Soluzioni I appello febbraio 2015

FISICA GENERALE I
1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014
04.02.2015
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
9 crediti
10 crediti
12 crediti
Esercizio n. 1 Una massa puntiforme compie un moto le cui leggi orarie sono rappresentate dalle equazioni:
๐‘ง(๐‘ก) = ๐‘ง0 − ๐‘Ž๐‘ก 2 , ๐‘ฅ(๐‘ก) = ๐‘๐‘ก ๐‘ ๐‘–๐‘›(๐œ”๐‘ก) , ๐‘ฆ(๐‘ก) = ๐‘๐‘ก ๐‘๐‘œ๐‘ (๐œ”๐‘ก) . Calcolare l’istante t* in cui la massa tocca terra (z=0) ed il
modulo del vettore velocità nello stesso istante. Infine, si disegni la traiettoria seguita dalla massa puntiforme. Si
effettuino i calcoli per a= 1 ms-2 , b=1 ms-1 , z0=1 m ed ๏ท=1 s-1 .
Calcoliamo dapprima il tempo t* :
๐‘ง(๐‘ก ∗ ) = ๐‘ง0 − ๐‘Ž๐‘ก ∗ 2 = 0
→
๐‘ก∗ = √
๐‘ง0
=1๐‘ 
๐‘Ž
Le componenti del vettore velocità si ricavano derivando le leggi orarie e sono:
๐‘ฃ๐‘ฅ (๐‘ก) = ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐œ”๐‘ก) + ๐‘๐‘ก๐œ” cos(๐œ”๐‘ก)
{๐‘ฃ๐‘ฆ (๐‘ก) = ๐‘ ๐‘๐‘œ๐‘ (๐œ”๐‘ก) − ๐‘๐‘ก๐œ” ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐œ”๐‘ก)
๐‘ฃ๐‘ง (๐‘ก) = −2๐‘Ž๐‘ก
Di conseguenza, il modulo di v al tempo t* sarà:
๐‘ง0
๐‘ฃ = √๐‘ 2 + ๐‘ 2 ๐œ” 2 + 4๐‘Ž๐‘ง0 = 2.4 ๐‘š๐‘  −1
๐‘Ž
Infine, la traiettoria sarà una spirale conica.
Esercizio n. 2 Una barra omogenea di massa m e lunghezza L è vincolata ad un suo
estremo nel punto O, intorno ad un asse passante per il quale essa può ruotare su un
piano verticale (x,z), in presenza di forza peso. Essa è inoltre poggiata su due molle 1 e 2
, rimanendo in posizione di equilibrio statico orizzontale (vedi figura). Sapendo che le
molle hanno lunghezza a riposo L01 ed L02 e che la molla 1 ha costante elastica K1 , si
determini 1) il valore di K2 e 2) modulo, direzione ed verso della reazione vincolare RN in O
. Si effettuino i calcoli per m=1 kg, L02=L=1 m , L01=0 m e K1=2 Nm-1 .
La condizione di equilibrio statico si impone annullando la risultante dei momenti delle forze, calcolati rispetto al
polo O. Scegliendo il verso entrante nel foglio come positivo per i momenti, si ha:
๐ฟ
๐ฟ 2
๐ฟ
๐‘€ = ๐‘š๐‘” ( ) + ๐พ1 ( ) − ๐พ2 ๐ฟ ( ) = 0
2
2
2
dalla quale si ricava:
๐‘š๐‘” ๐พ1
๐พ2 =
+
= 10.8 ๐‘๐‘š−1
๐ฟ
2
La reazione vincolare avrà modulo:
๐ฟ
๐ฟ
๐ฟ
๐‘…๐‘ = ๐‘š๐‘” + ๐พ1 ( ) − ๐พ2 ( ) = ๐‘š๐‘” + (๐พ1 − ๐พ2 ) = 5.4 ๐‘
2
2
2
e sarà diretta nel verso delle y crescenti.
Esercizio n. 3 Una sorgente E di onde acustiche di frequenza ๏ฎ1 , inizialmente in quiete
nella stessa posizione occupata dal ricevitore R , inizia a muoversi di moto uniformemente
accelerato con accelerazione a. Determinare la distanza alla quale E si troverà da R
nell’istante t* in cui quest’ultimo percepirà la frequenza ๏ฎ2 . Effettuare i calcoli per
a=34 ms-2, ๏ฎ1=1000 Hz , ๏ฎ2=800 Hz e Vs=340 ms-1 .
