i numeri irrazionali

LA CRISI DEI
PITAGORICI
LE RADICI QUADRATE E I NUMERI
IRRAZIONALI
di Vittoria Gattini 2^ G
CHI ERANO I PITAGORICI?
Il primo organico tentativo di dare una fondazione della
matematica fu probabilmente quello della scuola pitagorica il
cui assunto di partenza è che: alla base di tutto è il numero.
Tutto è numero.
La scuola pitagorica era una setta mistico-religiosa che si
sviluppò in Grecia ed in Italia (Crotone), tra il 570 ed il 500
a.C., attorno ad un mitico personaggio chiamato Pitagora. Le
idee di tale scuola sono di fondamentale importanza per la
storia della cultura occidentale perche da esse iniziera quel
processo che trasformera in una scienza razionale
quelladisarticolata raccolta di risultati dettati dall'esperienza
che era la scienza pre-ellenica.
Naturalmente non bisogna immaginare i pitagorici come
scienziati campioni di razionalismo. Il carattere mistico di
questa scuola era fortissimo, siamo in presenza di una vera e
propria setta religiosa (e politica) che credeva,tra le altre cose,
che le anime dei morti si reincarnassero negli animali. Anche le
"regole" di tale setta ci appaiono notevolmente bizzarre.
LE REGOLE DEI PITAGORICI
• Astieniti dalle fave
• Non raccogliere ciò che è
•
•
•
•
•
•
caduto
Non toccare un gallo bianco
Non spezzare il pane
Non scavalcare le travi
Non attizzare il fuoco con il
ferro
Non addentare una pagnotta
intera
Non strappare le ghirlande
• Non sederti su di un boccale
• Non mangiare il cuore
• Non camminare sulle strade
•
•
•
•
maestre
Non permettere alle rondini di
dividersi il tuo tetto
Quando togli dal fuoco la
pignatta non lasciare la sua
traccia nelle ceneri, ma
rimescolale
Non guardare in uno
specchio accanto ad un lume
Quando ti sfili dalle coperte,
arrotolale e spiana l'impronta
del corpo.
CHE COSA CRDEVANO I PITAGORICI?
Nessuna menzogna accolgono in sé la natura del numero
e l'armonia: non è cosa loro la menzogna. La menzogna e
l'invidia partecipano della natura dell'illimitato,
dell'intellegibile e dell'irrazionale. Nel numero non penetra
menzogna, perche la menzogna è avversa e nemica della
natura, così come la verita è connaturata e propria alla
specie dei numeri...Nulla sarebbe comprensibile, né le
cose in sé né le loro relazioni, se non ci fossero il numero e
la sua sostanza. Tutte le cose che si conoscono hanno
numero: senza il numero non sarebbe possibile pensare né
conoscere alcunche. (Filolao)
Da quel "tutte le cose che si conoscono hanno un numero" scaturiva poi il convincimento
circa la struttura granulare e discreta delle figure geometriche e, più in generale,
del mondo fisico.
I Pitagorici si convinsero che l’universo si reggesse su accordi aritmetici. Tutto era
riconducibile a semplici proporzioni ed era perfetto, cioè compiuto, dotato di capo e coda,
come le corde della lira. Le misure con cui questi pensatori avevano trattato erano
rappresentabili come interi o come parti ben delimitate di interi. Ad esempio, il numero 2/3
(due terzi) poteva essere visto come due lunghezze uguali allineate a formare un’unica
lunghezza che poi veniva divisa esattamente in tre porzioni. Ovviamente, non è possibile nella
pratica quotidiana dividere una lunghezza esattamente in tre parti; lo si può fare solo in via
approssimativa. Questo tuttavia non conta; l’importante è sapere che la precisione può essere
aumentata ad arbitrio e che, potenzialmente, quell’operazione perfetta è eseguibile. I
Pitagorici, che sono stati tra i primi a scoprire il valore dell’astrazione matematica, sapevano
bene queste cose.
Ciò comportava, ad esempio, una concezione del segmento come insieme (finito) di puntiunità, punti che venivano intesi come veri e propri corpi con una determinata grandezza.
Infatti era solo in base a tale ipotesi che i numeri interi potevano rappresentare lo
strumento perfettamente adeguato alla descrizione della realtà, anzi, in un certo senso,
venivano a coincidere con la realtà stessa. In tale modo la geometria non si considerava
distinta dall'aritmetica e, in un certo senso, l'aritmetica assumeva una forma geometrica.
Dei numeri infatti si dava una rappresentazione geometrica o, se si vuole, fisica, tramite
una opportuna configurazione di punti-sassolino. Ad esempio i pitagorici avevano a che
fare con numeri triangolari o quadrati o rettangolari...
