’ di origine C* passante per B;
− con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo il punto A* di intersezione della
semiretta s’ con l’arco di circonferenza CA’B;
− con lo strumento Segmento disegniamo il segmento C*A*;
− con lo strumento Mostra/Nascondi nascondiamo la semiretta s’;
− con lo strumento Segmento disegniamo il segmento A*B*.
Il triangolo A*B*C* è uno dei triangoli equilateri circoscritti al triangolo ABC. Muovendo il
punto C* sull’arco AC’B otteniamo tutti i triangoli equilateri circoscritti al triangolo ABC.
Problema 6.4.
Abbiamo risolto completamente il nostro problema?
SCHEDA 31
Sviluppo del problema 6.4.
In effetti dobbiamo ancora mettere in luce alcuni particolari.
Notiamo innanzitutto che, se spostiamo il punto C* in vicinanza del punto B, non appare più il
punto B*.
C'
C*
A
B
C
A*
A'
B'
Figura_6_4
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Analogamente, se spostiamo il punto C* in vicinanza del punto A, non appare il punto A*.
C'
C*
B
A
C
B'
A'
B*
Figura_6_5
Ci siamo resi conto che non possiamo scegliere il punto C* in un punto qualsiasi dell’arco AC’B.
Ci poniamo allora il seguente:
Problema 6.5
In quale parte dell’arco AC’B dobbiamo scegliere il punto C*?
SCHEDA 32
Sviluppo del problema 6.5.
Osserviamo di nuovo la Figura_6_4. Notiamo che il punto B* non appare perché la semiretta con
origine C* passante per A interseca la circonferenza di Fermat AB’C, oltre che in A, in un punto
non appartenente all’arco AB’C.
Nel caso della Figura_6_5 la situazione è analoga.
E’ facile ora capire che dobbiamo considerare, se esistono:
− l’intersezione A’’ con l’arco AC’B della tangente nel punto B alla circonferenza di Fermat c2;
− l’intersezione B’’ con l’arco AC’B della tangente nel punto A alla circonferenza di Fermat c3.
C'
C*
B''
A''
A
B
C*
C
A'
B*
Figura_6_6
Possiamo ora rispondere al problema 6.5:
Dobbiamo scegliere il punto C* sull’arco A’’C’B’’.
Ovviamente, se il punto A’’ (o il punto B’’) non esiste, scegliamo il punto C* sull’arco AC’B’’ (o
sull’arco A’’C’B).
Risolto il problema 6.5., ci chiediamo se vi siano altri problemi.
Problema 6.6.
Abbiamo effettivamente determinato un triangolo equilatero
circoscritto al triangolo ABC?
B'
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SCHEDA 33
Sviluppo del problema 6.6.
In effetti dobbiamo ancora porci la seguente domanda: il triangolo A*B*C* passa per i punti A, B e
C?
Le figure ottenute con Cabri ci danno risposta affermativa. Ma sappiamo bene che ciò non
costituisce una dimostrazione.
Esaminando con attenzione la nostra costruzione notiamo che, dopo aver fissato C*, abbiamo
scelto i punti B* e A* in modo tale che i segmenti B*C* e A*C* contenessero rispettivamente i
punti A e B. Abbiamo poi disegnato il segmento A*B*. Non ci siamo mai posti il problema di
dimostrare che il punto C appartenga al segmento B*A*. Poniamo quindi il seguente problema:
Problema 6.7
Il punto C appartiene al segmento A*B*?
SCHEDA 34
Sviluppo del problema 6.8.
Proprio il fatto che in tutte le figure ottenute con Cabri il punto C sembra appartenere al
segmento A*B* ci fa capire che, se vogliamo farci aiutare da una figura, è conveniente
abbandonare le figure fatte con Cabri e fare un disegno “sbagliato” in cui i punti A*, C e B* non
appaiono allineati. Potremmo fare un disegno a mano libera.
Nella seguente figura noi abbiamo preferito usare Cabri; abbiamo però disegnato tre archi che solo
apparentemente appartengono alle tre circonferenze di Fermat.
Ovviamente nella dimostrazione che ora faremo supporremo che questi tre archi appartengano alle
circonferenze di Fermat e che quindi i suoi punti vedano i tre lati del triangolo ABC sotto angoli di
60°.
