Corso di Laurea in Matematica - 2013/2014 - Esame di Geometria 1 PRIMA PROVA INTERMEDIA - 6/2/2014 - Versione 3 Cognome Numero di matricola Nome Corso Voto ATTENZIONE. Riportare lo svolgimento completo degli esercizi. I soli risultati, anche se corretti, non vengono presi in considerazione. Esercizio 1 a) (2 punti) b) (3 punti) c) (2 punti) Esercizio 2 a) (2 punti) b) (3 punti) c) (3 punti) d) (2 punti) Esercizio 3 a) (3 punti) b) (2 punti) c) (2 punti) d) (3 punti) e) (2 punti) f) (3 punti) Esercizio 1 Consideriamo la matrice reale: −2 1 2 1 , A := k + 1 0 k−1 k k+2 dove k è un parametro reale. a) Determinare il rango e il determinante di A al variare di k. (2 punti) b) Per k = 0, verificare che A è invertibile e determinare A−1 . (3 punti) c) Per k = 1, determinare l’insieme dei vettori b di R3 per cui il sistema lineare Ax = b è compatibile. (2 punti) Soluzione a) det(A) = (k + 3)(k − 1). rk(A) = 3 se k 6= −3 e k 6= 1, altrimenti rk(A) = 2. b) Per k = 0, la matrice A è invertibile perché ha rango massimo, e si ha 0 2/3 −1/3 A−1 = 1 2/3 −4/3 . 0 1/3 1/3 c) Sia k = 1. Il sistema lineare Ax = b è compatibile se e solo se b appartiene al sottospazio W di R3 generato dalle colonne di A. Dato che rk(A) = 2, abbiamo dim W = 2. Le prime due colonne (−2, 2, 0), (1, 0, 1) sono linearmente indipendenti, pertanto formano una base di W . In conclusione i vettori b di R3 per cui il sistema lineare è compatibile sono tutti e soli i vettori {(−λ + µ, λ, µ) | λ, µ ∈ R}. Esercizio n. 2 Nello spazio vettoriale V3 , riferito ad una base ortonormale positiva B = {i, j, k}, si considerino i vettori: u = i − j + k, v = 3i + j − 2k, w = −i + 5j − 6k, z = −2i + j + k. a) Determinare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale H = L(u, v, w). (2 punti) b) Determinare il vettore p proiezione ortogonale di z su H. (3 punti) c) Scrivere p come combinazione lineare dei vettori u, v, w. Dire inoltre, giustificando la risposta, se la combinazione lineare trovata è unica. In caso non sia unica determinare una seconda combinazione lineare di u, v, w che rappresenti p. (3 punti) d) Dire se le seguenti coppie di sottospazi sono supplementari: H e L(u), H e L(z), L(u) e L(z). (2 punti) Soluzione a) Risulta dim(H) = 2 e {u, v}, {u, w}, {v, w} sono basi di H. b) Abbiamo: u = (1, −1, 1), v = (3, 1, −2), z = (−2, 1, 1), u ∧ v = (1, 5, 4), ku ∧ vk2 = 42, z · u ∧ v = 7. Il vettore proiezione ortogonale di z sul piano vettoriale H è 13 1 1 z·u∧v u∧v = − , , p=z− . ku ∧ vk2 6 6 3 c) I vettori u, v, w sono linearmente dipendenti, pertanto il vettore p si scrive in infiniti modi come combinazione lineare di u, v, w alcune delle quali sono le seguenti: 1 8 1 2 1 5 1 1 2 p = − u − v = − u − w = − v + w = − u − v − w. 3 2 3 2 3 6 3 4 4 d) H e L(u) non sono supplementari perché non sono in somma diretta, infatti L(u) ⊂ H. H e L(z) sono supplementari. Infatti z 6= p, quindi z 6∈ H. Allora H e L(z) sono in somma diretta, e la loro somma diretta ha dimensione 3, per cui H ⊕ L(z) = V3 . Infine L(u) e L(z) non sono supplementari, infatti sono in somma diretta ma dim L(u)⊕L(z) = 2, quindi L(u) ⊕ L(z) 6= V3 . Esercizio n. 3 Sia W ⊆ R3 l’insieme delle terne (y1 , y2 , y3 ) tali che 2 1 2 1 1 y3 0 y1 det 1 0 1 1 = 3. −1 y2 3 0 a) Verificare che W è un sottospazio vettoriale di R3 , calcolarne la dimensione e trovarne una base. (3 punti) b) Determinare l’intersezione W ∩ V , dove V è il sottospazio di R3 generato dai vettori (1, −1, 0) e (1, −2, −2). (2 punti) c) Sia F : R4 → R3 l’unica applicazione lineare tale che F (e1 ) = (0, 4, −1), F (e2 ) = (2, 0, −2), F (e3 ) = (−1, 8, −1), F (0, 0, 1, 1) = (2, 4, −3). Dimostrare che Im F = W . (2 punti) d) Determinare la dimensione e una base del nucleo di F . (3 punti) e) Determinare un sottospazio vettoriale H ⊂ R4 , di dimensione 2, tale che F (H) = W , e un sottospazio vettoriale U ⊂ R4 , di dimensione 3, tale che F (U ) 6= W . (2 punti) f) Determinare F −1 (4, 4, −5) e F −1 (1, 1, 0). (3 punti) Soluzione a) Il determinante è −4y1 − y2 − 4y3 + 3, per cui W = {y ∈ R3 | 4y1 + y2 + 4y3 = 0}. Vediamo quindi che W è un sottospazio vettoriale, perché è definito da un’equazione lineare omogenea, e che dim W = dim R3 − 1 = 2, perché l’equazione è non banale. Una base di W è, per esempio, {(1, 0, −1), (1, −4, 0)}. b) W ∩ V = L((3, −4, −2)) e (3, −4, −2) = 2(1, −1, 0) + (1, −2, −2). c) I vettori e1 , e2 , e3 , (0, 0, 1, 1) formano una base di R4 , pertanto le loro immagini generano Im F . Si verifica che i vettori F (e1 ), F (e2 ), F (e3 ), F ((0, 0, 1, 1)) appartengono tutti a W , quindi Im F ⊆ W . D’altronde F (e1 ) e F (e2 ) sono linearmente indipendenti, per cui 2 ≤ dim Im F ≤ dim W = 2. Ne segue che Im F = W . d) e4 = (0, 0, 1, 1) − e3 , quindi F (e4 ) = F ((0, 0, 1, 1)) − F (e3 ) = (3, −4, −2). Consideriamo la matrice 0 2 −1 3 0 8 −4 ; A= 4 −1 −2 −1 −2 allora si ha F (x) = Ax = 2x2 − x3 + 3x4 , 4x1 + 8x3 − 4x4 −x1 − 2x2 − x3 − 2x4 x1 x2 dove x = x3 . x4 Abbiamo dim ker F = dim R4 − dim Im F = 2, quindi ker F = {x ∈ R4 | 2x2 − x3 + 3x4 = x1 + 2x3 − x4 = 0}. Una base per ker F è {(−7, 0, 3, −1), (−4, 1, 2, 0)}. e) Per esempio: H = L(e1 , e2 ), U = ker F ⊕ L(e1 ) = L((−7, 0, 3, −1), (−4, 1, 2, 0), (1, 0, 0, 0)). f) (1, 1, 0) 6∈ W , per cui F −1 (1, 1, 0) = ∅, mentre F −1 (4, 4, −5) = {(−7a − 4b, 1 + b, 1 + 3a + 2b, 1 − a) | a, b ∈ R} .