Appunti di Algebra

Appunti di Algebra
Sonia L’Innocente
Corso di Laurea
Matematica e Aplicazioni
Terzo Argomento
I numeri complessi
a.a.
2014-2015
Università di Camerino
Sonia L’Innocente (Appunti di Algebra)
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I numeri complessi
Outline
1
I numeri complessi
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I numeri complessi
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I numeri complessi
I numeri complessi
Consideriamo Il polinomio x 2 + 1 che ha coefficienti reali, ma non ha
radici reali: infatti i reali negativi, come −1, non possono essere
quadrati. Vogliamo allora costruire un insieme numerico che
allarghi i reali,
contenga anche una radice i di x 2 + 1,
ammetta poi una addizione + e una moltiplicazione · che
estendano le analoghe operazioni di R e ne mantengano le
principali proprietà di associatività, commutatività, distributività, e
via dicendo.
L’insieme che cerchiamo conterrà allora anche elementi della forma
a + b · i con a e b reali. Quanto a i 2 , esso coincide con −1 e dunque
appartiene all’ambito reale; di conseguenza i 3 = −i, i 4 = 1 e cosı̀ via.
Dunque non c’è motivo di menzionare esplicitamente nel nuovo ambito
che stiamo costruendo né i 2 né alcuna altra potenza di i oltre i.
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I numeri complessi
I numeri complessi
Possiamo allora concentrare la nostra attenzione proprio sulle
espressioni a + b · i appena introdotte.
È obbligato porre, per a, b, c e d reali,
a + b · i = c + d · i se e solo se a = c, b = d.
È anche ragionevole definire addizione e moltiplicazione tra questi
numeri ponendo rispettivamente
(a + b · i) + (c + d · i) = (a + c) + (b + d) · i
e, se vogliamo rispettata la condizione i 2 = −1,
(a + b · i) · (c + d · i) = (a · c − b · d) + (a · d + b · c) · i.
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I numeri complessi
Consideriamo infatti proprio l’insieme degli elementi che si scrivono
formalmente a + b · i con a e b reali, indichiamo questo insieme con C
e chiamiamo numeri complessi i suoi elementi, definiamovi poi
uguaglianza, addizione e moltiplicazione nel modo appena descritto.
Notiamo che i numeri reali a possono essere identificati con le
espressioni formali a + 0 · i; per la precisione a 7→ a + 0 · i definisce
una funzione iniettiva da R a C. In questo modo le operazioni di
addizione e di moltiplicazione appena introdotte in C vengono a
estendere le analoghe operazioni di R visto che, per a e c reali, si ha
(a + 0 · i) + (c + 0 · i) = (a + c) + 0 · i,
(a + 0 · i) · (c + 0 · i) = (a · c − 0 · 0) + (a · 0 + 0 · c) · i = a · c + 0 · i.
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I numeri complessi
Osserviamo anche che, per a, c e d reali,
(a + 0 · i) · (c + d · i) = a · c + (a · d) · i.
Inoltre si ha
(0 + 1 · i)2 = (0 · 0 − 1 · 1) + (0 · 1 + 1 · 0) · i = −1 + 0 · i = −1.
Possiamo allora confondere senza ambiguità ogni reale a con il
numero complesso a + 0 · i, e scrivere i al posto di 0 + 1 · i e bi invece
di 0 + b · i per ogni reale b.
Si verifica poi che l’addizione e la moltiplicazione definite in C
soddisfano ciascuna le proprietà commutativa e associativa e insieme
la proprietà distributiva, come accade alle analoghe operazioni tra i
razionali e i reali.
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I numeri complessi
Ogni complesso a + bi ha il suo opposto −a − bi rispetto all’addizione
e ogni complesso a + bi diverso da 0 ha il suo inverso rispetto alla
moltiplicazione: per determinarlo, osserviamo che a + bi 6= 0 significa
che almeno uno tra a e b non si annulla, e quindi a2 + b2 > 0 in R;
notiamo poi che
(a + bi) · (a − bi) = a2 + b2 6= 0
e quindi
(a + bi) · (a − bi) · (a2 + b2 )−1 = 1
cioè
(a + bi) ·
il che identifica in
a2
l’inverso in C di a + bi.
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b
a
− 2
i
2
2
a +b
a + b2
= 1,
a
b
− 2
i
2
+b
a + b2
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I numeri complessi
Esempio.
3
2
− 13
i. Per ogni reale non nullo a, l’inverso di a in C è
L’inverso di 2 + 3i è 13
2
−1
a · (a ) , dunque coincide con l’inverso a−1 di a in R. L’inverso di i è −i.
