FISICA GENERALE I 1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014 04.02.2015 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Una massa puntiforme compie un moto le cui leggi orarie sono rappresentate dalle equazioni: ๐ง(๐ก) = ๐ง0 − ๐๐ก 2 , ๐ฅ(๐ก) = ๐๐ก ๐ ๐๐(๐๐ก) , ๐ฆ(๐ก) = ๐๐ก ๐๐๐ (๐๐ก) . Calcolare l’istante t* in cui la massa tocca terra (z=0) ed il modulo del vettore velocità nello stesso istante. Infine, si disegni la traiettoria seguita dalla massa puntiforme. Si effettuino i calcoli per a= 1 ms-2 , b=1 ms-1 , z0=1 m ed ๏ท=1 s-1 . Calcoliamo dapprima il tempo t* : ๐ง(๐ก ∗ ) = ๐ง0 − ๐๐ก ∗ 2 = 0 → ๐ก∗ = √ ๐ง0 =1๐ ๐ Le componenti del vettore velocità si ricavano derivando le leggi orarie e sono: ๐ฃ๐ฅ (๐ก) = ๐ ๐ ๐๐(๐๐ก) + ๐๐ก๐ cos(๐๐ก) {๐ฃ๐ฆ (๐ก) = ๐ ๐๐๐ (๐๐ก) − ๐๐ก๐ ๐ ๐๐(๐๐ก) ๐ฃ๐ง (๐ก) = −2๐๐ก Di conseguenza, il modulo di v al tempo t* sarà: ๐ง0 ๐ฃ = √๐ 2 + ๐ 2 ๐ 2 + 4๐๐ง0 = 2.4 ๐๐ −1 ๐ Infine, la traiettoria sarà una spirale conica. Esercizio n. 2 Una barra omogenea di massa m e lunghezza L è vincolata ad un suo estremo nel punto O, intorno ad un asse passante per il quale essa può ruotare su un piano verticale (x,z), in presenza di forza peso. Essa è inoltre poggiata su due molle 1 e 2 , rimanendo in posizione di equilibrio statico orizzontale (vedi figura). Sapendo che le molle hanno lunghezza a riposo L01 ed L02 e che la molla 1 ha costante elastica K1 , si determini 1) il valore di K2 e 2) modulo, direzione ed verso della reazione vincolare RN in O . Si effettuino i calcoli per m=1 kg, L02=L=1 m , L01=0 m e K1=2 Nm-1 . La condizione di equilibrio statico si impone annullando la risultante dei momenti delle forze, calcolati rispetto al polo O. Scegliendo il verso entrante nel foglio come positivo per i momenti, si ha: ๐ฟ ๐ฟ 2 ๐ฟ ๐ = ๐๐ ( ) + ๐พ1 ( ) − ๐พ2 ๐ฟ ( ) = 0 2 2 2 dalla quale si ricava: ๐๐ ๐พ1 ๐พ2 = + = 10.8 ๐๐−1 ๐ฟ 2 La reazione vincolare avrà modulo: ๐ฟ ๐ฟ ๐ฟ ๐ ๐ = ๐๐ + ๐พ1 ( ) − ๐พ2 ( ) = ๐๐ + (๐พ1 − ๐พ2 ) = 5.4 ๐ 2 2 2 e sarà diretta nel verso delle y crescenti. Esercizio n. 3 Una sorgente E di onde acustiche di frequenza ๏ฎ1 , inizialmente in quiete nella stessa posizione occupata dal ricevitore R , inizia a muoversi di moto uniformemente accelerato con accelerazione a. Determinare la distanza alla quale E si troverà da R nell’istante t* in cui quest’ultimo percepirà la frequenza ๏ฎ2 . Effettuare i calcoli per a=34 ms-2, ๏ฎ1=1000 Hz , ๏ฎ2=800 Hz e Vs=340 ms-1 . A causa della velocità finita di propagazione del suono, per calcolare il tempo t*, bisogna sommare l’istante t1 in cui E emetterà l’onda cha sarà ricevuta da R a frequenza ๏ฎ2 , al ritardo t2 con cui R la riceverà. Dalle formule associate all’effetto Doppler, si ha: ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐1 ๐2 = ๐1 = ๐1 → ๐ก1 = ( − 1) = 2.5 ๐ ๐๐ + ๐๐ธ (๐ก1 ) ๐๐ + ๐๐ก1 ๐ ๐2 Nell’istante t1 , la distanza tra E ed R sarà: 1 ๐ฅ(๐ก1 ) = ๐๐ก1 2 = 106.2 ๐ 2 Il tempo t2 , impiegato dall’onda di frequenza ๏ฎ2 per raggiungere R , sarà allora: ๐ฅ(๐ก1 ) ๐ก2 = = 0.3 ๐ ๐๐ Il tempo complessivo t* è quindi pari a: ๐ก ∗ = (๐ก1 +๐ก2 ) = 2.8 ๐ E, di conseguenza, la distanza richiesta tra E ed R sarà: 1 ๐ฅ(๐ก1 +๐ก2 ) = ๐(๐ก1 +๐ก2 )2 = 133.3 ๐ 2 Esercizio n. 4 Una mole di gas perfetto monoatomico, a pressione iniziale p0 , è contenuta in un recipiente diatermico in contatto con l’ambiente esterno a temperatura Ta e pressione pa . Il recipiente è munito di un pistone mobile e di una valvola a pressione, che si apre quando la pressione interna è pari a p* (>pa) ed è in grado di mantenere p* costante durante la fuoriuscita del gas. All’istante iniziale, il volume occupato dal gas vale V0 ed il pistone inizia a salire molto lentamente. Calcolare a) il calore scambiato dal gas con l’ambiente dall’istante iniziale a quello in cui si apre la valvola e b) il lavoro complessivo necessario per svuotare completamente il recipiente. Si effettuino i calcoli per V0=1 m3 , p0=105 Pa , p*=5x105 Pa e Ta=300 K Essendo il contenitore diatermico, la prima trasformazione effettuata dal gas è una compressione isoterma reversibile. Di conseguenza, il calore Q scambiato dal gas con l’ambiente fino all’apertura della valvola è: ๐∗ ๐ = ๐ = ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐0 D’altra parte, dall’equazione dell’isoterma reversibile: ๐ ∗ ๐0 ∗ ∗ ๐๐ = ๐๐๐ ๐ก → ๐0 ๐0 = ๐ ๐ → = ๐0 ๐∗ Si ottiene quindi: ๐0 ๐ = ๐ ๐๐๐ ๐๐ ∗ = −4.0 ๐๐ฝ ๐ Il lavoro necessario per svuotare completamente il recipiente sarà dato dalla somma di quello associato alla compressione isoterma con quello, effettuato a pressione costante, nella fase di svuotamento del recipiente: ๐0 ๐0 ๐๐๐ฅ๐ก = −(๐๐๐ ๐๐ก๐๐๐๐ + ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ) = − (๐ ๐๐๐ ๐๐ ∗ − ๐∗ ๐ ∗ ) = −๐ ๐๐๐ ๐๐ ∗ + ๐ ๐๐๐ = 6.5 ๐๐ฝ ๐ ๐ FISICA 2 (5 CFU) 1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014 04.02.2015 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1 Un condensatore, inizialmente scarico, è formato da un filo metallico di raggio R1 R2 teso sull’asse di un cilindro conduttore cavo di raggio interno R2 (vedi figura). Il cilindro, lungo d, è riempito di un gas con rigidità dielettrica (ossia il massimo campo elettrico applicabile in assenza di fenomeni di scarica) pari a EM. Considerando trascurabili gli effetti di bordo, determinare 1) il lavoro W compiuto per portare le armature del condensatore ad una differenza di potenziale pari a ๏V=1000 V e 2) la differenza di potenziale ๏VM che si può applicare tra i due elettrodi senza avere scariche nel