Soluzioni prove del 4-2-2015

FISICA GENERALE I
1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014
04.02.2015
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
9 crediti
10 crediti
12 crediti
Esercizio n. 1 Una massa puntiforme compie un moto le cui leggi orarie sono rappresentate dalle equazioni:
𝑧(𝑡) = 𝑧0 − 𝑎𝑡 2 , 𝑥(𝑡) = 𝑏𝑡 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) , 𝑦(𝑡) = 𝑏𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) . Calcolare l’istante t* in cui la massa tocca terra (z=0) ed il
modulo del vettore velocità nello stesso istante. Infine, si disegni la traiettoria seguita dalla massa puntiforme. Si
effettuino i calcoli per a= 1 ms-2 , b=1 ms-1 , z0=1 m ed =1 s-1 .
Calcoliamo dapprima il tempo t* :
𝑧(𝑡 ∗ ) = 𝑧0 − 𝑎𝑡 ∗ 2 = 0
→
𝑡∗ = √
𝑧0
=1𝑠
𝑎
Le componenti del vettore velocità si ricavano derivando le leggi orarie e sono:
𝑣𝑥 (𝑡) = 𝑏 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) + 𝑏𝑡𝜔 cos(𝜔𝑡)
{𝑣𝑦 (𝑡) = 𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) − 𝑏𝑡𝜔 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
𝑣𝑧 (𝑡) = −2𝑎𝑡
Di conseguenza, il modulo di v al tempo t* sarà:
𝑧0
𝑣 = √𝑏 2 + 𝑏 2 𝜔 2 + 4𝑎𝑧0 = 2.4 𝑚𝑠 −1
𝑎
Combinando le equazione orarie delle coordinate tale da ottenere un relazione fra loro,
eliminando il tempo si ottiene:
𝑏 2 (𝑧0 − 𝑧)
𝑥2 + 𝑦2 =
𝑎
che rappresenta una superficie conica, con sezione che aumenta al diminuire della quota
z, lungo la quale il punto descriverà una spirale come rappresentato nella figura al lato.
Esercizio n. 2 Una barra omogenea di massa m e lunghezza L è vincolata ad un suo
estremo nel punto O, intorno ad un asse passante per il quale essa può ruotare su un
piano verticale (x,z), in presenza di forza peso. Essa è inoltre poggiata su due molle 1 e 2
, rimanendo in posizione di equilibrio statico orizzontale (vedi figura). Sapendo che le
molle hanno lunghezza a riposo L01 ed L02 e che la molla 1 ha costante elastica K1 , si
determini 1) il valore di K2 e 2) modulo, direzione ed verso della reazione vincolare RN in O
. Si effettuino i calcoli per m=1 kg, L02=L=1 m , L01=0 m e K1=2 Nm-1 .
La condizione di equilibrio statico si impone annullando la risultante dei momenti delle forze, calcolati rispetto al
polo O. Scegliendo il verso entrante nel foglio come positivo per i momenti, si ha:
𝐿
𝐿 2
𝐿
𝑀 = 𝑚𝑔 ( ) + 𝐾1 ( ) − 𝐾2 𝐿 ( ) = 0
2
2
2
dalla quale si ricava:
𝑚𝑔 𝐾1
𝐾2 =
+
= 10.8 𝑁𝑚−1
𝐿
2
La reazione vincolare avrà modulo:
𝐿
𝐿
𝐿
𝑅𝑁 = 𝑚𝑔 + 𝐾1 ( ) − 𝐾2 ( ) = 𝑚𝑔 + (𝐾1 − 𝐾2 ) = 5.4 𝑁
2
2
2
e sarà diretta nel verso delle y crescenti.
Esercizio n. 3 Una sorgente E di onde acustiche di frequenza 1 , inizialmente in quiete
nella stessa posizione occupata dal ricevitore R , inizia a muoversi di moto uniformemente
accelerato con accelerazione a. Determinare la distanza alla quale E si troverà da R
nell’istante t* in cui quest’ultimo percepirà la frequenza 2 . Effettuare i calcoli per
a=34 ms-2, 1=1000 Hz , 2=800 Hz e Vs=340 ms-1 .
