LABORATORIO III

“Le geometrie della visione”
Liceo Classico Varrone (Rieti) 2005-2006
LABORATORIO III
 Indice degli elementi del laboratorio
- Proposizioni I-16, I-18, I-21 degli Elementi
- Esercizi di equivisione
- Il teorema 5 dell’ottica di Euclide.
- Individuazione geometrica e analitica dei punti del piano di equivisione nella situazione illustrata
dal teorema 5
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Laura Catastini
 Obiettivi disciplinari e formativi della lezione
- Presentazione di alcune proposizioni degli Elementi (teoremi rispettivamente dell’angolo esterno,
del confronto angolo-lati, del punto interno in un triangolo), che servono come prerequisiti al
lavoro successivo sulle proposizioni dell’ottica e come primo approccio al metodo dimostrativo
- Ricerca grafica, attraverso costruzioni con riga e compasso, di punti di equivisione in due
situazioni presentate dagli esercizi.
- Ricerca di un enunciato rigoroso del teorema 5 dell’ottica di Euclide attraverso una discussione
interattiva, con cabri, sulle ipotesi necessarie e sufficienti. Dimostrazione formale del teorema.
- Individuazione geometrica dei punti del piano di equivisione (iperbole equilatera) nella situazione
illustrata dal teorema 5.
SVOLGIMENTO LABORATORIO
♦
Proposizioni I-16, I-18, I-21 degli Elementi
Al fine di fare il punto sugli argomenti finora trattati, a favore soprattutto degli studenti che si sono
aggiunti al gruppo dopo il primo incontro, si è ritenuto opportuno invitare gli studenti stessi a
richiamare, tra i concetti trattati nelle prime due lezioni, quelli a loro giudizio fondamentali. Da
diversi interventi è emerso che il concetto fondamentale risiede nella differenza tra l’essere
geometrico di una figura ed il suo apparire e nel modo in cui questo dipende dalla posizione
dell’osservatore. E’ stato ribadito dagli studenti come la grandezza percepita di una figura dipenda
dall’ampiezza dell’angolo secondo il quale essa viene vista. Una studentessa ha richiamato poi la
definizione accolta di distanza punto segmento, dopo aver precisato che le figure di cui ci si
occuperà posso essere schematizzate con segmenti. Uno studente ha ricordato che tale definizione
non è stata formulata da Euclide e che è una tra altre esistenti.
Prima di passare all’esame dei primi teoremi dell’Ottica, si è ritenuto opportuno, al fine soprattutto
di coinvolgere attivamente poi gli studenti nelle dimostrazioni che verranno affrontate, richiamare
alcuni risultati elementari di geometria euclidea che normalmente dovrebbero essere svolti nella
scuola media inferiore. Si tratta in particolare di alcuni risultati fondamentali della geometria dei
triangoli che permettono di confrontare angoli confrontando lati e viceversa. Precisamente è stato
ricordato (vedi Tavola III-1) l’enunciato dei teoremi:
dell’angolo esterno ( In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli
interni ad esso non adiacenti, essendo la loro somma)
del confronto tra angoli e lati (In un triangolo al lato maggiore è opposto l’angolo maggiore e
viceversa)
del punto interno (In un triangolo ABC, considerato un punto interno P, l’angolo APB è maggiore
dell’angolo ACB)
La maggior parte degli studenti ricordava vagamente tali teoremi, oggetto di studio nella scuola
media inferiore. Al fine di avviarli a una attività autonoma di dimostrazione, sono stati invitati a
dimostrare il teorema del punto interno. Nel tempo loro concesso si sono applicati individualmente
o a piccoli gruppi, in costruzioni geometriche varie sul triangolo preso in esame, ma da tali
costruzioni non emergeva coscientemente l’intento di ricondursi a risultati forniti da altri teoremi
già noti. E’ stata allora data la sollecitazione esplicita a riferirsi al teorema dell’angolo esterno e in
breve due studentesse hanno ricavato la semplice costruzione geometrica che consente, con
riferimento al suddetto teorema, di pervenire alla dimostrazione richiesta.