A causa della velocità finita di propagazione del suono, per calcolare il tempo t*, bisogna sommare l’istante t1 in
cui E emetterà l’onda cha sarà ricevuta da R a frequenza ๏ฎ2 , al ritardo t2 con cui R la riceverà. Dalle formule
associate all’effetto Doppler, si ha:
๐‘‰๐‘ 
๐‘‰๐‘ 
๐‘‰๐‘  ๐œˆ1
๐œˆ2 =
๐œˆ1 =
๐œˆ1 → ๐‘ก1 = ( − 1) = 2.5 ๐‘ 
๐‘‰๐‘  + ๐‘‰๐ธ (๐‘ก1 )
๐‘‰๐‘  + ๐‘Ž๐‘ก1
๐‘Ž ๐œˆ2
Nell’istante t1 , la distanza tra E ed R sarà:
1
๐‘ฅ(๐‘ก1 ) = ๐‘Ž๐‘ก1 2 = 106.2 ๐‘š
2
Il tempo t2 , impiegato dall’onda di frequenza ๏ฎ2 per raggiungere R , sarà allora:
๐‘ฅ(๐‘ก1 )
๐‘ก2 =
= 0.3 ๐‘ 
๐‘‰๐‘ 
Il tempo complessivo t* è quindi pari a:
๐‘ก ∗ = (๐‘ก1 +๐‘ก2 ) = 2.8 ๐‘ 
E, di conseguenza, la distanza richiesta tra E ed R sarà:
1
๐‘ฅ(๐‘ก1 +๐‘ก2 ) = ๐‘Ž(๐‘ก1 +๐‘ก2 )2 = 133.3 ๐‘š
2
Esercizio n. 4 Una mole di gas perfetto monoatomico, a pressione iniziale p0 , è contenuta in un
recipiente diatermico in contatto con l’ambiente esterno a temperatura Ta e pressione pa . Il
recipiente è munito di un pistone mobile e di una valvola a pressione, che si apre quando la
pressione interna è pari a p* (>pa) ed è in grado di mantenere p* costante durante la fuoriuscita del
gas. All’istante iniziale, il volume occupato dal gas vale V0 ed il pistone inizia a salire molto
lentamente. Calcolare a) il calore scambiato dal gas con l’ambiente dall’istante iniziale a quello in
cui si apre la valvola e b) il lavoro complessivo necessario per svuotare completamente il
recipiente. Si effettuino i calcoli per V0=1 m3 , p0=105 Pa , p*=5x105 Pa e Ta=300 K
Essendo il contenitore diatermico, la prima trasformazione effettuata dal gas è una compressione isoterma
reversibile. Di conseguenza, il calore Q scambiato dal gas con l’ambiente fino all’apertura della valvola è:
๐‘‰∗
๐‘„ = ๐‘Š = ๐‘…๐‘›๐‘‡๐‘Ž ๐‘™๐‘›
๐‘‰0
D’altra parte, dall’equazione dell’isoterma reversibile:
๐‘‰ ∗ ๐‘0
∗ ∗
๐‘๐‘‰ = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ก → ๐‘0 ๐‘‰0 = ๐‘ ๐‘‰
→
=
๐‘‰0 ๐‘∗
Si ottiene quindi:
๐‘0
๐‘„ = ๐‘…๐‘›๐‘‡๐‘Ž ๐‘™๐‘› ∗ = −4.0 ๐‘˜๐ฝ
๐‘
Il lavoro necessario per svuotare completamente il recipiente sarà dato dalla somma di quello associato alla
compressione isoterma con quello, effettuato a pressione costante, nella fase di svuotamento del recipiente:
๐‘0
๐‘0
๐‘Š๐‘’๐‘ฅ๐‘ก = −(๐‘Š๐‘–๐‘ ๐‘œ๐‘ก๐‘’๐‘Ÿ๐‘š๐‘Ž + ๐‘Š๐‘–๐‘ ๐‘œ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘Ž ) = − (๐‘…๐‘›๐‘‡๐‘Ž ๐‘™๐‘› ∗ − ๐‘∗ ๐‘‰ ∗ ) = −๐‘…๐‘›๐‘‡๐‘Ž ๐‘™๐‘› ∗ + ๐‘…๐‘›๐‘‡๐‘Ž = 6.5 ๐‘˜๐ฝ
๐‘
๐‘
FISICA 2 (5 CFU)
1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014
04.02.2015
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Un condensatore, inizialmente scarico, è formato da un filo metallico di raggio R1
R2
teso sull’asse di un cilindro conduttore cavo di raggio interno R2 (vedi figura). Il cilindro, lungo d, è
riempito di un gas con rigidità dielettrica (ossia il massimo campo elettrico applicabile in assenza
di fenomeni di scarica) pari a EM. Considerando trascurabili gli effetti di bordo, determinare 1) il
lavoro W compiuto per portare le armature del condensatore ad una differenza di potenziale pari
a ๏„V=1000 V e 2) la differenza di potenziale ๏„VM che si può applicare tra i due elettrodi senza
avere scariche nel gas. Effettuare i calcoli per R1 = 100 μm , R2=11.0 mm , d=10 cm ,
EM=2.2 MV/m.
