Esercitazione XI

Esercitazione XI
- Miscellanea
Esercizio 1
Uno shuttle di massa m = 10 kg compie a motori spenti un' orbita circolare
intorno alla terra ad una quota h = 500 km . Si calcoli quanto lavoro devono
compiere i motori dello shuttle per portarlo su di una seconda orbita circolare
in cui il tempo di rivoluzione risulti raddoppiato. (R = 6375 km, M = 5, 98 ×
10 kg, G = 6, 67 × 10
)
6
T
T
−11 m3
kgs2
24
Soluzione
Durante un orbita circolare a motori spenti, l' energia meccanica totale dello
shuttle e' data dalla somma della sua energia cinetica e dell' energia potenziale
gravitazionale:
1
mM
E = mv − G
(1)
2
r
Sara' suciente quindi trovare la dierenza di energia meccanica tra la prima
e la seconda orbita per trovare il lavoro compiuto dai motori
2
T
L = E2 − E1
L' energia meccanica dello shuttle dipende dal raggio dell' orbita e dal modulo della velocita' dello shuttle. In un orbita circolare, il modulo della velocita'
si puo' determinare osservando che l' accelerazione centripeta a necessaria per
compiere il moto di rivoluzione e' fornita dalla forza gravitazionale F :
r
mv
mM
=
,
da cui v = GMr
F = ma
G
r
r
Possiamo ora sostituire nella (1) l' espressione trovata per la velocita', ottenendo una formula per l' energia meccanica che dipende solo dal raggio dell'
orbita:
c
g
2
T
g
c
E=
T
2
mMT
1 mMT
mMT
1 mMT
1
mv 2 − G
= G
−G
=− G
2
r
2
r
r
2
r
Conoscendo i raggi, potremo quindi calcolare l' energia meccanica dello shuttle relativa alle due dierenti orbite. Il raggio della prima orbita si ricava subito
sommando la quota dello shuttle al raggio terrestre r = h + R . Per ricavare
il raggio r della seconda orbita, sapendo che il periodo di rivoluzione T e'
doppio rispetto al periodo T della prima orbita, si puo' sfruttare la terza legge
di Keplero:
T
T
4T
=
=
da cui r = √4 r
r
r
r
Possiamo ora calcolare l' energia meccanica dello shuttle per le due orbite e
quindi il lavoro svolto dai motori
1
T
2
2
1
2
1
3
1
2
2
3
2
1 mMT
E1 = − G
2
r1
L = E2 − E1 =
2
1
3
2
3
2
1
1 mMT
1 mMT
E2 = − G
=− G√
2
r2
2 3 4r1
1 mMT
1
1 mMT
1
G
(1 − √
)= G
(1 − √
) = 1, 1 × 1013 J
3
3
2
r1
2
h
+
R
4
4
T
1
Esercizio 2
Cinque moli di ossigeno vengono compresse in una trasformazione isoterma,
raddoppiando la pressione iniziale. Di quanto diminuisce l'entropia del sistema?
Soluzione
Lungo una trasformazione isoterma
∆S = n R log
Dato che n = 5 e P /P
i
f
= 1/2
si ha
Vf
Pi
= n R log
Vi
Pf
1
J
≈ −28.8 .
2
K
∆S = 5 R log
Come atteso, l'entropia diminuisce. Ciò non viola il secondo principio della termodinamica, in quanto si avrà un corrispondente aumento dell'entropia
dell'ambiente, che ristabilisce la disuguaglianza
∆Suniverso ≥ 0.
Esercizio 3
Una mole di un gas ideale monoatomico si trova nello stato A caratterizzato da una pressione P , un volume V e una temperatura T . Compiendo
una trasformazione isobara esso triplica il proprio volume. In seguito, con una
trasformazione isocora, raggiunge lo stato B, caratterizzato da una temperatura
doppia rispetto a quella in A. Calcolare la variazione di entropia ∆ S e dire
se il sistema possa passare spontaneamente dallo stato A allo stato B.
