Prof. A. Di Muro
Velocità istantanea
Come si studia un moto con velocità variabile?
Consideriamo un moto rettilineo lungo l’asse x con il punto P che si dirige verso Q, e con una legge oraria
non rettilinea ( linea blu ).
x(m)
P
B’
B ’’
Moto di P verso Q
Q
A
B
x
t
M
t(s)
Il punto B rappresenta il corpo P alla posizione x ed al tempo t.
Quando P raggiunge Q avrà percorso lo spazio x nel tempo t con una velocità media
x
ci chiediamo quale sarà la velocità del punto P quando raggiunge Q?
vM
tan
t
Quando P si sposta B assume le posizioni B’…B’’…fino ad A, come si vede lo spazio x ed il tempo t
si riducono progressivamente fino a zero. Se ci ricordiamo che la pendenza della retta AB fornisce la
velocità, ne risulta che la pendenza cambia per AB’…AB’’…e quando B è in A la pendenza è data dalla
retta tangente alla linea.
Quindi vQ tan
Per determinare la velocità di P in Q occorre tracciare la retta tangente alla linea oraria nel punto
rappresentativo di Q, la tangente goniometrica o il coefficiente angolare di questa retta è proprio la
velocità istantanea in Q.
x dx
t 0 t
dt
La velocità istantanea è data dalla derivata rispetto al tempo dello spazio: v lim
Prof. A. Di Muro
Accelerazione istantanea
In modo del tutto analogo alla velocità istantanea, l’accelerazione istantanea in un punto P sarà il
coefficiente angolare della retta tangente alla curva della legge oraria.
L’accelerazione istantanea è data dalla derivata rispetto al tempo della velocità:
a lim
t 0
v dv
t dt
Come si trasporta il discorso sulla legge oraria della posizione?
Se è la legge oraria della posizione, considerando un suo punto A, la retta tangente t e la sua
perpendicolare n, detta normale, in A, esiste un cerchio detto cerchio osculatore, che approssima, nelle
vicinanze ( intorno ) di A la curva .
Il centro del cerchio osculatore sta
sulla normale, il raggio R = A C 1 è
detto raggio di curvatura di nel
1
punto A, il suo reciproco k
R
è la curvatura di in A.
x(m)
n
t
A
C1
Il cerchio osculatore può stare o sotto
o sopra la curva, se sta sotto diremo
che la curva in A volge la concavità
verso il basso, altrimenti volge la
concavità verso l’alto.
F
O
t(s)
C2
B
Se la velocità inizialmente positiva
aumenta, aumenta anche la pendenza della legge oraria della posizione, in questo caso la velocità assume
valori più grandi, il moto è accelerato con accelerazione positiva e, come si vede dalla fig. 1, la concavità
è rivolta verso l’alto.
Se invece la velocità inizialmente negativa diminuisce, il moto risulta sempre accelerato, ma
l’accelerazione questa volta è negativa perché il suo segno deve essere concorde a quello della velocità e,
come si vede dalla fig. 2, la concavità è rivolta verso il basso.
v=4m/s
v=3m/s
v=2m/s
v=1m/s
Fig. 1
v=1m/s
v=2m/s
v=3m/s
Fig. 2
v=4m/s
Di conseguenza in tutti i punti in cui la curva volge la concavità verso l’alto si ha accelerazione positiva
ed in tutti i punti in cui la curva volge la concavità verso il basso si ha accelerazione negativa.
Il punto F è un punto di transizione tra le due concavità, in tale punto l’accelerazione cambia segno e
quindi deve essere nulla.
Il raggio di curvatura diventa infinito e la curvatura è nulla.
Tale punto si chiama punto di flesso.