d
Calcoliamo dapprima il lavoro W:
2๐œ‹๐œ–0 ๐‘‘
1
๐ถ=
= 1.18 ๐‘๐น → ๐‘Š = ๐ถ๐‘‰ 2 = 0.59 ๐œ‡๐‘Š
๐‘…
2
๐‘™๐‘› ๐‘…2
1
Il massimo campo elettrico applicabile all’interno del condensatore senza causare scariche elettriche vale:
๐ธ(๐‘…1 ) =
๏ฌ๐‘€
2๐œ‹๐œ–0 ๐‘…1
= ๐ธ๐‘€
che si ottiene per una densità di carica lineare massima del filo sull’asse pari a:
๏ฌ๐‘€ = 2๐œ‹๐œ–0 ๐‘…1 ๐ธ๐‘€
Per cui, la ddp sarà in modulo:
๐‘…2
๏ฌ
๐‘…2
โˆ†๐‘‰ = ∫ ๐ธ๐‘‘๐‘Ÿ = ∫
๐‘…1
๐‘…1
2๐œ‹๐œ–0 ๐‘Ÿ
๐‘‘๐‘Ÿ =
๏ฌ
2๐œ‹๐œ–0
๐‘™๐‘›
๐‘…2
๐‘…1
→
โˆ†๐‘‰๐‘€ =
๏ฌ๐‘€
2๐œ‹๐œ–0
๐‘™๐‘›
๐‘…2
๐‘…2
= ๐ธ๐‘€ ๐‘…1 ๐‘™๐‘›
= 1034 V
๐‘…1
๐‘…1
Esercizio n. 2 Una spira quadrata di lato L e resistenza totale R , viene inserita mantenendola a velocità
costante v in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme B diretto ortogonalmente al
piano della spira. Determinare la corrente che circola nella spira durante l’inserimento e il lavoro totale
necessario per inserirla completamente. Effettuare i calcoli per L=30 cm , R=3 Ω , v=10 m/s e B=0.5 T .
B=0
Ponendo il tempo t0 = 0 quando la spira comincia ad entrare nella
regione in cui è presente il campo magnetico, si ha:
B
๏† ( B ) ๏€ฝ BLvt
La f.e.m. indotta nella spira è quindi:
f ๏€ฝ๏€ญ
v
L
d๏† ( B )
๏€ฝ ๏€ญ BLv
dt
L
Nella spira circola quindi una corrente i ๏€ฝ
BLv
๏€ฝ 0.5 A in senso orario (solo quando la spira si trova a cavallo tra
R
le due regioni di spazio).
La forza magnetica che agisce sul tratto verticale di spira all’interno delle regione con campo magnetico è:
F๏€ฝ
B 2 L2 v
R
Per cui il lavoro necessario a inserire la spira mantenendola a velocità costante è:
w ๏€ฝ FL ๏€ฝ
B 2 L3v
๏€ฝ 22.5 mJ
R
FISICA 1 (5 CFU)
1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014
04.02.2015
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Una barra omogenea di massa m e lunghezza L è vincolata ad un suo
estremo nel punto O, intorno ad un asse passante per il quale essa può ruotare su un
piano verticale (x,z), in presenza di forza peso. Essa è inoltre poggiata su due molle 1 e 2
, rimanendo in posizione di equilibrio statico orizzontale (vedi figura). Sapendo che le
molle hanno lunghezza a riposo L01 ed L02 e che la molla 1 ha costante elastica K1 , si
determini 1) il valore di K2 e 2) modulo, direzione ed verso della reazione vincolare RN in O
. Si effettuino i calcoli per m=1 kg, L02=L=1 m , L01=0 m e K1=2 Nm-1 .
