Soluz.QUESITI 6-10
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Soluzioni di Adriana Lanza QUESITO 6. Si determinino a e b in modo tale che il grafico della funzione y a x b passi per i punti del piano xy di coordinate (1,4) e (3,8) . → dividendo membro a membro Sostituendo nella prima equazione 4=1+b →b=3 y= → → = → Soluzioni di Adriana Lanza QUESITO7. Un tetraedro ed un ottaedro regolari hanno gli spigoli della stessa lunghezza l. Si dimostri che il volume dell’ottaedro è il quadruplo di quello del tetraedro. Prima dimostrazione :Calcolo dei due volumi, che indicheremo con V1 e V2 rispettivamente, in funzione dello spigolo l tetraedro = l Volume tetraesdro = Ottaedro Il volume è il doppio di quello di una piramide avente per base un quadrato di lato l e altezza pari a Volume ottaedro = = V2 = 4 V1 = Soluzioni di Adriana Lanza Seconda dimostrazione (geometrica) Le figure seguenti mostrano che: a) L’ottaedro di spigolo l può essere inscritto in un tetraedro di spigolo 2l, quindi di volume pari a 8 V1 b) Il tetraedro di spigolo 2l può essere decomposto in 5 parti, di cui una è l’ottaedro, le altre quattro consistono in tetraedri di spigolo l, quindi di volume pari a V1 Pertanto 8V1= V2+4 V1 Da cui V2= 4 V1 Soluzioni di Adriana Lanza QUESITO8. Si trovi l’equazione della retta tangente alla curva di equazioni parametriche x = 2t e y 2 nel suo punto di coordinate (2,1) . t 1 2 Primo metodo Dalle equazioni parametriche si passa facilmente all’ equazione cartesiana della curva, eliminando il parametro t. La curva passa effettivamente per il punto (2,1) che corrisponde al valore t=1 del parametro. Nel suddetto punto la retta tangente ha coefficiente angolare m= y’(2) → Equazione della retta tangente x+2y-4=0 Secondo metodo Le funzioni x(t) e y(t) , che rappresentano le coordinate di un generico punto della curva , sono continue e derivabili e il coefficiente angolare m della retta tangente nel punto (2;1) è uguale al rapporto Poiché x’(t) = 2 metodo si trova m= , ovvero lo stesso risultato del primo Soluzioni di Adriana Lanza QUESITO9. Si dimostri che se una funzione f(x) è derivabile nel punto x0 , ivi è anche continua; si porti un esempio di funzione continua in un punto e ivi non derivabile. Ipotesi: f(x) è derivabile in xo → finito lim f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 ) x x0 x x0 Tesi : f(x) è continua in xo. f(x) è continua in xo se lim f ( x) f ( x0 ) ovvero x x0 Dall’identità h si deduce = quindi c.v.d. Il risultato precedente è conseguenza diretta del fatto che, al tendere di h a 0, il limite del rapporto incrementale esiste ed è finito. Se il suddetto limite non esiste o è infinito, nulla si può dire del limite . La continuità è pertanto condizione necessaria per la derivabilità, ma non è condizione sufficiente, poiché esistono funzioni continue in un punto ma ivi non derivabili Esempio 1 : punto angoloso Sia f(x) un funzione continua e derivabile in x0 e sia f(x0)=0 f(x)>0 in un intorno destro di x0 f(x) <0 in un intorno sinistro di x0 La funzione non è derivabile in x0 in quanto =- f’( ) = f’( ) Soluzioni di Adriana Lanza La derivata prima ammette in xo una discontinuità di prima specie Esempio 2. Cuspide La funzione è continua in O(0,0) ma non è ivi derivabile Se proviamo a calcolare il limite del rapporto incrementale, per h tendente a 0, troviamo = = La derivata prima ammette in O una discontinuità di seconda specie Soluzioni di Adriana Lanza Esempio 3 Flesso a tangente verticale La funzione è continua in O(0,0) ma non è ivi derivabile Se proviamo a calcolare il limite del rapporto incrementale, per h tendente a 0, troviamo = = La derivata ammette in O un discontinuità di seconda specie La derivata seconda è positiva per x<0 e negativa per x>0 Soluzioni di Adriana Lanza Esempio 4 Punto isolato Il valore x=-1 appartiene al dominio ed è un punto isolato. Per definizione la funzione è ivi continua, ma non è possibile definire la derivata Soluzioni di Adriana Lanza QUESITO10. Si dimostri che la differenza dei quadrati di due lati di un triangolo è uguale alla differenza dei quadrati delle rispettive proiezioni dei lati stessi sul terzo lato del triangolo. Con riferimento alla figura : Si deve dimostrare che Osserviamo che c.v.d.