E’ stata allora colta l’occasione per sollecitare gli studenti a riflettere sulla struttura della Geometria
quale sistema ipotetico-deduttivo: quando si fa un ragionamento si stabilisce la verità di
un’affermazione sulla base di altre affermazioni che si sono precedentemente dimostrate o che si
accettano come vere. Di qui ci si è ricondotti quindi al ruolo dei postulati o assiomi.
♦ Problemi di equivisione
Si pone la domanda: dato un segmento AB, quale è un luogo di punti ponendo nei quali l’occhio il
segmento viene visto grande uguale? Viene specificato agli studenti che non cerchiamo il luogo
geometrico, ma semplicemente un luogo, cioè un insieme di punti che godano tutti della proprietà
richiesta, semplificando in questo modo il compito (vedi lezione 2).
Rifacendosi ai concetti appena richiamati, in breve tutti gli studenti hanno concordato nel definire
come proprietà di tale luogo quella di essere costituito dai vertici O degli angoli AOB di uguale
ampiezza. Alla domanda se tale luogo fosse loro già noto e all’invito a tracciarne il grafico, gli
studenti hanno evidenziato però difficoltà a dare risposta. E’ stato chiesto allora se conoscevano la
definizione di angolo alla circonferenza e di angolo al centro ed è emerso che esse non erano note.
Sono state quindi fornite tali definizioni e quella di angolo alla circonferenza e al centro
corrispondenti, invitandoli a riflettere sulla relazione esistente tra le ampiezze di tali due angoli. E’
stato immediatamente notato da tutti gli studenti che l’angolo al centro ha sempre ampiezza
“maggiore” del corrispondente angolo alla circonferenza ed un alunno ha aggiunto che esistono
infiniti angoli alla circonferenza corrispondenti ad un medesimo angolo al centro e che “a vista”
questi angoli apparivano tutti della medesima ampiezza. Invitati di nuovo ad esprimersi sulla
relazione esistente tra i due angoli, gli alunni hanno dimostrato difficoltà ad orientarsi
autonomamente. Si è allora ritenuto opportuno aiutarli invitandoli a considerare un angolo alla
circonferenza avente un lato contenente un diametro di questa. Sulla base di quanto discusso in
precedenza circa l’importanza di rifarsi a risultati dimostrati precedentemente e di utilizzare a tale
scopo l’intuizione anche per l’individuazione dell’opportuna costruzione grafica funzionale a tale
rimando, diversi alunni hanno in breve ravvisato in tale caso l’applicazione del teorema dell’angolo
esterno e sono pervenuti al risultato che l’angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente
angolo al centro.
Fatto osservare che la dimostrazione prodotta riguardava però un caso particolare, si sono invitati
gli studenti a dimostrare il risultato ottenuto anche nel caso in cui il centro della circonferenza cade
all’interno e all’esterno dell’angolo alla circonferenza considerato. Anche in tali due casi gli
studenti, dopo qualche confronto tra loro riguardo la costruzione geometrica di cui servirsi, si sono
avvicinati alla dimostrazione sempre applicando il teorema dell’angolo esterno.
La dimostrazione della relazione esistente tra angolo al centro e qualsiasi angolo alla circonferenza
ad esso corrispondente ha quindi aperto la strada alla conferma dell’osservazione precedentemente
avanzata da un alunno circa il fatto che tali angoli fossero tutti uguali tra loro. È stata letta allora la
proposizione 2 del libro 3 degli Elementi di Euclide, che dice: In un cerchio l'angolo al centro è il
doppio dell'angolo alla circonferenza quando essi abbiano lo stesso arco come base" e di qui
all’individuazione del luogo1 di “equivisione”, da cui si era partiti, il passo è stato breve: gli studenti
hanno immediatamente indicato come luogo cercato l’arco di circonferenza passante per gli estremi
A e B del segmento osservato e per il punto O in cui si inizia a fissare l’occhio.
Si sono affrontati graficamente due problemi di equivisione (vedi Tavola III-2, soluzioni Tavola
III-3 )
Esercizio 1
Sono dati i segmenti AB e CD e il punto O al vertice del quadrato di lato AB, come in figura (AB =
2CD). AB è in questo caso visto da O maggiore di CD. Trovare, se esistono, i punti per i quali i
segmenti AB e CD sono entrambi visti come si vede AB da O.
