I limiti delle funzioni reali di una variabile reale August 15, 2012 1 Intervalli in R Definizione. 1.1 Siano a, b e c numeri reali. Diciamo che c strettamente compreso tra a e b se a < c < b oppure b < c < a Definizione 1.2 Siano a eb due numeri reali. Chiamiamo intervallo aperto di estremi a e b l’insieme dei numeri reali strettamente compresi tra a e b. Se a ¡ b indichiamo questo insieme con (a, b). Per esempio, se i due numeri sono 1 e 3 l’intervallo aperto di estremi 1 e 3 sar indicato con (1,3). E’ chiaro che 2 strettamente compreso tra 1 e 3, quindi 2 appartiene all’intervallo (1,3). Scriviamo allora 2 ∈ (1, 3). E’ chiaro inoltre che 4 non sta nell’intervallo (1,3). Scriviamo allora 4 ∈ / (1, 3). Definizione.1.3 Siano a, b e c numeri reali, diremo che c compreso tra a e b se a ≤ c ≤ b oppure b ≤ c ≤ a Ad esempio, 3 compreso tra 1 e 3. Definizione 1.4 Siano a e b due numeri reali distinti. Chiamiamo intervallo chiuso di estremi a e b l’insieme dei numeri reali compresi tra a e b. Se a < b, indichiamo questo insieme con [a, b]. In maniera intuitiva si definiscono gli intervalli [a, b) e (a, b] che si definiscono aperti a destra e aperti a sinistra rispettivamente. Definizione 1.5 Sia a un numero reale. Chiamiamo semiretta destra (aperta) chiusa di origine a l’insieme di tutti i numeri (strettamente) maggiori di a. Indichiamo questo insieme con (a, +∞) (([a, +∞[). Definizione 1.6 Sia a un numero reale. Chiamiamo semiretta sinistra (aperta) chiusa di origine a l’insieme di tutti i numeri (strettamente) maggiori di a. Indichiamo questo insieme con (+∞, a] ((+∞, a]). Il concetto di limite poggia sul concetto di continuit 1 2 Le funzioni continue Nella teoria classica, alla base del concetto di limite c’ il concetto di funzione continua. Nei manuali scolastici, questi due concetti sono equivalenti. Teorema 2.1 . Sia f una funzione definita in [a,b] e sia x0 ∈ (a, b) Allora lim f (x) = f (x0 ) x→x0 se e solo sef é continua in x0 . La nostra idea di rendere primitivo il concetto di funzione continua e su di esso fondare il calcolo dei limiti. Una funzione continua se piccole variazioni della variabile y sono associate a piccole variazioni della variabile x . E cosi’ Definizione 2.1 Sia una funzione f definita nell’intervallo [a, b] e sia x0 ∈ (a, b). Diciamo che f é continua in x0 se |x − x0 | piccolo ⇒ |f (x) − f (x0 )| piccolo In altri termini, in una funzione continua in un punto x0 , tanto piú la x si avvicina a x0 , tanto piú la y si avvicina a f (x0 ). Nella figura é disegnata una funzione definita in [a, b] continua nel punto x0 . Al contrario, la seguente funzione -che descrive il comportamento di un diodo Zener, ha un punto di discontinuit nel punto VZ 2 Nei punti in cui una funzione continua, possiamo introdurre il concetto di limite. Definizione 2.2 Sia f una funzione definita su [a, b] x0 ∈ (a, b) e sia f continua in x0 Allora, poniamo lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Esempio 2.1 Sia f (x) = x + 1 e x0 = 0 . Allora f (x) continua in 0 e quindi lim x + 1 = 0 + 1 = 1 x→0 Definizione 2.3 Una funzione é continua su un sottoinsieme X di R se é continua in ogni punto di X. E’ facile osservare che le funzioni di primo secondo e terzo grado sono continue perché rappresentate da rette, parabole e cubiche. Pi in