I limiti delle funzioni reali
di una variabile reale
August 15, 2012
1
Intervalli in R
Definizione. 1.1 Siano a, b e c numeri reali. Diciamo che c strettamente
compreso tra a e b se
a < c < b oppure b < c < a
Definizione 1.2 Siano a eb due numeri reali. Chiamiamo intervallo aperto
di estremi a e b l’insieme dei numeri reali strettamente compresi tra a e b. Se a
¡ b indichiamo questo insieme con (a, b).
Per esempio, se i due numeri sono 1 e 3 l’intervallo aperto di estremi 1 e 3
sar indicato con (1,3).
E’ chiaro che 2 strettamente compreso tra 1 e 3, quindi 2 appartiene
all’intervallo (1,3). Scriviamo allora 2 ∈ (1, 3). E’ chiaro inoltre che 4 non
sta nell’intervallo (1,3). Scriviamo allora 4 ∈
/ (1, 3).
Definizione.1.3 Siano a, b e c numeri reali, diremo che c compreso tra a e b se
a ≤ c ≤ b oppure b ≤ c ≤ a
Ad esempio, 3 compreso tra 1 e 3.
Definizione 1.4 Siano a e b due numeri reali distinti. Chiamiamo intervallo
chiuso di estremi a e b l’insieme dei numeri reali compresi tra a e b. Se a < b,
indichiamo questo insieme con [a, b].
In maniera intuitiva si definiscono gli intervalli [a, b) e (a, b] che si definiscono
aperti a destra e aperti a sinistra rispettivamente.
Definizione 1.5 Sia a un numero reale. Chiamiamo semiretta destra (aperta)
chiusa di origine a l’insieme di tutti i numeri (strettamente) maggiori di a. Indichiamo questo insieme con (a, +∞) (([a, +∞[).
Definizione 1.6 Sia a un numero reale. Chiamiamo semiretta sinistra
(aperta) chiusa di origine a l’insieme di tutti i numeri (strettamente) maggiori
di a. Indichiamo questo insieme con (+∞, a] ((+∞, a]).
Il concetto di limite poggia sul concetto di continuit
1
2
Le funzioni continue
Nella teoria classica, alla base del concetto di limite c’ il concetto di funzione
continua. Nei manuali scolastici, questi due concetti sono equivalenti.
Teorema 2.1 . Sia f una funzione definita in [a,b] e sia x0 ∈ (a, b) Allora
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
se e solo sef é continua in x0 .
La nostra idea di rendere primitivo il concetto di funzione continua e su di
esso fondare il calcolo dei limiti. Una funzione continua se piccole variazioni
della variabile y sono associate a piccole variazioni della variabile x . E cosi’
Definizione 2.1 Sia una funzione f definita nell’intervallo [a, b] e sia x0 ∈
(a, b). Diciamo che f é continua in x0 se
|x − x0 | piccolo ⇒ |f (x) − f (x0 )| piccolo
In altri termini, in una funzione continua in un punto x0 , tanto piú la x si
avvicina a x0 , tanto piú la y si avvicina a f (x0 ).
Nella figura é disegnata una funzione definita in [a, b] continua nel punto x0 .
Al contrario, la seguente funzione -che descrive il comportamento di un diodo
Zener, ha un punto di discontinuit nel punto VZ
2
Nei punti in cui una funzione continua, possiamo introdurre il concetto di
limite. Definizione 2.2 Sia f una funzione definita su [a, b] x0 ∈ (a, b) e sia f
continua in x0
Allora, poniamo
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Esempio 2.1
Sia f (x) = x + 1 e x0 = 0 . Allora f (x) continua in 0 e quindi
lim x + 1 = 0 + 1 = 1
x→0
Definizione 2.3 Una funzione é continua su un sottoinsieme X di R se é
continua in ogni punto di X.
E’ facile osservare che le funzioni di primo secondo e terzo grado sono continue perché rappresentate da rette, parabole e cubiche. Pi in generale tutte le
funzioni polinomiali sono continue, cosı́ come lo sono le funzioni logaritmiche,
trigonometriche ed esponenziali.
La composizione di due funzioni continue ancora una funzione continua
Esercizio 1.1 Calcolate i seguenti limiti
lim −3x
x→x
lim (x2 − 3x)
x→0
lim (x2 − 3x + 1
x→0
3
I punti di discontinuitá e la loro classificazione
Abbiamo visto che le funzioni non sempre sono continue. Esistono dei punti
in cui si comportano in maniera brusca e adesso li classifichiamo estendendo la
definizione di limite.
