CorsoCorso
di metodi
matematici
dell’economia
di Analisi
Matematica
Prof. Marina Monsurrò
Anno accademico 2008-2009
IV
Serie Numeriche
Definizione Data una successione numerica an , chiameremo serie associata ad an o di
termine generico an , l’espressione
1
X
an
n=0
P
Definizione Data una serie 1
n=0 an , definiamo la successione delle somme parziali ad essa
associata, come la successione numerica Sp definita, per ogni p 2 N da
p
X
Sp =
an .
n=0
P
Definizione Si dice che la serie 1
n=0 an converge se la successione delle somme parziali
Sp ad essa associata è convergente ; in tal caso chiamiamo Somma della serie il limite della
successione delle somme parziali, in simboli
lim Sp =
p!1
1
X
an
n=0
Analogamente, diremo che la serie diverge positivamente o negativamente se tale è il carattere della corrispondente successione delle somme parziali. Parleremo inoltre di serie
limitate, superiormente limitate o inferirmente limitate, monotone crescenti o decrescenti
laddove tali siano le successioni delle somme parziali corrispondenti
Esempi
1. Consideriamo la serie di Mengoli
1
X
1
n=0 n(n + 1)
1
In questo caso è possibile dimostrare per induzione l’esistenza di un’espressione analitica semplice per la sua successione delle somme parziali e quindi calcolare rapidamente il limite :
Sp =
p
X
1
=1
n=0 n(n + 1)
1
p+1
)
1
X
1
= p!1
lim Sp = 1
n=0 n(n + 1)
2. Consideriamo la serie armonica semplice
1
X
1
n=1
n
Si dimostra semplicemente che la corrispondente successione delle somme parziali è
monotona crescente e positivamente divergente, quindi la serie diverge.
3. Consideriamo la serie
1
X
( 1)n
n=0
Si dimostra immediatamente che la coorrispondente successione delle somme parziali
ammette due sottosuccessioni S2p = 1 e S2p+1 = 0 che hanno limiti diversi ; se ne
conclude che la successione Sp non è regolare quindi lo stesso vale per la corrispondente serie.
Definizione Una serie
P1
n=0
an si dice a termini positivi se an
0 8n 2 N.
Osservazione La successione delle somme parziali di una serie a termini positivi è monotona crescente ; di conseguenza, una tale serie è sempre regolare (convergente o divergente).
Definizione Si dice resto m-esimo di una serie
Rm =
P1
1
X
n=0
an , l’espressione
an
n=m+1
I resti m-esimi, al variare di m 2 N formano una successione numerica.
Proposizione La successione dei resti di una serie convergente tende a zero.
Osservazione Poiché la convergenza di una serie è legata alla convergenza della corrispondente successione delle somme parziali, vale anche per le serie il Teorema di convergenza
di Cauchy visto nel capitolo precedente.
2
Proposizione Condizione necessaria (ma NON sufficiente) per la convergenza di una serie
P1
n=0 an è che limn!1 an = 0.
Esempio La serie armonica semplice vista in precedenza ci o↵re un esempio in cui la
successione dei termini generici tende a zero ma la serie non converge ; questo dimostra che
la condizione sopra enunciata non è sufficiente.
Proposizione Sia data una serie numerica della forma
1
X
n=0
( 1)n |an |.
Tale serie converge se e soltanto se limn!1 an = 0.
Definizione Data una serie
P
la serie 1
n=0 |an |.
P1
n=0
an , si dice che essa converge assolutamente se converge
Proposizione Una serie assolutamente convergente è anche convergente.
P
P
Teorema (di linearità per le serie) Date due serie numeriche 1
a e 1
n=0
n=0 bn convergenti
P1
P1 n
ed un numero reale c 2 R, allora anche le serie n=0 (an +bn ) e n=0 c(an ) sono convergenti
e abbiamo
1
1
1
X
(an + bn ) =
n=0
X
an +
n=0
1
X
c(an ) = c
n=0
X
bn
n=0
1
X
an
n=0
Criteri di convergenza
Criterio del confronto Date due successioni an e bn a termini positivi tali che an
bn 8n 2 N, allora
P
P
– se la serie 1
bn converge, anche la serie 1
n=0 an converge ;
Pn=0
P
1
– se la serie 1
a
diverge,
anche
la
serie
n=0 n
n=0 bn diverge.
3
Criterio del rapporto Data una successione an a termini positivi, an > 0, se esiste un
numero reale c < 1 tale che
an+1
c 8n 2 N
an
P
allora la serie 1
n=0 an converge.
Criterio della radice Data una successione an a termini positivi, se esiste un numero
reale c < 1 tale che
1
an n c 8n 2 N
allora la serie
P1
n=0
an converge.
Osservazione I tre criteri visti rimangono ovviamente validi se le ipotesi sono verificate
per n maggiore od uguale ad un certo valore m anzicché per ogni m.
Osservazione Tutti i criteri visti riguardano le serie a termini positivi ; di conseguenza è
possibile utilizzarli per la convergenza assoluta di una serie qualsiasi.
Criteri di convergenza asintotici
Presentiamo ora una versione asintotica (i.e. ottenuta passando al limite) dei criteri viisti
in precedenza che si rivela piú utile dal punto di vista delle applicazioni pratiche.
Criterio del confronto Date due successioni an e bn a termini positivi, bn > 0 tali che
9L = n!1
lim
an
bn
, L finito o infinito, allora
P
P
– se L finito e la serie 1
b converge, anche la serie 1
a converge ;
P1 n=0 n
P1 n=0 n
– se L 6= 0 e la serie n=0 bn diverge, anche la serie n=0 an diverge.
P
P1
– Se L 6= 0 ed è finito, le serie 1
n=0 an e
n=0 bn hanno lo stesso carattere.
Criterio del rapporto Data una successione an a termini positivi, an > 0, se
9L = lim
n!1
4
an+1
6= 1
an
allora, se L < 1 la serie
P1
n=0
an converge e, se L > 1, essa diverge.
Criterio della radice Data una successione an a termini positivi, se
1
9L = lim an n 6= 1
n!1
allora, se L < 1, la serie
P1
n=0
an converge e, se L > 1 essa diverge.
5
