Potenza volumica. Legge di Joule in forma locale Si consideri un

Potenza volumica. Legge di Joule in forma locale
Si consideri un tubo di flusso elementare all’interno di un corpo
conduttore nel quale ha sede un campo di corrente.
E
P
J
dA
n
dl
V
V-dV
La potenza elettrica che fluisce nel bipolo infinitesimo è:
⎧dV = -E ⋅ dl
dP = −dV ⋅ dI ed essendo ⎨
⎩dI = J ⋅ dA
dP = E ⋅ J dl dA = E ⋅ J dVol
con dl dA = dVol volume del cilindretto infinitesimo.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_4b
1
La potenza volumica, ossia la potenza assorbita per unità di
volume:
p = EJ = ρ J 2 = γE 2
(essendo: dP = E ⋅ J dl dA = E ⋅ J dVol = p dVol )
che esprime la legge di Joule in forma locale
I materiali passivi in regime stazionario si classificano in
dielettrici, isolanti e semiconduttori.
I materiali conduttori sono quelli con ρ < 2 µΩm
e ρ(θ) é legata alla temperatura da una legge empirica:
ρ
2
ρ rame = 0,0175
Ω ⋅ mm
m
ρ(θo)
θ1
M. Usai
θ1- θ0
θ0
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θ
2
Se ρ(θ0 ) è la resistività alla temperatura θ0 di riferimento.
ρ alla temperatura θ è ricavabile da una relazione approssimata
lineare:
ρ ( θ ) = ρ ( θ 0 ) ⎡⎣1 + α ( θ 0 ) ⋅ ( θ − θ 0 ) ⎤⎦
Essendo α (θ 0 ) il coefficiente di variazione della resistività in
funzione della temperatura (C-1)
M. Usai
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3
Metodo generale per la determinazione della resistenza di un conduttore di forma qualsiasi:
1.
Scelta del sistema di coordinate
2.
Definizione della geometria delle superfici
orientate A, attraversate dalla corrente elettrica
I,in funzione del sistema di riferimento scelto.
a)
Calcolo della densità di corrente J in funzione
della corrente elettrica I
b) Calcolo del campo elettrico E in funzione della
densità di corrente J:
c)
Calcolo della differenza di potenziale in
funzione del campo
⎛ dI ⎞ dI
J=⎜
n
⎟=
⎝ d A ⎠ dA
E = J /γ = ρ J
d) Calcolo della resistenza elettrica:
M. Usai
l2
U1 − U 2 = ∫1 E ⋅ dl
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1
U1 -U 2
R=
I
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Esempi di campi di corrente
a) Campo di corrente uniforme all’interno di un tubo cilindrico
conduttore.
l
dA
E
J
d
P
I
+
U
Si suppone l >> d;
•che il materiale del tubo sia omogeneo isotropo e passivo e;
•che il tubo sia circondato da materiale di resistività infinita.
M. Usai
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5
Con queste ipotesi:
• le linee di forza risultano parallele all’asse del cilindro e
• le superfici equipotenziali sono perpendicolari ad esse.
Il campo e la densità di corrente risultano indipendenti dal punto,
per cui si può scrivere
U El
l
U = E ⋅l I = J ⋅ A ⇒ R = =
=ρ
I JA
A
R= ρ
l
A
relazione valida per i conduttori filiformi.
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6
b) Campo di corrente cilindrico
Si considerino due conduttori perfetti cilindrici coassiali di raggi
r1 ed r2 separati da un mezzo isolante.
l
r2
r
+
P
J
E
r1
U
In queste condizioni se si applica una differenza di potenziale tra
le due armature si genera un campo radiale.
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In ciascun punto del materiale isolante si può scrivere:
J = γ ⋅ E e J = γ E con J =
I
2πrl
e per l = 1
I
J=
⇒ E=
2π r
γ2πr
I
r2
r2
1
1
U1 − U 2 = ∫r E dr = ∫r
I
I
r2
dr =
ln
γ2πr
2πγ r1
U1 -U 2
r2
l
R=
=
ln
I
2πγ r1
Questa è l’espressione della resistenza di isolamento dei cavi
coassiali
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c) Campo di corrente sferico
r2
r
+
P
J
E
r1
U
Se il mezzo interposto tra due sfere è isotropo-omogeneo e le
superfici metalliche equipotenziali, il campo tra le due sfere è
radiale e se U1 > U2 , il fasore densità di corrente J è rivolto
verso l’esterno. Per una generica sfera di raggio r con r1 < r < r2
la densità di corrente relativa è:
I
J=
4π r 2
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Per la legge di Ohm generalizzata:
E = ρ J ⇒ E = ρJ avendo E e J la stessa direzione e verso
l
I
essendo ρ =
E = ρJ =
2
γ4πr
γ
La differenza di potenziale tra i due elettrodi sarà:
r2
U 1 − U 2 = ∫ Edr =
r1
I
4πγ
⎛1 1⎞
I ⎛
r ⎞
⎜1− 1 ⎟
⎜ − ⎟=
r2 ⎠
⎝ r1 r2 ⎠ 4πγr1 ⎝
Per il calcolo della resistenza di terra si suppone r2 >> r1:
U l2
l ⎛1 1⎞
=
Rt =
⎜ − ⎟ e per r2 >> r1
I 4πγ ⎝ r1 r2 ⎠
M. Usai
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Rt =
1
4πγ r1
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Il potenziale di una sfera concentrica di raggio r > r1 sarà:
I
U r = U1 −
4πγ
U1 =
⎛ 1 1⎞
⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ r1 r ⎠
I
4πγr1
o
M. Usai
⎧
⎛ I ⎞
⎪ per r = r1 ⇒ U r = ⎜ 4πγ r ⎟ = U 1
⎪
⎝
1⎠
⎨
⎪ per r = ∞ ⇒ U = U − I = 0
r
1
⎪⎩
4πγ r1
r1
=1
r1
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r
=1
r1
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Per un dispersore semisferico:
I ⎛ 1 1⎞
⎜ − ⎟
2πγ ⎝ r1 r ⎠
I
Rt =
2πγ r1
U lr =
La resistenza di terra risulta doppia.
M. Usai
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Con riferimento ai campi di corrente creati da dispersioni di
corrente sul terreno le norme CEI definiscono:
Tensione di passo: la tensione che, durante il funzionamento
di un impianto di terra, può risultare applicata tra i piedi di una
persona a distanza di passo fissata convenzionalmente uguale
ad 1 m.
Tensione di contatto: la tensione alla quale può essere
soggetto a corpo umano in seguito a contatto con carcasse e
strutture metalliche delle macchine o apparecchiature,
normalmente non in tensione.
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