Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it ____________________________________________________________________________________________________________________________ Successioni e Serie Serie infinite Data una successione numerica {an}, un'espressione della forma ∞ an n= 1 è chiamata serie infinita o semplicemente serie. Il numero an è chiamato n-esimo termine della serie. A partire dalla successione {an} possiamo anche definire una nuova successione S1, S2, … delle somme parziali, dove: n ak Sn k=1 Definiamo somma della serie il limite, se esiste, della successione delle somme parziali n-sime per n tendente a +∞ Ecco l'esempio di una successione e la sua corrispondente successione delle somme parziali: Successione: 5, 10, 15, 20, . . . Somme parziali: 5, 5 + 10, 5 + 10 + 15, 5 + 10 + 15 + 20, … Numero di termini: n Se {an} è una progressione aritmetica, la sua somma parziale n-esima è data dalla formula: n. a 1 a n Sn 2 Troviamo la 20ª somma parziale della serie 8 + 13 + 18 + 23 + 28 + 33 + … Numero di termini: n 20 La serie proviene da una progressione aritmetica con primo termine 8 e ragione 5. Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it ____________________________________________________________________________________________________________________________ a1 d 8 5 n-esimo termine: an a1 n 1 .d a n = 103 Formula per la somma parziale n-esima: n. a 1 a n Sn 2 S n = 1110 Si possono calcolare le somme parziali in alcune successioni. Successione: 1 , 2 , 3 , ... Somma parziale n-esima: n k k=1 Si semplifica in 1. 2 1. n n 2 2 Pertanto 1. 2 lim n 2 n ∞ 1. 2 n ∞ Successione: 2 2 2 1 , 2 , 3 , ... Somma parziale n-esima: n 2 k k=1 Si semplifica in Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it ____________________________________________________________________________________________________________________________ 1. 3 n 3 1. 2 n 2 1. 6 n Pertanto 1. 3 n lim n ∞3 1. 2 n 2 1. 6 n ∞ Successione: 2 , ... 2 Somma parziale n-esima: n 2 k 1 . 2, 2 ,1, k k=1 1 2 Si semplifica in 1. 4. 1 n. 2 2 n 2 1 2 Pertanto 1. lim 4. n ∞ 1 n. 2 2 n 2 1 2 4 2 2