Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c
(ultima modifica 22/03/2010)
Energia e Forze elettrostatiche
P
F
R12
Q2 +
Q1 +
∝
Il lavoro richiesto nel vuoto per portare una carica Q2 lentamente,
(perché possano ritenersi trascurabili sia l’energia cinetica che gli
effetti di radiazione), dall’infinito in senso contrario alla direzione
del campo dovuto a una carica Q1, alla distanza R12 dalla carica Q1,
è:
Q 2 Q1
Q1
W2 = F ⋅ R 12 = F ⋅ R 12 cos 0° =
⋅ R 12 = Q 2
= Q 2 V2
2
4πε o R 12
4πε o R 12
Poiché il campo elettrostatico è conservativo il lavoro W2 è
indipendente dal percorso fatto dalla carica Q2, per portarsi alla
distanza R12 da Q1, posizione alla quale è associata una energia
potenziale legata alla distanza R12.
M. Usai
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1
Mettendo in evidenza Q1 si può ottenere un’altra forma della
espressione precedente é:
Q2
W2 = Q1
= Q1 V1
4πε o R 12
Questo lavoro viene immagazzinato nell’assemblare le due
cariche in una configurazione alla quale è associata una energia
potenziale. Combinando le due relazioni precedenti si dimostra
che la l’energia elettrostatica mutua del sistema delle due cariche,
è:
Q2
Q1
Q1V1 + Q 2 V2 = Q1
+ Q2
= 2W2
4πε o R 12
4πε o R 12
da cui :
1
W2 = (Q1V1 + Q 2 V2 )
2
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2
1
W2 = (Q1V1 + Q 2 V2 )
2
L’energia elettrostatica mutua (o di posizione) del sistema di
due cariche, corrisponde al lavoro che è necessario fornire per
passare da:
una situazione in cui l’interazione delle cariche è nulla,
↓
ad una nuova situazione in cui le cariche sono state portate a
interagire mutuamente tra di loro.
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3
Se si suppone che un’altra carica Q3 sia portata dall’infinito in un
punto che dista R13 da Q1 e R23 da Q2, sarà richiesta una quantità
di lavoro:
⎛ Q1
Q2 ⎞
⎟⎟
∆W = Q3V3 = Q3 ⎜⎜
+
⎝ 4πε o R13 4πε o R23 ⎠
La somma di ∆W e W2 rappresenta l’energia potenziale
immagazzinata nell’assemblare le tre cariche Q1, Q2, e Q3:
1 ⎛ Q1Q2 Q1Q3 Q2 Q3 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
+
+
W3 = W2 + ∆W =
4πε o ⎝ R12
R13
R23 ⎠
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4
La relazione può essere riscritta nella seguente forma:
Q3 ⎞
1 ⎛ Q2
⎟⎟ +
W3 = [Q1 ⎜⎜
+
2 ⎝ 4πε 0 R12 4πε 0 R13 ⎠
⎛ Q1
Q3 ⎞
⎟⎟ +
Q2 ⎜⎜
+
⎝ 4πε 0 R12 4πε 0 R23 ⎠
⎛ Q1
Q2 ⎞
⎟⎟] =
Q3 ⎜⎜
+
⎝ 4πε 0 R13 4πε 0 R23 ⎠
1
= (Q1V1 + Q2V2 + Q3V3 )
2
Il potenziale V1 nella posizione della carica Q1 é diverso da quello
che si stabilisce nello stesso punto quando sono presenti
contemporaneamente le sole cariche Q1 e la carica Q2.
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5
Estendendo la procedura per n cariche discrete localizzate in
N punti:
1
We =
2
N
∑Q
k
k =1
Vk [J ]
e
Vk =
1
4πε o
N
∑R
j =1
j ≠k
Qj
jk
Dove Vk è il potenziale elettrico nel punto in cui è posizionata
la carica Qk, dovuto alla presenza di tutte le altre cariche.
• We può essere negativa (per due cariche è < 0, se queste
sono di segno contrario). In questo caso il lavoro per portare
Q2 dall’infinito, è compiuto dal campo (non contro il campo)
generato da Q1,
• We rappresenta l’energia di interazione (mutua energia) e
non comprende il lavoro richiesto per assemblare le singole
cariche puntuali (auto energia).
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6
L’unità di misura prevista dal sistema internazionale joule [J], è
troppo grande per la fisica delle particelle elementari, per cui si
utilizza l’elettronvolt [eV].
Un elettronvolt è l’energia o il lavoro richiesto per spostare un
elettrone in presenza di una differenza di potenziale di 1 volt:
1 eV = 1.60 × 10 −19 J
In presenza di una distribuzione di cariche continua di densità ρ,
l’espressione della We ,valida per per una distribuzione di cariche
discrete, deve essere così modificata (all’operatore di sommatoria
si sostituisce l’operatore di integrazione):
1
1 N
We = ∑ Q k Vk [J ] ⇒ We = ∫ ρVdv' [J ]
2 V'
2 k =1
•V è il potenziale nel punto dove la densità di carica è ρ e
•V’ è il volume della regione dove ρ esiste.