A causa della velocità finita di propagazione del suono, per calcolare il tempo t*, bisogna sommare l’istante t1 in
cui E emetterà l’onda cha sarà ricevuta da R a frequenza 2 , al ritardo t2 con cui R la riceverà. Dalle formule
associate all’effetto Doppler, si ha:
𝑉𝑠
𝑉𝑠
𝑉𝑠 𝜈1
𝜈2 =
𝜈1 =
𝜈1 → 𝑡1 = ( − 1) = 2.5 𝑠
𝑉𝑠 + 𝑉𝐸 (𝑡1 )
𝑉𝑠 + 𝑎𝑡1
𝑎 𝜈2
Nell’istante t1 , la distanza tra E ed R sarà:
1
𝑥(𝑡1 ) = 𝑎𝑡1 2 = 106.2 𝑚
2
Il tempo t2 , impiegato dall’onda di frequenza 2 per raggiungere R , sarà allora:
𝑥(𝑡1 )
𝑡2 =
= 0.3 𝑠
𝑉𝑠
Il tempo complessivo t* è quindi pari a:
𝑡 ∗ = (𝑡1 +𝑡2 ) = 2.8 𝑠
E, di conseguenza, la distanza richiesta tra E ed R sarà:
1
𝑥(𝑡1 +𝑡2 ) = 𝑎(𝑡1 +𝑡2 )2 = 133.3 𝑚
2
Esercizio n. 4 Una mole di gas perfetto monoatomico, a pressione iniziale p0 , è contenuta in un
recipiente diatermico in contatto con l’ambiente esterno a temperatura Ta e pressione pa . Il
recipiente è munito di un pistone mobile e di una valvola a pressione, che si apre quando la
pressione interna è pari a p* (>pa) ed è in grado di mantenere p* costante durante la fuoriuscita del
gas. All’istante iniziale, il volume occupato dal gas vale V0 ed il pistone inizia a salire molto
lentamente. Calcolare a) il calore scambiato dal gas con l’ambiente dall’istante iniziale a quello in
cui si apre la valvola e b) il lavoro complessivo necessario per svuotare completamente il
recipiente. Si effettuino i calcoli per p0=105 Pa , p*=5x105 Pa e Ta=300 K
Essendo il contenitore diatermico, la prima trasformazione effettuata dal gas è una compressione isoterma
reversibile. Di conseguenza, il calore Q scambiato dal gas con l’ambiente fino all’apertura della valvola è:
𝑉∗
𝑄 = 𝑊 = 𝑅𝑛𝑇𝑎 𝑙𝑛
𝑉0
D’altra parte, dall’equazione dell’isoterma reversibile:
𝑉 ∗ 𝑝0
∗ ∗
𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 → 𝑝0 𝑉0 = 𝑝 𝑉
→
=
𝑉0 𝑝∗
Si ottiene quindi:
𝑝0
𝑄 = 𝑅𝑛𝑇𝑎 𝑙𝑛 ∗ = −4.0 𝑘𝐽
𝑝
Il lavoro necessario per svuotare completamente il recipiente sarà dato dalla somma di quello associato alla
compressione isoterma con quello, effettuato a pressione costante, nella fase di svuotamento del recipiente:
𝑝0
𝑝0
𝑊𝑒𝑥𝑡 = −(𝑊𝑖𝑠𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎 + 𝑊𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 ) = − (𝑅𝑛𝑇𝑎 𝑙𝑛 ∗ − 𝑝∗ 𝑉 ∗ ) = −𝑅𝑛𝑇𝑎 𝑙𝑛 ∗ + 𝑅𝑛𝑇𝑎 = 6.5 𝑘𝐽
𝑝
𝑝
FISICA 2 (5 CFU)
1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014
04.02.2015
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Un condensatore, inizialmente scarico, è formato da un filo metallico di raggio R1
R2
teso sull’asse di un cilindro conduttore cavo di raggio interno R2 (vedi figura). Il cilindro, lungo d, è
riempito di un gas con rigidità dielettrica (ossia il massimo campo elettrico applicabile in assenza
di fenomeni di scarica) pari a EM. Considerando trascurabili gli effetti di bordo, determinare 1) il
lavoro W compiuto per portare le armature del condensatore ad una differenza di potenziale pari
a V=1000 V e 2) la differenza di potenziale VM che si può applicare tra i due elettrodi senza
avere scariche nel gas. Effettuare i calcoli per R1 = 100 μm , R2=11.0 mm , d=10 cm ,
EM=2.2 MV/m.