Esercizio 2
Risolvere con riga e compasso: sono dati i segmenti AB e CD, e l’occhio, posto al vertice del
triangolo equilatero AOB. Determinare i punti del piano dai quali AB e CD si vedono come AB è
visto da O
Gli esercizi sono stati risolti dagli studenti con qualche suggerimento da parte di noi insegnanti. È
stato osservato che problemi simili possono sorgere in architettura, nel caso ad esempio nel quale in
uno spazio aperto (piazza, parco, ecc…) si voglia individuare e privilegiare un punto di
osservazione nel quale costruzioni, complessi, oggetti artistici o naturali, vengano visti della stessa
grandezza pur non essendolo.
♦
Teorema 5 dell’Ottica
Si è fornito l’enunciato del teorema 5 dell’Ottica e la figura che lo accompagna, precisando che il
testo dei teoremi dell’Ottica, come per molte altre opere pervenuteci dall’antichità, sono spesso
1
Per le estensioni al luogo geometrico vedi in fondo Appendice Nota 1
esposti in maniera incompleta e approssimativa e solo ricorrendo alla figura e alla dimostrazione è
possibile ricostruirne integralmente l’ipotesi.
Teorema 5 dell’Ottica– Grandezze uguali poste a distanze diverse appaiono diverse, e più grande
sempre quella che sta più vicino all’occhio.
In questo enunciato non vengono formulate ipotesi sulla natura e posizione delle grandezze uguali.
In altri teoremi, che si riferiscono sempre a grandezze uguali, le ipotesi sulla reciproca posizione dei
segmenti sono ben precisate. Ugualmente la posizione dell’occhio, molto importante per la validità
del teorema, non è chiarita dall’enunciato. La figura che si trova di seguito al testo fa pensare ai due
segmenti come lati opposti di un rettangolo e sembra fissare l’occhio nella striscia di piano
sottostante. La dimostrazione del teorema che troviamo nel testo euclideo, relativa a questo caso, si
basa sulla semplice osservazione che l’angolo visivo relativo al segmento più lontano, essendo
contenuto nell’angolo visivo del segmento più vicino, è più piccolo (la parte è più piccola del tutto
secondo la 'nozione comune' esplicitamente enunciata negli Elementi) e quindi, per la premessa 4 ,
il segmento è visto più piccolo.
L’enunciato così come ci è giunto sembra riprendere un luogo comune : se due oggetti sono uguali,
quello più lontano si vede più piccolo. Luogo comune che, a una analisi critica più approfondita,
risulta, come vedremo, falsificabile.
Per studiare meglio la questione, usiamo un’animazione nella quale possiamo muovere l’occhio e i
punti A e D.
Animazione III-1
Nella finestrella semicircolare sono riportati i due angoli visivi in modo da poterli confrontare tra
loro direttamente. L'occhio è più vicino al segmento AB quando si trova nel semipiano sotto l'asse
orizzontale. Muovendo l'occhio in questo semipiano, fuori dalla striscia, si trovano punti dai quali il
segmento più vicino è visto più piccolo! Una possibile riformulazione del teorema potrebbe essere
la seguente:
Teorema 5: Due segmenti uguali AB e CD, che formano i lati opposti di un rettangolo, visti da un
punto interno alla striscia di piano delimitata dalle rette AC e BD, appaiono diversi e più grande
quello più vicino all’occhio.
Dimostrazione: tracciamo la perpendicolare OK al segmento CD. Gli angoli visivi da confrontare
sono divisi in due parti. Possiamo confrontare con uno stesso ragionamento l'angolo KOC con
l'angolo HOA e l'angolo KOD con l'angolo HOB e dimostrare che l'uno è più piccolo dell'altro.
Sommandoli si avrà anche che COD < AOB. Ci resta quindi da dimostrare che l'angolo KOC è
minore dell'angolo HOA. Aiutiamoci in questo con la figura animata traslando il triangolo AHO,
afferrando il punto A, fino a far coincidere HA con KC.
