Analisi Matematica 1 per Matematica
Esercizi settima settimana
Il seguente si chiama teorema di prolungamento per continuità.
Teorema 1 Siano X e Y spazi topologici, con Y metrico. Sia E un sottospazio topologico
di X e sia f : E → Y una funzione continua. Supponiamo che per ogni p ∈ E \ isol E
esista in Y :
lim f (x)
x→p
x∈E
Per ogni p ∈ E si definisca:
lim f (x)
x→p
f˜(p) =
x∈E
f (p)
se p ̸∈ isol E
se p ∈ isol E.
Allora:
• la restrizione f˜E = f .
• f˜ è continua.
Dimostrazione.
• Poiché f è continua su E, il limite di f in un punto p di E è proprio f (p).
• Siano p ∈ E e ε > 0. Per definizione di limite esiste un intorno aperto U di p in X
tale che per ogni x ∈ U ∩ E si abbia:
d(f (x), f˜(p)) ≤ ε
(1)
Si osservi che se p ∈ E la (1) sussiste anche in p. Rimane da dimostrare che la (1)
sussiste anche in U ∩ (E \ E).
Sia q ∈ U ∩(E \E). In tal caso q è di accumulazione per E e, poiché U è aperto, si ha
che q è limite di una successione in U ∩ E. I punti di questa successione soddisfano la
disuguaglianza (1) e, poiché il passaggio al limite conserva le disuguaglianze larghe,
si ottiene d(f˜(q), f˜(p)) ≤ ε.
Proposizione 2 Siano X e Y spazi topologici con Y di Hausdorff. Sia f : X → Y una
funzione continua. Allora G = G(f ) = {(x, y) : y = f (x)} è un sottoinsieme chiuso di
X ×Y.
Dimostrazione. Sia (a, b) ̸∈ G. Dobbiamo trovare un intorno aperto U di a e un intorno
aperto V di b tali che U × V è disgiunto da G. Siccome b ̸= f (a), esistono un intorno
aperto V di b e un intorno aperto W di f (a) tali che V ∩ W = ∅. Siccome f è continua
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l’insieme U = f ← (W ) è un intorno aperto di a. È facile dimostrare che U × V è disgiunto
da G.
Osservazione. La funzione f : R → R definita da f (x) = x1 per x ̸= 0 e f (0) = 0 ha grafico
chiuso ma non è continua.
Teniamo presente il seguente fatto, che dimostreremo nel secondo trimestre.
Se una funzione f : X → Y fra spazi di Hausdorff ha codominio compatto e
grafico chiuso in X × Y allora f è continua.
Esercizio 1.
• Dare un esempio di uno spazio compatto con esattamente due punti di accumulazione.
• Dimostrare che ogni spazio discreto è localmente compatto.
• Dare un esempio di uno spazio connesso E per cui esistono due punti distinti a e b
tali che E \ {a, b} è connesso. Lo stesso con tre punti distinti.
Esercizio 2. Ricordiamo che se p, q sono due punti del piano R2 il segmento di estremi
p e q è cosı̀ definito:
[p, q] = {tq + (1 − t)p : t ∈ [0, 1]} = {p + t(q − p) : t ∈ [0, 1]}
Un sottoinsieme E ⊆ R2 si dice convesso se per ogni p, q ∈ E si ha [p, q] ⊆ E.
• Dare un esempio di un sottoinsieme convesso non banale e con interno vuoto.
• Dimostrare che le palle nelle tre metriche famose d1 , d2 e d∞ sono convesse.
• Dimostrare che l’intersezione di due convessi è un convesso.
Cosa si può dire per l’intersezione infinita?
Cosa si può dire per l’unione?
◦
• Dimostrare che se E è convesso allora E e E sono convessi.
• Sia E un aperto non vuoto, limitato e convesso.
Dimostrare che fr E non può essere convesso. (Dimostrare prima che ogni semiretta
che parte da un punto di E passa per la frontiera di E.)
• È vero che un aperto non vuoto e convesso può avere frontiera convessa?
