2 - Unica

Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3d
Soluzioni di problemi elettrostatici
I problemi elettrostatici riguardano lo studio degli effetti delle
cariche elettriche fisse.
I principi dei campi elettrostatici possono essere applicati in
differenti modi, in base ai dati inizialmente noti.
La risoluzione di tali problemi richiede la determinazione:
• del potenziale elettrico V;
• della intensità del campo elettrico E e/o della distribuzione
delle cariche elettriche ρ.
M. Usai
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1
Se è nota la distribuzione delle cariche elettriche possono essere
determinati sia il potenziale elettrico, che l’intensità del campo
elettrico.
In diversi problemi pratici non è nota l’esatta distribuzione delle
cariche e le formule studiate per determinare queste grandezze non
possono essere applicate in maniera diretta.
Esistono diversi metodi di risoluzione per risolvere i problemi
pratici elettrostatici, come:
•Il metodo delle immagini;
•Il metodo della separazione delle variabili;
•Metodi di trasformazione;
•Metodi numerici.
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Equazione di Laplace e di Poisson
Le due equazioni fondamentali della elettrostatica valide per ogni
mezzo sono:
∇⋅D = ρ
∇× E = 0
e per la irrotazionalità del vettore campo elettrico, si può definire
un potenziale elettrico V tale che: E = −∇V
In un mezzo isotropo e lineare: D = ε E ⇒ ∇ ⋅ D = ρ ⇒ ∇ ⋅ (ε∇V ) = -ρ
Da cui sostituendo nella relazione precedente si ha: ∇ 2V = − ρ
ε
essa è l’espressione della equazione di Poisson e
∇ ⋅ ∇ è l’operatore Laplaciano, che equivale alla:“divergenza del
gradiente di”
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La risoluzione della equazione di Poisson comporta la risoluzione
di una equazione di secondo grado alle derivate parziali calcolabile
in ogni punto dello spazio, dove esiste la derivata di secondo
ordine.
In coordinate cartesiane:
ρ
∇ V = ∇ ⋅ ∇V = −
ε
2
∂ ⎞ ⎛ ∂V
∂V ⎞
∂
∂V
⎛ ∂
+ az
+ ay
= ⎜ax + ay + az ⎟ ⋅⎜ax
⎟
∂z ⎠ ⎝ ∂x
∂z ⎠
∂y
∂y
⎝ ∂x
che diventa:
∂ 2V
∂x 2
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+
∂ 2V
∂y 2
+
∂ 2V
∂z 2
=−
ρ
ε
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⎡V ⎤
⎢⎣ m 2 ⎥⎦
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In coordinate cilindriche:
1 ∂ ⎛ ∂V ⎞ 1 ∂ 2V ∂ 2V
∇V=
+ 2
⎜r
⎟+ 2
2
r ∂ ⎝ ∂r ⎠ r ∂φ
∂z
2
In coordinate sferiche:
1 ∂ ⎛ 2 ∂V ⎞
1
1
∂ 2V
∂ ⎛
∂V ⎞
2
∇V= 2
⎜R
⎟+ 2
⎜ sinθ
⎟+ 2
R ∂R ⎝
∂R ⎠ R sinθ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ R sin 2 θ ∂φ 2
Nei punti di un mezzo semplice nei quali non è presente alcuna carica
ossia: ρ = 0, l’equazione di Poisson si riduce alla
Equazione di Laplace:
2
∇ V =0
Con questa equazione è possibile risolvere problemi inerenti un
insieme di conduttori mantenuti a potenziali diversi (condensatori).
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Unicità delle soluzioni elettrostatiche
In molti casi semplici si ottiene la soluzione dei problemi
elettrostatici attraverso l’integrazione diretta delle equazioni di
Laplace o di Poisson.
Nei casi più complicati possono essere usati altri metodi di
risoluzione.
Teorema della unicità
La soluzione della equazione di Poisson (o per il caso particolare
di Laplace) che soddisfa le condizioni al contorno date, è unica.
Su questa asserzione si basano diversi metodi di risoluzione dei
problemi elettrostatici.
