TSAnI15 - Dipartimento di Matematica e Informatica

Regole del corso di Analisi Matematica 1 Ingegneria A.A. 2015-16,
docente S. Cuccagna.
Libro consigliato : “ANALISI MATEMATICA 1” Giusti, Bollati Boringhieri ed.
Esame. Ci saranno 7 appelli nel corso dell’anno solare 2016. Gli scorsi anni si sono avuti 3 appelli nella
sessione invernale in Genn-Febb, 3 nella sessione estiva in Giugno-Luglio, 1 nella sessione autunnale in
Sett.
Regole d’esame. L’esame consiste di due prove scritte , la prima di esercizi, la seconda teorica (ma che può
contenere esercizi di natura teorica). Di solito nel medesimo appello la prova teorica è svolta due giorni
dopo la prova di esercizi. Per essere ammessi alla prova teorica bisogna avere riportato almeno 15/30 nella
prova di esercizi. Dopo le due prove scritte ci può essere anche un colloquio, a discrezione del docente o su
richiesta dello studente.
Chi ad un appello (ad esempio primo appello della sessione invernale) ha riportato un voto maggiore o
uguale a 15 nella prova di esercizi e non si sente pronto per la prova teorica, può conservare il voto della
prova di esercizi e presentarsi alla prova teorica in un altro appello, sempre però nella stessa sessione di
esami (cioè, nel nostro esempio , nel secondo o terzo appello della sessione invernale).
Le iscrizioni agli esami devono avvenire tramite il sito esse3.
Per vecchi esami (parte esercizi) si rimanda ai siti http://www.dmi.units.it/~omari/Didattica.html
e
http://www.dmi.units.it/~cuccagna/didattica (si veda al materiale dello scorso anno accademico
Materiale coperto nell’ A.A. 2015-16 .
Lunedì 21 Settembre 2 ore Numeri naturali. Principio di induzione. Teorema sulle dimostrazioni per
induzione. Esempi di dimostrazione per induzione: dimostrazione della disuguaglianza di Bernoulli ;
dimostrazione della formula per somme geometriche di ragione a e della formula per somme aritmetiche.
Mercoledì 23 Settembre 2 ore Dimostrazione che √2 non esiste in Q. Intervalli in R. Assioma di
separazione in R. Definizione di sottoinsieme limitato superiormente di R. Insieme dei maggioranti.
Definizione dell’estremo superiore di un sottoinsieme di R. Dimostrazione della sua unicità .
supN=infinito (con dim.), Principio di Archimede (con dim.) .
Giovedì 24 Settembre 2 ore Definizione di Inf(X) e enunciato sul fatto che Sup (-X)=-inf (X).
Dimostrazione che se X è contenuto in Y che è contenuto in R, allora inf (Y) ≤inf (X)≤sup (X)≤sup(Y).
Dimostrazione che ogni sottoinsieme finito di R ha massimo e minimo. Dimostrazione che se X è un
sottoinsieme di N allora inf (X)=min (X).
Venerdì 25 Settembre 2 ore Vari esercizi su sommatorie ed induzione. Fattoriali e coefficienti binomiali.
Enunciato della formula di Newton per i binomi.
Lunedì 28 settembre 2 ore Dimostrazione della formula di Newton per i binomi). Numeri complessi.
Complesso coniugato di z. Valore assoluto |z|. Esistenza di 1/z se z≠0 (con dim.).
Mercoledì 30 Settembre 2 ore Vari esercizi tra cui Es. 2 dell’esame del 27/1/14. Rappresentazione in
forma polare del prodotto di due numeri complessi (con dim.). Formule di De Moivre. Radici n esime
dell’unità.
Giovedì 1 Ottobre 2 ore Radici n esime di numeri complessi qualsiasi. Teorema fondamentale
dell’algebra, versione 1, sull’esistenza di una radice in C per ogni polinomio di grado ≥ 1. Teorema
fondamentale dell’algebra, versione 2, sul la fattorizzazione in polinomi di grado 1 (solo enunciato). Solo
enunciata, l’equivalenza tra le due versione del Teorema fondamentale dell’algebra. Molteplicità delle
radici di un polinomio.
Venerdì 2 Ottobre 2 ore Svolgimento di vari esercizi sui numeri complessi, con ricerca soluzioni di
equazioni e diseguaglianze.