d
Calcoliamo dapprima il lavoro W:
2𝜋𝜖0 𝑑
1
𝐶=
= 1.18 𝑝𝐹 → 𝑊 = 𝐶𝑉 2 = 0.59 𝜇𝑊
𝑅
2
𝑙𝑛 𝑅2
1
Il massimo campo elettrico applicabile all’interno del condensatore senza causare scariche elettriche vale:
𝐸(𝑅1 ) =
𝑀
2𝜋𝜖0 𝑅1
= 𝐸𝑀
che si ottiene per una densità di carica lineare massima del filo sull’asse pari a:
𝑀 = 2𝜋𝜖0 𝑅1 𝐸𝑀
Per cui, la ddp sarà in modulo:
𝑅2

𝑅2
∆𝑉 = ∫ 𝐸𝑑𝑟 = ∫
𝑅1
𝑅1
2𝜋𝜖0 𝑟
𝑑𝑟 =

2𝜋𝜖0
𝑙𝑛
𝑅2
𝑅1
→
∆𝑉𝑀 =
𝑀
2𝜋𝜖0
𝑙𝑛
𝑅2
𝑅2
= 𝐸𝑀 𝑅1 𝑙𝑛
= 1034 V
𝑅1
𝑅1
Esercizio n. 2 Una spira quadrata di lato L e resistenza totale R , viene inserita mantenendola a velocità
costante v in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme B diretto ortogonalmente al
piano della spira. Determinare la corrente che circola nella spira durante l’inserimento e il lavoro totale
necessario per inserirla completamente. Effettuare i calcoli per L=30 cm , R=3 Ω , v=10 m/s e B=0.5 T .
B=0
Ponendo il tempo t0 = 0 quando la spira comincia ad entrare nella
regione in cui è presente il campo magnetico, si ha:
B
 ( B )  BLvt
La f.e.m. indotta nella spira è quindi:
f 
v
L
d ( B )
  BLv
dt
L
Nella spira circola quindi una corrente i 
BLv
 0.5 A in senso orario (solo quando la spira si trova a cavallo tra
R
le due regioni di spazio).
La forza magnetica che agisce sul tratto verticale di spira all’interno delle regione con campo magnetico è:
F
B 2 L2 v
R
Per cui il lavoro necessario a inserire la spira mantenendola a velocità costante è:
w  FL 
B 2 L3v
 22.5 mJ
R
FISICA 1 (5 CFU)
1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014
04.02.2015
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Una barra omogenea di massa m e lunghezza L è vincolata ad un suo
estremo nel punto O, intorno ad un asse passante per il quale essa può ruotare su un
piano verticale (x,z), in presenza di forza peso. Essa è inoltre poggiata su due molle 1 e 2
, rimanendo in posizione di equilibrio statico orizzontale (vedi figura). Sapendo che le
molle hanno lunghezza a riposo L01 ed L02 e che la molla 1 ha costante elastica K1 , si
determini 1) il valore di K2 e 2) modulo, direzione ed verso della reazione vincolare RN in O
. Si effettuino i calcoli per m=1 kg, L02=L=1 m , L01=0 m e K1=2 Nm-1 .
La condizione di equilibrio statico si impone annullando la risultante dei momenti delle forze, calcolati rispetto al
polo O. Scegliendo il verso entrante nel foglio come positivo per i momenti, si ha:
𝐿
𝐿 2
𝐿
𝑀 = 𝑚𝑔 ( ) + 𝐾1 ( ) − 𝐾2 𝐿 ( ) = 0
2
2
2
dalla quale si ricava:
𝑚𝑔 𝐾1
𝐾2 =
+
= 10.8 𝑁𝑚−1
𝐿
2
La reazione vincolare avrà modulo:
𝐿
𝐿
𝐿
𝑅𝑁 = 𝑚𝑔 + 𝐾1 ( ) − 𝐾2 ( ) = 𝑚𝑔 + (𝐾1 − 𝐾2 ) = 5.4 𝑁
2
2
2
e sarà diretta nel verso delle y crescenti.
