Teoria intuitiva degli insiemi

Teoria intuitiva degli insiemi
Il concetto di insieme. Alcuni esempi
Tutta la matematica moderna è fondata sul concetto di “insieme”. Un insieme è da
considerarsi nella sua nozione intuitiva di collezione, gruppo, famiglia, agglomerato di
oggetti (di qualsiasi specie, siano essi numeri, persone, piante, elementi chimici, ecc.)
definita in modo tale che sia chiaro, senza ambiguità, se un oggetto appartiene o non
appartiene a tale collezione. Tali oggetti si chiamano elementi dell’insieme.
Per esempio, è un insieme la totalità degli studenti della Facoltà di Farmacia
dell’Università di Cagliari dell’a. a. 2011/12. Non ha senso invece considerare l’insieme
degli studenti intelligenti, dal momento che preso uno studente sarebbe impossibile
riuscire senza ambiguità a stabilire se tale studente appartiene o no all’insieme.
Altri esempi di insieme possono essere:
- l’agglomerato dei pazienti di un ospedale (è facile stabilire, senza ambiguità, se una
persona risulta o no paziente di un certo ospedale),
- la totalità dei numeri pari (dato un numero naturale, si può determinare se esso sia o no
divisibile per 2 e quindi se sia o no un numero pari e appartenga all’insieme),
- la collezione dei docenti di ruolo della Facoltà di Farmacia dell’Università di Cagliari in
servizio ad una certa data.
Gli insiemi si indicano usualmente con le lettere maiuscole A, B, C, … racchiudendo in
parentesi graffe gli elementi che appartengono all’insieme. Per esempio
S = {vista, udito, olfatto, gusto, tatto}
è l’insieme dei cinque sensi, oppure
A = {1, 2, 4, 8}
è l’insieme dei divisori del numero 8. Un modo per rappresentare graficamente un insieme
è disegnare una figura geometrica di questo tipo:
• vista
S
•1
•2
• udito
• olfatto
• gusto
•4
•8
• tatto
Insieme dei divisori di 8
Insieme dei 5 sensi
A
Entrambi gli insiemi S ed A rappresentati nella figura sono esempi di insiemi finiti, cioè
formati da un numero finito di elementi (5 elementi nel primo caso, 4 nel secondo). Invece
un esempio di insieme infinito è l’insieme dei numeri naturali, usualmente indicato con la
lettera N,
N = {1, 2, 3, 4, …..}.
Un altro esempio di insieme infinito è l’insieme dei numeri relativi
Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ….}
o l’insieme dei numeri reali, denotato con la lettera R. Conosceremo più approfonditamente questi insiemi numerici nel proseguo del corso.
Per esprimere, in maniera più abbreviata, che un oggetto appartiene ad un insieme si usa
il simbolo
∈
e si legge “appartiene a”. Per esempio, per dire che il numero 43 appartiene all’insieme dei
numeri naturali si scrive semplicemente
43 ∈ N.
Analogamente si ha, per esempio, che
vista ∈ S
π∈R
B. Cappelletti Montano ∈ {docenti di ruolo della Fac. di Farmacia dell’Univ. di Cagliari}
dove S denota sempre l’insieme dei cinque sensi.
Invece, per dire che un oggetto non fa parte di un insieme si usa il simbolo
∉
(si legge: “non appartiene a”). Per esempio,
intuito ∉ S
π∉N
5 ∉ {numeri pari}.
Per insiemi molto grandi non è spesso conveniente o talvolta è proprio impossibile
elencarne tutti gli elementi. Quindi essi vengono definiti per mezzo di parole o espressioni
matematiche. Per esempio non siamo in grado di enumerare tutti i numeri reali più grandi
di 7. Perciò tale insieme potrà essere definito nel modo seguente
{x ∈ R tali che x > 7}
(a parole: “l’insieme degli x appartenenti a R tali che sono maggiori di 7”). Spesso – ma è
solo una questione di simboli – al fine di utilizzare una scrittura più abbreviata, al posto
delle parole “tali che” potranno essere usati i simboli : oppure |. Per esempio la scrittura
{x ∈ R | x2 = 4}
indica l’insieme dei numeri reali che elevati al quadrato danno 4, cioè l’insieme delle
soluzioni dell’equazione di secondo grado x2 = 4. Come è noto, le soluzioni di questa
equazione sono i numeri 2 e –2, pertanto possiamo scrivere
{x ∈ R | x2 = 4} = {2, –2}.
