Appunti di Algebra Lineare Spazi Vettoriali

Appunti di Algebra Lineare
Spazi Vettoriali
11 aprile 2013
”La Biblioteca è una sfera il cui centro esatto è qualsiasi esagono, e la cui circonferenza è
inaccessibile.”
J. L. Borges, Finzioni - La Biblioteca di Babele
1
Note: Nel secondo foglio di esercizi:
1. il terzo ‚ dell’Esercizio 2.5. ha soluzione L : x2 + y2 + z2 ´ 4xy ´ 4yz ´ 4xz = 0.
2. il primo ‚ dell’Esercizio 3.8 ha soluzione S X r = t (0, 0, 0), (´2, 0, ´2) u.
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
In questo foglio di esercizi: se V è spazio vettoriale e u 1 , . . . , u h P V, indicherò con L t u 1 , . . . , u h u
Ñ
Ñ
ciò che a lezione è stato indicato [ u 1 , . . . , u h ]. A scanso di equivoci, si tratta del sottospazio lineare
ˇ
#
+
h
ˇ
ÿ
Ñ ˇ
ai u i ˇ ai P R Ď V.
ˇ
i=1
Ñ
Ñ
Si ricordi che dim L t u 1 , . . . , u h u ď h.
Indice
1 Ripasso di Teoria
1.1 Basi e Dimensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
4
2 Esercizi su Spazi Vettoriali e Dimensione
5
1
1.1
Ripasso di Teoria
Basi e Dimensione
Ñ
Ñ
Ricordiamo che un sistema di vettori B = t v 1 , . . . , v n u di uno spazio vettoriale V si dice una
Ñ
base quando i v i sono linearmente indipendenti (LI) e generano V.
Ñ
Ñ
Essere linearmente indipendenti significa che una loro combinazione lineare a1 v 1 + ¨ ¨ ¨ + an v n
dà il vettore nullo soltanto quando tutti i coefficienti ai P R sono nulli. (Un sistema di vettori è
linearmente dipendente (LD) se e solo se uno dei suoi vettori si scrive come combinazione lineare
Ñ
dei rimanenti.) Generare V significa invece che ogni v P V si scrive come combinazione lineare dei
Ñ
v i . Se B è una base di V, diciamo che dim V = n, cioè: la dimensione è il numero di elementi in
una (qualunque) base. Ad esempio, dim Rn = n.
Si noti che se ho una base B e ci aggiungo dei vettori a caso, ottengo ancora un insieme di
generatori per V; ma di certo perdo l’indipendenza lineare; viceversa, se tolgo generatori da una
base, continuo ad avere vettori linearmente indipendenti, ma adesso sono troppo pochi per generare
tutto lo spazio. In altre parole: una base (per definizione un sistema di generatori indipendenti) è
un sistema massimale di vettori linearmente indipendenti o, equivalentemente, un sistema minimale
di generatori.
Ñ
Ñ
Attenzione! Si noti che, dato uno spazio del tipo W = L t u 1 , . . . , u m u, il fatto che ci siano m
vettori generanti non implica che dim W = m. Infatti, questi m vettori per definizione generano
W, ma nessuno ci assicura che siano LI! Potrei ad esempio poter scrivere il primo come combinazione
dei rimanenti. Ciò che è certo è che dim W ď m. Per trovare una base di W bisogna individuare
2
Qua c’è l’essenza delle basi
Ð−
tutti i vettori generanti che si scrivono come combinazione lineare degli altri, e buttarli via. Ciò
che resta è una base.
Quindi per costruire una base si può agire in due modi: togliere i vettori ’sovrabbondanti’ da
un insieme di generatori (dove ’sovrabbondanti’ significa: scrivibili come combinazione lineare degli
altri) finché non si trova un sistema LI; oppure aggiungere vettori a un sistema LI finché non si
raggiunge un sistema di generatori. Una base è un insieme di vettori ’equilibrato’, nel senso che ci
sono abbastanza vettori da generare tutto lo spazio, ma non cosı̀ tanti da ammettere relazioni di
dipendenza lineare!
Supponiamo di voler costruire un insieme massimale di vettori LI in V (una base), dove dim V =
Ñ
n. Scegliamo allora un primo vettore v 1 P V. Lui da solo, neanche a dirlo, è LI. Come sceglierne un