C*
B
A
H
K
C
A*
B*
Figura_6_7
Vogliamo dimostrare che l’angolo HCK misura 180°.
Abbiamo:
HCK = HCC* + C*CK
D’altronde, per il teorema sull’angolo esterno ad un triangolo, abbiamo:
HCC* = CC*A* + CA*C*
C*CK= CC*B* + C*B*C
Sommando membro a membro otteniamo:
HCK = CC*A* + CA*C* + CC*B* + C*B*C.
Abbiamo poi:
CA*C* = C*B*C = 60° e CC*B* + CC*A* = B*C*A* = 60°.
L’angolo HCK misura pertanto 180° e quindi il punto C appartiene al segmento A*B*.
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Notiamo che avremmo avuto la stessa dimostrazione se avessimo fatto la seguente figura:
C*
B
A
A*
B*
C
K
H
Figura_6_8
Abbiamo finalmente dimostrato che il triangolo A*B*C* è circoscritto al triangolo ABC.
In effetti si può dare un’altra dimostrazione di ciò modificando leggermente la costruzione.
Consideriamo un punto C* sull’arco AC’B così come abbiamo fatto nella costruzione
precedente.
Consideriamo la semiretta di origine C* passante per A e la sua intersezione B* con l’arco
AB’C così come abbiamo fatto nella costruzione precedente.
Consideriamo la semiretta di origine C* passante per B e (qui sta la novità) la semiretta
passante per B* passante per C.
Consideriamo il punto B** di intersezione di queste due ultime semirette.
Il triangolo C*B*A** è, per costruzione, circoscritto al triangolo ABC.
Si dimostra come nella costruzione precedente che gli angoli del triangolo C*B*A** di
vertici C* e B* sono di 60°. Pertanto anche il terzo angolo del triangolo, quello di vertice A**,
è di 60°.
Il triangolo C*B*A** è quindi equilatero. Abbiamo dimostrato quel che volevamo.
C'
C*
B
A
A**
C
B'
B*
A'
Figura_6_9.
Osserviamo infine, che poiché il punto A** vede il segmento AB con un angolo di 60°,
appartiene all’arco CA’B della circonferenza di Fermat. Pertanto il punto A** coincide con il
punto A* costruito con la precedente costruzione.
Abbiamo dato due dimostrazioni differenti.
Per dare queste due dimostrazioni abbiamo dovuto “dimenticarci” alcune proprietà
“VNOD” (Visibili ma Non Osservate nei Diagrammi).
Nella prima dimostrazione abbiamo dovuto “dimenticarci” che i punti B*CA* sono
allineati. Per far ciò abbiamo dovuto creare dei “falsi” diagrammi.
Nella seconda dimostrazione abbiamo dovuto “dimenticare” che il punto A* appartiene
all’arco CA’B della circonferenza di Fermat. Per far ciò abbiamo nascosto l’arco CA’B.
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Due “dimostrazioni”
Abbandoniamo per il momento il percorso didattico “Alla ricerca di triangoli equilateri”
Abbiamo visto come in alcuni casi non vengano osservate proprietà ben visibili nei diagrammi.
Abbiamo chiamato queste proprietà VNOD. Abbiamo avuto un esempio di proprietà VNOD con le
circonferenze di Fermat (scheda 13.1) e un altro con il triangolo equilatero circoscritto ad un
triangolo (scheda 34). Ciò accade molto spesso con gli studenti. Per esempio accade che molti
studenti, nel costruire la circonferenza circoscritta ad un triangolo (scheda 5) non si chiedano perché
la circonferenza avente il centro nell’intersezione di due assi del triangolo e passante per uno dei
vertici del triangolo, passi anche per gli altri due vertici del triangolo e quindi non sentano la
necessità di dimostrare ciò.
E’ interessante notare come, nel dimostrare ciò, si dimostri anche che i tre assi di un triangolo si
intersecano in un punto. Anche quest’ultima proprietà non viene di solito osservata esplicitamente
dagli studenti che usano un diagramma di geometria dinamica.
Ne segue che un uso non accorto di programmi di geometria dinamica può indurre gli studenti a
considerare inutile dimostrare ciò che “si vede” nel diagramma.
Si rende necessario quindi far capire agli studenti quanto sia necessaria una dimostrazione anche
quando il diagramma mostra l’evidenza di un’affermazione. Proprio un uso accorto di programmi di
geometria dinamica può far capire agli studenti la necessità delle dimostrazioni.