Animazione III-2
In questa situazione OK > OH perché per ipotesi O è interno alla striscia e quindi la distanza di O
dai due segmenti è data dalle perpendicolari OH e OK e O è più vicino ad AB. Da questo segue che,
in seguito alla traslazione, il punto P cade internamente al segmento OK e quindi, per il teorema
dell’angolo esterno applicato al triangolo grigio che si è venuto formando, l’angolo APH è più
grande dell’angolo COK.
L'ipotesi che abbiamo fatto per poter dimostrare il teorema, l'ipotesi cioè il punto di vista sia situato
all'interno della striscia ortogonale ai due segmenti, è stata sufficiente per eseguire la nostra
dimostrazione, perché in quel caso il punto K cade all'interno del segmento AB, ma non è
sicuramente necessaria. Abbiamo trovato sperimentalmente altri punti di vista, fuori dalla striscia
ortogonale, dai quali AB appare più grande di CD. Per trovare i punti dai quali AB è visto più
grande di CD, possiamo considerare due circonferenze dello stesso raggio l'una passante per i punti
AB e l'altra per i punti CD . Nei punti d'intersezione i segmenti saranno visti sotto lo stesso angolo.
La linea di biforcazione che separa la zona di piano dove l'angolo COD è maggiore dell'angolo
AOB da quella dove è l'angolo COD è minore dell'angolo AOB, è una iperbole. La figura animata,
spostando il punto T, permette di visualizzare questo luogo.
Animazione III-3
È possibile trovare l’equazione cartesiana del luogo (vedere Tavola III- 4)
APPENDICE NOTE
Nota 1 Non possiamo pensare che l’arco di circonferenza sia il luogo geometrico dal quale si vede
ugualmente il segmento AB. La definizione di luogo geometrico infatti impone che l’ insieme di
punti che lo costituisce non solo soddisfi nella sua totalità una proprietà data, in questo caso
l’equivisione, ma che anche esaurisca tutti i punti del piano che hanno tale proprietà. Questa ultima
condizione non è soddisfatta dai punti dell’arco, che non sono gli unici da cui si vede AB sotto il
medesimo angolo.
Nella figura seguente è costruito un punto Z fuori dalla circonferenza, che pure vede il segmento
AB sotto l’angolo α e che quindi toglie all’arco APB la qualità di luogo “geometrico” di
equivisione, lasciando alla parola “luogo” un significato meno tecnico.
Fig. 1.
Il punto Z è stato ottenuto con una semplice costruzione: da un punto O dell’arco APB si traccia la
perpendicolare ad AB e su tale perpendicolare si prende ZH = OH. Lasciamo per esercizio la
dimostrazione che gli angoli in O e in Z che sottendono AB sono uguali.
Se pensiamo di fare questa operazione per ogni punto del l’arco (in pratica stiamo eseguendo una
simmetria assiale di asse AB), otteniamo questo insieme L di punti
Fig. 2.
L’insieme dei punti L così realizzato è un luogo geometrico: è il luogo dei punti dai quali il
segmento AB viene visto sotto lo stesso angolo.
La dimostrazione di quanto affermato è semplice: abbiamo appena visto che tutti i punti del luogo
soddisfano la proprietà richiesta, ci resta da provare che solo loro hanno tale proprietà. Questo è
vero per il seguente teorema:
IV. TEOREMA – Se T è un qualunque punto interno all’insieme L allora il segmento AB viene
visto da T più grande che da un qualunque punto di L, se T è invece è esterno il segmento AB viene
visto più piccolo –
Ipotesi: T è interno a L
Dimostrazione
Tesi: ATB > AOB
–
Sia T interno a L. Sia O sul prolungamento di AT. L’angolo ATB, poiché è esterno al
triangolo BTO è più grande dell’angolo AOB quindi AB si vede più grande dal punto T che
dal punto O.
Fig. 3.
–
Se T è esterno a L si può procedere nello stesso modo come chiaramente mostrato dalla
figura B
C.V.D.
Il teorema che abbiamo dimostrato ci permette di risolvere definitivamente il seguente problema:
dato un segmento AB e due punti O e O’ da quale posizione la grandezza AB è vista più grande?