Ñ
Ñ
v 2 che sia LI da v 1 ? Beh, il secondo è sempre facile da scegliere: basta prenderlo non proporzionale
1
al primo! Dal terzo in su, non è più cosı̀ evidente come sceglierlo. Tuttavia, è vero questo: una volta
Ñ
Ñ Ñ Ñ
che il terzo vettore v 3 è stato scelto, si può affermare che t v 1 , v 2 , v 3 u è LI esattamente quando la
Ñ Ñ Ñ
Ñ Ñ
Ñ
matrice ( v 1 v 2 v 3 ) P Rn,3 ha rango2 3 (cioè rango massimo). E cosı̀ a salire con v 4 , v 5 , . . . , v n .
Ñ
Example 1.1. In R2 la situazione è piuttosto semplice. Scelto un vettore v 1 P R2 , come si
trova una base? Basta prenderne un altro che non sia parallelo al primo! cioè va scelto con un
Ñ
Ñ
un’altra direzione. In altre parole, deve essere v 1 ^ v 2 ‰ 0.
Ñ
Example 1.2. In R3 si può fare cosı̀ per trovare una base. Si sceglie un primo vettore v 1 , un
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
secondo vettore v 2 non parallelo al primo e si trova v 3 = v 1 ˆ v 2 . Dovremmo ricordare per sempre
3
il seguente fatto: tre vettori di R sono linearmente dipendenti ðñ sono complanari ðñ il loro
prodotto misto è nullo. In altre parole, abbiamo un criterio concreto per stabilire se abbiamo in
Ñ Ñ Ñ
mano o meno una base di R3 : tre vettori v 1 , v 2 , v 3 P R3 formano una base esattamente quando
il loro determinante
v11 v12 v13 Ñ
Ñ
Ñ
v 1 ^ v 2 ^ v 3 = v21 v22 v23 ‰ 0.
v31 v32 v33 Remark 1.1. Se in un sistema di vettori compare il vettore nullo, quel sistema non è mai LI.
(Perché?)
Remark 1.2. Se sai che dim V = n e hai n vettori, allora per controllare se formano una base
puoi limitarti a controllare se sono LI; oppure puoi scegliere di controllare se generano V. A tua
scelta! (Perché?)
Remark 1.3. Sia n = dim V. Se m ă n, allora m vettori di V, per quanto possano essere
LI, non generano V (e quindi non formano una base). Se invece m ą n, allora m vettori, per
quanto possano generare V, sono di certo linearmente dipendenti (e quindi non formano una base).
Esempio: 4 vettori di R3 sono sempre LD.
1
2
Perché? Scrivete i dettagli: basta una riga!
Se questa parola non è ancora stata definita, si ritorni su questa frase a tempo debito.
3
1.2
Sottospazi vettoriali
Un sottoinsieme non vuoto W Ď V di uno spazio vettoriale V è detto sottospazio vettoriale se
risulta uno spazio vettoriale per le operazioni (somma vettoriale e prodotto scalare per vettore)
rispetto a cui V è spazio vettoriale. In altre parole, W deve contenere tutte le combinazioni lineari
formate a partire dai propri elementi. Precisamente:
Un insieme non vuoto W Ď V è sottospazio vettoriale di V
õ
Ñ Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
Per ogni u, v P W si ha u + v P W, e per ogni λ P R si ha λ ¨ u P W
õ
Ñ Ñ
Ñ
Ñ
Per ogni u, v P W e per ogni λ, µ P R si ha λ ¨ u + µ ¨ v P W
Consiglio pratico: Quando vi chiedete se un sottoinsieme W Ă V è sottospazio di V, la prima
cosa da fare (perché in genere è molto veloce) è controllare se il vettore nullo sta in W. Se non ci
sta, W non può essere sottospazio, infatti un sottospazio è in particolare uno spazio vettoriale,
quindi contiene per forza il vettore nullo. [Se però lo contiene, non si può ancora concludere che sia
sottospazio!]
Esercizio svolto. Controllare se il sottoinsieme
"
*
ˇ
a
0 ˇˇ
W=
a, b P R Ă R2,2
a´b b ˇ
è sottospazio. In caso affermativo, trovarne una base e la dimensione.
Soluzione. Osservazioni iniziali: siccome R2,2 ha dimensione 4, se W è sottospazio di certo
avrà dimensione ă 4, cioè al più 3. Infatti, se fosse 4 avremmo W = R2,2 , che è chiaramente falso