generale tutte le funzioni polinomiali sono continue, cosı́ come lo sono le funzioni logaritmiche, trigonometriche ed esponenziali. La composizione di due funzioni continue ancora una funzione continua Esercizio 1.1 Calcolate i seguenti limiti lim −3x x→x lim (x2 − 3x) x→0 lim (x2 − 3x + 1 x→0 3 I punti di discontinuitá e la loro classificazione Abbiamo visto che le funzioni non sempre sono continue. Esistono dei punti in cui si comportano in maniera brusca e adesso li classifichiamo estendendo la definizione di limite. 3 Discontinuit di prima specie -scaliniDscontinuit di seconda specie -asintoti verticaliDiscontinuit di terza specie -eliminabili- 3.1 Discontinuitá di prima specie Definizione 3.1 Sia f una funzione reale definita in [a, b] − x0 e sia x0 ∈ (a, b). x0 é un punto di discontinuitá di prima specie se ci sono due numeri reali distinti l1 e l2 tali che x0 − x > 0 piccolo ⇒ |l1 − f (x)| piccolo x − x0 > 0 piccolo ⇒ |l2 − f (x)| piccolo in questo caso poniamo lim f (x) = l1 x→x− 0 lim f (x) = l2 x→x+ 0 Esempio 3.1 Sia la funzione f (x) = 1 se x < 0 x + 1 se x ≥ 0 in questo caso 0 un punto di discontinuit di prima specie per f (x). 4 5 3.2 Discontinuitá di seconda specie Esempio 3.1 La funzione 1 x ha una discontinuitá di seconda specie nell’origine degli assi perch al tendere di x a 0 il valore assoluto di f (x) diventa sempre piú grande. Definizione 3.2 Sia f una funzione definita in [a, b] e sia x0 ∈ (a, b). Se al tendere di x a x0 la funzione -e non solo il suo valore assoluto -diventa sempre pi grande scriviamo f (x) = lim f (x) = +∞ x→x0 e se al tendere di x a x0 la funzione −f (x) diventa sempre pi grande, scriviamo lim f (x) = +∞ x→x0 Esempio 3.2 1 x2 La funzione tende ad infinito per x che tende a 0. Allora f (x) = lim x→0 1 = +∞ x2 6 Pu succedere che se x si avvicina da sinistra a x0 (x < x0) allora f (x) diventa sempre pi grande . Scriviamo allora lim f (x) = +∞ x→x− 0 e se x si avvicina da destra a x0 (x > x0) allora f (x) diventa sempre pi grande. Scriviamo allora lim f (x) = +∞ x→x+ 0 Analogamente, se x si avvicina da sinistra a x0 (x ¡ x0) allora -f(x) diventa sempre pi grande . Scriviamo allora lim f (x) = −∞ x→x− 0 e se x si avvicina da destra a x0 (x ¿ x0) allora -f(x) diventa sempre pi grande. Scriviamo allora lim f (x) = −∞ x→x− 0 Esempio 3.3 La funzione f (x) = 1 x é tale che lim f (x) = −∞ x→0− lim f (x) = +∞ x→0+ 3.3 disconuitá di terza specie Le disconuititá di terza specie sono dette anche discontinuitá eliminabili. Definizione 3.3 Sia una funzione f definita in [a, b] − x0 . Il punto x0 un punto di discontinuitá di terza specie per f se esiste un numero l tale che, |x − x0 | piccolo ⇒ |f (x) − l| piccolo In tal caso , per definizione lim f (x) = l x→x0 e si pone f (x0 ) = l si dice che f si prolunga ad x0 per continuitá. Esempio 3.4 sia la funzione (x2 − 4 x−2 in questo caso la funzione non é definita per x = 2, dove assume forma indeterminata di tipo 00 . Ma siccome é f (x) = x2 − 4 =x+2 x−2 7 x2 − 4 =4 x→2 x − 2 e quindi la funzione ha in 2 un punto di discontinuitá di terza specie. Possiamo pertanto scrivere lim f (2) = 4 3.4 Regole per il calcolo dei limiti Dopo aver definito i limiti, diamo le regole per trasformare queste definizioni in una sistema di calcolo Definizione 4.1 . Sianof e g due funzioni