Lunedì 5 Ottobre 2 ore Densità di Q in R (con dim.). Grafici: loro caratterizzazione in termini della
proprietà della retta verticale. Funzioni. Immagine e contrommagine di un insieme. Funzione di Dirichlet
e funzione di Heaviside. Funzioni pari, dispari, crescenti, strettamente crescenti, decrescenti, strettamente
decrescenti.
Mercoledì 7 Ottobre 2 ore Definizione della funzione valore assoluto |x| e proprietà. In particolare,
dimostrazione della disuguaglianza triangolare. Successioni. Definizione di limite di una successione (nel
caso di limite finito). Vari esempi.
Definizione di lim 𝑓(𝑥) = L per L numero reale e per una
𝑥→+∞
funzione a valori reali definita su un sottoinsieme X di R con supX=+∞. Teorema dell’unicità del limite, nel
caso di limiti in R (con dim.). Svolgimento di un esercizio sui numeri complessi.
Giovedì 8 ottobre 2 ore.
Definizione di
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = L quando L= ±∞ . Caso delle successioni e
vari esempi . Regole della somma (con dim.) e del prodotto (con dim.) per limiti.
Venerdì 9 ottobre 2 ore. Dimostrazione della regola del quoziente.
Limiti di polinomi p(x) e di funzioni
razionali p(x) /q(x) per x che va all’infinito in R . Qualche altro esempio
lunedì 12 ottobre 2 ore. Teorema dei Carabinieri (con dim.) .Per b>0 il limite di b^{1/n} è 1; il limite di
2^{n} è + infinito; il limite di 2^{n}/n^2 è + infinito. Teorema del confronto per i limiti (con dim.).
Dimostrazione che lim 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑢𝑝𝑓(𝑋) per funzione crescenti.
𝑥→+∞
Mercoledì 14 ottobre 2 ore. Definizione di punto di accumulazione e di chiusura di un sottoinsieme di R.
Chiusura di un sottoinsieme di R. Vari esempi. Definizione di sottoinsieme denso di R. Definizione di
lim 𝑓 (𝑥) = 𝐿 per y un punto di accumulazione del dominio di f . Qualche esempio.
𝑥→𝑦
Giovedì 15 ottobre 2 ore Definizione di limite destro e di limite sinistro. Caratterizzazione del limite in
termini del limite da destra e da sinistra (senza dim.). Definizione di funzione continua in un punto.
Verifica della continuità di polinomi, di sin (x) e di cos (x). .
Definizione di lim 𝑓(𝑥) = L quando
𝑥→𝑦
L= ±∞ .
Venerdì 15 ottobre 2 ore . Caratterizzazione del limite in termini del limite da destra e da sinistra (con
dim.). Dimostrazione di lim
1 𝑛
)
𝑛
𝑥→0
sin(𝑥)
𝑥
= 1 . Continuità di 𝑏 𝑥 . Numero di Nepero come
lim (1 +
𝑛→∞
= 𝑒 (resta da verificare che e<3).
Lunedì 19 ottobre 2 ore. Caratterizzazione dei limiti in termini delle successioni (senza dim.). . Teorema
sul cambio di variabile nei limiti (con dim). Calcolo di lim 𝑏 𝑥 e di lim 𝑏 𝑥 . Verifica che lim 𝑠𝑖𝑛 (1/
𝑥→+∞
𝑥→−∞
𝑥→0
𝑥) non esiste Qualche esempio. Funzione parte intera di x.
1 𝑥
Mercoledì 21 ottobre 2 ore. Dimostrazione di lim (1 + 𝑥) = 𝑒 e (solo) enunciato di
1 𝑥
)
𝑥
𝑥→+∞
= 𝑒.
lim (1 +
𝑥→−∞
Vari esercizi teorici : per ogni X sottoinsieme di R non vuoto esiste una successione in X con
limite sup(X); le due definizioni di sottoinsieme denso in R date nel corso sono equivalenti. Un esempio di
applicazione di 𝑒 𝑥 al calcolo del montante nel caso dell’interesse continuo.
Lunedì 26 ottobre 2 ore. Successioni di intervalli dimezzati. Sottosuccessioni di una successione. Funzioni
e successioni limitate. Teorema di Bolzano Weierstrass (con dim). Definizione di punti di massimo e punti
di minimo assoluto.
Mercoledì 28 Ottobre 2 ore Teorema di Weierstrass per funzioni continue (con dim.). Teorema degli zeri
per funzioni continue (con dim.). ). Dimostrazione che i polinomi di grado dispari e coefficienti reali hanno
almeno una radice reale. Teorema dei valori intermedi (con dim.).