A
A
A
AB
Soluzione
L'entropia è una funzione di stato, dunque la sua variazione tra uno stato e
l'altro non dipende dalla particolare trasformazione termodinamica seguita, ma
solo dagli stati iniziale e nale. La formula generale che fornisce la variazione di
entropia in funzione delle variabili termodinamiche degli stati iniziale e nale è
la seguente:
V
T
∆AB S = n cV log
B
TA
+ n R log
B
VA
.
(Questa formula può essere letta come la somma delle variazioni di entropia
di due trasformazioni che legano gli stati A e B. Il primo termine corrisponde
ad una isocora, il secondo ad una isoterma; due stati A e B qualunque possono
sempre essere collegati da al piú una isocora ed una isoterma.) Sostituendo
nella formula i dati del problema
TB = 2 TA .
VB = 3 VA
n=1
3
cV = R
2
2
si ottiene
3
J
R log 2 + R log 3 ≈ 17.8 .
2
K
∆AB S =
Come si vede, il procedimento è indipendente dalle due particolari trasformazioni termodinamiche date dal problema (isobara e isocora). Può essere
istruttivo risolvere il problema anche seguendo strettamente queste due trasformazioni, e vericare che il risultato sia lo stesso. La trasformazione è quella in
gura. La variazione di entropia tra A e B è la somma di quella tra A e C e di
quella tra C e B:
Lungo l'isobara:
∆AB S = ∆AC S + ∆CB S.
∆AC S = n cP log
ma allora, dal momento che V
B
= VC
,
TC
VC
= n cP log
;
TA
VA
∆AC S = n cP log
Lungo l'isocora:
VB
= n cP log 3.
VA
∆CB S = n cV log
TB
;
TC
il rapporto T /T può essere scritto in funzione delle due temperature T e T
(il cui rapporto è dato dal problema) osservando che per la legge dei gas perfetti
B
C
A
TC =
Quindi
3 PA VA
PC VC
=
= 3 TA .
nR
nR
∆CB S = n cV log
TB
2
= n cV log .
3 TA
3
Inne la variazione di entropia tra A e B è la somma
∆AB S = n cP log 3 + n cV log
3
2
3
B
che può essere semplicata ponendo n = 1 (come dato dal testo) e usando le
formule dei gas monoatomici c = 5/2R e c = 3/2R; in denitiva si ottiene
P
V
∆AB S = log 3R 2(3/2)R ≈ 17.8
J
K
che coincide con quanto ottenuto sopra.
Una dierenza di entropia positiva indica che l'entropia in B è maggiore che
in A, e che dunque questo è il senso naturale della trasformazione spontanea.
Notare inne che se anche la trasformazione seguita tra A e B non fosse
reversibile, nulla cambierebbe nel calcolo di ∆ S, in quanto l'entropia dipende
solo dagli stati A e B, e non dalla trasformazione (reversibile o irreversibile) che
li unisce.
AB
Esercizio 4
Una grondaia a 10 m dal suolo ha raccolto una grossa quantità di acqua
piovana. Attraverso un tubo la grondaia viene interamente svuotata e l'acqua
raccolta in una vasca all'altezza del suolo. Determinare l'aumento di temperatura dell'acqua nel corso dell'operazione, supponendo che non vi sia dispersione
di energia.
Soluzione
Tra la condizione iniziale (acqua a 10 m dal suolo alla temperatura T ) e quella nale (acqua al suolo alla temperatura T ) l'energia meccanica viene trasformata in calore, che va appunto a scaldare l'acqua. Fissando lo zero dell'energia
potenziale della forza peso al livello del suolo, l'energia meccanica iniziale è
i
f
Ei = m g h
(dove m è la massa di acqua raccolta, e h = 10 m), mentre l'energia nale è
nulla; l'energia cinetica è zero sia all'inizio che alla ne. Dunque E si trasforma
interamente in calore, il quale viene ceduto all'acqua. L'aumento di temperatura
è allora (chiamando c il calore specico dell'acqua)
i
∆T =
mgh
gh
Ei
=
=
≈ 0.0234K.
mc
mc
c
Il risultato come si vede non dipende dalla massa d'acqua.
4