Il tappeto di Dubnov
La prima “dimostrazione” prende spunto dal primo problema trattato nel libro Ya. S. Dubnov Errori
nelle dimostrazioni di geometria purtroppo fuori commercio da tempo.
Abbiamo riprodotto con Cabri il disegno che si trova nel libro. Quest’ultimo ha più di 50 anni. Non
era stato quindi previsto l’uso di Cabri.
21
C
B
13
8
D
A
13
21
P1
P2
D'
13
B'
A'
C'
Il disegno “dimostra” che il quadrato e il rettangolo, essendo equiscomponibili, hanno la stessa area.
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La somma degli angoli di un triangolo
Osserviamo la seguente “dimostrazione” che la somma degli angoli di un triangolo è uguale ad un
angolo piatto.
Disegniamo un triangolo ABC su un foglio di carta e tagliamo il foglio lungo i bordi del
triangolo.
Pieghiamo il triangolo di carta ABC in modo tale che il punto A combaci con il punto B.
Indichiamo con D il punto in cui viene piegato il lato AB.
Pieghiamo il triangolo di carta ABC in modo tale che il punto C combaci con il punto B.
Indichiamo con A il punto in cui viene piegato il lato BC.
Pieghiamo il triangolo ABC lungo la retta passante per D e E. Il punto B andrà a combaciare con
un punto F che giace sul lato AC.
Ora pieghiamo il triangolo ABC in modo tale che il punto A combaci con il punto F.
Pieghiamo infine il triangolo ABC in modo tale che il punto C combaci con F.
Indichiamo con <ABC l’angolo di vertice B delimitato dalla semiretta con origine in B passante
per A e dalla semiretta con origine in B passante per C.
Per costruzione abbiamo <ABC = <DFE , <BAC=<AFD , <ACB = <EFC.
Quindi
<BAC + < ABC + <ACB = <AFD + <DFE + < EFC = <AFC = angolo piatto.
A
D
B
F
E
C
Di solito per gli studenti sia la “dimostrazione” del tappeto di Dubnov e quest’ultima sono
accettabili. Dobbiamo allora analizzare con cura insieme a loro le due “dimostrazioni”.
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Analisi con Cabri della “dimostrazione” del tappeto di Dubnov
Il disegno “dimostra” che il quadrato e il rettangolo hanno la stessa area.
Ma il quadrato ha i lati uguali a 21 mentre il rettangolo ha lati uguali a 34 e 13.
Poiché 21x21=441 e 34x13=442 la “dimostrazione” è sbagliata.
Per capire quale errore si è commesso nella “dimostrazione”, apriamo il file Tappeto di Dubnov.
I punti base del disegno sono solo due, i punti P1 e P2.
Ne segue che muovendo uno dei due punti si muove tutta la figura. Sia il quadrato che il rettangolo.
Allontanando il punto P2 dal punto P1 la figura si ingrandisce. Con un ingrandimento opportuno ci
si accorge che l’ipotenusa del triangolo D’ non coincide con il lato del trapezio A’ e che l’ipotenusa
del triangolo C’ non coincide il lato del trapezio B’. Insomma tra A’, B’, C’ e D’ c’è un “buco” la
cui area è ovviamente uguale a 1.
Per avere un’idea di come sia stato costruito il disegno si può usare lo strumento Ricostruzione
passo a passo (si trova nella icona Edita) per vedere via tutti i passi della costruzione.
Può anche essere utile usare lo strumento Mostra-Nascondi per rendere visibili tutti gli oggetti che
sono stati necessari per la costruzione.
Analisi con Cabri della “dimostrazione” della somma degli angoli di un triangolo.
Ci chiediamo se quest’ultima “dimostrazione” sia effettivamente una dimostrazione.
Un’attenta analisi mostra che abbiamo dato per scontate varie proprietà che appaiono in qualche
modo evidenti dalla figura.
Si consiglia a questo punto di fare un disegno con Cabri e di dimostrare effettivamente le varie
proprietà che abbiamo dato per scontate. In tal modo si arriva effettivamente ad una dimostrazione.
Esempi come questi dovrebbero convincere gli studenti che è necessario verificare la verità o falsità
di ciò che appare in un diagramma.
