Successioni e Serie

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Successioni e Serie
Serie infinite
Data una successione numerica {an}, un'espressione della forma
∞
an
n= 1
è chiamata serie infinita o semplicemente serie. Il numero an è chiamato n-esimo termine della serie.
A partire dalla successione {an} possiamo anche definire una nuova successione S1, S2, … delle
somme parziali, dove:
n
ak
Sn
k=1
Definiamo somma della serie il limite, se esiste, della successione delle somme parziali n-sime per n
tendente a +∞
Ecco l'esempio di una successione e la sua corrispondente successione delle somme parziali:
Successione: 5, 10, 15, 20, . . .
Somme parziali: 5, 5 + 10, 5 + 10 + 15, 5 + 10 + 15 + 20, …
Numero di termini:
n
Se {an} è una progressione aritmetica, la sua somma parziale n-esima è data dalla formula:
n. a 1 a n
Sn
2
Troviamo la 20ª somma parziale della serie 8 + 13 + 18 + 23 + 28 + 33 + …
Numero di termini:
n 20
La serie proviene da una progressione aritmetica con primo termine 8 e ragione 5.
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a1
d
8
5
n-esimo termine:
an a1
n 1 .d
a n = 103
Formula per la somma parziale n-esima:
n. a 1 a n
Sn
2
S n = 1110
Si possono calcolare le somme parziali in alcune successioni.
Successione:
1 , 2 , 3 , ...
Somma parziale n-esima:
n
k
k=1
Si semplifica in
1. 2 1.
n
n
2
2
Pertanto
1. 2
lim
n
2
n ∞
1.
2
n
∞
Successione:
2
2
2
1 , 2 , 3 , ...
Somma parziale n-esima:
n
2
k
k=1
Si semplifica in
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1. 3
n
3
1. 2
n
2
1.
6
n
Pertanto
1. 3
n
lim
n ∞3
1. 2
n
2
1.
6
n
∞
Successione:
2
, ...
2
Somma parziale n-esima:
n
2
k
1 .
2,
2 ,1,
k
k=1
1
2
Si semplifica in
1.
4.
1
n.
2
2
n
2
1
2
Pertanto
1.
lim 4.
n ∞
1
n.
2
2
n
2
1
2
4
2
2