3
Discontinuit di prima specie -scaliniDscontinuit di seconda specie -asintoti verticaliDiscontinuit di terza specie -eliminabili-
3.1
Discontinuitá di prima specie
Definizione 3.1 Sia f una funzione reale definita in [a, b] − x0 e sia x0 ∈ (a, b).
x0 é un punto di discontinuitá di prima specie se ci sono due numeri reali distinti
l1 e l2 tali che
x0 − x > 0 piccolo ⇒ |l1 − f (x)| piccolo
x − x0 > 0 piccolo ⇒ |l2 − f (x)| piccolo
in questo caso poniamo
lim f (x) = l1
x→x−
0
lim f (x) = l2
x→x+
0
Esempio 3.1
Sia la funzione
f (x) =
1 se x < 0
x + 1 se x ≥ 0
in questo caso 0 un punto di discontinuit di prima specie per f (x).
4
5
3.2
Discontinuitá di seconda specie
Esempio 3.1 La funzione
1
x
ha una discontinuitá di seconda specie nell’origine degli assi perch al tendere di
x a 0 il valore assoluto di f (x) diventa sempre piú grande.
Definizione 3.2 Sia f una funzione definita in [a, b] e sia x0 ∈ (a, b). Se al
tendere di x a x0 la funzione -e non solo il suo valore assoluto -diventa sempre
pi grande scriviamo
f (x) =
lim f (x) = +∞
x→x0
e se al tendere di x a x0 la funzione −f (x) diventa sempre pi grande, scriviamo
lim f (x) = +∞
x→x0
Esempio 3.2
1
x2
La funzione tende ad infinito per x che tende a 0. Allora
f (x) =
lim
x→0
1
= +∞
x2
6
Pu succedere che se x si avvicina da sinistra a x0 (x < x0) allora f (x) diventa
sempre pi grande . Scriviamo allora
lim f (x) = +∞
x→x−
0
e se x si avvicina da destra a x0 (x > x0) allora f (x) diventa sempre pi
grande. Scriviamo allora
lim f (x) = +∞
x→x+
0
Analogamente, se x si avvicina da sinistra a x0 (x ¡ x0) allora -f(x) diventa
sempre pi grande . Scriviamo allora
lim f (x) = −∞
x→x−
0
e se x si avvicina da destra a x0 (x ¿ x0) allora -f(x) diventa sempre pi grande.
Scriviamo allora
lim f (x) = −∞
x→x−
0
Esempio 3.3
La funzione f (x) =
1
x
é tale che
lim f (x) = −∞
x→0−
lim f (x) = +∞
x→0+
3.3
disconuitá di terza specie
Le disconuititá di terza specie sono dette anche discontinuitá eliminabili.
Definizione 3.3 Sia una funzione f definita in [a, b] − x0 . Il punto x0 un punto
di discontinuitá di terza specie per f se esiste un numero l tale che,
|x − x0 | piccolo ⇒ |f (x) − l| piccolo
In tal caso , per definizione
lim f (x) = l
x→x0
e si pone
f (x0 ) = l
si dice che f si prolunga ad x0 per continuitá.
Esempio 3.4
sia la funzione
(x2 − 4
x−2
in questo caso la funzione non é definita per x = 2, dove assume forma indeterminata di tipo 00 . Ma siccome é
f (x) =
x2 − 4
=x+2
x−2
7
x2 − 4
=4
x→2 x − 2
e quindi la funzione ha in 2 un punto di discontinuitá di terza specie. Possiamo
pertanto scrivere
lim
f (2) = 4
3.4
Regole per il calcolo dei limiti
Dopo aver definito i limiti, diamo le regole per trasformare queste definizioni in
una sistema di calcolo
Definizione 4.1 . Sianof e g due funzioni definite in [a, b] e sia x0 ∈ (a.b) tale
che
lim f (x) = l1 e lim g(x) = l2
x→x0
x→x0
allora
lim f (x) + g(x) = l1 + l2 e
x→x0
lim f (x)g(x) = l1 l2
x→x0
Definizione 4.2 . Sianof e g due funzioni definite in [a, b] e sia x0 ∈ (a.b)
tale che
lim f (x) = l1 e lim g(x) = l2 6= 0
x→x0
x→x0
allora
lim
x→x0
l1
f (x)
=
g(x)
l2
Definizione 4.3 Sia f una funzione definita in [a, b] e sia x0 ∈ (a.b) tale che
lim f (x) = l
x→x0
allora
n
lim f (x) =
x→x0
n
lim f (x) = ln
x→x0
Lo stesso vale per le funzioni esponenziali e le funzioni trigonometriche.