Nel paragrafo “Dimostrazioni dinamiche senza parole e proprietà nascoste” di “Movimento,
percezione e dimostrazione” scaricabile da
http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/Pubblicazioni/
viene discusso più approfonditamente questo argomento.
I triangoli e i trapezi usati nel “tappeto di Dubnov” rettangolare sono immagini attraverso opportune
trasformazioni geometriche delle analoghe figure che compongono il tappeto di Dubnov. Si
selezionano le varie trasformazioni geometriche con la seguente icona:
L’uso di questi strumenti può essere molto utile per illustrare varie proprietà delle isometrie.
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Il problema dell’Arbelo di Archimede
Problema
Sia AB un segmento di punto medio O. Sia R un punto su AB tra A e O. Tre
semicirconferenze sono costruite dalla stessa parte di AB come segue:
• s1 è la semicirconferenza con centro O e raggio OA=OB
• s2 è la semicirconferenza di centro R e raggio AR che incontra RB in C;
• s3 è la semicirconferenza di centro S (punto medio di CB) e raggio CS=SB.
La tangente comune a s2 e s3 tocca s2 in P e s3 in Q. La perpendicolare ad AB per C incontra s1
in D.
Descrivere e dimostrare le proprietà del quadrilatero PCQD.
D
Q
P
A
R
C
O
S
B
Il disegno fa intuire che il quadrilatero sia un rettangolo.
In effetti l’intuizione è giusta. Il quadrilatero è un rettangolo. Ma va dimostrato.
La difficoltà in questo caso sta nel costruire la tangente comune.
Il disegno ci fa intuire come costruire la tangente comune.
Si congiunge D con A e si indica con P il punto di intersezione del segmento AD con la
semicirconferenza s2.
Si congiunge D con B e si indica con Q il punto di intersezione del segmento BD con la
semicirconferenza s3.
La retta passante per P e Q è la tangente comune.
Ovviamente va dimostrato che la retta passante per P e Q è la tangente comune.
Una volta dimostrato ciò è relativamente facile dimostrare che il quadrilatero PCQD è un
rettangolo.
Anche in questo caso, come in casi precedenti, si tratta di dimostrare alcune proprietà che ci
vengono suggerite dalla figura.
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Una dimostrazione con Cabri
Vogliamo ora mostrare ancora un’altra modalità di uso di Cabri.
Usiamo Cabri per illustrare una dimostrazione.
Per far ciò usiamo l’ultima parte dei seguenti articoli:
G. Accascina, G. Margiotta alla ricerca di triangoli equilateri con Cabri
Progetto Alice, n.8 (2002) pp. 175 – 199, n.9 (2002) pp. 383 – 408, n.10 (2003) pp. 1 – 25
Il problema esaminato nella scheda 20 ci ha permesso di costruire triangoli equilateri
circoscritti a un triangolo. Vogliamo ora determinare tra questi uno che abbia il perimetro
massimo.
Anche questo problema è stato posto da Maria Dedò in Trasformazioni geometriche.
Problema 7.1.
Dato un triangolo ABC, determinare un triangolo equilatero
circoscritto ad esso di perimetro massimo.
Suggerimento: Costruire il grafico della funzione data dalla
lunghezza del segmento A*B* in funzione della lunghezza dell’arco
AC*.
Sviluppo del problema 7.1.
Ci troviamo nuovamente a studiare un problema nel quale la prima difficoltà risiede proprio
nella costruzione della figura con Cabri.
Utilizziamo Cabri per costruire il luogo individuato dalla lunghezza del segmento A*B* in
funzione della lunghezza dell’arco AC*.
y
Arco AC*=OL=4,11 cm
B*A*=OM=3,85 cm
C*
P
M
A
B
B*
C
A*
1
O
1
L
Figura_7_1
Descriviamo la costruzione del luogo.
− Prendiamo la Figura_6_2;
− Con lo strumento Mostra/Nascondi nascondiamo gli archi AB*C e CA*B.
