Geometria I
§ 11
88
Gruppi di matrici
Cfr: Nacinovich, Cap I [3].
Ricordiamo gli assiomi di gruppo (astratto): un gruppo è un insieme G, munito di operazione binaria (di solito indicata con la moltiplicazione) G × G → G che sia associativa, in cui
esista l’elemento neutro 1 ∈ G, e per cui ogni g ∈ G abbia un inverso g −1 (cioè un elemento
g −1 tale che gg −1 = g −1 g = 1). Nella realtà considereremo sempre sottogruppi del gruppo
di funzioni biunivoche X → X definite su un certo insieme X (permutazioni, se X è finito,
oppure . . . ).
(11.1) Definizione. Un gruppo topologico è sia un gruppo sia uno spazio topologico di
Hausdorff, con in più le seguenti proprietà di continuità:
(i) Il prodotto G × G → G, definito da (g, h) $→ gh è una funzione continua.
(ii) L’inversione G → G definita da g $→ g −1 è una funzione continua.
(11.2) Esempio. I campi Q e R (visti come gruppi additivi) sono gruppi topologici rispetto
alla somma. I gruppi moltiplicativi Q!{0}, R!{0} sono gruppi topologici rispetto al prodotto.
Per (11.5) sotto, basta dimostralo per R. La funzione f : R2 → R definita da (x, y) $→ x + y è
continua: se (x0 , y0 ) ∈ R2 , per ogni ! > 0 esiste δ = !/2 tale che
max{|s|, |t|} < δ =⇒ |s + t| < !
⇐⇒ |f (x0 + s, y0 + t) − f (x0 , y0 )| < !.
Quindi f è continua nella topologia prodotto (che è equivalente a quella euclidea). Analogamente (facile) la funzione x $→ −x è continua. Per il prodotto, la funzione definita da
f (x, y) = xy è continua: se (x0 , y0 ) ∈ R2 , per ogni ! > 0
∃δx > 0 : |s| < δx =⇒ |sy0 | < !/3
∃δy > 0 : |t| < δy =⇒ |tx0 | < !/3.
Se si pone quindi
δ = min{δx , δy ,
si ha
!
!/3}
max{|s|, |t|} < δ =⇒ |(x0 + s)(y0 + t) − x0 y0 | ≤
≤ |tx0 | + |sy0 | + |st| < !/3 + !/3 + !/3 = !.
Per quanto riguarda la funzione x $→ x−1 , sia x0 *= 0. Allora esiste δ1 > 0 tale che |t| < δ1 =⇒
|x0 |
2
|x0 + t| >
=⇒ |x0 + t|−1 <
. Se poniamo quindi
2
|x0 |
!|x0 |2
δ = min{δ1 ,
}
2
Geometria I
89
otteniamo un δ > 0 per cui
"
"
" 1
"
|t|
1
|t| < δ =⇒ ""
− "" =
x0 + t x0
|x0 + t||x0 |
2|δ|
<
≤ !,
|x0 |2
e quindi x $→ x−1 è una funzione continua.
(11.3) Nota. Ogni gruppo, munito della topologia discreta, può essere visto come gruppo
topologico. Per esempio, l’anello degli interi Z (in cui si considera solo la struttura di somma)
è un gruppo discreto infinito.
(11.4) Esempio. Z/nZ è gruppo topologico (con la topologia discreta).
(11.5) Sia G un gruppo topologico. Allora: Se H ⊂ G è un sottogruppo di G allora (con la
topologia indotta da G) è un gruppo topologico.
Dimostrazione. Se H ⊂ G è un sottogruppo, allora la moltiplicazione e l’inversa sono mappe
ottenute per restrizione:
m : H × H ⊂ G → G, i : H ⊂ G → H,
e quindi sono continue. Questo dimostra (11.5) (insieme al fatto che un sottospazio di uno
spazio di Hausdorff è di Hausdorff).
qed
(11.6) Siano dati N spazi topologici X1 , X2 , X3 , . . . , XN . Consideriamo il prodotto X =
X1 × X2 × · · · × XN e le proiezioni sulle componenti p1 : X → X1 , p2 : X → X2 , . . . , pN : X →
XN . Allora una funzione f : Y → X1 × X2 × · · · × XN è continua se e solo se lo sono tutte le
composizioni pi ◦ f : Y → Xi . (Di solito si scrive, per semplificare, fi = pi ◦ f )
Dimostrazione. Basta applicare un numero finito di volte (5.3) di pagina 31.
qed
(11.7) Lo spazio euclideo Rn è gruppo topologico rispetto alla somma
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ).
Dimostrazione. È una conseguenza del fatto che la somma è una funzione continua (come
anche il prodotto), e del lemma (11.6).
qed
(11.8) Sia GL(n) = GL(n, R) il gruppo (chiamato gruppo lineare) di tutte le matrici invertibili n × n a coefficienti reali (gruppo rispetto alla moltiplicazione di matrici), munito
2
della topologia metrica – indotta dalla inclusione GL(n) ⊂ Rn . Allora GL(n) è un gruppo
topologico. Lo stesso vale per il gruppo lineare complesso GL(n, C).
Geometria I
90
Dimostrazione. Osserviamo che lo spazio di tutte le matrici n × n è isomorfo (come spazio
2
2
vettoriale, per esempio) a Rn , per cui in questa lezione denoteremo con il simbolo Rn lo
2
spazio delle matrici n × n. L’inclusione GL(n) ⊂ Rn è indotta dall’inclusione di GL(n) nello
2
spazio di tutte le matrici n × n. Dal momento che Rn è metrico, GL(n) è di Hausdorff.
Dobbiamo mostrare che la moltiplicazione di matrici e l’inversione inducono funzioni continue
m : GL(n) × GL(n) → GL(n) e i : GL(n) → GL(n). Osserviamo che, dato che GL(n) ha la
2
topologia indotta da Rn , le funzioni m e i sono continue se e solo se lo sono le corrispondenti
2
2
funzioni m : GL(n) × GL(n) → Rn e i : GL(n) → Rn , e quindi, per (11.6) se tutte le
composizioni con le proiezioni pi sono continue (cioè, se ogni componente è continua). Ma il
prodotto di matrici (righe per colonne) si scrive come
N
#
((ai,j ), (bi,j )) $→ (
ai,k bk,j ),
k=1
cioè è un polinomio nei coefficienti delle matrici (ai,j ) e (bi,j ). Dal momento che ogni polinomio
è funzione continua, la moltiplicazione è continua. Analogamente, il determinante di una
matrice è espressione polinomiale dei suoi coefficienti ed è sempre diverso da zero in GL(n),
ed anche i cofattori (che compaiono nella definizione di matrice inversa) si esprimono come
polinomi dei coefficienti, per cui la funzione di inversione i è continua. Per le matrici con
coefficienti complessi vale esattamente lo stesso ragionamento.
qed
(11.9) Il gruppo lineare GL(n, R) non è compatto.