Più in generale due insiemi A e B si dicono uguali, e ciò si indica con il simbolo A = B,
quando contengono esattamente gli stessi elementi. Prova a dire a cosa è uguale questo
insieme: {n ∈ Z | n ≥ 0}.
Concludiamo il paragrafo chiedendoci se è possibile considerare un insieme che non
abbia elementi. La risposta è sì e tale insieme si chiama insieme vuoto e si indica con il
simbolo ∅. Per esempio, {x ∈ R | x2 = –1} = ∅ (cioè l’insieme delle soluzioni dell’equazione x2 = –1 è uguale all’insieme vuoto) perché l’equazione x2 = –1 non ammette alcuna
soluzione, dato che non può esistere alcun numero reale x che elevato al quadrato sia
uguale ad un numero negativo.
Sottoinsiemi
Consideriamo l’insieme B di tutti i farmaci (in commercio in Italia, questo sarà sempre
sottointeso) e l’insieme A dei farmaci antipiretici. Chiaramente tutti gli elementi di A sono
anche elementi di B (ogni antipiretico è, ovviamente, un farmaco). Possiamo
rappresentare graficamente questa situazione in questo modo:
A
B
Più in generale, se tutti gli elementi di un insieme A sono anche elementi di un insieme B,
diremo che A è un sottoinsieme di B. Questa circostanza viene indicata in matematica
con il simbolo:
A ⊂ B.
Ogni insieme è sottoinsieme di se stesso: A ⊂ A. Inoltre l’insieme vuoto, non contenendo
alcun elemento, è sottoinsieme di qualunque insieme.
Esempi
1. L’insieme {1,2,3} costituito dai primi tre numeri naturali ha i seguenti sottoinsiemi, oltre
all’insieme vuoto e a se stesso,
{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}.
2. Consideriamo l’insieme A di tutte le malattie cardiovascolari e l’insieme B = {angina
pectoris}. Allora B ⊂ A.
3. Indichiamo con A l’insieme dei quadrilateri, B l’insieme dei rombi e C l’insieme dei
quadrati. Allora si ha che C ⊂ B ⊂ A.
Operazioni tra insiemi: unione, intersezione e differenza
Dati due o più insiemi, attraverso delle semplici operazioni, possiamo ottenere un nuovo
insieme. Fra queste vi sono l’unione, l’intersezione e la differenza tra insiemi. Vediamole
più da vicino.
L’unione di due insiemi A e B è l’insieme, denotato A ∪ B, i cui elementi sono esattamente
gli elementi che appartengono ad A oppure che appartengono a B. Più brevemente:
A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}.
La figura sotto dovrebbe aiutare a chiarire il concetto
A
B
:
A∪B
In altre parole, l’operazione di unione serve a costruire un nuovo insieme, più “grande” di A
e di B, ottenuto aggiungendo agli elementi di A anche quelli di B.
Esempi
1. Consideriamo gli insiemi A = {-2, 0, 1} e B = {1, 2, 3, 4} (come avrai già riconosciuto essi
sono sottoinsiemi dell’insieme Z dei numeri relativi). Allora l’unione di questi due insiemi è
data da
A ∪ B = {-2, 0, 1, 2, 3, 4}.
2. Denotiamo con A l’insieme degli anti-infiammatori non-steroidei e con B l’insieme dei
farmaci cortisonici. Allora l’unione di A e B non è altro che l’insieme di tutti i farmaci antiinfiammatori.
Ora consideriamo gli stessi insiemi A e B della figura in alto. Si chiama intersezione di A e
B l’insieme, denotato con il simbolo A ∩ B, che è costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B. Più brevemente:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.
In altre parole, A ∩ B è la collezione degli elementi che i due insiemi A e B hanno in
comune. Ciò è ben illustrato dalla figura in basso. In tal caso A ∩ B è l’insieme rappresentato dalla figura geometrica di colore viola.
A
B
A∩B
Può anche capitare che due insiemi non abbiano alcun elemento in comune. In questo
caso A ∩ B = ∅, cioè i due insiemi hanno intersezione vuota.
Esempi
1


1. − π , , 10, 11, 12 ∩ {π , 10, 11, 50} = {10, 11}, dato
2


che i numeri 10 e 11 sono gli unici elementi in
comune ai due insiemi.
B
A
• -π
• 12
• 1/2
• 10
• 11
•π
• 50
2. R ∩ N = N. Infatti ogni numero naturale è anche un numero reale.
3. Sia A l’insieme dei rettangoli e B l’insieme dei rombi. Allora A ∩ B è l’insieme di quei
rombi (cioè dei quadrilateri con quattro lati uguali) che sono contemporaneamente anche
dei rettangoli (cioè i cui lati formano angoli retti). Quindi A ∩ B è l’insieme dei quadrati.