gas. Effettuare i calcoli per R1 = 100 μm , R2=11.0 mm , d=10 cm , EM=2.2 MV/m. d Calcoliamo dapprima il lavoro W: 2๐๐0 ๐ 1 ๐ถ= = 1.18 ๐๐น → ๐ = ๐ถ๐ 2 = 0.59 ๐๐ ๐ 2 ๐๐ ๐ 2 1 Il massimo campo elettrico applicabile all’interno del condensatore senza causare scariche elettriche vale: ๐ธ(๐ 1 ) = ๏ฌ๐ 2๐๐0 ๐ 1 = ๐ธ๐ che si ottiene per una densità di carica lineare massima del filo sull’asse pari a: ๏ฌ๐ = 2๐๐0 ๐ 1 ๐ธ๐ Per cui, la ddp sarà in modulo: ๐ 2 ๏ฌ ๐ 2 โ๐ = ∫ ๐ธ๐๐ = ∫ ๐ 1 ๐ 1 2๐๐0 ๐ ๐๐ = ๏ฌ 2๐๐0 ๐๐ ๐ 2 ๐ 1 → โ๐๐ = ๏ฌ๐ 2๐๐0 ๐๐ ๐ 2 ๐ 2 = ๐ธ๐ ๐ 1 ๐๐ = 1034 V ๐ 1 ๐ 1 Esercizio n. 2 Una spira quadrata di lato L e resistenza totale R , viene inserita mantenendola a velocità costante v in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme B diretto ortogonalmente al piano della spira. Determinare la corrente che circola nella spira durante l’inserimento e il lavoro totale necessario per inserirla completamente. Effettuare i calcoli per L=30 cm , R=3 Ω , v=10 m/s e B=0.5 T . B=0 Ponendo il tempo t0 = 0 quando la spira comincia ad entrare nella regione in cui è presente il campo magnetico, si ha: B ๏ ( B ) ๏ฝ BLvt La f.e.m. indotta nella spira è quindi: f ๏ฝ๏ญ v L d๏ ( B ) ๏ฝ ๏ญ BLv dt L Nella spira circola quindi una corrente i ๏ฝ BLv ๏ฝ 0.5 A in senso orario (solo quando la spira si trova a cavallo tra R le due regioni di spazio). La forza magnetica che agisce sul tratto verticale di spira all’interno delle regione con campo magnetico è: F๏ฝ B 2 L2 v R Per cui il lavoro necessario a inserire la spira mantenendola a velocità costante è: w ๏ฝ FL ๏ฝ B 2 L3v ๏ฝ 22.5 mJ R FISICA 1 (5 CFU) 1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014 04.02.2015 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1 Una barra omogenea di massa m e lunghezza L è vincolata ad un suo estremo nel punto O, intorno ad un asse passante per il quale essa può ruotare su un piano verticale (x,z), in presenza di forza peso. Essa è inoltre poggiata su due molle 1 e 2 , rimanendo in posizione di equilibrio statico orizzontale (vedi figura). Sapendo che le molle hanno lunghezza a riposo L01 ed L02 e che la molla 1 ha costante elastica K1 , si determini 1) il valore di K2 e 2) modulo, direzione ed verso della reazione vincolare RN in O . Si effettuino i calcoli per m=1 kg, L02=L=1 m , L01=0 m e K1=2 Nm-1 . La condizione di equilibrio statico si impone annullando la risultante dei momenti delle forze, calcolati rispetto al polo O. Scegliendo il verso entrante nel foglio come positivo per i momenti, si ha: ๐ฟ ๐ฟ 2 ๐ฟ ๐ = ๐๐ ( ) + ๐พ1 ( ) − ๐พ2 ๐ฟ ( ) = 0 2 2 2 dalla quale si ricava: ๐๐ ๐พ1 ๐พ2 = + = 10.8 ๐๐−1 ๐ฟ 2 La reazione vincolare avrà modulo: ๐ฟ ๐ฟ ๐ฟ ๐ ๐ = ๐๐ + ๐พ1 ( ) − ๐พ2 ( ) = ๐๐ + (๐พ1 − ๐พ2 ) = 5.4 ๐ 2 2 2 e sarà diretta nel