Esercizio n. 2 Una mole di gas perfetto monoatomico, a pressione iniziale p0 , è contenuta in un
recipiente diatermico in contatto con l’ambiente esterno a temperatura Ta e pressione pa . Il
recipiente è munito di un pistone mobile e di una valvola a pressione, che si apre quando la
pressione interna è pari a p* (>pa). All’istante iniziale, il volume occupato dal gas vale V0 ed il
pistone inizia a salire molto lentamente. Calcolare il calore scambiato dal gas con l’ambiente
dall’istante iniziale a quello in cui si apre la valvola. Si effettuino i calcoli per p0=105 Pa , p*=5x105
Pa e Ta=300 K
Essendo il contenitore diatermico, la prima trasformazione effettuata dal gas è una compressione isoterma
reversibile. Di conseguenza, il calore Q scambiato dal gas con l’ambiente fino all’apertura della valvola è:
𝑉∗
𝑄 = 𝑊 = 𝑅𝑛𝑇𝑎 𝑙𝑛
𝑉0
D’altra parte, dall’equazione dell’isoterma reversibile:
𝑉 ∗ 𝑝0
𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 → 𝑝0 𝑉0 = 𝑝∗ 𝑉 ∗ →
=
𝑉0 𝑝∗
Si ottiene quindi:
𝑝0
𝑄 = 𝑅𝑛𝑇𝑎 𝑙𝑛 ∗ = −4.0 𝑘𝐽
𝑝
FISICA GENERALE VP (10 cfu)
1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014
04.02.2015
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Una barra omogenea di massa m e lunghezza L è vincolata ad un suo
estremo nel punto O, intorno ad un asse passante per il quale essa può ruotare su un
piano verticale (x,z), in presenza di forza peso. Essa è inoltre poggiata su due molle 1 e 2
, rimanendo in posizione di equilibrio statico orizzontale (vedi figura). Sapendo che le
molle hanno lunghezza a riposo L01 ed L02 e che la molla 1 ha costante elastica K1 , si
determini 1) il valore di K2 e 2) modulo, direzione ed verso della reazione vincolare RN in O
. Si effettuino i calcoli per m=1 kg, L02=L=1 m , L01=0 m e K1=2 Nm-1 .
La condizione di equilibrio statico si impone annullando la risultante dei momenti delle forze, calcolati rispetto al
polo O. Scegliendo il verso entrante nel foglio come positivo per i momenti, si ha:
𝐿
𝐿 2
𝐿
𝑀 = 𝑚𝑔 ( ) + 𝐾1 ( ) − 𝐾2 𝐿 ( ) = 0
2
2
2
dalla quale si ricava:
𝑚𝑔 𝐾1
𝐾2 =
+
= 10.8 𝑁𝑚−1
𝐿
2
La reazione vincolare avrà modulo:
𝐿
𝐿
𝐿
𝑅𝑁 = 𝑚𝑔 + 𝐾1 ( ) − 𝐾2 ( ) = 𝑚𝑔 + (𝐾1 − 𝐾2 ) = 5.4 𝑁
2
2
2
e sarà diretta nel verso delle y crescenti.
