Programma a.a. 2015/16
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Programma del corso di Algebra 2 anno accademico 2015/16 Capitolo 1 - Teoria dei gruppi Richiami sulle nozioni di base Cenni di aritmetica modulare: funzione di Eulero e teorema di Eulero Piccolo Teorema di Fermat Teorema Cinese dei Resti in Z Gruppi di matrici Introduzione ai teoremi di Sylow Capitolo 2 - Teoria degli anelli Richiami sulle nozioni di base Elementi invertibili e zero-divisori Operazioni tra ideali Generatori di un ideale e ideali finitamente generati Divisibilità in un dominio Sottoanello fondamentale e caratteristica di un anello Teorema Cinese dei Resti in un anello commutativo Elementi primi e irriducibili Fattorialità: domini a fattorizzazione unica Domini a ideali principali Anelli euclidei Capitolo 3 - Anelli di polinomi Anello dei polinomi a coefficienti in un anello e in un campo Grado, algoritmo della divisione euclidea in K[x] Algoritmo delle divisioni successive Algoritmo di Euclide Identità di Bézout Polinomi invertibili, irriducibili e primi Campo delle funzioni razionali Funzioni polinomiali. Radici di un polinomio Principio didentità dei polinomi Teorema di Ruffini. Limitazione del numero di radici Polinomi complessi e reali Polinomio derivato. Radici semplici e multiple Polinomi primitivi. Lemma di Gauss Riducibilità di un polinomio su un dominio e sul suo campo dei quozienti L’anello di polinomi su un anello fattoriale è fattoriale Anelli di polinomi in più variabili. Problema dell’ordinamento dei monomi. Capitolo 4 - Campi Sottocampo fondamentale di un campo e relazione con la caratteristica Immersioni, isomorfismi e ampliamenti di campi. Teorema di Kronecker Estensioni polinomiali Elementi algebrici e trascendenti, estensioni algebriche, polinomio minimo. Ampliamenti finiti, Legge della Torre Ampliamenti algebrici Campo di spezzamento di un polinomio Campi algebricamente chiusi, chiusura algebrica, campo complesso Teorema fondamentale dell’algebra (enunciato) Campi finiti. Teorema dellelemento primitivo. Teoremi di struttura dei campi finiti Calcolo del numero di polinomi irriducibili di Zp [x] 1