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7
Energia elettrostatica in funzione delle grandezze di campo
Ricordando che , ∇ ⋅ D = ρ
We =
ed essendo:
1
ρVdv
2
∫
[J ]
V'
si può scrivere:
We =
1
2
∫ (∇ ⋅ D ) Vdv
[J ]
V'
Applicando le proprietà del calcolo vettoriale, si dimostra che tale
espressione integrata per un volume sferico, di raggio tendente
all’infinito, che comprende tutte le cariche, diventa:
We =
1
D ⋅ E dv
2
∫
[J ]
V'
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Se il mezzo è lineare, essendo, D = ε E si ha:
2
1
1
D
ε E 2 dv =
We =
dv
2
2 ε
∫
∫
V'
[J ]
V'
Si può anche definire una densità di energia elettrostatica we, tale
che :
∫
We = w e dv
[J ]
da cui :
V'
2
1
1
1
D
we = D ⋅ E = ε E2 =
2
2
2 ε
M. Usai
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⎡ J ⎤
⎢⎣ m 3 ⎥⎦
9
Forze elettrostatiche
Un metodo per il calcolo delle forze elettrostatiche agenti su un
oggetto sottoposto alle azioni di un in un campo
elettrostatico, è quello basato sul principio dello
spostamento virtuale (o principio dei lavori virtuali) nei due
casi:
1.
Sistema isolato che non può avere scambi di energia con
l’esterno e quindi con cariche costanti (Qtot=cost);
1.
Sistema non isolato di corpi conduttori collegati
rispettivamente a potenziali fissi (morsetti di batterie) per
cui i loro potenziali siano costanti( V=cost).
M. Usai
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10
Sistema di corpi con cariche costanti
Si immagini che le forze elettriche abbiano indotto uno
spostamento elementare dl in uno dei corpi (spostamento
virtuale), per cui il lavoro meccanico compiuto dal sistema
sarà:
dW = F Q ⋅ d l
Dove FQ è la forza elettrica totale che agisce sul corpo nella
ipotesi di cariche costanti.
Poiché il sistema è isolato il lavoro meccanico è fatto a spese
della energia elettrostatica immagazzinata, che è:
dW = −dWe = F Q ⋅ d l
M. Usai
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11
Poiché la variazione differenziale di uno scalare dovuta alla
variazione di posizione dl è uguale al prodotto scalare del
gradiente dello scalare per dl:
dWe = (∇We )⋅ d l
dal confronto delle due relazioni si ha che la forza elettrostatica
nella ipotesi di cariche costanti é:
−dWe = F Q ⋅ dl ⎫
⎪⎪
⎬ ⇒
⎪
dWe = ∇We ⋅ dl ⎪⎭
(
)
F Q = −∇We
[ N]
In coordinate cartesiane:
(FQ )x = − ∂We , (FQ )y = − ∂We , (FQ )z = − ∂We
∂x
M. Usai
∂y
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∂z
12
Se il corpo è vincolato a ruotare intorno ad un asse, per esempio
l’asse z, il lavoro meccanico fatto dal sistema per uno
spostamento virtuale angolare dφ sarà:
dW = (TQ )z dφ ,
Dove (TQ )z è la componente z della coppia agente sul corpo
nella ipotesi di carica costante e con una procedura analoga si
giunge alla seguente espressione:
(TQ )z = − ∂∂Wφe
M. Usai
[N ⋅ m]
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13
Sistema di corpi con potenziali costanti
Uno spostamento dl dovuto a un corpo conduttore comporta una
variazione della energia elettrostatica totale.
Affinché i potenziali dei corpi conduttori siano mantenuti costanti ci
deve essere un trasferimento di cariche dalle sorgenti ai conduttori.
Il lavoro fatto dalle sorgenti per mantenere il potenziale Vk del corpo
k costante, fornendo una carica dQk, è: Vk dQk
e se i corpi sono N, la totale energia fornita dalle sorgenti al sistema
sarà:
N
dWS = ∑Vk dQk
k =1
M. Usai
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14
Il lavoro meccanico fatto dal sistema per lo spostamento virtuale
è:
dW = F V ⋅ dl
dove F V è la forza elettrica sul corpo conduttore nella ipotesi di
potenziali costanti.
Il trasferimento di cariche varia anche l’energia elettrostatica del
sistema di una quantità dWe:
1
dWe =
2
∑
k
1
Vk dQk = dWS
2
Per il principio della conservazione della energia si ha che la totale
energia fornita dalle sorgenti al sistema :
dW + dWe = dWS
M. Usai
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15
Sostituendo le espressione determinate, la forza elettrostatica con
i potenziali costanti risulta:
(
)
Fv ⋅ dl = dWs - dWe = dWe = ∇We ⋅ d l
da cui:
(
Fv = ∇We
)
[N]
Se il corpo conduttore è vincolato a ruotare intorno all’asse z , la
componente z della coppia elettrostatica è:
(TQ )z
M. Usai
∂We
=
∂φ
[N ⋅ m]
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Carica costante
FQ = −(∇We )
(T )
Q
z
δW
=− e
δφ
Potenziale costante
[N]
FV = ∇We
(
)
[ N]
[ N ⋅ m]
δ We
(TV ) z =
δφ
[ N ⋅ m]
Dal confronto delle espressioni delle forze e delle coppie nei due
casi si vede come l’unica differenza nelle espressioni, sia il
segno.
• Infatti nel primo caso (a cariche costanti), il lavoro è stato fatto a
spese della energia elettrostatica del sistema, mentre
• nel secondo caso (a potenziali costanti), il lavoro è stato fatto a
spese della energia fornita da un sistema esterno.
M. Usai
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