2
Dimostrazione. Per il teorema (8.13) un sottoinsieme di Rn è compatto se e solo se chiuso e
limitato, e quindi GL(n, R) non è compatto perché non è limitato: contiene tutte le matrici
diagonali λIn , con λ ∈ R. Non è nemmeno chiuso: infatti, nella dimostrazione di (11.8)
2
abbiamo usato il fatto che la funzione determinante det : Rn → R è continua. Per definizione
si ha
GL(n, R) = {M : det(M ) *= 0},
cioè GL(n, R) è la controimmagine del sottospazio aperto R ! {0} ⊂ R, ed è quindi un aperto
2
di Rn . Ma quest’ultimo spazio è connesso, e quindi un aperto non vuoto con complementare
non vuoto non può essere chiuso.
qed
Descriviamo ora due sottogruppi importanti di GL(n, R):
Gruppo ortogonale: O(n) = {A ∈ GL(n, R) : At A = AAt = In }.
Gruppo speciale ortogonale: SO(n) = {A ∈ O(n) : det(A) = 1}.
(11.10) Sia O(n) il gruppo ortogonale, costituito da tutte le matrici ortogonali n × n a
coefficienti reali, e SO(n) il gruppo speciale ortogonale, costituito da tutte le matrici di O(n)
con determinante +1. Allora O(n) e SO(n) sono gruppi topologici compatti.
Geometria I
91
Dimostrazione. Ricordiamo che O(n) è formato da tutte le matrici A (invertibili) di GL(n)
tali che AAt = At A = In (dove At indica la trasposta di A e In la matrice identica n × n).
2
Dato che O(n) ⊂ GL(n) ⊂ Rn , per (8.13) dobbiamo mostrare che è chiuso e limitato. La
moltiplicazione di matrici è continua, e chiaramente l’operazione di trasposizione induce un
2
2
omeomorfismo Rn → Rn , per cui la funzione
2
definita da
2
f : Rn → Rn
A $→ AAt
si può scrivere come composizione di funzioni continue. Gli insiemi costituiti da singoli punti
2
2
di Rn sono tutti chiusi, ed in particolare l’insieme {In } ⊂ Rn è chiuso. Dunque f −1 (In ) è un
2
sottospazio chiuso di Rn ; ma
2
f −1 (In ) = {A ∈ Rn : f (A) = In }
2
= {A ∈ Rn : AAt = In }
= O(n)
e dunque O(n) è chiuso. Ora, si indichino con a:,1 , a:,2 , . . . a:,n i vettori colonna di A ∈ O(n).
La condizione AAt = In si può riscrivere come
$
1 se i = j
a:,i · a:,j =
0 se i *= j
dove v·w indica il prodotto scalare standard in Rn , e dunque, considerando la prima equazione,
si ha per ogni i
a:,i · a:,i = a21,i + a22,i + · · · + a2n,i = 1,
e quindi ai,j ≤ 1 per ogni i, j = 1, . . . , n. Ne segue che
#
a2i,j = n ≤ n,
i,j
2
e dunque O(n) è limitato nella metrica euclidea di Rn .
Non rimane che dimostrare che SO(n) è compatto. Ma, dato che si può scrivere come la
controimmagine di 1 mediante la funzione (continua) determinante det : O(n) → R, esso è un
sottospazio chiuso di O(n). Allora segue da (7.15) che esso è compatto.
qed
(11.11)
e riflessioni) Mostriamo che SO(2) ≈ S 1 .
% (Rotazioni
&
a c
Se
∈ SO(2), allora valgono le uguaglianze
b d
ad − cb = 1 (il determinante)
a2 + b 2 = 1
c2 + d2 = 1
ac + bd = 0.
(*)
Geometria I
92
Osserviamo che se (a, b) *= 0, allora l’uguaglianza ac + bd = 0 vale se e solo se esiste λ ∈ R
tale che d = λa e c = −λb. Infatti,
a(−λb) + b(λa) = 0 .
Viceversa, può essere che b *= 0 oppure che b = 0. Nel primo caso, si ha ac/b+d = 0 e ponendo
λ = −c/b risulta
−λa + d = 0, −λb = c.
Se b = 0, allora deve necessariamente essere a *= 0 (per l’ipotesi (a, b) *= (0, 0)), e si può porre
λ = d/a per avere le uguaglianze
c + bd/a = c + λb = 0, d = λa.
Dato che a2 + b2 = 1 =⇒ (a, b) *= (0, 0), il sistema (*) è dunque equivalente al sistema nelle
tre variabili a, b, λ
$
$
2
2
a(λa) − (−λb)b = 1
λ(a
+
b
)
=
1
λ=1
a2 + b2 = 1 ⇐⇒
⇐⇒
(**)
2
2
2
a +b =1
a + b2 = 1.
(−λb)2 + (λb)2 = 1
Quindi c = −b e d = a, e la matrice deve
%
a
b
avere la forma
& %
&
c
a −b
=
d
b a
con a2 + b2 = 1.
La proiezione sulle due componenti del primo vettore-colonna della matrice
%
&
a c
$ (a, b) ∈ R2
→
b d
è una funzione continua p : SO(2) → R2 , e per quanto visto sopra è iniettiva, ed ha per
immagine S 1 ⊂ R2 , dato che la circonferenza S 1 ⊂ R2 è definita dall’equazione a2 + b2 = 1.
Visto che SO(2) è compatto e R2 è Hausdorff, la funzione p è un omeomorfismo sull’immagine
S 1 ⊂ R2 .
La mappa f : S 1 ⊂ R2 → R4 definita ponendo
%
&
a −b
(a, b) $→
b a
per ogni (a, b) ∈ S 1 è l’inversa di p (ed è quindi a sua volta un omeomorfismo).