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Inoltre poiché le superfici equipotenziali sono perpendicolari
alle superfici equiflusso, si può applicare ai campi
il principio di dualità:
Se un campo ha come superfici equipotenzali le superfici che
sono equiflusso per un secondo campo,
come conseguenza diretta
le equipotenziali di questo secondo campo risultano le
equiflusso del primo.
Ciò consente di applicare direttamente i risultati ricavati per
una certa configurazione ( per esempio con il contorno formato
da equipotenziali), ad una configuarzione duale (con lo stesso
contorno formato da equiflusso).
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In diversi problemi le condizioni al contorno da soddisfare per
risolvere direttamente le equazioni di Poisson e o di Laplace sono
difficili da definire.
Ma è possibile che le condizioni sulle superfici di contorno
possano essere stabilite attraverso delle opportune cariche
immagine equivalenti e le distribuzioni del potenziale possa
possano essere determinate in maniera semplice.
Questo metodo è il metodo delle immagini e può essere usato per
ottenere soluzioni di problemi facili, per lo studio di campi in
regioni spaziali delimitate da contorni rettilinei o circolari. In
particolare il metodo si presta bene nel caso di cariche isolate.
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Si consideri il caso di una carica positiva Q, posta alla distanza d
al di sopra di un piano conduttore collegato a terra (a potenziale
zero):
y
Q(0,d,0)
x
z
Piano conduttore collegato a terra a potenziale zero
Si voglia determinare il potenziale in ogni punto al di sopra del
piano conduttore. Con la procedura formale occorre risolvere
l’equazione di Laplace in coordinate cartesiane:
2
∇ V=
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∂ 2V
∂x
2
+
∂ 2V
∂y
2
+
∂ 2V
∂z
2
=0
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La soluzione V(x,y,z) deve soddisfare le seguenti condizioni:
• In tutti i punti del piano collegato a terra il potenziale deve
essere uguale a zero: V(x,0,z)=0.
• Nei punti prossimi a Q il potenziale tende a quello della sola
carica puntiforme (R è la distanza da Q ):
Q
V→
, come R → 0 ,
4πε o R
• Nel punto molto lontano da Q (x→±∞, y →+∞, z →±∞) il
potenziale tende a zero.
• La funzione potenziale è pari rispetto alle coordinate x e z, cioè:
V(x,y,z)=V(-x,y,z) e V(x,y,z)=V(x,y,-z).
Una soluzione che soddisfi queste condizioni non è immediata.
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Per giungere alla soluzione si può ragionare nel seguente modo:
la carica +Q per y = d, indurrebbe cariche negative sulla superficie
del conduttore piano, con una distribuzione di carica superficiale ρS.
Il potenziale nei punti che stanno al disopra del piano conduttore
applicando il principio di sovrapposizione degli effetti sarà:
V(x, y, z) =
Q
4πε o x 2 + (y − d)2 + z 2
+
ρS
1
ds
∫
4πε o S R1
dove il secondo addendo tiene conto della densità di carica
superficiale sul piano conduttore, R1 é la distanza del punto in
considerazione dalla superficie elementare ds.
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L’integrale superficiale contenuto nella formula precedente può
essere risolto solo se si conosce con esattezza la distribuzione
della carica sulla superficie del piano conduttore.
La condizione di potenziale nullo sul piano è soddisfatta se
invece del piano conduttore si pone in y=-d una carica immagine
y
uguale e opposta:
P(x,y,z)
R+
+Q
R-
d
x
o
z
-d
-Q
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Il potenziale in un punto P qualsiasi è così dato:
V(x, y, z) =
Q
2
2
4πε o x + (y − d) + z
2
−
Q
4πε o x 2 + (y + d) 2 + z 2
• Questa relazione soddisfa la condizione di potenziale nullo lungo
il piano y=0, e fornisce il potenziale in ogni punto al di sopra del
piano.
• L’espressione non è valida per y<0, poiché all’interno del
conduttore il potenziale deve essere ovunque zero.