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I numeri complessi
Dato un numero complesso z = a + bi con a e b in R, a si dice la
parte reale di z, e bi la sua parte immaginaria; il reale b si chiama il
coefficiente di questa parte immaginaria; a − bi si chiama il
coniugato di z e si indica con z. A proposito di questo coniugato,
osserviamo che:
z + z = (a + bi) + (a − bi) = 2a è reale,
z · z = (a + bi) · (a − bi) = a2 + b2 è ancora reale (ed anzi non
negativo):
la prima di queste proprietà è banale, la seconda è appena più
complicata ed è stata già osservata
√ quando si è calcolato l’inverso in
C. Il numero reale non negativo a2 + b2 si chiama il modulo del
numero complesso z = a + bi e si indica |z|.
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I numeri complessi
Esempio.
i ha parte√reale 0, coefficiente della parte immaginaria 1, coniugato −i,
modulo 02 + 12 = 1. Un numero reale a coincide con la sua parte reale e
ha coefficiente della parte immaginaria
0; a coincide anche con il suo
√
coniugato e ha per modulo a2 + 02 , cioè il suo valore assoluto |a| come
reale. 2 + 3i ha parte reale√2, coefficiente
√ della parte immaginaria 3,
coniugato 2 − 3i, modulo 22 + 32 = 13.
Osservazione
La funzione (coniugio) che associa ad ogni complesso z = a + bi il
suo coniugato z = a − bi è una corrispondenza biunivoca di C su C,
lascia fisso ogni reale e trasforma i in −i. Inoltre, tale funzione
preserva anche l’addizione e la moltiplicazione in C: per z = a + bi,
z 0 = a0 + b0 i in C,
z + z 0 = z + z 0,
z · z 0 = z · z 0.
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I numeri complessi
Rappresentazione geometrica
C’è una maniera molto semplice di rappresentare geometricamente un
numero complesso z = a + bi. Infatti, da un punto di vista formale, z è
determinato dalla coppia ordinata (a, b) di numeri reali e quindi,
rispetto ad un prefissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale
nel piano, z corrisponde ad un punto del piano, appunto quello di
coordinate (a, b). Ad esempio i determina il punto (0, 1), −i
corrisponde a (0, −1), ogni numero reale a al punto (a, 0) sull’asse
delle ascisse, e via dicendo.
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I numeri complessi
Rappresentazione trigonometrica
Una rappresentazione dei numeri complessi utilissima nelle
applicazioni, è quella trigonometrica. È valida per complessi z 6= 0.
Eccone la descrizione.
Consideriamo dapprima un complesso z = a + bi di modulo 1, dunque
tale che a2 + b2 = 1. Dal punto di vista geometrico, z definisce un
punto del piano sulla circonferenza di raggio 1 e centro nell’origine;
esiste allora uno e un solo reale x tale che 0 ≤ x < 1 e
a = cos 2πx,
b = sen 2πx.
Dunque z si può scrivere
z = cos 2πx + sen 2πx i
o anche
z = cos 2π(x + k) + sen 2π(x + k ) i
per ogni intero k (visto che seno e coseno sono funzioni periodiche di
periodo 2π).
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I numeri complessi
Sia ora z = a + bi un qualunque numero complesso non nullo. Quindi
a 6= 0 o b 6= 0 e a2 + b2 > 0. Cosı̀ z si può scrivere
p
a
b
+√
i
z = a2 + b 2 · √
a2 + b 2
a2 + b 2
dove
√
2
a
+
a2 + b 2
√
2
b
=
a2 + b 2
a2 + b 2
=1
a2 + b 2
e dunque
√
a
b
+√
i
a2 + b 2
a2 + b 2
ha modulo 1. Segue che c’è un unico reale x tale che 0 ≤ x < 1 e
√
a
a2
+
b2
= cos 2πx,
cosı̀ che, se si pone r =
√
√
b
a2
+ b2
= sen 2πx
a2 + b2 , si ha
z = r · (cos 2πx + sen 2πx i)
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I numeri complessi
o anche, più in generale,
z = r · (cos 2π(x + k) + sen 2π(x + k ) i)
per ogni
√ intero k . Questa è la rappresentazione trigonometrica di z:
r = a2 + b2 è il modulo di z (un reale positivo per z 6= 0), mentre
ogni angolo in radianti 2π(x + k ) si chiama un argomento di z; in
particolare 2πx per 0 ≤ x < 1 si dice l’argomento principale di z.
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I numeri complessi
Esempi.