Finiamo osservando che O(2) è suddiviso in due classi: le matrici con determinante 1 e
quelle con determinante −1. Le prime, che indichiamo con SO(2)+ = SO(2) e chiamiamo
rotazioni, sono esattamente gli elementi di SO(2). Le seconde, che indichiamo con SO(2)−
Geometria I
93
e chiamiamo riflessioni, sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi di SO(2): se h ∈
SO(2)− è una riflessione fissata, allora per ogni r in SO(2) il prodotto hr è una riflessione
(ha determinante uguale a det(r) det(h) = det(h) = −1); la mappa r $→ hr è iniettiva (hr1 =
hr2 =⇒ r1 = r2 ) e suriettiva (h" ∈ SO(2)− =⇒ h" = h(hh" ) = hr con r = hh" ∈ SO(2)).
Come sopra, si può vedere facilmente che è una funzione continua da un compatto ad un
Hausdorff, e quindi anche SO(2)− ≈ SO(2) ≈ S 1 . L’unione è disgiunta, e possiamo scrivere
O(2) = SO(2)+ ∪ SO(2)− ≈ S 1 ∪ S 1 .
(11.12) Esempio. Gruppo delle rotazioni di R3 che fissano l’origine: SO(3). È compatto,
connesso e connesso per archi. Ogni rotazione non banale fissa una e una sola retta.
Dimostrazione. Mostriamo prima che esiste una retta fissata. Supponiamo per assurdo che
questo non sia vero. Se A ∈ SO(3), allora il polinomio caratteristico pA (λ) ha grado 3, e
quindi ha un autovalore reale λ1 con relativo autovettore v1 . Dato che A ∈ O(3), si ha
|Av1 | = |v1 | e dunque |λ1 v1 | = |v1 | =⇒ |λ1 | = 1, cioè λ1 ∈ ±1. Dato che per ipotesi
d’assurdo A non ha autovalore 1, deve essere λ1 = −1. Gli altri due autovalori λ2 e λ3
sono radici (evantualmente coincidenti) di pA (λ), e non possono essere entrambi uguali a λ1
(altrimenti det(A) = (λ1 )3 = −1 *= 1). Ci sono due casi: o sono due radici reali, oppure due
radici complesse coniugate. Se sono reali, per lo stesso ragionamento di prima dovrebbero
essere uguali a −1, e quindi det(A) = −1 *= 1. Quindi sono complesse coniugate λ3 = λ2 . Ma
allora det A = λ1 λ2 λ2 = −|λ2 |2 ≤ 0 < 1, il che è assurdo. Quindi almeno un autovalore deve
essere uguale a 1.
Il sottospazio vettoriale ortogonale alla retta fissata è un piano, che rimane invariante: è
possibile far vedere che la restrizione di A a questo piano è una rotazione (esercizio), che quindi
non fissa altre direzioni.
Per vedere che è connesso e connesso per archi, basta trovare una funzione continua e
suriettiva X → SO(3) con X spazio topologico connesso. Questo sarà fatto nell’esercizio
(6.31), con X = S 3 . Oppure, se Rxα , Ryβ e Rzγ denotano le rotazioni di angolo α, β e γ attorno
ai tre assi di R3 , si può definire la funzione continua X = S 1 × S 1 × S 1 → SO(3) definita
ponendo
(eiα , eiβ , eiγ ) $→ Rxα Ryβ Rzγ .
È continua perché composizione di funzioni continue, ed è suriettiva (si veda il Teorema (11.16)
poco sotto). Oppure, per vedere che è connesso per archi, osserviamo che le rotazioni attorno
all’asse z si scrivono come
cos θ − sin θ 0
Rzθ = sin θ cos θ 0
0
0
1
e la funzione θ ∈ R $→ Rzθ ∈ SO(3) è continua. Se A ∈ SO(3) è una rotazione qualsiasi e
x ∈ S 2 tale che Ax = x, allora esiste certamente una rotazione Q tale che Qe3 = x (perché?),
e quindi la rotazione Q−1 AQ fissa e3 (e3 = (0, 0, 1)), e dunque Q−1 AQ = Rzθ , da cui
A = QRzθ Q−1 .
Geometria I
94
Ma allora la funzione γ : [0, 1] → SO(3) definita ponendo
γ(t) = QRztθ Q−1
è continua ed è tale che γ(1) = QRzθ Q−1 = A, e γ(0) = QRz0 Q−1 = I3 . Quindi SO(3) è
connesso per archi.
qed
È vero che O(3) = SO(3)+ ∪ SO(3)− (quelle con det 1 e −1)?
(11.13) Esempio. Gruppo di simmetrie di un triangolo equilatero: è isomorfo al gruppo di
permutazioni sui tre vertici?
(11.14) Esempio. Gruppo ciclico {z ∈ C : z n = 1}: è il gruppo di simmetrie di un poligono
regolare? Perché si chiama ciclico? Perché l’equazione z n = 1 si chiama ciclotomica? Per
esempio, il gruppo di simmetrie di un quadrato? Un esagono?
(11.15) Esempio. Gruppo generato dalle rotazioni di angolo π attorno ai (due) tre assi
ortogonali di R3 .
(11.16) Teorema. Siano Rxα , Ryβ e Rzγ le rotazioni attorno agli assi coordinati di R3 di angolo
α, β e γ rispettivamente. Allora per ogni rotazione R ∈ SO(3) esistono α, β e γ tali che
R = Rxα Ryβ Rzγ ,
cioè R si scrive come prodotto di tre rotazioni attorno agli assi cartesiani.
Dimostrazione. Esercizio (6.29).
qed
(11.17) Nota. I tre parametri α, β e γ (non esattamente questi) sono anche chiamati gli
angoli di Eulero della rotazione A. Una convenzione abbastanza comune è A = BCD, dove D
è una rotazione di angolo φ attorno all’asse z, C una rotazione di angolo θ attorno all’asse x,
e B una rotazione di angolo ψ attorno all’asse z (bastano quindi rotazioni attorno a due assi
ortogonali per generare SO(3)).
(11.18) Nota. Una norma è una funzione Rn → R che verifica le seguenti proprietà :
(i) x *= 0 =⇒ /x/ > 0, /x/ = 0 ⇐⇒ x = 0.
(ii) /cx/ = |c| /x/.
(iii) /x + y/ ≤ /x/ + /y/.