perché non tutte le matrici sono della forma prescritta da W. Chiediamoci se W è sottospazio. Ci
sono due cose da verificare: se la somma di matrici di W sta in W, e se uno scalare moltiplicato
una matrice di W è ancora una matrice di W.
1. Per quanto riguarda la somma:
a
0
a1
+
1
a´b b
a ´ b1
0
b1
a + a1
0
=
(a ´ b) + (a 1 ´ b 1 ) b + b 1
a + a1
0
=
P W. X
(a + a 1 ) ´ (b + b 1 ) b + b 1
2. Per quanto riguarda il prodotto scalare per vettore:
a
0
λa
0
λa
λ¨
=
=
a´b b
λ(a ´ b) λb
λa ´ λb
4
0
λb
P W. X
Quindi W è sottospazio. Troviamone una base. Notiamo anzitutto che possiamo scrivere il suo
generico vettore come
a
0
1 0
0 0
=a¨
+b ¨
.
a´b b
1 0
´1 1
looomooon
loooomoooon
M
N
L’ultima equazione ci dice che M, N generano W. Questo implica che dim W ď 2. Ma siccome
M, N sono LI, formano una base e quindi dim W = 2. Perché M, N sono LI? Perché l’unica loro
combinazione lineare che dà il vettore nullo (la matrice nulla!) è quella in cui i coefficienti sono
tutti nulli. Infatti,
1 0
0 0
0 0
a
0
0 0
a¨
+b¨
=
ðñ
=
ðñ a = b = 0.
1 0
´1 1
0 0
a´b b
0 0
Remark 1.4. Si noti che le soluzioni di un’equazione differenziale formano sempre uno spazio
vettoriale. Infatti la somma di soluzioni è soluzione, e una soluzione moltiplicata per una costante è
una funzione che risulta ancora soluzione dell’equazione data. Ad esempio, mostriamo che l’insieme
S = t f P C2 (R) | f 2 ´ 2f 1 = 0 u Ă C2 (R) è un sottospazio vettoriale: se λ P R e f P S, allora λf P S,
perché (λf) 2 = λf 2 = λ(2f 1 ) = 2(λf 1 ) = 2(λf) 1 X. Similmente, se f, g P S allora (f + g) 2 = f 2 + g 2 =
2f 1 + 2g 1 = 2(f 1 + g 1 ) X.
2
Esercizi su Spazi Vettoriali e Dimensione
1. Tre vettori di R2 possono essere linearmente indipendenti?
Esercizio 2.1.
2. Tre vettori di R2 generano sempre tutto R2 ? E quattro?
Esercizio 2.2. Qual è la dimensione di Rm,n , lo spazio delle matrici a m righe e n colonne?
E’ mn Scriverne una base.
Esercizio 2.3. Sia V = R[t] l’insieme dei polinomi a coefficienti in R, nell’indeterminata t.
Mostrare che V è uno spazio vettoriale di dimensione infinita su R, e scriverne una base. (Sı̀, è una
base infinita. Come si scrive?)
Esercizio 2.4. Sia V = R2 [t] l’insieme dei polinomi di grado ď 2, a coefficienti in R, nell’indeterminata t. Mostrare che V è uno spazio vettoriale di dimensione 3. (Più in generale, convincersi
del fatto che dim Rn [t] = n + 1.) Dopodiché, per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di V, si dica se
è linearmente indipendente, se genera tutto V, se ne è una base:
(i) A = t 1 + t, 2t + t2 , 1 + 3t + t2 u;
LD, quindi NON BASE. Perché ”quindi”?
(ii) B = t 1 + 2t, 3 + t2 , 1 + t + t2 u;
LI, quindi BASE. Perché ”quindi”?
(iii) C = t 3 + 2t ´ t2 , 2 ´ t + t2 u;
2
LI ma NON BASE. Perché ”ma”?
2
(iv) D = t 3 ´ 2t + t , 5 + t, 2 + 3t ´ t , 2 + 4t2 u.
Esercizio 2.5. In V = R2,2 si consideri il
"
0 1
0
A=L
,
2 3
´1
Sono 4 ñ Sono..., quindi...
sottospazio
2
0 ´1
0
,
,
1
3 2
1
5
1
2
*
Ď V.
1. Trovare una base e la dimensione di A. dim A = 2
2. Mostrare che
0
1
?
1+
3?
3
P A.
ed esprimerla nella base scelta.
Esercizio 2.6. In V = R3 [t], si consideri il sottoinsieme
A = t a + bt + (a + 2b)t3 | a, b P R u Ă V.
1. Mostrare che A è sottospazio vettoriale di V.
2. Trovare una base e (quindi) la dimensione di A. dim A = 2
Esercizio 2.7. Si consideri il sottospazio
"
2 3
2
W=L
,
0 1
0
1
0
,
´1
0
*
2
Ă R2,2 .
2
1. Trovarne una base e la dimensione.
dim W = 2
3 1
2. Esprimere
nella base trovata.
0 ´2
Esercizio 2.8. In R4 abbiamo i sottoinsiemi
,
$ ˇ
a1 ˇˇ
/
’
/
’
.
& ˇ
a
2