La condizione di equilibrio statico si impone annullando la risultante dei momenti delle forze, calcolati rispetto al
polo O. Scegliendo il verso entrante nel foglio come positivo per i momenti, si ha:
๐ฟ
๐ฟ 2
๐ฟ
๐‘€ = ๐‘š๐‘” ( ) + ๐พ1 ( ) − ๐พ2 ๐ฟ ( ) = 0
2
2
2
dalla quale si ricava:
๐‘š๐‘” ๐พ1
๐พ2 =
+
= 10.8 ๐‘๐‘š−1
๐ฟ
2
La reazione vincolare avrà modulo:
๐ฟ
๐ฟ
๐ฟ
๐‘…๐‘ = ๐‘š๐‘” + ๐พ1 ( ) − ๐พ2 ( ) = ๐‘š๐‘” + (๐พ1 − ๐พ2 ) = 5.4 ๐‘
2
2
2
e sarà diretta nel verso delle y crescenti.
Esercizio n. 2 Una mole di gas perfetto monoatomico, a pressione iniziale p0 , è contenuta in un
recipiente diatermico in contatto con l’ambiente esterno a temperatura Ta e pressione pa . Il
recipiente è munito di un pistone mobile e di una valvola a pressione, che si apre quando la
pressione interna è pari a p* (>pa). All’istante iniziale, il volume occupato dal gas vale V0 ed il
pistone inizia a salire molto lentamente. Calcolare il calore scambiato dal gas con l’ambiente
dall’istante iniziale a quello in cui si apre la valvola. Si effettuino i calcoli per p0=105 Pa , p*=5x105
Pa e Ta=300 K
Essendo il contenitore diatermico, la prima trasformazione effettuata dal gas è una compressione isoterma
reversibile. Di conseguenza, il calore Q scambiato dal gas con l’ambiente fino all’apertura della valvola è:
๐‘‰∗
๐‘„ = ๐‘Š = ๐‘…๐‘›๐‘‡๐‘Ž ๐‘™๐‘›
๐‘‰0
D’altra parte, dall’equazione dell’isoterma reversibile:
๐‘‰ ∗ ๐‘0
๐‘๐‘‰ = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ก → ๐‘0 ๐‘‰0 = ๐‘∗ ๐‘‰ ∗ →
=
๐‘‰0 ๐‘∗
Si ottiene quindi:
๐‘0
๐‘„ = ๐‘…๐‘›๐‘‡๐‘Ž ๐‘™๐‘› ∗ = −4.0 ๐‘˜๐ฝ
๐‘
FISICA GENERALE VP (10 cfu)
1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014
04.02.2015
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Una barra omogenea di massa m e lunghezza L è vincolata ad un suo
estremo nel punto O, intorno ad un asse passante per il quale essa può ruotare su un
piano verticale (x,z), in presenza di forza peso. Essa è inoltre poggiata su due molle 1 e 2
, rimanendo in posizione di equilibrio statico orizzontale (vedi figura). Sapendo che le
molle hanno lunghezza a riposo L01 ed L02 e che la molla 1 ha costante elastica K1 , si
determini 1) il valore di K2 e 2) modulo, direzione ed verso della reazione vincolare RN in O
. Si effettuino i calcoli per m=1 kg, L02=L=1 m , L01=0 m e K1=2 Nm-1 .
La condizione di equilibrio statico si impone annullando la risultante dei momenti delle forze, calcolati rispetto al
polo O. Scegliendo il verso entrante nel foglio come positivo per i momenti, si ha:
๐ฟ
๐ฟ 2
๐ฟ
๐‘€ = ๐‘š๐‘” ( ) + ๐พ1 ( ) − ๐พ2 ๐ฟ ( ) = 0
2
2
2
dalla quale si ricava:
๐‘š๐‘” ๐พ1
๐พ2 =
+
= 10.8 ๐‘๐‘š−1
๐ฟ
2
La reazione vincolare avrà modulo:
๐ฟ
๐ฟ
๐ฟ
๐‘…๐‘ = ๐‘š๐‘” + ๐พ1 ( ) − ๐พ2 ( ) = ๐‘š๐‘” + (๐พ1 − ๐พ2 ) = 5.4 ๐‘
2
2
2
e sarà diretta nel verso delle y crescenti.