Una norma su Rn induce una metrica (d(x, y) = /x − y/), la quale induce a sua volta una
topologia. Diciamo che due norme sono equivalenti se inducono metriche equivalenti, cioè se le
topologie ottenute dalla metriche coincidono (oppure se . . . ). Accade che due norme qualsiasi
(che indichiamo con /·/A e /·/B ) su Rn sono sempre equivalenti tra di loro:
(11.19) Tutte le norme su Rn sono tra loro equivalenti.
Geometria I
95
Dimostrazione (opzionale). È sufficiente mostrare che se /·/A è una norma, allora /·/A è
equivalente alla norma euclidea /·/.
Infatti, la funzione N : Rn → R definita da N (x) = /x/A è continua (rispetto alla norma
euclidea): se gli ei sono i vettori della base standard e xi le componenti di x, si ha per
l’omogeneità e la disuguaglianza triangolare
/ n
0
n
n
#
#
#
N (x) = N
xi ei ≤
|xi |N (ei ) ≤ M
|xi |,
i=1
i=1
i=1
dove M è il massimo degli N (ei ). Ma |xi |2 ≤ /x/2 per ogni i, e quindi
M
n
#
i=1
|xi | ≤ M n/x/.
Allora per ogni x e y in Rn si ha che N (x) = N (y + (x − y)) ≤ N (y) + N (x − y) =⇒
N (x)−N (y) ≤ N (x−y). Analogamente N (y)−N (x) ≤ N (x−y), e quindi |N (x)−N (y)| ≤
N (x − y). Dunque
|N (x) − N (y)| ≤ N (x − y) ≤ M n/x − y/,
e quindi N è una funzione continua Rn → R. Consideriamo la sfera
S = {x ∈ Rn : /x/ = 1} ,
che è uno spazio chiuso (controimmagine di {1} chiuso in R) e limitato, e quindi compatto.
Ma allora la funzione N assume un massimo m2 e un minimo m1 su S: per ogni x ∈ S si ha
m1 ≤ N (x) ≤ m2 .
Se x1 ∈ S è il punto tale che m1 = N (x1 ), si ha m1 *= 0 dato che x1 *= 0, e quindi 0 < m1 ≤ m2 .
x
Ma allora se x ∈ Rn , x *= 0, si ha
∈ S, e quindi per ogni x *= 0 per l’omogeneità di N
/x/
1
2
N (x)
x
m1 ≤ N
≤ m2 =⇒ m1 ≤
≤ m2 =⇒ m1 /x/ ≤ N (x) ≤ m2 /x/.
/x/
/x/
Quindi le due norme sono equivalenti.
qed
Alcune norme (tutte tra loro equivalenti) sullo spazio delle matrici Matn×n (R) sono per
esempio:
3
(i) /A/2 = i,j a2ij ;
(ii) /A/ = maxi,j |aij |;
(iii) /A/ = max{ |Ax|
: x ∈ Rn ! {0}} (quest’ultima a sua volta dipende da una scelta di
|x|
norma su Rn ).
Geometria I
§ 12
96
Gruppi di trasformazioni
Cfr: Sernesi, Vol I, Cap 1, §14 [1].
Le matrici, con la moltiplicazione matrice × vettore, inducono trasformazioni lineari (cioè
funzioni lineari) tra spazi vettoriali. Cioè, se L è una matrice n × d con n righe e d colonne,
allora la funzione lineare v $→ Lv è una funzione
L : Rd → Rn .
Quando n = d, cioè quando la matrice è quadrata, e quando la matrice è invertibile, si tratta
quindi di una trasformazione invertibile
L : Rn → Rn .
Il prodotto di matrici corrisponde alla composizione di funzioni biunivoche. Si può cioè far
corrispondere ad ogni elemento L del gruppo GL(n, R) una funzione biunivoca Rn → Rn , in
modo che il prodotto (nel gruppo) corrisponda alla composizione di funzioni. L’identità del
gruppo finisce nella funzione identità.
Vogliamo fare questo in generale: associare ad ogni elemento g di un gruppo astratto G una
trasformazione X → X, cioè una funzione biunivoca su un insieme X, con le due proprietà:
1) l’elemento neutro di G è associato alla funzione identità 1X : X → X; 2) l’operazione di
prodotto nel gruppo corrisponde alla composizione di funzioni. Osserviamo che se f : X → X
è una funzione e x ∈ X, allora è possibile definire la valutazione della funzione f in x, definita
come f (x) = f x (era il prodotto matrice per vettore prima). In generale, possiamo associare
ad ogni funzione f : X → X e a ogni elemento x ∈ X la valutazione f (x), cioè c’è una funzione
(f, x) $→ x.
Partiamo da qui per definire l’azione di un gruppo su un insieme, cioè una corrispondenza tra
gli elementi di G e le trasformazioni di X in sé.
(12.1) Definizione. Sia G un gruppo e X un insieme. Si dice che G agisce (da sinistra) su
X se esiste una funzione φ : G × X → X (la valutazione), denotata da (g, x) $→ g · x = gx, per
cui
(i) ∀x ∈ X, 1 · x = x (1 ∈ G è l’elemento neutro).
(ii) ∀x ∈ X, ∀g, h ∈ G, g · (h · x) = (gh) · x.
L’insieme X si dice anche G-insieme.
elemento del gruppo g ∈ G
elemento neutro 1 ∈ G
prodotto g1 g2
∼ trasformazione g : X → X
∼ identità 1X : X → X
∼ composizione g1 ◦ g2 : X → X.
Geometria I
97
Per esercizio verificare che con questa definizione ogni g ∈ G ha associata la funzione
x $→ gx, che è biunivoca con inversa x $→ g −1 x. All’elemento neutro 1 ∈ G corridponderà la
funzione identità 1X : x $→ 1x = x. In questo modo il gruppo non è più astratto, ma è un
gruppo di trasformazioni.
(12.2) Esempio.
(i) GL(n, R), GL(n, C).
(ii) Gruppi di permutazioni.
(iii) Gruppi di isometrie (simmetrie di oggetti).
(iv) Ogni gruppo astratto agisce su sé stesso per moltiplicazione/addizione a sinistra.
(v) Ogni sottogruppo H ⊂ G agisce su G per moltiplicazione/addizione (a sinistra).
(12.3) Definizione. Se G agisce su X, allora per ogni x ∈ X si definiscono:
(i) lo stabilizzatore di x: Gx = {g ∈ G : g · x = x}.
(ii) L’orbita di x: G · x = {gx : g ∈ G}.