4
Una serie di esercizi risolti
1. Utilizzando la definizione di limite, calcolatei
lim x2
x→0
In questo caso la funzione é continua perché f (x) = x2 é un polinomio.
Quindi
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
e allora
8
lim x2 = 02 = 0
x→0
2. Calcoliamo
lim (x2 − 3)
x→3
Anche in questo caso la funzione é polinomiale e allora é continua. Quindi
lim (x2 − 3) = 32 − 3 = 9 − 3 = 6
x→3
3. Calcoliamo
lim
x→−2
x+4
x
Il dominio della funzione é R−{0} pertanto la funzione é continua in x = −2
e allora
lim
x→−2
x+4
−2 + 4
=
= −1
x
−2
4. Calcoliamo
x2 + 1
x→1
x2
Il dominio di questa funzione é R − {0}, pertanto é continua in x = 1 e allora
lim
12 + 1
x2 + 1
=
=3
x→1
x2
12
lim
5. Calcoliamo
√
lim
x→8
x+1
Il dominio di questa funzione si ottiene imponendo che il radicando sia maggiore
di 0. x + 1 > 0 per x > −1 . Quindi in x = 8 la funzione é√continua perché
composta di due funzioni continue in x = 8, che sono x + 8 e x.
In questo caso possiamo applicare una delle proprietá dei limiti. In particolare
q
p
lim
f (x) =
lim f (x)
x→x0
x→x0
e quindi
lim
x→8
√
x+1=
q
lim (x + 1) =
x→8
√
8+1=3
6. Calcoliamo
lim (2x − 1)
x→2+
In questo caso la funzione é continua e quindi il limite destro coincide con il
limite sinistro e tutti e due coincidono con il limite della funzione.
lim (2x − 1) = lim (2x − 1) = lim (2x − 1) = 3
x→2+
x→2−
7. Calcoliamo
lim
x→4
x→2
1
(x − 4)2
9
il dominio della funzione é R − {4} quindi la funzione non é continua in 4.
Osserviamo che
1
= +∞
lim
x→4 x − 4
1
perché se la differenza tra un numero a e 4 é piccola, tanto piú a−4
é grande.
Inoltre, il limite di un quadrato é il quadrato di un limite. Quindi
1 2
1
= lim
= +∞
2
x→4 x − 4
x→4 (x − 4)
lim
8. Calcoliamo
1
lim √
x
x→0
La funzione non é continua in 0, ma osserviamo che
lim
x→0
1
= +∞
x
. Inoltre
r
1
√ =
x
1
x
e quindi
1
lim √ = lim
x→0
x x→0
r
1
=
x
r
lim
x→0
9. Calcoliamo
lim
x→+∞
1 √
= +∞ = +∞
x
4x − 1
2x + 1
Si ha che
lim (4x − 1) = +∞
x→+∞
e che
lim (2x + 1) = ∞
x→+∞
∞
da cui si ricava che il limite é una forma indeterminata del tipo ∞
.
per risolvere questa forma indeterminata, dividiamo il numeratore e il denominatore per x e otteniamo.
4x − 1
= lim
x→+∞ 2x + 1
x→+∞
lim
sicome
1
x
4x−1
x
2x+1
x
=
tende a zero al tendere di x ad infinito
lim
x→+∞
10. Calcoliamo
4x − 1
4
= =2
2x + 1
2
x2 − 3x + 2
x→2
x−2
lim
10
4−
2+
1
x
1
x
Siccome
lim x2 − 3x + 2 = 4 − 6 + 2 = 0
x→2
e
lim x − 2 = 2 − 2 = 0
x→2
ci troviamo di fronte a una forma indeterminata del tipo 00
questo punto scomponiamo il polinomio x2 − 3x + 2 in fattori, osservando
che é lo sviluppo di un trinomio notevole perché -2+(-1) = -3 e (−2) · (−1) = 2.
quindi
x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1)
e allora
x2 − 3x + 2
(x − 2)(x − 1)
= lim
= lim (x − 1) = 1
x→2
x→2
x→2
x−2
x−2
lim
11