verso delle y crescenti. Esercizio n. 2 Una mole di gas perfetto monoatomico, a pressione iniziale p0 , è contenuta in un recipiente diatermico in contatto con l’ambiente esterno a temperatura Ta e pressione pa . Il recipiente è munito di un pistone mobile e di una valvola a pressione, che si apre quando la pressione interna è pari a p* (>pa). All’istante iniziale, il volume occupato dal gas vale V0 ed il pistone inizia a salire molto lentamente. Calcolare il calore scambiato dal gas con l’ambiente dall’istante iniziale a quello in cui si apre la valvola. Si effettuino i calcoli per p0=105 Pa , p*=5x105 Pa e Ta=300 K Essendo il contenitore diatermico, la prima trasformazione effettuata dal gas è una compressione isoterma reversibile. Di conseguenza, il calore Q scambiato dal gas con l’ambiente fino all’apertura della valvola è: ๐∗ ๐ = ๐ = ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐0 D’altra parte, dall’equazione dell’isoterma reversibile: ๐ ∗ ๐0 ๐๐ = ๐๐๐ ๐ก → ๐0 ๐0 = ๐∗ ๐ ∗ → = ๐0 ๐∗ Si ottiene quindi: ๐0 ๐ = ๐ ๐๐๐ ๐๐ ∗ = −4.0 ๐๐ฝ ๐ FISICA GENERALE VP (10 cfu) 1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014 04.02.2015 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1 Una barra omogenea di massa m e lunghezza L è vincolata ad un suo estremo nel punto O, intorno ad un asse passante per il quale essa può ruotare su un piano verticale (x,z), in presenza di forza peso. Essa è inoltre poggiata su due molle 1 e 2 , rimanendo in posizione di equilibrio statico orizzontale (vedi figura). Sapendo che le molle hanno lunghezza a riposo L01 ed L02 e che la molla 1 ha costante elastica K1 , si determini 1) il valore di K2 e 2) modulo, direzione ed verso della reazione vincolare RN in O . Si effettuino i calcoli per m=1 kg, L02=L=1 m , L01=0 m e K1=2 Nm-1 . La condizione di equilibrio statico si impone annullando la risultante dei momenti delle forze, calcolati rispetto al polo O. Scegliendo il verso entrante nel foglio come positivo per i momenti, si ha: ๐ฟ ๐ฟ 2 ๐ฟ ๐ = ๐๐ ( ) + ๐พ1 ( ) − ๐พ2 ๐ฟ ( ) = 0 2 2 2 dalla quale si ricava: ๐๐ ๐พ1 ๐พ2 = + = 10.8 ๐๐−1 ๐ฟ 2 La reazione vincolare avrà modulo: ๐ฟ ๐ฟ ๐ฟ ๐ ๐ = ๐๐ + ๐พ1 ( ) − ๐พ2 ( ) = ๐๐ + (๐พ1 − ๐พ2 ) = 5.4 ๐ 2 2 2 e sarà diretta nel verso delle y crescenti. Esercizio n. 2 Una mole di gas perfetto monoatomico, a pressione iniziale p0 , è contenuta in un recipiente diatermico in contatto con l’ambiente esterno a temperatura Ta e pressione pa . Il recipiente è munito di un pistone mobile e di una valvola a pressione, che si apre quando la pressione interna è pari a p* (>pa). All’istante iniziale, il volume occupato dal gas vale V0 ed il pistone inizia a salire molto lentamente. Calcolare il calore scambiato dal gas con l’ambiente dall’istante