(12.4) Sia G un gruppo e X un insieme su cui G agisce. Allora la relazione x ∼ y ⇐⇒
∃g ∈ G : gx = y è una relazione di equivalenza, che partiziona X in classi di equivalenza. Le
classi di equivalenza sono le orbite di G in X.
Dimostrazione. Per mostrare che la relazione è di equivalenza, bisogna mostrare che è riflessiva,
simmetrica e transitiva. Dato che 1x = x, si ha che x ∼ x, per cui è riflessiva. Inoltre, se
gx = y (cioè x ∼ y) allora g −1 (gx) = g −1 y, e quindi x = g −1 y, cioè y ∼ x. Quindi è simmetrica.
Infine, è transitiva: se x ∼ y e y ∼ z, si ha che esistono g1 e g2 per cui g1 x = y e g2 y = z.
Quindi (g1 g2 )x = g2 (g1 x) = g2 y = z, cioè x ∼ z. Ora, è facile vedere che due punti stanno
nella stessa classe di equivalenza se e solo se appertengono alla medesima orbita.
qed
(12.5) Definizione. L’insieme di tutte le orbite (classi di equivalenza) di X secondo per
l’azione di un gruppo G su X si indica con X/G e si chiama spazio delle orbite.
(12.6) Esempio. Il gruppo (additivo) Z degli interi agisce sulla retta reale R (vedi sotto).
Lo spazio quoziente è omeomorfo alla circonferenza S 1 .
(12.7) Definizione. L’azione di G su X si dice fedele se per ogni g ∈ G, g *= 1 ∈ G, la mappa
indotta g : X → X (da x $→ g · x) non è l’identità 1X : X → X.
(12.8) Definizione. L’azione di G su X viene detta transitiva se per ogni x, y ∈ X esiste
g ∈ G per cui g · x = y. In questo caso si dice che X è uno spazio omogeneo.
(12.9) Esempio. L’azione di Z su R (traslazioni intere) è fedele ma non è transitiva. L’azione
di R su R è fedele e transitiva.
(12.10) L’azione è transitiva se e solo se esiste solo una G-orbita in X.
Geometria I
98
Dimostrazione. Sia x ∈ X un punto fissato. Allora per ogni y esiste g ∈ G per cui g · x = y,
cioè ogni y in X sta nella stessa G-orbita di x, che quindi è unica. Viceversa, supponiamo
esista una sola orbita: allora esiste x ∈ X per cui {g · x|g ∈ G} = X, e quindi per ogni y ∈ X
esiste g ∈ G tale che g · x = y.
qed
(12.11) Nota. Se G è un gruppo, G agisce su se stesso X = G semplicemente per moltiplicazione a sinistra. L’azione è transitiva e fedele. Se H è un sottogruppo di G, anche H agisce su
G per moltiplicazione da sinistra. Le orbite sono i laterali (sinistri) di H in G. La notazione
G/H quindi è consistente: da un lato indica l’insieme (algebrico) dei laterali sinistri di H in
G, dall’altro l’insieme delle orbite dell’azione di H su G.
(12.12) Definizione. Se G è un gruppo topologico, allora si dice che G agisce su uno spazio
topologico X se esiste una funzione φ : G × X → X che induca una azione di G su X (come
nella definizione (12.1)) con l’ulteriore proprietà che la funzione
G×X →X
è continua. Allora X si chiama G-spazio.
(12.13) Esempio. È facile vedere che R2 agisce su R2 come gruppo (additivo) di traslazioni
(x, y) · (u, v) = (x + u, y + v).
(12.14) Esempio. I gruppi GL(n, R), O(n) e SO(n) agiscono su Rn in modo canonico. Come
visto sopra, si può vedere facilmente che l’azione è continua, cioè che agiscono come gruppi
topologici su Rn .
(12.15) Definizione. Se G è un gruppo topologico che agisce su uno spazio topologico X, lo
spazio delle orbite X/G è uno spazio topologico con la topologia quoziente.
(12.16) Esempio. Sia G = Z (con la topologia discreta) e X = R. Allora G agisce su R
mediante la somma (g, t) $→ g+t per ogni g ∈ Z e ogni t ∈ R. Lo spazio delle orbite è uguale allo
spazio R/ ∼ dell’esempio (6.1). Mostriamo che è omeomorfo a S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y 2 = 1}.
Sia f : R → R2 la funzione definita da
f (t) = (cos(2πt), sin(2πt)).
Si vede subito che induce una funzione f (t) : R → S 1 ⊂ R2 , e che è continua (le funzioni
trigonometriche sono continue, poi si usa (11.6)). Dal momento che
f (g + t) = (cos(2πt + 2gπ), sin(2πt + 2gπ))
= (cos(2πt), sin(2πt))
= f (t),
Geometria I
99
la funzione f induce una funzione sullo spazio delle orbite f¯: R/Z → S 1 . La funzione indotta
f¯ è continua: infatti, se U ⊂ S 1 è un aperto di S 1 , la sua controimmagine f¯−1 (U ) in R/Z è
continua se e soltanto se (per definizione di topologia quoziente) il sottoinsieme
4
5
p−1 f¯−1 (U ) ⊂ R
è aperto in R, dove p indica la proiezione sul quoziente p : R → R/Z. Ma
4
5
p−1 f¯−1 (U ) = {t ∈ R : f¯ (p(t)) ∈ U }
= {t ∈ R : f (t) ∈ U }
= f −1 (U ),
che è aperto, visto che f è continua.
Ora, la funzione indotta f¯: R/Z → S 1 è iniettiva: se f¯(t1 ) = f¯(t2 ) si ha che cos(2πt1 ) =
cos(2πt2 ) e sin(2πt1 ) = sin(2πt2 ), e quindi t2 = 2kπ + t1 per un certo k ∈ Z, cioè esiste g ∈ Z
tale che g · t1 = t2 : i due punti t1 e t2 appartengono alla stessa G-orbita. È facile vedere che
f¯ è suriettiva. Osserviamo che l’inclusione [0, 1] ⊂ R è una funzione continua, e quindi la
composizione [0, 1] → R → R/Z è anch’essa una funzione continua, e suriettiva. Quindi la sua
immagine R/Z, per (7.17), è un compatto. Ora, f¯ è una funzione continua e biunivoca da un
compatto ad uno spazio di Hausdorff (S 1 ), e quindi un omeomorfismo per (7.19).