ˇ
W1 =   ˇ 2a1 ´ a3 = 0 Ă R4
a3 ˇ
/
’
/
’
%
a4 ˇ
$       ,
3 /
0
0
1
’
’
.
&       /
0
1
0
 ,   ,   ,  1  Ă R4 .
W2 = L 
2  0  1  6  /
’
/
’
%
0
´1
0
´1
1. Mostrare che sono sottospazi.
2. Trovarne una base e la dimensione. dim W1 = 3, dim W2 = 3
3. Si può aggiungere alla base trovata per W2 un vettore di W1 in modo da ottenere una base
di R4 ? Sı̀, trovare un esempio.
6
Esercizio 2.9. In R4 abbiamo i sottoinsiemi
,
$ ˇ
a1 ˇˇ
/
’
/
’
.
& ˇ
a2  ˇ

W1 =   ˇ a2 ´ a3 + a4 = 0 Ă R4
/
’ a3 ˇ
’
/
%
a4 ˇ
,
$ ˇ
/
’ a1 ˇˇ
/
’
.
& ˇ
a2  ˇ

W2 =   ˇ a1 + a4 + 1 = 0 Ă R4 .
/
’ a3 ˇ
/
’
%
a4 ˇ
Dire quale è sottospazio e trovarne una base. W1 è sottospazio (dimostrarlo!). E perché W2 no?
Esercizio 2.10. Sia V uno spazio vettoriale su R e siano H, K Ă V due sottospazi. Consideriamo l’insieme
Ñ
Ñ Ñ
Ñ
S = t u + v | u P H, v P K u Ď V.
1. Mostrare che S è sottospazio di V. Questo sottospazio è detto la somma dei sottospazi H e
K, e si scrive S = H + K.
2. Mostrare che dim (H + K) ď dim H + dim K. Di fatto, si ha
dim (H + K) = dim H + dim K ´ dim (H X K).
Ñ
3. La somma S = H + K è detta diretta quando H X K = t 0 u. Mostrare che la somma S è diretta
se e soltanto se ogni vettore di S si scrive in modo unico come somma di elementi di H e K.
La somma diretta si indica con S = H ‘ K.
4. Mostrare che dim(H ‘ K) = dim H + dim K.
Esercizio 2.11. Mostrare che in R3 due sottospazi W1 , W2 di dimensione 2 non sono mai in
somma diretta. Trovare un esempio di sottospazi V1 , V2 Ă R3 tali che dim V1 = 1, dim V2 = 2 e
V1 ‘ V2 = R3 .
Esercizio 2.12. Consideriamo quattro vettori di R4
 
 
 
 
0
3
3
2
 1  Ñ 1 Ñ  2  Ñ 0
Ñ

 
 
 
u1 = 
 2  , u2 = 0 , u3 =  2  , u4 = 1 .
´1
0
´1
0
1. Formano una base di R4 ? (Basta controllare se generano R4 , o se sono LI...) No
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
2. Trovare la dimensione di W1 = L t u1 , u2 u e W2 = t u3 , u4 u. 2
3. Trovare una base di W1 + W2 .
4. Trovare la dimensione di W1 + W2 , e dire se tale somma è diretta. dim = 3, quindi NO
7
Ñ
5. Calcolare esplicitamente W1 X W2 . W1 X W2 = R u 3
Esercizio 2.13. Consideriamo quattro vettori di R3
 
 
 
 
0
1
2
´4
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
u 1 = 1 , u 2 = ´2 , u 3 = ´3 , u 4 =  6  .
1
0
1
´2
1. I primi tre formano una base? Se ne trovano tre che formano una base? No
2. Sceglierne due indipendenti e trovarne un terzo (diverso da tutti e quattro!) in modo da
formare una base di R3 .
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
3. Trovare le dimensioni di W1 = [ u 1 , u 2 ], W2 = [ u 1 , u 3 ], W3 = [ u 3 , u 4 ], W4 = [ u 2 , u 3 ], W5 =
Ñ Ñ Ñ
[ u 1 , u 2 , u 4 ].
4. Calcolare W1 + W2 , W1 + W3 , W2 + W4 , W1 X W4 .
Esercizio 2.14. Sia dato
Ñ
Ñ


1
Ñ
u 1 = ´3 P R3 .
0
Ñ
Ñ
Ñ
Trovare una base B = t u 1 , u 2 , u 3 u di R3 contenente u 1 . Scegliere un vettore w P R3 e scriverlo
Ñ
Ñ
Ñ
nella base B. Cioè: si devono trovare gli (unici) scalari α1 , α2 , α3 P R tali che w = α1 u 1 + α2 u 2 +
Ñ
α3 u 3 . Rifare la stessa cosa con un altro vettore, eventualmente scegliendo un’altra base.
Esercizio 2.15. Rifare da capo l’esercizio di prima, ma in R4 , e partendo dal vettore
 
1
´2
Ñ
4

u1 = 
 1 PR
2
(Ovviamente adesso la base B dovrà avere 4 elementi!)
8