− Con lo strumento Asse disegniamo l’asse del segmento AC*;
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x
− con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo il punto D intersezione tra l’asse e
l’arco AC*;
− con lo strumento Arco disegniamo l’arco ADC*;
− con lo strumento Distanza Lunghezza misuriamo la lunghezza dell’arco ADC* e la lunghezza
del segmento A*B*;
− con lo strumento Mostra/Nascondi nascondiamo l’asse del segmento AC* e il punto D;
− con lo strumento Mostra gli assi disegniamo gli assi cartesiani e assegniamo il nome O
all’origine degli assi;
− con lo strumento Trasporto di misura disegniamo il punto L sull’asse delle ascisse avente per
ascissa la lunghezza dell’arco ADC* e il punto M sull’asse delle ordinate avente come ordinata
la lunghezza del segmento A*B*;
− con lo strumento Retta parallela disegniamo la retta r passante per il punto L parallela all’asse
delle y e la retta s passante per M parallela all’asse delle x;
− con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo il punto P di intersezione delle rette r e
s;
− con lo strumento Segmento disegniamo i segmenti MP e PL;
− con lo strumento Mostra/Nascondi nascondiamo le rette r e s;
− con lo strumento Luogo disegniamo il luogo descritto dal punto P al variare di C* sull’arco AB.
L’andamento del luogo ci fa ipotizzare l’esistenza di un solo triangolo avente il segmento
A*B* (e quindi il perimetro) di lunghezza massima, ma non ci da indicazioni sulle condizioni da
imporre al triangolo A*B*C*.
Problema 7.2.
Quando otteniamo un triangolo avente il lato A*B* massimo?
Suggerimento: arricchire il disegno aggiungendo le circonferenze
di Fermat del triangolo ABC, i loro centri O1, O2, O3, il punto di
Fermat F e il triangolo O1O2O3.
Sviluppo del problema 7.2.
Arricchiamo, come suggerito, il disegno aggiungendo le circonferenze di Fermat del triangolo
ABC, i loro centri O1, O2, O3, il punto di Fermat F e il triangolo O1O2O3.
− Con la macro Circ_Circ disegniamo le circonferenze c1, c2, c3 circoscritte rispettivamente ai
triangoli ABC*, BCA*, ACB* e i loro centri O1, O2, O3;
− con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo il punto F;
− con lo strumento Triangolo disegniamo il triangolo O1O2O3;
− muoviamo il punto C* fino a raggiungere sul grafico il massimo.
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y
C*
M
O1
B
A
O2
F
O3
B*
Arco AC*=OL=2,80 cm
A*B*=OM=4,17 cm
P
A*
C
1
O
1
L
x
Figura_7_2
Dalla figura sembra che i lati del triangolo massimo A*B*C* siano paralleli ai lati del
triangolo O1O2O3.
Non è immediato capire come utilizzare tale osservazione.
Diamo allora un suggerimento: disegnare le semirette FO1, FO2 e FO3.
Problema 7.3.
Che relazione intercorre tra il triangolo O1O2O3 e il triangolo
A*B*C*?
Sviluppo del problema 7.3.
- Con lo strumento Semirette disegniamo le semirette con origine in F passanti per O1, O2
e O3.
Figura_7_3
A questo punto sembra che i triangoli O1O2O3 e il triangolo A*B*C* si corrispondano
nell’omotetia di centro F e rapporto 2.
La dimostrazione di ciò non è facile.
Proviamo allora a capovolgere il problema:
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Problema 7.4.
Dato un triangolo ABC, costruire le sue circonferenze di Fermat
di centri O1, O2 e O3. Costruire il triangolo A**B**C** omotetico
al triangolo O1O2O3 rispetto all’omotetia di centro il punto F e
rapporto 2.
Dimostrare che il triangolo A**B**C** è circoscritto al
triangolo ABC.
Suggerimento: considerare l’intersezione tra il segmento O1O3 e
il segmento FA.
Sviluppo del problema 7.4.
-
Con la macro Circonferenze_Fermat disegniamo tre punti A, B e C; la macro disegna il
triangolo da essi determinato, le sue circonferenze di Fermat c1, c2 e c3, e i loro centri O1,
O2 e O3;
- con lo strumento Punto disegniamo il punto F, distinto da B,di intersezione delle
circonferenze c1 e c2;
- con lo strumento Segmento disegniamo i tre lati del triangolo O1O2O3;
- con lo strumento Simmetria centrale disegniamo i simmetrici A**, B**, C** dei punti
O2, O3, O1 rispetto al punto F;
- con lo strumento Segmento disegniamo i tre lati del triangolo A**B**C**.