definite in [a, b] e sia x0 ∈ (a.b) tale che lim f (x) = l1 e lim g(x) = l2 x→x0 x→x0 allora lim f (x) + g(x) = l1 + l2 e x→x0 lim f (x)g(x) = l1 l2 x→x0 Definizione 4.2 . Sianof e g due funzioni definite in [a, b] e sia x0 ∈ (a.b) tale che lim f (x) = l1 e lim g(x) = l2 6= 0 x→x0 x→x0 allora lim x→x0 l1 f (x) = g(x) l2 Definizione 4.3 Sia f una funzione definita in [a, b] e sia x0 ∈ (a.b) tale che lim f (x) = l x→x0 allora n lim f (x) = x→x0 n lim f (x) = ln x→x0 Lo stesso vale per le funzioni esponenziali e le funzioni trigonometriche. 4 Una serie di esercizi risolti 1. Utilizzando la definizione di limite, calcolatei lim x2 x→0 In questo caso la funzione é continua perché f (x) = x2 é un polinomio. Quindi lim f (x) = f (x0 ) x→x0 e allora 8 lim x2 = 02 = 0 x→0 2. Calcoliamo lim (x2 − 3) x→3 Anche in questo caso la funzione é polinomiale e allora é continua. Quindi lim (x2 − 3) = 32 − 3 = 9 − 3 = 6 x→3 3. Calcoliamo lim x→−2 x+4 x Il dominio della funzione é R−{0} pertanto la funzione é continua in x = −2 e allora lim x→−2 x+4 −2 + 4 = = −1 x −2 4. Calcoliamo x2 + 1 x→1 x2 Il dominio di questa funzione é R − {0}, pertanto é continua in x = 1 e allora lim 12 + 1 x2 + 1 = =3 x→1 x2 12 lim 5. Calcoliamo √ lim x→8 x+1 Il dominio di questa funzione si ottiene imponendo che il radicando sia maggiore di 0. x + 1 > 0 per x > −1 . Quindi in x = 8 la funzione é√continua perché composta di due funzioni continue in x = 8, che sono x + 8 e x. In questo caso possiamo applicare una delle proprietá dei limiti. In particolare q p lim f (x) = lim f (x) x→x0 x→x0 e quindi lim x→8 √ x+1= q lim (x + 1) = x→8 √ 8+1=3 6. Calcoliamo lim (2x − 1) x→2+ In questo caso la funzione é continua e quindi il limite destro coincide con il limite sinistro e tutti e due coincidono con il limite della funzione. lim (2x − 1) = lim (2x − 1) = lim (2x − 1) = 3 x→2+ x→2− 7. Calcoliamo lim x→4 x→2 1 (x − 4)2 9 il dominio della funzione é R − {4} quindi la funzione non é continua in 4. Osserviamo che 1 = +∞ lim x→4 x − 4 1 perché se la differenza tra un numero a e 4 é piccola, tanto piú a−4 é grande. Inoltre, il limite di un quadrato é il quadrato di un limite. Quindi 1 2 1 = lim = +∞ 2 x→4 x − 4 x→4 (x − 4) lim 8. Calcoliamo 1 lim √ x x→0 La funzione non é continua in 0, ma osserviamo che lim x→0 1 = +∞ x . Inoltre r 1 √ = x 1 x e quindi 1 lim √ = lim x→0 x x→0 r 1 = x r lim x→0 9. Calcoliamo lim x→+∞ 1 √ = +∞ = +∞ x 4x − 1 2x + 1 Si ha che lim (4x − 1) = +∞ x→+∞ e che lim (2x + 1) = ∞ x→+∞ ∞ da cui si ricava che il limite é una forma indeterminata del tipo ∞ . per risolvere questa forma indeterminata, dividiamo il numeratore e il denominatore per x e otteniamo. 4x − 1 = lim x→+∞ 2x + 1 x→+∞ lim sicome 1 x 4x−1 x 2x+1 x = tende a zero al tendere di x ad infinito lim x→+∞ 10. Calcoliamo 4x − 1 4 = =2 2x + 1 2 x2 − 3x + 2 x→2 x−2 lim 10 4− 2+ 1 x 1 x Siccome lim x2 − 3x + 2 = 4 − 6 + 2 = 0 x→2 e lim x − 2 = 2 − 2 = 0 x→2 ci troviamo di fronte a una forma indeterminata del tipo 00 questo punto scomponiamo il polinomio x2 − 3x + 2 in fattori, osservando che é lo sviluppo di un trinomio notevole perché -2+(-1) = -3 e (−2) · (−1) = 2. quindi x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1) e allora x2 − 3x + 2 (x − 2)(x − 1) = lim = lim (x − 1) = 1 x→2 x→2 x→2 x−2 x−2 lim 11