Esercizio n. 2 Una mole di gas perfetto monoatomico, a pressione iniziale p0 , è contenuta in un
recipiente diatermico in contatto con l’ambiente esterno a temperatura Ta e pressione pa . Il
recipiente è munito di un pistone mobile e di una valvola a pressione, che si apre quando la
pressione interna è pari a p* (>pa). All’istante iniziale, il volume occupato dal gas vale V0 ed il
pistone inizia a salire molto lentamente. Calcolare il calore scambiato dal gas con l’ambiente
dall’istante iniziale a quello in cui si apre la valvola. Si effettuino i calcoli per p0=105 Pa , p*=5x105
Pa e Ta=300 K
Essendo il contenitore diatermico, la prima trasformazione effettuata dal gas è una compressione isoterma
reversibile. Di conseguenza, il calore Q scambiato dal gas con l’ambiente fino all’apertura della valvola è:
๐‘‰∗
๐‘„ = ๐‘Š = ๐‘…๐‘›๐‘‡๐‘Ž ๐‘™๐‘›
๐‘‰0
D’altra parte, dall’equazione dell’isoterma reversibile:
๐‘‰ ∗ ๐‘0
๐‘๐‘‰ = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ก → ๐‘0 ๐‘‰0 = ๐‘∗ ๐‘‰ ∗ →
=
๐‘‰0 ๐‘∗
Si ottiene quindi:
๐‘0
๐‘„ = ๐‘…๐‘›๐‘‡๐‘Ž ๐‘™๐‘› ∗ = −4.0 ๐‘˜๐ฝ
๐‘
Esercizio n. 1 Un condensatore, inizialmente scarico, è formato da un filo metallico di raggio R1
teso sull’asse di un cilindro conduttore cavo di raggio interno R2 (vedi figura). Il cilindro, lungo d, è
riempito di un gas con rigidità dielettrica (ossia il massimo campo elettrico applicabile in assenza
di fenomeni di scarica) pari a EM. Considerando trascurabili gli effetti di bordo, determinare 1) il
lavoro W compiuto per portare le armature del condensatore ad una differenza di potenziale pari
a ๏„V=1000 V e 2) la differenza di potenziale ๏„VM che si può applicare tra i due elettrodi senza
avere scariche nel gas. Effettuare i calcoli per R1 = 100 μm , R2=11.0 mm , d=10 cm ,
EM=2.2 MV/m.
R2
d
Calcoliamo dapprima il lavoro W:
2๐œ‹๐œ–0 ๐‘‘
1
๐ถ=
= 1.18 ๐‘๐น → ๐‘Š = ๐ถ๐‘‰ 2 = 0.59 ๐œ‡๐‘Š
๐‘…
2
๐‘™๐‘› 2
๐‘…1
Il massimo campo elettrico applicabile all’interno del condensatore senza causare scariche elettriche vale:
๐ธ(๐‘…1 ) =
๏ฌ๐‘€
2๐œ‹๐œ–0 ๐‘…1
= ๐ธ๐‘€
che si ottiene per una densità di carica lineare massima del filo sull’asse pari a:
๏ฌ๐‘€ = 2๐œ‹๐œ–0 ๐‘…1 ๐ธ๐‘€
Per cui, la ddp sarà in modulo:
๐‘…2
๏ฌ
๐‘…2
โˆ†๐‘‰ = ∫ ๐ธ๐‘‘๐‘Ÿ = ∫
๐‘…1
๐‘…1
2๐œ‹๐œ–0 ๐‘Ÿ
๐‘‘๐‘Ÿ =
๏ฌ
2๐œ‹๐œ–0
๐‘™๐‘›
๐‘…2
๐‘…1
→
โˆ†๐‘‰๐‘€ =
๏ฌ๐‘€
2๐œ‹๐œ–0
๐‘™๐‘›
๐‘…2
๐‘…2
= ๐ธ๐‘€ ๐‘…1 ๐‘™๐‘›
= 1034 V
๐‘…1
๐‘…1
Esercizio n. 2 Una spira quadrata di lato L e resistenza totale R , viene inserita mantenendola a velocità
costante v in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme B diretto ortogonalmente al
piano della spira. Determinare la corrente che circola nella spira durante l’inserimento e il lavoro totale
necessario per inserirla completamente. Effettuare i calcoli per L=30 cm , R=3 Ω , v=10 m/s e B=0.5 T .
B=0
Ponendo il tempo t0 = 0 quando la spira comincia ad entrare nella
regione in cui è presente il campo magnetico, si ha:
B
๏† ( B ) ๏€ฝ BLvt
La f.e.m. indotta nella spira è quindi:
f ๏€ฝ๏€ญ
v
L
d๏† ( B )
๏€ฝ ๏€ญ BLv
dt
L
Nella spira circola quindi una corrente i ๏€ฝ
BLv
๏€ฝ 0.5 A in senso orario (solo quando la spira si trova a cavallo tra
R
le due regioni di spazio).
La forza magnetica che agisce sul tratto verticale di spira all’interno delle regione con campo magnetico è:
F๏€ฝ
B 2 L2 v
R
Per cui il lavoro necessario a inserire la spira mantenendola a velocità costante è:
w ๏€ฝ FL ๏€ฝ
B 2 L3v
๏€ฝ 22.5 mJ
R