Dobbiamo dimostrare che il triangolo A**B**C** è circoscritto al triangolo ABC. In altre
parole dobbiamo dimostrare che i punti A, B e C appartengono ai lati del triangolo
A**B**C**.
La dimostrazione non appare facile. Seguiamo allora il suggerimento che ci è stato dato.
− Con lo strumento Segmento costruiamo il segmento FA;
− con lo strumento Intersezione di due oggetti costruiamo il punto N intersezione tra il segmento
O1O3 e il segmento FA.
Figura_7_4
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La dimostrazione a questo punto è facile. Il segmento FA (essendo asse radicale) ha come
punto medio il punto N. Il punto A è quindi l’omotetico di N nell’omotetia di centro F e rapporto
2. Appartiene quindi all’immagine attraverso l’omotetia del segmento O1O3; quest’ ultima non è
altro che il segmento C**B**.
Abbiamo dimostrato che il punto A appartiene al segmento B**C**.
La stessa dimostrazione vale per i punti B e C. Il triangolo A**B**C** è quindi circoscritto al
triangolo ABC.
La stessa dimostrazione può essere ripetuta sia quando F coincide con un vertice del triangolo
ABC (Figura_7_5) sia quando F è esterno al triangolo ABC (Figura_7_6).
Figura_7_5
Figura_7_6
Abbiamo dimostrato che il triangolo A**B**C** è circoscritto al triangolo ABC.
Ora vogliamo dimostrare che è equilatero.
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Problema 7.5.
Dimostrare che il triangolo A**B**C** è equilatero.
Sviluppo del problema 7.5.
Per dimostrare che A**B**C** è equilatero è sufficiente dimostrare che i suoi tre vertici
appartengono alle circonferenze di Fermat.
Dalle figure ciò appare scontato. In effetti la dimostrazione deriva dal fatto che essi sono
simmetrici del punto F, appartenente alle circonferenze di Fermat, rispetto ai centri delle
circonferenze di Fermat.
Rimane da dimostrare che il triangolo A**B**C**, che abbiamo dimostrato essere circoscritto
al triangolo ABC, è proprio il triangolo di perimetro massimo.
Abbiamo quindi il seguente problema.
Problema 7.6.
Dimostrare che il
perimetro massimo.
triangolo
A**B**C**
è
il
triangolo
di
Suggerimento: Nella Figura_7_2. nascondere i lati del triangolo
O1O2O3, disegnare i segmenti FA*, FB* e FC*, muovere il punto C* e
considerare, al variare di C*, i triangoli FB*A*.
Sviluppo del problema 7.6.
-
Consideriamo la Figura_7_2;
Con lo strumento Mostra/Nascondi nascondiamo i lati del triangolo O1O2O3;
Con lo strumento Segmento disegniamo i segmenti FA* e FB*.
Figura_7_7
Notiamo che gli angoli FB*A*, al variare di C*; hanno sempre la stessa misura; infatti essi
insistono tutti sullo stesso arco. Gli angoli FA*B* hanno la stessa proprietà. I triangoli FB*A
sono pertanto tutti simili.
Tra tutti questi triangoli stiamo cercando quelli aventi il lato A*B* (e quindi il lato FB*) di
lunghezza massima. Ma il lato FB* è una corda della circonferenza di Fermat di centro O3. Tale
corda ha lunghezza massima quando è un diametro, cioè quando O3 è punto medio del segmento
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FB*. Pertanto il punto B* di massimo coincide con il punto B**. Di conseguenza il punto A* di
massimo coincide con A** e C* con C**.
La stessa dimostrazione può essere ripetuta sia quando F coincide con un vertice del triangolo
ABC (Figura_7_8) sia quando F è esterno al triangolo ABC (Figura_7_9).
Figura_7_8
Figura_7_9
Abbiamo dimostrato il seguente teorema:
Teorema 7.4 Dato un triangolo ABC, il triangolo equilatero circoscritto ad esso avente
perimetro massimo è il trasformato del triangolo O1O2O3 di vertici i centri delle sue
circonferenze di Fermat rispetto all’omotetia di centro il punto di Fermat e rapporto 2.
Da questo teorema segue, come corollario, il
Teorema di Napoleone Dato un triangolo ABC, il triangolo O1O2O3 avente come vertici i
centri delle circonferenze di Fermat è equilatero.
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