(12.17) Esempio. Sia G = Z2 ⊂ R2 il reticolo degli interi (h, k) ∈ R2 . Allora R2 /G è
omeomorfo a S 1 × S 1 . Sappiamo dall’esempio precedente che R/Z ≈ S 1 . Per prima cosa
mostriamo che la funzione
f : R2 /Z2 → R/Z × R/Z ≈ S 1 × S 1
definita da
(x, y) + Z2 $→ (x + Z, y + Z)
è ben posta. Se (x" , y " )+Z2 = (x, y)+Z2 ∈ R2 /Z2 , allora per definizione x" −x ∈ Z e y " −y ∈ Z,
e quindi x + Z = x" + Z e y + Z = y " + Z. È iniettiva: se (x + Z, y + Z) = (x" + Z, y " + Z),
allora x − x" ∈ Z e y − y " ∈ Z, e quindi (x" , y " ) + Z2 = (x, y) + Z2 ∈ R2 /Z2 . Analogamente si
può mostrare che è suriettiva.
Dimostriamo che è continua: denotiamo con P : R2 → R2 /Z2 la proiezione sul quoziente
e con p × p la mappa p × p : R × R → R/Z × R/Z (che è continua). Se U ⊂ R/Z × R/Z è
un aperto, allora (p × p)−1 (U ) è aperto in R × R, e quindi è aperto in R2 (che è identificato
con R × R tramite la mappa f˜: R2 → R × R che induce f ). Ma il sottoinsieme di R2 dato
da f˜−1 (p × p)−1 (U ) coincide con P −1 (f −1 (U )), che quindi è aperto. Ora, per definizione di
topologia quoziente f −1 (U ) è aperto se e solo se P −1 (U ) è aperto in R2 , e quindi f −1 (U ) è
aperto. Di nuovo, una funzione biunivoca da uno spazio compatto ad uno spazio di Hausdorff
è un omeomorfismo.
Geometria I
100
(12.18) Esempio. Si consideri l’azione di SO(2) sulla circonferenza unitaria S 1 . Ogni elemento di SO(2) agisce ruotando la circonferenza su se stessa: ogni punto ha stabilizzatore
banale e l’azione è transitiva e fedele. Fissiamo e0 = (1, 0) ∈ S 1 . L’orbita di e0 è tutto S 1 , e
quindi c’è una funzione continua
f : SO(2) → S 1
definita da f (g) = g · e0 . L’azione è transitiva, e quindi f è suriettiva. Inoltre lo stabilizzatore
è banale, e quindi f è iniettiva. Dato che SO(2) è compatto e S 1 di Hausdorff, f è un
omeomorfismo tra SO(2) e S 1 .
(12.19) Esempio. Consideriamo ora l’azione di SO(3) su S 2 (la sfera di dimensione 2, centro
nell’origine e raggio 1, contenuta in R3 ). L’azione è ancora transitiva (perché?), fedele, ma ogni
punto ha uno stabilizzatore non banale (cosa sono le rotazioni di R3 che fissano un punto?).
Si veda l’esercizio (6.29).
(12.20) Esempio. Il gruppo Z/2Z agisce su S 2 ponendo g · x = −x.
(12.21) Esempio. Le isometrie di uno spazio metrico X costituiscono un gruppo topologico
che agisce su X. Quali sono le isometrie di R? Le isometrie di C ∼
= R2 ? Di R3 ?
(12.22) Esempio. Ogni numero complesso a + ib non nullo può essere interpretato come
vettore di R2 con coordinate (a, b) (piano di Argand–Gauss), ma anche come elemento di
GL(2, R), come segue. Definiamo l’azione, per G = C ! {0} e X = C,
(g, w) $→ gw
con g ∈ G = C ! {0} e w ∈ C ∼
= R2 . Per ogni g ∈ G, l’applicazione indotta g : X → X è Rlineare, e quindi c’è una funzione f : G → GL(2, R). Osserviamo che f (g1 +g2 ) = f (g1 )+f (g2 )
e f (g1 g2 ) = f (g1 )f (g2 ) e che se c ∈ R e g ∈ C si ha f (cg) = cf (g) (qui teniamo conto anche
degli elementi non invertibili). La funzione f è anche iniettiva: f (g1 ) = f (g2 ) =⇒ g1 = g2 .
Se g1 = 1 ∈ R ⊂ C, allora
%
&
1 0
f (g1 ) = f (1) =
.
0 1
Se g2 = i ∈ C, allora per ogni w = w1 + iw2 ∈ C si ha
%
&% &
0 −1 w1
g2 w = i(w1 + iw2 ) = iw1 − w2 = −w2 + iw1 =
,
1 0
w2
cioè
%
&
0 −1
f (g2 ) = f (i) =
.
1 0
Dunque, per l’additività se z = a + ib ∈ C, si ha
%
&
%
& %
&
1 0
0 −1
a −b
f (z) = f (a + ib) = af (1) + bf (i) = a
+b
=
.
0 1
1 0
b a
Geometria I
101
%
&
a −b
In questo modo, le rotazioni (che si scrivono come
con a2 + b2 = 1) corrispondono
b a
mediante la f ai numeri complessi di norma 1. Il prodotto di numeri complessi corrisponde al
prodotto di matrici, la somma di numeri complessi, alla somma di matrici.
Il coniugato del numero complesso z = a + ib è z = a − ib, dunque
%
&
a b
f (z) =
= [f (z)]t ,
−b a
cioè la trasposta di
%
&
a −b
f (z) =
.
b a
La norma di un numero complesso z = a + ib è data da |z|2 = a2 + b2 , che è anche
zz = (a + ib)(a − ib) = a2 − (ib)2 = a2 + b2 .
Tra matrici, si ha
%
&%
&
%
&
a −b
a b
1 0
2
2
f (z)f (z) = f (z)f (z) =
= (a + b )
.
b a
−b a
0 1
t
Per ogni numero complesso z ∈ C, sia
z
e =
∞
#
zn
n=0
n!
.
Dato che |z n | = |z|n , è una serie in C convergente (le serie parziali delle norme convergono e
quindi . . . ). Osserviamo che
/∞
0/ ∞
0
# zn
# wm
ez ew =
n!
m!
n=0
m=0
/
0
∞
#
# z n wm
=
n!m!
k=0
n+m=k
/ k
0
∞
#
# k! z j wk−j
=
k! j!(k − j)!
j=0
k=0
/
0
∞
k 1 2
#
1 # k j k−j
=
z w
k!
j
j=0
k=0
=
∞
#
1
(z + w)k
k!
k=0
= ez+w
Geometria I
102
e che
ez = (ez )
e0 = 1.