I NUMERI FIGURATI
I NUMERI TRIANGOLARI E QUADRATI
ALTRI NUMERI FIGURATI
Numeri esagonali
Numeri ottagonali
I CONTRIBUTI ALLA MATEMATICA
La chiarificazione della natura dei numeri si pose come domanda imprescindibile a Pitagora e
ai suoi seguaci. Essi si interrogarono sulle proprietà dei numeri pari e dispari, dei numeri
triangolari e dei numeri perfetti e lasciarono un'eredità duratura a coloro che si sarebbero
occupati di matematica.
Secondo il mito, ai pitagorici si devono le seguenti scoperte:
che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a due angoli retti. Più in generale, nel
caso di un poligono di n lati la somma degli angoli interni è uguale a 2n-4 angoli retti;
che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma
dei quadrati costruiti sui cateti, ossia l'enunciato (ma non la dimostrazione) del teorema noto
come teorema di Pitagora
la soluzione geometrica di alcune equazioni algebriche;
la scoperta dei numeri irrazionali;
la costruzione dei solidi regolari
IL TEOREMA DI
PITAGORA
LE COPPIE DI PRINCIPI
Secondo i pitagorici esiste una coppia di
principi.
• L’Uno, o principio limitante
• La Diade, o principio di illimitazione
• I numeri hanno un principio: il pari e il dispari,
fattori primordiali, da cui scaturiscono i
numeri, a loro volta origine di tutte le cose. I
numeri poi avevano una loro personalita:
• i numeri dispari erano indissolubili, maschili,
perfetti e benevoli;
• i numeri pari erano invece scindibili e
dunque femminili, imperfetti e doppi.
• Un motivo è da ricercarsi nel fatto che i
numeri erano disposti secondo una
disposizione geometrica: i pari formano due
file, mentre i dispari hanno sempre una
punta. Una freccia allora potrebbe passare
agevolmente fra i numeri pari, mentre
sarebbe bloccata dai numeri dispari. I numeri
pari allora, dando l'idea dell'illimitatezza,
erano considerati imperfetti, mentre i numeri
dispari, limitati, erano considerati perfetti.
NUMERI PARI
NUMERI DISPARI
• I numeri pari, così disposti,
fanno pensare ad un'"apertura":
lasciando passare qualcosa che
li attraversi danno l'idea dell'illimitatezza,
e dunque erano considerati imperfetti,
poiché solo ciò che è limitato è compiuto,
non manca di nulla e quindi è perfetto.
•
Al contrario i numeri dispari sono chiusi,
limitati, e dunque perfetti.
GLI OPPOSTI PITAGORICI
Poiché i numeri si dividono
in pari e impari, e poiché i
numeri rappresentano il
mondo, l'opposizione tra i
numeri si riflette in tutte le
cose. La divisione tra i
numeri porta quindi ad una
visione dualistica del
mondo, e la suddivisione
della realtà in categorie
antitetiche.
Sono state individuate 10
coppie di opposti,
conosciuti come opposti
pitagorici:
bene e male
limite ed illimite
dispari e pari
rettangolo e
quadrangolo
5. retta e curva
6. luce e tenebre
7. maschio e femmina
8. uno e molteplice
9. movimento e stasi
10. destra e sinistra
1.
2.
3.
4.
I NUMERI IMPORTANTI
Identificavano qualche attributo umano in molti numeri.
$ l' uno era oggetto di una vera e propria venerazione, in quanto esprimeva
l'unità originaria (monade) di cui tutti gli altri numeri, e quindi tutte le cose, erano
composti. Esso non era considerato un numero dispari;
$ il due, primo numero pari, esprimeva la contrapposizione al vero sapere, era
considerato l'opinione;
$ il quattro esprimeva la giustizia, perché era (escluso sempre l'uno) il primo
quadrato perfetto;
$ il cinque era considerato il matrimonio, in quanto unione del primo numero
maschile e del primo femminile;
$ il sei era associato al matrimonio ed alla salute perché è il prodotto del primo
numero pari e del primo numero dispari; aveva inoltre il significato dell'equilibrio,
simboleggiato da due priangoli accoppiati per le basi;
$ il dieci (la sacra tetraktys, $$$$$$$$$), era l'unione dei primi quattro
numeri (1 + 2 + 3 + 4). Ad essa i Pitagorici rivolgevano questa preghiera:
«benedici noi, numero divino, tu che hai generato gli dei e gli uomini! Oh santa,
santa Tetraktis, tu che contieni la radice e la fonte della creazione sempiterna!
Poiché il numero divino inizia con l’unità pura e profonda, e raggiunge in seguito il
Quattro sacro; poi genera la madre di tutto, la sacra decade che tutto comprende,
il primo - nato, colui che non devia mai, e mai è stanco, il Dieci sacro che detiene
la chiave di tutte le cose».
MONADE
PENTADE
D
I
A
D
E
TRIADE
TETRADE
DECADE
GLI INCOMMENSURABILI
Le concezioni dei pitagorici furono però ben presto messe in crisi dalla scoperta della
esistenza di grandezze geometriche "incommensurabili". Ironicamente, tutto cio è
conseguenza della geometria e dello stesso teorema di Pitagora. Quando Pitagora si
rese conto che l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è la somma delle aree dei
quadrati costruiti sui cateti era molto vicino alla verita che, sebbene le aree sono
commensurabili, i lati non lo sono.