• Se il piano è a potenziale diverso da zero, il valore di tale
potenziale costante viene aggiunto a quello ottenuto con
l’immagine di Q e la relazione fornisce così l’espressione del
potenziale in ogni punto per y>0.
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Da questo esempio si vede come il metodo delle immagini
consente di semplificare notevolmente questo tipo di problemi.
Tale metodo facilita lo studio di campi prodotti in un mezzo con
costanti dielettriche diverse, riconducendolo allo studio di campi
in mezzi omogenei.
Per applicarlo si definisce una configurazione di cariche che non è
quella reale, ma tale da produrre lo stesso effetto relativo alla
configurazione reale.
L’entità e la distribuzione delle cariche virtuali devono soddisfare
la legge della rifrazione: tan gα 1 ε 1
=
tan gα 2 ε 2
in corrispondenza delle superfici di separazione dei dielettrici.
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Per comprendere la potenzialità di questo metodo si consideri il
campo prodotto da una carica elettrica Q, posta nel punto P di un
mezzo 1 a costante dielettrica ε1, separato da una superficie piana, da
un mezzo 2 con permettività ε2.
Lo studio di questo caso elementare si potrà estendere a un numero
di cariche n.
Q
P
a
ε1
α1
ε2
E1
α2
E2
Su tale superficie per la legge della rifrazione si ha:
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tan gα 1 ε 1
=
tan gα 2 ε 2
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Si possono verificare i seguenti casi:
a) se ε 1 / ε 2 = 0 il campo è normale alla superficie dal lato del
mezzo 2 e questa è equipotenziale:
b) se ε 1 / ε 2 = ∞ il campo è tangente (radente) alla superficie
dal lato del mezzo 1 e questa è una superficie equiflusso.
Il campo nel mezzo 1 risulta univocamente determinato da queste
condizioni al contorno e non si altera se si sostituisce nel mezzo 2
una disposizione di cariche, che conservi per la superficie di
separazione la condizione di equipotenzialità ( o equiflusso),
ponendo in P’, punto immagine del punto P rispetto alla superficie
di separazione una carica:
• – Q se la superficie deve risultare equipotenziale e
• + Q se deve risultare equiflusso.
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c) Nel caso generico in cui la superficie di separazione non è ne
equipotenziale, ne equiflusso e si comporta nei riguardi della
carica Q, come una superficie parzialmente riflettente;
ε1 /ε 2 ≠ 0 e ε1 /ε 2 ≠ ∞
si può dimostrare che la legge della rifrazione risulta soddisfatta
se il campo nel mezzo 1 è rappresentato dal campo, in un mezzo
omogeneo comprendente tutto lo spazio, con costante dielettrica
ε1, dovuto:
• alla carica Q e
⎛ ε1 − ε 2 ⎞
⎟ posta nel punto P’, immagine di P e
• alla carica Q’ = Q ⎜
⎝ ε1 + ε 2 ⎠
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il campo nel mezzo 2 è rappresentato dal campo in un mezzo
omogeneo, comprendente tutto lo spazio, con costante dielettrica
ε2, dovuto ad una carica:
⎛ 2ε 2 ⎞
Q" = Q ⎜
⎟
⎝ ε1 + ε2 ⎠
•
+Q
P
a
a
posta nel punto P.
+Q’
P’
Q
+Q”
P
4πε 1 r 2
E1
E2 =
Q'
ε1
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ε2
4πε 1 r 2
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ε1
Q"
4πε 2 r 2
ε2
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Queste cariche sono infatti quelle che danno, per ogni punto della
superficie di separazione, indipendentemente dalla sua posizione,
i valori di D e di E che soddisfano alle leggi della rifrazione.
Dalle seguenti considerazioni si deduce inoltre come:
il principio delle immagini consente quindi di ridurre lo studio di
alcuni tipi di campi in mezzi con costante dielettrica diversa, allo
studio di campi in mezzi omogenei.
In tale modo si riconduce la soluzione di un problema a quella
relativa a un problema più semplice con risoluzione nota.
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