Quindi
|eiθ |2 = eiθ e−iθ = e0 = 1,
cioè eiθ è un punto della circonferenza unitaria in C. In altre parole, la mappa
R $→ {a + ib ∈ C : a2 + b2 = 1} ⊂ C,
definta da θ $→ eiθ è ben definita. Ricordiamo che14
eiθ = cos θ + i sin θ,
quindi
cos θ = 2(eiθ ) =
sin θ = 3(eiθ ) =
dato che
iθ
e =
=
=
∞
#
(−1)k
θ2k
(2k)!
(−1)k
θ2k+1
(2k + 1)!
k=0
∞
#
k=0
∞
#
(iθ)n
n=0
∞
#
n=0
n pari
∞
#
n!
∞
#
(iθ)n
(iθ)n
+
n!
n!
n=1
(i)2k
k=0
∞
#
2k
n dispari
∞
#
θ
θ2k+1
+
(i)2k+1
(2k)! k=0
(2k + 1)!
∞
#
θ2k+1
θ2k
=
(−1)
+i
(−1)k
(2k)!
(2k + 1)!
k=0
k=0
k
= cos θ + i sin θ.
Cioè, con un abuso di notazione,
%
&
cos θ − sin θ
e = cos θ + i sin θ =
.
sin θ cos θ
iθ
Moltiplicare per eiθ un punto del piano complesso significa ruotarlo attorno all’origine in senso
antiorario di un angolo θ.
(12.23) La funzione esponenziale z $→ ez , C → C è continua.
14
Questa potrebbe essere una definizione delle funzioni trigonometriche cos e sin.
Geometria I
103
Dimostrazione (opzionale). Se z ∈ C, allora15
ez − 1 =
=
∞
#
zn
n=0
n!
∞
#
zn
n!
n=1
∞
#
= z(
n=0
z
−1
=z+
z2 z3
+
+ ...
2!
3!
zn
)
(n + 1)!
=⇒ e − 1 = zr(z)
dove se |z| < 1 il resto r(z) verifica
r(z) =
∞
#
n=0
zn
(n + 1)!
=⇒ |r(z)| ≤
∞
#
n=0
=⇒ |ez − 1| ≤
∞
#
|z|n
1
≤
|z|n =
.
(n + 1)! n=0
1 − |z|
|z|
.
1 − |z|
In conseguenza dell’ultima disuguaglianza, la funzione C → C definita da z $→ ez è
continua: se z0 ∈ C e ! > 0, definiamo
δ :=
Segue che per ogni h ∈ C con |h| < δ si ha
!
|ez0 |
+!
|h|
1−|h|
<
> 0.
δ
1−δ
e quindi
|ez0 +h − ez0 | = |ez0 eh − ez0 | = |ez0 ||eh − 1| ≤
|h|
δ
≤ |ez0 |
< |ez0 |
=
1 − |h|
1−δ
!
|ez0 |!
|ez0 | + !
|ez0 | + !
= |ez0 |
=
= !.
z
!
|e 0 | + ! − !
1 − z0
|e | + !
|ez0 | + !
e quindi z $→ ez è continua in z0 ∈ C.
Di conseguenza anche cos θ e sin θ sono funzioni continue di θ.
15
Si può usare la proprietà distributiva di C anche per somme infinite?
qed
Geometria I
104
(12.24) Nota (Opzionale). A questo punto dovremmo essere però finalmente in grado di
dimostrare che le funzioni trigonometriche cos e sin, definite a partire da eit , sono periodiche
di periodo 2π. Procediamo nel modo seguente. Sia X ⊂ R definito da
X = {t ∈ R : eit = 1}.
Si ha e0 = 1 =⇒ 0 ∈ X, e t1 , t2 ∈ X =⇒ t1 + t2 ∈ X, −t1 ∈ X, cioè X è un
sottogruppo (additivo) di R, nonché un sottospazio chiuso di R (perché controimmagine del
chiuso {1} ⊂ C mediante la funzione continua z $→ ez ). Ci sono altri elementi in X oltre
4k
a 0? Ora, osserviamo che cos 0 = 1, mentre, dato che la successione (2k)!
converge a zero
monotonamente (dimostrarlo per induzione!), risulta
cos 2 =
∞
#
(−1)k
k=0
4k
(2k)!
4 42 43
+
−
+ ...
2 4!
6!
42
1
<1−2+
= − < 0.
4!
3
=1−
Per il teorema degli zeri esiste quindi almeno un t0 ∈ (0, 2) tale che cos t0 = 0. In modo
analogo,
∞
#
1
cos 1 =
(−1)k
(2k)!
k=0
1 1 1
+ − + ...
2 4 6
1
1
> 1 − = > 0,
2
2
e quindi esiste t0 ∈ (1, 2) tale che cos t0 = 0. Ora, se cos t0 = 0, allora sin2 t0 = 1. Ma, sempre
per la monotonia, si può mostrare che per t ∈ (0, 2) si ha
=1−
sin t > t −
t3
,
6
t2
e quindi sin t0 > 0, dato che t(1 − ) è positiva per t ∈ (0, 2), cioè non può essere sin t0 = −1,
6
e dunque
sin t0 = 1.
Abbiamo dimostrato che eit0 = i, da cui segue che
e4t0 i = i4 = 1.
cioè che 4t0 ∈ X, e che perciò X non è il sottogruppo banale di R. Sia quindi
t1 = inf{t > 0 : t ∈ X}.
Geometria I
105
Questo numero esiste certamente, perché è l’estremo inferiore di un insieme non vuoto (4t0
verifica e4it0 = 1) e limitato dal basso. Può essere uguale a zero, t1 = 0? Supponiamo che lo
sia. Allora per ogni ! > 0 esiste t > 0, tale che t ∈ X e t < !. Ma X è sottogruppo, e quindi
per ogni k ∈ Z si ha kt ∈ X, cioè per ogni x ∈ R ci sono elementi di X ad una distanza al più
!. In altre parole,
X = R.
Ma dato che X è chiuso, si avrebbe X = X = R, cioè per ogni t ∈ R
eit = 1.
Ma questo è falso: basta prendere t0 e usare le identità di sopra.
Quindi t1 non può essere uguale a 0: definiamo una costante π > 0 dalla relazione
2π = t1 .