iniziale a quello in cui si apre la valvola. Si effettuino i calcoli per p0=105 Pa , p*=5x105 Pa e Ta=300 K Essendo il contenitore diatermico, la prima trasformazione effettuata dal gas è una compressione isoterma reversibile. Di conseguenza, il calore Q scambiato dal gas con l’ambiente fino all’apertura della valvola è: ๐∗ ๐ = ๐ = ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐0 D’altra parte, dall’equazione dell’isoterma reversibile: ๐ ∗ ๐0 ๐๐ = ๐๐๐ ๐ก → ๐0 ๐0 = ๐∗ ๐ ∗ → = ๐0 ๐∗ Si ottiene quindi: ๐0 ๐ = ๐ ๐๐๐ ๐๐ ∗ = −4.0 ๐๐ฝ ๐ Esercizio n. 1 Un condensatore, inizialmente scarico, è formato da un filo metallico di raggio R1 teso sull’asse di un cilindro conduttore cavo di raggio interno R2 (vedi figura). Il cilindro, lungo d, è riempito di un gas con rigidità dielettrica (ossia il massimo campo elettrico applicabile in assenza di fenomeni di scarica) pari a EM. Considerando trascurabili gli effetti di bordo, determinare 1) il lavoro W compiuto per portare le armature del condensatore ad una differenza di potenziale pari a ๏V=1000 V e 2) la differenza di potenziale ๏VM che si può applicare tra i due elettrodi senza avere scariche nel gas. Effettuare i calcoli per R1 = 100 μm , R2=11.0 mm , d=10 cm , EM=2.2 MV/m. R2 d Calcoliamo dapprima il lavoro W: 2๐๐0 ๐ 1 ๐ถ= = 1.18 ๐๐น → ๐ = ๐ถ๐ 2 = 0.59 ๐๐ ๐ 2 ๐๐ 2 ๐ 1 Il massimo campo elettrico applicabile all’interno del condensatore senza causare scariche elettriche vale: ๐ธ(๐ 1 ) = ๏ฌ๐ 2๐๐0 ๐ 1 = ๐ธ๐ che si ottiene per una densità di carica lineare massima del filo sull’asse pari a: ๏ฌ๐ = 2๐๐0 ๐ 1 ๐ธ๐ Per cui, la ddp sarà in modulo: ๐ 2 ๏ฌ ๐ 2 โ๐ = ∫ ๐ธ๐๐ = ∫ ๐ 1 ๐ 1 2๐๐0 ๐ ๐๐ = ๏ฌ 2๐๐0 ๐๐ ๐ 2 ๐ 1 → โ๐๐ = ๏ฌ๐ 2๐๐0 ๐๐ ๐ 2 ๐ 2 = ๐ธ๐ ๐ 1 ๐๐ = 1034 V ๐ 1 ๐ 1 Esercizio n. 2 Una spira quadrata di lato L e resistenza totale R , viene inserita mantenendola a velocità costante v in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme B diretto ortogonalmente al piano della spira. Determinare la corrente che circola nella spira durante l’inserimento e il lavoro totale necessario per inserirla completamente. Effettuare i calcoli per L=30 cm , R=3 Ω , v=10 m/s e B=0.5 T . B=0 Ponendo il tempo t0 = 0 quando la spira comincia ad entrare nella regione in cui è presente il campo magnetico, si ha: B ๏ ( B ) ๏ฝ BLvt La f.e.m. indotta nella spira è quindi: f ๏ฝ๏ญ v L d๏ ( B ) ๏ฝ ๏ญ BLv dt L Nella spira circola quindi una corrente i ๏ฝ BLv ๏ฝ 0.5 A in senso orario (solo quando la spira si trova a cavallo tra R le due regioni di spazio). La forza magnetica che agisce sul tratto verticale di spira all’interno delle regione con campo magnetico è: F๏ฝ B 2 L2 v R Per cui il lavoro necessario a inserire la spira mantenendola a velocità costante è: w ๏ฝ FL ๏ฝ B 2 L3v ๏ฝ 22.5 mJ R