Esercizio n. 2 Una mole di gas perfetto monoatomico, a pressione iniziale p0 , è contenuta in un
recipiente diatermico in contatto con l’ambiente esterno a temperatura Ta e pressione pa . Il
recipiente è munito di un pistone mobile e di una valvola a pressione, che si apre quando la
pressione interna è pari a p* (>pa). All’istante iniziale, il volume occupato dal gas vale V0 ed il
pistone inizia a salire molto lentamente. Calcolare il calore scambiato dal gas con l’ambiente
dall’istante iniziale a quello in cui si apre la valvola. Si effettuino i calcoli per p0=105 Pa , p*=5x105
Pa e Ta=300 K
Essendo il contenitore diatermico, la prima trasformazione effettuata dal gas è una compressione isoterma
reversibile. Di conseguenza, il calore Q scambiato dal gas con l’ambiente fino all’apertura della valvola è:
𝑉∗
𝑄 = 𝑊 = 𝑅𝑛𝑇𝑎 𝑙𝑛
𝑉0
D’altra parte, dall’equazione dell’isoterma reversibile:
𝑉 ∗ 𝑝0
𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 → 𝑝0 𝑉0 = 𝑝∗ 𝑉 ∗ →
=
𝑉0 𝑝∗
Si ottiene quindi:
𝑝0
𝑄 = 𝑅𝑛𝑇𝑎 𝑙𝑛 ∗ = −4.0 𝑘𝐽
𝑝
Esercizio n. 1 Un condensatore, inizialmente scarico, è formato da un filo metallico di raggio R1
teso sull’asse di un cilindro conduttore cavo di raggio interno R2 (vedi figura). Il cilindro, lungo d, è
riempito di un gas con rigidità dielettrica (ossia il massimo campo elettrico applicabile in assenza
di fenomeni di scarica) pari a EM. Considerando trascurabili gli effetti di bordo, determinare 1) il
lavoro W compiuto per portare le armature del condensatore ad una differenza di potenziale pari
a V=1000 V e 2) la differenza di potenziale VM che si può applicare tra i due elettrodi senza
avere scariche nel gas. Effettuare i calcoli per R1 = 100 μm , R2=11.0 mm , d=10 cm ,
EM=2.2 MV/m.
R2
d
Calcoliamo dapprima il lavoro W:
2𝜋𝜖0 𝑑
1
𝐶=
= 1.18 𝑝𝐹 → 𝑊 = 𝐶𝑉 2 = 0.59 𝜇𝑊
𝑅
2
𝑙𝑛 2
𝑅1
Il massimo campo elettrico applicabile all’interno del condensatore senza causare scariche elettriche vale:
𝐸(𝑅1 ) =
𝑀
2𝜋𝜖0 𝑅1
= 𝐸𝑀
che si ottiene per una densità di carica lineare massima del filo sull’asse pari a:
𝑀 = 2𝜋𝜖0 𝑅1 𝐸𝑀
Per cui, la ddp sarà in modulo:
𝑅2

𝑅2
∆𝑉 = ∫ 𝐸𝑑𝑟 = ∫
𝑅1
𝑅1
2𝜋𝜖0 𝑟
𝑑𝑟 =

2𝜋𝜖0
𝑙𝑛
𝑅2
𝑅1
→
∆𝑉𝑀 =
𝑀
2𝜋𝜖0
𝑙𝑛
𝑅2
𝑅2
= 𝐸𝑀 𝑅1 𝑙𝑛
= 1034 V
𝑅1
𝑅1
Esercizio n. 2 Una spira quadrata di lato L e resistenza totale R , viene inserita mantenendola a velocità
costante v in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme B diretto ortogonalmente al
piano della spira. Determinare la corrente che circola nella spira durante l’inserimento e il lavoro totale
necessario per inserirla completamente. Effettuare i calcoli per L=30 cm , R=3 Ω , v=10 m/s e B=0.5 T .
B=0
Ponendo il tempo t0 = 0 quando la spira comincia ad entrare nella
regione in cui è presente il campo magnetico, si ha:
B
 ( B )  BLvt
La f.e.m. indotta nella spira è quindi:
f 
v
L
d ( B )
  BLv
dt
L
Nella spira circola quindi una corrente i 
BLv
 0.5 A in senso orario (solo quando la spira si trova a cavallo tra
R
le due regioni di spazio).
La forza magnetica che agisce sul tratto verticale di spira all’interno delle regione con campo magnetico è:
B 2 L2 v
F
R
Per cui il lavoro necessario a inserire la spira mantenendola a velocità costante è:
w  FL 
B 2 L3v
 22.5 mJ
R