√
√
1. z = 3 + i ha modulo r = 3 + 1 = 2, √mentre il suo argomento
principale 2πx è definito da cos 2πx = 23 , sen 2πx = 12 , cosı̀ che
1
. Quindi la rappresentazione
si ha 2πx = π6 e x = 12
trigonometrica di z è
2 · (cos
π
π
+ sen i)
6
6
o anche 2 · (cos( π6 + 2πk) + sen( π6 + 2πk ) i) per ogni intero k.
√
√
2. z 0 = 1 + 3i ha ancora modulo r = 1 + 3 = 2, mentre
l’argomento principale 2πx deve soddisfare cos 2πx = 21 ,
√
sen 2πx = 23 , e quindi coincide con π3 (in altre parole x = 61 ).
Allora la rappresentazione trigonometrica di z 0 è
2 · (cos
π
π
+ sen i).
3
3
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I numeri complessi
Esempi.
3. i ha modulo 1 e argomento principale π2 , ha dunque
rappresentazione trigonometrica cos π2 + sen π2 i. −1 ha ancora
modulo 1 ma argomento principale π, dunque la sua
rappresentazione trigonometrica è cosπ + senπ i.
Il lettore può provare a cercare per esercizio la rappresentazione
trigonometrica di altri complessi non nulli, come 2, o 1 ± i.
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I numeri complessi
z0
Siano z e due complessi non nulli, con rappresentazioni
trigonometriche
z = r · (cos 2πx + sen 2πx i),
z 0 = r 0 · (cos 2πx 0 + sen 2πx 0 i)
rispettivamente. Allora
z · z 0 = r · r 0 · (cos 2πx + sen 2πx i) · (cos 2πx 0 + sen 2πx 0 i) =
= r · r 0 · ((cos2πx cos2πx 0 − sen2πx sen2πx 0 )+
+(cos2πx sen2πx 0 + cos2πx 0 sen2πx)i)
che per le formule di addizione di seno e coseno va a coincidere con
r · r 0 · (cos 2π(x + x 0 ) + sen 2π(x + x 0 ) i).
Resta cosı̀ confermato che:
il modulo del prodotto z · z 0 coincide con il prodotto dei moduli di z
e z 0,
l’argomento (principale) del prodotto z · z 0 è la somma degli
argomenti (principali) di z e z 0 .
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I numeri complessi
Siccome gli argomenti sono angoli in radianti, si intende qui che la loro
somma va calcolata modulo 2π, cioè a meno di multipli interi di 2π.
In particolare si noti che moltiplicare un numero complesso z per i
(che ha modulo 1 e argomento principale π2 ) significa mantenerne
inalterato il modulo e aumentarne l’argomento principale di π2 , ruotare
dunque complessivamente z di un angolo retto in senso antiorario
rispetto al centro 0.
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I numeri complessi
Calcolo delle potenze: Se z ha rappresentazione trigonometrica
r · (cos 2πx + sen 2πx i) e n è un intero positivo, allora
z n = r n · (cos 2πnx + sen 2πnx i).
Dunque
il modulo della potenza z n è la potenza n-ma del modulo di z,
l’argomento (principale) della potenza z n è il multiplo n-mo
dell’argomento (principale) di z (calcolato a meno di multipli interi
di 2π).
Esempio
√
2π
Sia z = 3 + i = 2 · (cos π6 + sen π6 i), allora z 4 = 24 · (cos 2π
3 + sen 3 i).
Se poi consideriamo i = cos π2 + sen π2 i, deduciamo facilmente
i 2 = cosπ + senπ i = −1.
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I numeri complessi
Calcolo delle radini n-esime
Problema
Sono dati un numero complesso z e un intero positivo n, cerchiamo i
numeri complessi w per cui w n = z.
Se z = 0, l’unica soluzione possibile è w = 0.
Altrimenti rappresentiamo z nella forma trigonometrica
z = r · (cos 2πx + sen 2πx i).
Anche w sarà diverso da 0 e quindi si rappresenterà
trigonometricamente come
w = s · (cos 2πy + sen 2πy i) :
s e y sono da determinare in funzione di r e di x.
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I numeri complessi
D’altra parte sappiamo che
w n = sn · (cos 2πny + sen 2πny i),
dunque z = w n significa
r · (cos 2πx + sen 2πx i) = sn · (cos 2πny + sen 2πny i),
in altri termini
sn = r
e
ny − x ∈ Z
(cioè ny − x = 0, ±1, ±2, . . .).
