numeri-quadrati

LA STORIA COMINCIA, ALL’INCIRCA NEL 550-500 A.C. A CROTONE, QUANDO PITAGORA FONDÒ UNA SCUOLA UNA DI
ARISTOCRATICI CHE AVEVA TUTTE LE CARATTERISTICHE DI UNA SETTA SEGRETA.
A QUESTA SCUOLA POTEVANO PARTECIPARE ANCHE LE DONNE.
I PITAGORICI CONSIDERAVANO PITAGORA COME IL DEPOSITARIO DI UNA SAPIENZA DIVINA ED ERA VIETATO APPORTARE
MODIFICHE ALLA SUA DOTTRINA (È FAMOSA LA FRASE “IPSE DIXIT”, L'HA DETTO LUI).
QUANDO NELLE CITTÀ GRECHE DELL'ITALIA MERIDIONALE SI DETERMINÒ UN MOVIMENTO DEMOCRATICO CHE DISTRUSSE LE
ISTITUZIONI ARISTOCRATICHE FONDATE DAI
PITAGORICI, QUESTI FURONO MASSACRATI O COSTRETTI A FUGGIRE E LE SEDI
DELLE LORO SCUOLE VENNERO INCENDIATE.
AI PITAGORICI SI DEVE INDUBBIAMENTE LA CREAZIONE DELLA MATEMATICA COME SCIENZA, ELABORANDO CONCETTUALMENTE I
SUOI TERMINI FONDAMENTALI (QUANTITÀ, PUNTO, LINEA, SUPERFICIE, ANGOLO, CORPO).
L'IDEA CHE CARATTERIZZAVA I PITAGORICI ERA CHE L'ARCHÈ (= IL PRINCIPIO DI TUTTE LE COSE) NON ANDAVA RICERCATA
NEGLI ELEMENTI NATURALI QUALI L'ARIA, L'ACQUA, IL FUOCO E LA TERRA, MA NEL NUMERO.
IL MOTTO DEI PITAGORICI ERA: "TUTTO È NUMERO".
IL NUMERO È L'ELEMENTO DI CUI TUTTE LE COSE SONO COSTITUITE: DAL MONDO CHE CI CIRCONDA AL MOTO DEGLI ASTRI, AL
SUCCEDERSI DELLE STAGIONI, DALLE ARMONIE DELLA MUSICA AL CICLO DELLA VEGETAZIONE.
QUANDO I PITAGORICI PARLAVANO DI NUMERI SI RIFERIVANO AI NUMERI NATURALI ED IMMAGINAVANO CHE I NUMERI DISPARI
AVESSERO ATTRIBUTI MASCHILI E I NUMERI PARI ATTRIBUTI FEMMINILI.
IL NUMERO 1 (GENERATORE DI TUTTI I NUMERI) ERA IL NUMERO DELLA RAGIONE;
IL NUMERO 2 (PRIMO NUMERO FEMMINILE) ERA IL NUMERO DELL’OPINIONE;
IL NUMERO 3 (PRIMO VERO NUMERO MASCHILE) ERA IL NUMERO DELL'ARMONIA;
IL NUMERO 4 SIMBOLEGGIAVA LA GIUSTIZIA, IL FAR QUADRARE I CONTI.
LL NUMERO
5 ERA IL NUMERO DEL MATRIMONIO, L'UNIONE DEL PRIMO VERO NUMERO MASCHILE CON IL PRIMO NUMERO
FEMMINILE
IL NUMERO 10 ERA CONSIDERATO IL NUMERO PIÙ SACRO DI TUTTI, PERCHÉ ERA IL SIMBOLO DELL'UNIVERSO, ESSENDO LA
SOMMA DI TUTTE LE DIMENSIONI GEOMETRICHE POSSIBILI.
LA SCUOLA PITAGORICA CONSIDERAVA CIASCUN NUMERO COME RAGGRUPPAMENTO DI PIÙ UNITÀ TUTTE UGUALI.