PRESENTAZIONE POLYMATH SUI NUMERI REALI
Fig. 50 Nel quadrato di lato unitario, 1 rappresenta la
lunghezza del lato ed è, sulla retta numerica, la distanza
dall'origine. La diagonale è lunga √2, ma è anche la distanza
dall'origine, un numero che per i pitagorici non aveva diritto di
esistere. Per loro, non trovava posto sulla retta numerica dove
c'erano soltanto numeri interi e frazioni. Ma in questo modo
scoprirono che la retta... era in realtà piena di buchi, molti
inspiegabili buchi, fra un numero e l'altro.
I NUMERI IRRAZIONALI
• La scoperta dei numeri irrazionali viene tradizionalmente
attribuita a Pitagora, o più precisamente al
pitagorico Ippaso di Metaponto, che produsse una
argomentazione dell'irrazionalità e di √ 2. Secondo la
tradizione Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre
tentava di rappresentare la √2 come frazione.
• Tuttavia Pitagora credeva
nell'assolutezza dei numeri, e non poteva
accettare l'esistenza dei numeri
irrazionali. Egli non era in grado di
confutare la loro esistenza con la logica,
ma le sue credenze non potevano
tollerarne l'esistenza e, secondo una
leggenda, per questo condannò Ippaso a
morire annegato..
• Possiamo dimostrare l'irrazionalità di √2 con un origami
La diagonale del quadrato di lato 12 è
12 √2
che è molto vicino a 17
Se √ 2 fosse un numero razionale , per esempio proprio 17/12 , la diagonale
misurerebbe 17 , e piegando il lato sulla diagonale resterebbe un triangolo
rettangolo isoscele di ipotenusa 7 e cateti 5 , per cui √2 sarebbe anche 7/5
,mentre un numero razionale ammette un'unica rappresentazione sotto forma
di frazione ridotta ai minimi termini,mentre qui 17/12 e 7/5 sono due numeri
razionali distinti.
Quindi √2 è un numero irrazionale
Dimostrazione dell’irrazionalità di √2
Se √ 2 fosse un numero razionale , per esempio proprio
m/n , la diagonale misurerebbe m, e riportando il lato sulla
diagonale mediante un arco di circonferenza, resterebbe
un triangolo rettangolo isoscele di ipotenusa n-(m-n) = 2nm e cateti m-n , per cui √2 sarebbe anche (2n-m)/(m-n)
,mentre un numero razionale ammette un'unica
rappresentazione sotto forma di frazione ridotta ai minimi
termini,mentre qui m/n e (2n-m)/(m-n) sono due numeri
razionali distinti.
Quindi √2 è un numero irrazionale
Altra dimostrazione dell’irrazionalità di √2
Se m e n sono i più piccoli numeri primi tra loro
tali che
m2 = 2 n2 sovrapponendo
i quadrati di lato n, risulta anche n2= 2 (m-n)2
mentre m e n erano gli unici per cui valeva m2 =
2 n2 quindi √2 è un numero irrazionale
Costruzione di un segmento di lunghezza √ n
Partiamo da un triangolo rettangolo isoscele con i cateti di
lunghezza unitaria , l'ipotenusa sarà √2, facciamo
diventare questa ipotenusa il cateto di un nuovo triangolo
rettangolo con l'altro cateto unitario, ora l'ipotenusa sarà √
3, ora facciamo diventare questa ipotenusa come cateto di
un nuovo triangolo rettangolo con l'altro cateto unitario ,
l'ipotenusa sarà ora √4 ,ecc.
Applicazione del teorema di Pitagora
√2
√3
√4
√5
√6
√7
√8
√9
Rappresentazione geometrica di √n
DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO
• Nessun naturale ha come quadrato 2. Infatti,associando a ogni
naturale il suo quadrato, si può notare che fra i quadrati il numero
2 non compare
n
0
1
2
3
4
…
n2
0
1
4
9
16
…
• Nessuna frazione non apparente ha come quadrato 2.
Supponiamo per assurdo che esista una frazione non apparente
a/b, ridotta ai minimi termini, il cui quadrato sia uguale a 2, ossia tale
che: (a/b)2=2
• Se a/b non è una frazione apparente,significa che a non è multiplo
di b.
• Ma allora neanche la frazione (a/b)2= 2a/2b può essere apparente;
pertanto non può essere vera l’uguaglianza tra la frazione non
apparente (a/b)2 e il numero naturale 2, che è una frazione
apparente.
POSSIAMO CONCLUDERE CHE NON ESISTE ALCUN NUMERO
RAZIONALE IL CUI QUADRATO SIA UGUALE A 2; PERTANTO
L’OPERAZIONE DI RADICE QUADRATA NON È INTERNA IN Q
√2,√346,4√67..
FINE