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I numeri complessi
Ricordiamo poi che r e s sono reali positivi, e deduciamo che
√
s = n r coincide con la radice n-ma di r in R,
x±2
y assume i valori xn , x±1
n , n , . . ., dei quali quelli distinti a meno di
x+n−1
.
una differenza intera sono xn , x+1
n , . . .,
n
In conclusione z ammette esattamente n radici n-me in C, per la
precisione
w=
n
√
r · (cos
2π(x + h)
2π(x + h)
+ sen
i)
n
n
dove h è un naturale < n.
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I numeri complessi
Di particolare interesse è il caso in cui
z = 1 = cos 0 + sen 0 i.
Si hanno allora, per ogni intero positivo n, le n radici n-me di 1
w = cos
2πh
2πh
+ sen
i
n
n
per 0 ≤ h < n. La rappresentazione geometrica e trigonometrica di
queste radici è illuminante. In effetti z = 1 corrisponde al punto (1, 0)
di intersezione tra l’asse delle ascisse e la circonferenza di raggio 1 e
centro 0. Le n radici n-me di 1 definiscono allora gli n vertici distinti del
poligono regolare che ha n lati, è inscritto in questa circonferenza e ha
un vertice, appunto, in (1, 0). Infatti n successive rotazioni di 2π
n
radianti in senso antiorario attorno a 0 (e cioè l’elevamento alla
potenza n-ma) portano ciascuno di questi punti in (1, 0) (cioè in 1).
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I numeri complessi
2π
Se ζn denota cos 2π
n + sen n i, le radici n-me dell’unità in C sono
proprio le potenze distinte 1, ζn , ζn2 , . . . , ζnn−1 di ζn : infatti, per
2πh
0 ≤ h < n, ζnh = cos 2πh
n + sen n i.
Esempi
1. Siano z = 1 = cos 0 + sen 0 i, n = 3. Allora le radici cubiche di 1
in C sono
2πh
2πh
w = cos
+ sen
i
3
3
per 0 ≤ h < 3, dunque in dettaglio
√
2π
2π
1
3
cos 0 + sen 0 i = 1, cos
+ sen
i =− +
i,
3
3
2
2
√
4π
4π
1
3
cos
+ sen
i =− −
i.
3
3
2
2
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I numeri complessi
Esempi
2. Si verifichi che che le quattro radici quarte di 1 in C sono ±1 e ±i.
3. Sia ora z = i = cos π2 + sen π2 i. Le radici quarte di i in C sono
allora
π 2πh
π 2πh
w = cos( +
) + sen( +
)i
8
4
8
4
con 0 ≤ h < 4, quindi, in dettaglio,
π
π
+ sen i,
8
8
cos
5π
5π
+ sen
i,
8
8
9π
9π
+ sen
i,
8
8
cos
13π
13π
+ sen
i.
8
8
cos
cos
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I numeri complessi
Esercizi
Il lettore calcoli
le radici complesse n-me di z in ciascuno dei seguenti
√
casi: z = 3 + i, n = 2; z = 1 + i, n = 2; z = −i, n = 6.
In conclusione, per ogni complesso z 6= 0 e per ogni intero positivo n, il
polinomio di grado n a coefficienti complessi
f (x) = x n − z
ammette esattamente n radici complesse (le n radici n-me distinte di z,
appunto). Questa proprietà è del tutto generale e si estende ad ogni
polinomio f (x) a coefficienti complessi e di grado ≥ 1. Vale infatti il
seguente risultato.
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I numeri complessi
Fondamentale dell’Algebra
Un polinomio f (x) di grado n > 0 a coefficienti complessi in una
indeterminata x ammette sempre esattamente n radici complesse.
Si intende che ogni radice sia considerata con la sua molteplicità: ad
esempio il polinomio f (x) = x 5 ha l’unica radice 0, che però conta 5
volte.
È un risultato basilare di Algebra, visto che sottolinea la capacità che i
numeri complessi hanno di risolvere completamente qualunque
polinomio che li abbia come coefficienti e ammetta un’unica
indeterminata.
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I numeri complessi
Un’ultima osservazione riguarda la possibilità di definire tra i complessi
una relazione di ordine totale che, come nei casi dei razionali e dei
reali, sia compatibile con le operazioni di addizione e moltiplicazione,
nel senso che somma e prodotto di elementi non negativi restino non
negativi e, conseguentemente, nessun quadrato sia negativo.
Tra i complessi nessuna relazione ≤ di questo genere può essere
introdotta: infatti l’elemento non nullo i 2 = −1 = −12 sarebbe rispetto
a una simile relazione ≤ contemporaneamente positivo (come
quadrato) e negativo (come opposto di un quadrato).
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