Giovedì 29 ottobre 2 ore Se f è continua in un intervallo I allora f(I) è o un punto o un intervallo (senza
dim). Funzioni biettive e loro inverse. Teorema sull’esistenza di limite destro e sinistro per funzioni
monotone definite su intervalli (con dim.). Dimostrazione del teorema sulla continuità delle funzioni
inverse di funzioni monotone assumendo un lemma con una caratterizzazione delle funzioni monotone
continue su intervalli. Continuità delle funzioni x ^{1/n} e logaritmo in base e.
Venerdì 30 ottobre 2 ore. Dimostrazione del lemma con una caratterizzazione delle funzioni monotone
continue su intervalli. Vari esercizi sulla teoria.
Mercoledì Novembre 4 ore Dim. della continuità di 𝑥 𝑎 .
𝑎
lim [ (𝑥 + 1) − 1]/𝑥 = 𝑎 , lim (1 +
𝑥→0
𝑛→+∞
𝑥 𝑛
)
𝑛
=𝑒
𝑥
(tutti
lim log(1 + 𝑦)/𝑦 = 1 , lim (𝑒 𝑥 − 1) /𝑥 = 1 ,
𝑦→0
𝑥→0
con dim.) .
Arcoseno ed arcotangente.
Definizione di funzioni iperboliche sh (x), ch(x) e th(x). Dim. di ch^2(x)-sh^2(x)=1.
sh(x). Rapporti incrementali e significato geometrico. Retta tra due punti.
Funzione ionversa di
Giovedì 5 Novembre. Definizione di derivata. Definizione di retta tangente . ore Dim . di (𝑥 𝑎 )′ =
𝑎 𝑥 𝑎−1 (regola della potenza). (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥 e (log x)’=1/x . Derivata di sin(x) e cos(x).
Differenziabilità implica continuità (con dim.) Regole della somma, del prodotto (con dim.) e del quoziente
(con dim.). Teorema della derivata della funzione inversa (con dim.).
Venerdì 6 Novembre 2 ore
Funzioni arcsin(x) e arctan(x) e loro derivata. Funzione inversa di ch(x) in
𝑎𝑥
′
[1, ∞) . Calcolo di (𝑒 ) , di (sinh x)’, (cosh x)’. Equazione di Malthus.
Lunedì 9 Novembre 2 ore
esempio.
Regola della catena (con dim.). Teorema di Fermat (con dim.). Qualche
Mercoledì 11 novembre 2 ore. Teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy (tutti con dim.).
Caratterizzazione delle funzioni differenziabili monotone su intervalli.
Giovedì 12 Novembre 2 ore. Derivate di ordine superiore.
e^x. Esercizi. Prima regola dell’Hopital (con dim.).
Calcolo delle derivate di x^a, sin (x) ,
Venerdì 13 Novembre 2 ore. Seconda regola dell’Hopital (con dim.). Dimostrazione di 1+x ≤𝑒 𝑥 su R.
Dimostrazione della densità degli irrazionali in R. Vari esercizi.
Lunedì 16 novembre 2 ore. Terza regola dell’Hopital (senza dim.). Vari esempi. Definizione di polinomio
di Taylor di ordine n. Caso di 𝑒 𝑥 , sin(𝑥).
Mercoledì 18 novembre 2 ore. Polinomi di McLaurin di cos(𝑥). Enunciato della formula di Lagrange per
il resto (senza dim.) . Esempi: dimostrazione che il numero di Nepero e non è razionale; approssimazione
di e con un numero razionale con errore inferiore a 10−3. Definizione di derivata destra e di derivata
sinistra. Caratterizzazione della derivata in termini di derivata destra e sinistra (senza dim.).
Giovedì 19 novembre 2 ore. Enunciato della formula di Peano per il resto (senza dim.) . Vari lemmi su
polinomi. Simbolo o piccolo. Calcolo dei polinomi di McLaurin di x 𝑒 𝑥2 .
Venerdì 20 Novembre Esercizi sui polinomi di Taylor. Polinomi di McLaurin di (1 + 𝑥)𝑎
Mercoledì 18 novembre 2 ore. Polinomi di McLaurin di cos(𝑥). Enunciato della formula di Lagrange per
il resto (senza dim.) . Esempi: dimostrazione che il numero di Nepero e non è razionale; approssimazione
di e con un numero razionale con errore inferiore a 10−3. Definizione di derivata destra e di derivata
sinistra. Caratterizzazione della derivata in termini di derivata destra e sinistra (senza dim.).
