Programma del corso di Algebra 2
anno accademico 2015/16
Capitolo 1 - Teoria dei gruppi
Richiami sulle nozioni di base
Cenni di aritmetica modulare: funzione di Eulero e teorema di Eulero
Piccolo Teorema di Fermat
Teorema Cinese dei Resti in Z
Gruppi di matrici
Introduzione ai teoremi di Sylow
Capitolo 2 - Teoria degli anelli
Richiami sulle nozioni di base
Elementi invertibili e zero-divisori
Operazioni tra ideali
Generatori di un ideale e ideali finitamente generati
Divisibilità in un dominio
Sottoanello fondamentale e caratteristica di un anello
Teorema Cinese dei Resti in un anello commutativo
Elementi primi e irriducibili
Fattorialità: domini a fattorizzazione unica
Domini a ideali principali
Anelli euclidei
Capitolo 3 - Anelli di polinomi
Anello dei polinomi a coefficienti in un anello e in un campo
Grado, algoritmo della divisione euclidea in K[x]
Algoritmo delle divisioni successive
Algoritmo di Euclide
Identità di Bézout
Polinomi invertibili, irriducibili e primi
Campo delle funzioni razionali
Funzioni polinomiali. Radici di un polinomio
Principio didentità dei polinomi
Teorema di Ruffini. Limitazione del numero di radici
Polinomi complessi e reali
Polinomio derivato. Radici semplici e multiple
Polinomi primitivi. Lemma di Gauss
Riducibilità di un polinomio su un dominio e sul suo campo dei quozienti
L’anello di polinomi su un anello fattoriale è fattoriale
Anelli di polinomi in più variabili. Problema dell’ordinamento dei monomi.
Capitolo 4 - Campi
Sottocampo fondamentale di un campo e relazione con la caratteristica
Immersioni, isomorfismi e ampliamenti di campi. Teorema di Kronecker
Estensioni polinomiali
Elementi algebrici e trascendenti, estensioni algebriche, polinomio minimo.
Ampliamenti finiti, Legge della Torre
Ampliamenti algebrici
Campo di spezzamento di un polinomio
Campi algebricamente chiusi, chiusura algebrica, campo complesso
Teorema fondamentale dell’algebra (enunciato)
Campi finiti. Teorema dellelemento primitivo. Teoremi di struttura dei campi finiti
Calcolo del numero di polinomi irriducibili di Zp [x]
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