Infine, un’altra operazione tra insiemi è la “differenza tra due insiemi”. La differenza tra
due insiemi A e B è quell’insieme, denotato con il simbolo A – B, i cui elementi sono gli
elementi di A che non appartengono a B:
A − B = {x ∈ A | x ∉ B}.
La due figure in basso dovrebbero chiarire il concetto. A – B è rappresentato dalla figura di
colore azzurro ottenuta “sottraendo” a tutto l’insieme A quei punti che appartengono anche
a B.
A
B
A–B
A–B
A
B
A–B
Esempi
1. {-1, 0, 4, 5} – {-1, 4} = {0, 5}. Infatti 0 e 5 sono tutti e soli gli elementi del primo insieme
che non appartengono anche al secondo.
2. Consideriamo ancora l’insieme A degli anti-infiammatori e l’insieme B dei cortisonici.
Allora l’insieme differenza A – B non è nient’altro che l’insieme di tutti gli anti-infiammatori
non steroidei.
Simbologia
Come ti sarai accorto, spesso in Matematica si tende ad usare dei simboli in luogo di
espressioni di parole. Questo sia per una questione di comodità, per evitare di scrivere
espressioni matematiche troppo lunghe, sia per poter disporre di un linguaggio universale
comune a scienziati e persone (non necessariamente matematici) di diversa nazionalità.
Riassumiamo qui sotto alcuni di questi simboli con il relativo significato. Si tratta
ovviamente di simboli che non vanno assolutamente “imparati a memoria”. Alcuni di essi
senz’altro ti sono già noti … gli altri diventeranno più familiari con il loro uso. In ogni caso
può sempre essere utile, anche per il futuro, disporre di una tabella che possa mostrare il
significato di qualche simbolo, incontrato in un libro, articolo scientifico, ecc., di cui si ignori
o non ci si ricordi in quel momento il significato.
a≠b
a>b
a≥b
a<b
a≤b
|a|
x∈A
x∉A
|
:
∃
∀
a è diverso da b
a è maggiore di b
a è maggiore o uguale a b
a è minore di b
a è minore o uguale a b
valore assoluto di a
x appartiene all’insieme A
x non appartiene all’insieme A
tale che
esiste
per ogni
A⊂B
A∪B
A∩B
A–B
N
Z
Q
R
⇒
⇔
∅
A è sottoinsieme di B
unione di A e B
intersezione di A e B
differenza di A e B
insieme dei numeri naturali
insieme dei numeri relativi
insieme dei numeri razionali
insieme dei numeri reali
implica
è equivalente a (opp. “se e solo se”)
insieme vuoto
In particolare è bene mettere in evidenza il significato del simbolo di implicazione “⇒”, che
viene usato abbastanza di frequente. Questo simbolo si usa per esprimere in forma
abbreviata che “se succede P allora capita anche Q”. Scriveremo “P ⇒ Q” e si legge “P
implica Q”.
Per esempio consideriamo la frase “Se Andrea è un alunno italiano allora è un alunno
europeo”. Questo si può abbreviare scrivendo
Andrea è alunno italiano ⇒ Andrea è alunno europeo
dove quindi come enunciato P abbiamo preso la frase “Andrea è alunno italiano” e come
enunciato Q la frase “Andrea è alunno europeo”. Si noti che se P ⇒ Q non è affatto detto
che Q ⇒ P. Nell’esempio precedente, chiaramente il fatto che Andrea è un alunno
europeo non implica che egli sia necessariamente italiano.
Quando accade che date due frasi P e Q, si ha che P ⇒ Q e nello stesso tempo anche
che Q ⇒ P, diremo che P e Q sono equivalenti e per esprimere questo concetto si usa il
simbolo P ⇔ Q (si legge “P equivale a Q”, oppure “P se e solo se Q”).
Facciamo un esempio. Prendiamo come frase P “Andrea ha superato l’esame di
Matematica” e come frase Q “Andrea ha ottenuto un voto almeno pari a 18/30 all’esame di
Matematica”. Chiaramente la prima frase implica la seconda (se uno studente ha superato
un esame deve per forza aver preso almeno 18) … ma anche la seconda frase implica la
prima (se si prende almeno 18 si supera l’esame). Le due frasi sono quindi del tutto
equivalenti.