Giovedì 19 novembre 2 ore. Enunciato della formula di Peano per il resto (senza dim.) . Vari lemmi su
polinomi. Simbolo o piccolo. Calcolo dei polinomi di McLaurin di x 𝑒 𝑥2 .
Venerdì 20 Novembre Esercizi sui polinomi di Taylor. Polinomi di McLaurin di (1 + 𝑥)𝑎
Lunedì 23 Novembre 2 ore Definizione di funzione convessa. 3 caratterizzazioni delle funzioni convesse
in termini di rapporti incrementali (senza dim.). Caratterizzazione in termini della crescenza in x di
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑦)
𝑥−𝑦
per ogni fissato y (senza dim.). Caratterizzazione delle funzioni convesse in termini della loro
derivata prima e derivata seconda (con dim.).
Mercoledì 25 Novembre 2 ore Definizione di funzioni concave. Definizione di punti di flesso.
integrale. Decomposizioni Δ di intervalli e loro calibro o lunghezza | Δ |.
Calcolo
Giovedì 26 Novembre 2 ore Raffinamenti di decomposizioni Somme S(Δ) e s(Δ) associate ad una data
funzione f. Calcolo di S(Δ) e s(Δ) per funzioni costanti e per la funzione di Dirichlet. Disuguaglianze s(Δ) ≤
s(Δ’) ≤S(Δ’) ≤ S(Δ) se Δ ‘ è un raffinamento di Δ allora e s(Δ’) ≤S(Δ) per ogni coppia Δ ‘, Δ (non sono
richieste le dimostrazioni). Definizione di integrale superiore e di integrale inferiore. Definizione di
integrale di Darboux. Esempi: funzioni costanti e funzione di Dirichlet.
Venerdì 27 Novembre 2 ore
Vari esercizi sui polinomi di Taylor.
Lunedì 30 Novembre 2 ore
Una condizione necessaria e sufficiente perché una funzione sia
integrabile secondo Darboux (con dim.). Dimostrazione che le funzioni monotone sono integrabili
secondo Darboux. Definizione di uniforme continuità. La limitatezza della derivata è una condizione
sufficiente per l’ uniformemente continuità (con dim.) . Dimostrazione del Teorema di Heine.
Dimostrazione dell’integrabilità secondo Darboux delle funzioni continue.
Mercoledì 2 dicembre 2 ore. Integrale di Riemann e sua equivalenza con l’integrale di Darboux (senza
dim.) . Regola della somma e monotonia dell’integrale (solo enunciate.). Teorema della media (con dim.).
Integrabilità dei prodotti (senza dim.). Additività rispetto al dominio di integrazione (senza dim.). Teor.
sull’integrabilità di |f(x)| se f(x) è integrabile (senza dim.) e disuguaglianza triangolare (con dim.).
Teorema fondamentale del calcolo (con dim. solo nel caso in cu f(x) è continua). Primitive e funzioni
primitivabili.
Giovedì 3 dicembre 2 ore Uso delle primitive nel calcolo degli integrali di Darboux. Integrali definiti ed
integrali indefiniti. Tabelle di primitive. Integrazione per parti (con dim. per integrali indefiniti) e cambi di
variabili (con dim. sia per integrali definiti che indefiniti). Esempi.
Venerdi 4 dicembre, esercizi.
Mercoledì 9 dicembre 2 ore Definizione di integrale improprio di una funzione f(x) in un intervallo [a,b) o
(a,b]. Integrabilità di funzioni x^{-p} in (0,1] e in [1, infinito) : enunciato e dimostrazione . Aut-Aut (con
dim.). Teoremi del confronto e del confronto asintotico, senza dimostrazione
Giovedì 10 Dicembre 2 ore Definizione di assoluta integrabilità. Teorema che assoluta integrabilità implica
𝑃(𝑥)
integrabilità (solo enunciato ). Espansione di Hemite per funzioni razionali : enunciato nel caso R(x)= 𝑄(𝑥)
con grado P< grado Q.
Venerdì 11 esercizi.
𝑃(𝑥)
Lunedì 14 Dicembre 2 ore. Espansione di Hemite per funzioni razionali : enunciato nel caso R(x)= 𝑄(𝑥) con
grado P ≥ grado Q.. Esercizi