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Esercizio 3. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di uno spazio metrico X e sia
x ∈ X. Ricordiamo che la funzione y → d(y, A) è lipschitziana e quindi continua. Si
definisca:
d(A, B) = inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} = inf{d(b, A) : b ∈ B}
• Supponiamo X = R2 . Dimostrare che se A è chiuso allora esiste p ∈ A tale che
d(x, A) = d(x, p). Tuttavia questo non è vero in qualsiasi spazio metrico (prendere
un sottospazio di R con la topologia relativa).
• Se A e B sono chiusi e d(A, B) = 0, è necessariamente vero che A ∩ B ̸= ∅?
• Dimostrare che se B è compatto allora esiste q ∈ B tale che d(x, B) = d(x, q).
• Supponiamo che X = R2 . Dimostrare che se A è chiuso e B è compatto allora esistono p ∈ A e q ∈ B tali che d(A, B) = d(p, q). Osservare che in tal caso d(A, B) = 0
implica A ∩ B ̸= ∅.
Esercizio 4.
• Costruire un insieme limitato di numeri reali con esattamente tre punti di accumulazione.
• Costruire un insieme compatto di numeri reali il cui derivato sia numerabile.
• Dimostrare che il derivato di un sottoinsieme di uno spazio di Hausdorff è un
sottoinsieme chiuso.
Esercizio 5. Dimostrare che un polinomio di grado dispari a coefficienti reali ammette
sempre uno zero reale.
Esercizio 6. Trovare un ricoprimento aperto di ]0, 1[ che non ammette sottoricoprimenti
finiti.
Esercizio 7. Dimostrare che un aperto di R è unione finita o numerabile di intervalli
aperti disgiunti.
Esercizio 8. Siano ]a, b[ un intervallo aperto e limitato della retta reale e f : ]a, b[→ R
una funzione continua. Sappiamo che G = G(f ), il grafico di f , è un sottoinsieme chiuso
di ]a, b[×R ma non è in generale un sottoinsieme chiuso di R × R.
• Dimostrare che G è connesso.
• Dimostrare che se limx→a+ f (x) = limx→b− f (x) = +∞ allora G è chiuso in R × R.
Dimostrare inoltre che in tal caso f ammette minimo assoluto.
• Dimostrare che se f è limitata allora G non può essere chiuso in R × R.
In tal caso dimostrare che closR×R G coincide con il grafico di una funzione se e solo
se f si estende per continuità agli estremi, cioè ammette limite agli estremi.
• Dare un esempio in cui closR×R G contenga una retta verticale.
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Esercizio 9. Ogni numero razionale non nullo x può essere scritto nella forma x =
dove n > 0 e m, n sono interi primi fra loro. Quando x = 0 scriviamo x = 01 .
Consideriamo la seguente funzione definita su R:
{
0 se x è irrazionale
f (x) = 1
se x = m
n
n.
m
n,
Dimostrare che f è continua su ogni irrazionale e su nessun razionale.
Esercizio 10. Sia f : R2 → R cosı̀ definita:
f (0, 0) = 0,
f (x, y) =
xy 2
x2 + y 4
Dimostrare che f è limitata, che f non è continua in (0, 0) e che la restrizione di f a ogni
linea retta è una funzione continua.
Esercizio 11. Dimostrare che se f : R → R è continua e periodica, allora f ammette
massimo e minimo assoluto.
Esercizio 12. Dimostrare che R̃ è compatto.
Esercizio 13. Sia f : R → R una funzione continua.
• Dimostrare che se limx→+∞ f (x) = limx→−∞ f (x) = +∞ allora f ammette minimo
assoluto.
• Si assuma che limx→+∞ f (x) = limx→−∞ f (x) = c ∈ R.
Dimostrare che f è limitata.
Dimostrare che f ammette un estremo assoluto.
Dimostrare che f ammette sia massimo sia minimo assoluto se e solo se c ∈ f (R).
Dare un esempio in cui f non ammette minimo assoluto.