OGNI RAGGRUPPAMENTO AVEVA IL DOPPIO ASPETTO DI NUMERO E DI FIGURA, PER CUI MATEMATICA E GEOMETRIA ERANO LA
STESSA COSA; QUINDI IL NUMERO POTEVA ASSUMERE L'ASPETTO DI FIGURA PER CUI DISTINGUEVANO I NUMERI QUADRATI E I
NUMERI TRIANGOLARI.
PER IL MOMENTO CI CONCENTRIAMO SUI NUMERI QUADRATI...
SONO QUADRATI PERFETTI TUTTI I NUMERI INTERI LA CUI RADICE QUADRATA È UN NUMERO INTERO
ES:
COME FACEVANO I PITAGORICI, PROVIAMO A RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE QUESTI NUMERI
NOTIAMO CHE UN NUMERO n È UN QUADRATO PERFETTO SE E SOLO SE È POSSIBILE FORMARE UN QUADRATO CON n
PUNTI; PER QUESTO L'ELEVAMENTO ALLA SECONDA POTENZA È CHIAMATO ANCHE ELEVAMENTO AL QUADRATO.
COME SI VEDE NELLA FIGURA, I NUMERI 4, 9, 16,... , SONO QUADRATI PERFETTI PERCHÉ È POSSIBILE DISPORRE LE
UNITÀ CHE LI COMPONGONO SU UNA GRIGLIA REGOLARE, IN MODO DA FORMARE UN QUADRATO.
MA I QUADRATI PERFETTI HANNO MOLTE ALTRE PECULIARITÀ...
QUINDI COMINCIAMO A OSSERVARLI...
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 36, 81, 121, 144, 169,196, 225,...
COME POSSIAMO NOTARE TALI QUADRATI TERMINANO CON LE CIFRE:
1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 9, 6, 5
POSSIAMO ALLORA AFFERMARE CHE SE UN NUMERO INTERO È IL QUADRATO PERFETTO DI UN ALTRO NUMERO ESSO TERMINA SICURAMENTE PER
1, 4, 5, 6, 9.
SE PROVIAMO A SCRIVERE LE POTENZE DI
10, 100, 1000, ....OTTENUAMO:
100, 10.000, 1.000.000.
POSSIAMO ALLORA ANCHE AFFERMARE CHE UN NUMERO INTERO È UN QUADRATO PERFETTO SE TERMINA CON DUE, QUATTRO, SEI, ECC. ZERI.
QUINDI UN NUMERO È UN QUADRATTO PERFETTO SE TERMINA CON
1, 4, 5, 6, 9 O CON UN NUMERO PARI DI ZERO.
LA DIFFERENZA DI DUE NUMERI QUADRATI SUCCESSIVI È SEMPRE UGUALE AD UN NUMERO DISPARI
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 36, 81, 121, 144, 169,196, 225,...
4 -1 = 3
9–4=5
16 – 9 = 7
25 – 16 = 9
36 – 25 = 11
49 – 36 = 13
LA DIFFERENZA TRA IL QUADRATO DI UN NUMERO E IL QUADRATO DEL SUO PRECEDENTE , È ESATTAMENTE LA SOMMA DEI DUE NUMERI.
92 - 82 = 81 – 64 = 17
112 - 102= 121 – 100 = 21
9 + 8 = 17
11 + 10 = 21
PER PASSARE DA UN NUMERO QUADRATO ALL’ALTRO BASTA AGGIUNGERE IL NUMERO DISPARI SUCCESSIVO A QUELLO AGGIUNTO PRIMA…
1+3=4
4+ 5=9
9 +7=16
16 + 9= 25
LA SOMMA DEI PRIMI NUMERI n DISPARI È UGUALE A n
2
CIOÈ LA SOMMA DEI PRIMI 7 NUMER DISPARI DEVE ESSERE UGUALE A 49
1+3+5+7+9+13= 49
72= 49
1=1
1+3 = 4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49
SE EVIDENZIO I QUADRATI PERFETTI NELLA TAVOLA PITAGORICA, TRACCIO LA DIAGONALE DEL QUADRATO FORMATO DAI PRIMI 100
NUMERI