In altre parole, 2π è il più piccolo numero reale positivo per cui eit = 1, e ovviamente risulta
per ogni k ∈ Z
e2kπi = (e2πi )k = 1k = 1.
Da cioè segue che le funzioni cos t e sin t sono periodiche di periodo almeno 2π (potrebbe
essere un sottomultiplo di 2π, a priori):
ei(t+2kπ) = eit e2kπi = eit .
Non solo, vale anche il viceversa: se t ∈ X, allora t = 2kπ. Infatti, se così non fosse esisterebbe
t ∈ X, tale che
2kπ < t < 2(k + 1)π
per un certo k ∈ Z, ma allora se si pone s = t − 2kπ si ha s > 0, s < 2π e
eis = ei(t−skπ) = eit = 1,
cioè non è vero che 2π è il minimo, e questo è assurdo. Deve quindi essere
X = {t ∈ R : eit = 1} = {2kπ : k ∈ Z}.
Ancora: osserviamo che i due insiemi
A = {t ∈ R : t > 0, eit = 1},
B = {t ∈ R : t > 0, eit = i}
sono legati da
4B ⊂ A =⇒ inf A ≤ 4 inf B.
Inoltre, (1, 2) 4 t0 ∈ B =⇒ B *= ∅ e inf B > 0 dato che e0 *= i, e inf B < 2 per quanto visto
sopra. Poniamo quindi b = inf B, che quindi deve verificare
2π ≤ 4b.
(12.25)
Geometria I
106
Per come abbiamo definito b poco sopra, però, è anche il più piccolo reale positivo tale che
cos b = 0, da cui segue (senza assumerlo) che sin b = 1. Ora, per definizione se t ∈ (0, b)
allora cos t > 0 (dato che cos 0 > 0 e la funzione non può cambiare di segno nell’intervallo), e
3
sin t > 0 dato che sin t > t − t3! , da cui segue che se t ∈ (0, b] allora cos t *= 1. Ma
cos(t + b) + i sin(t + b) = ei(t+b) = eit eib = ieit = i cos t − sin t,
e dunque
cos(t + b) = − sin t = sin(−t)
sin(t + b) = cos t = cos(−t).
Segue che
cos(t + 2b) = − sin(t + b) = − cos t
sin(t + 2b) = cos(t + b) = − sin t
cos(t + 3b) = − cos(t + b) = sin(t)
sin(t + 3b) = − sin(t + b) = − cos t.
Quindi nell’intervallo [0, 4b] può accadere che cos t = 1 e sin t = 0 solo se t = 0 oppure t = 4b:
cos t è negativo in [b, 3b], sin t è non nullo in (0, b] e [3b, 4b). Ma allora non può essere 2π < 4b
nella formula (12.25), perché per definizione cos 2π = 1 e sin 2π = 0: deve essere 2π = 4b, cioè
b = π2 , e dunque
π
ei 2 = i.
Prendiamo i quadrati di entrambi i membri e li sommiamo: otteniamo l’identità di Eulero 16
eiπ + 1 = 0.
16
(Dalla pagina di wikipedia sull’identità di Eulero)
A reader poll conducted by Mathematical Intelligencer named the identity as the most beautiful theorem
in mathematics. Another reader poll conducted by Physics World in 2004 named Euler’s identity the greatest
equation ever, together with Maxwell’s equations.
The book Dr. Euler’s Fabulous Formula [2006], by Paul Nahin (Professor Emeritus at the University of
New Hampshire), is devoted to Euler’s identity; it is 400 pages long. The book states that the identity sets
the gold standard for mathematical beauty.
Constance Reid claimed that Euler’s identity was the most famous formula in all mathematics.
Gauss is reported to have commented that if this formula was not immediately apparent to a student on
being told it, the student would never be a first-class mathematician.
After proving the identity in a lecture, Benjamin Peirce, a noted nineteenth century mathematician and
Harvard professor, said, It is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don’t know what it
means, but we have proved it, and therefore we know it must be the truth.
Stanford mathematics professor Keith Devlin says, Like a Shakespearean sonnet that captures the very
essence of love, or a painting that brings out the beauty of the human form that is far more than just skin
deep, Euler’s equation reaches down into the very depths of existence.
Geometria I
107
Esercizi: foglio 6
(6.1) Sia G un gruppo e H ⊂ G un sottogruppo. L’insieme G/H è definito come l’insieme
di tutti i laterali, cioè di tutti gli insiemi del tipo {gh : h ∈ H} per qualche g (fissato) in G.
Equivalentemente, sia ∼H la relazione in G definita da: x ∼H y ⇐⇒ x−1 y ∈ H. Dimostrare
che la relazione ∼H è di equivalenza, e che le classi di equivalenza sono proprio i laterali di H
in G.
(6.2) Dimostrare che GL(n, R) non è limitato.
2
(6.3) Si scriva la funzione GL(n) → GL(n) ⊂ Rn definita da A $→ AAt (dove At indica la
trasposta di A) come composizione di funzioni continue.
(6.4) Sia G un gruppo topologico e H ⊂ G un sottogruppo. Dimostrare che la chiusura H di
H in G è anch’esso un sottogruppo.
(6.5) Dimostrare che Z è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R.
(6.6) È vero che Q è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R?
(6.7) Dimostrare che GL(n) e O(n) non sono connessi. (Suggerimento: utilizzare il teorema
(10.9 ) con la mappa determinante)
*(6.8) Dimostrare che se S ⊂ R è un sottogruppo discreto (nel senso che ha la topologia
discreta), allora è isomorfo a Z (cioè è un gruppo ciclico infinito).
(6.9) Sia nZ ⊂ Z il sottogruppo (additivo) di tutti i multipli di un intero n ∈ N. L’azione da
sinistra g · x = g + x fa agire G = nZ su Z. L’azione è fedele? È transitiva? Cosa è l’insieme
delle classi di equivalenza?
(6.10) Mostrare che il quoziente R2 /Z2 è compatto.
*(6.11) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {(x, y) : y 2 ≤ 1} ⊂ R2 tale che
X/G sia omeomorfo al cilindro S 1 × [0, 1].
*(6.12) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {(x, y) : y 2 ≤ 1} ⊂ R2 tale che
X/G sia omeomorfo al nastro di Möbius.
*(6.13) Si consideri S 2 con l’azione antipodale di G = Z2 (gruppo di due elementi) data da
g · x = −x se g *= 1. Che cosa è S 2 /G? È compatto? È connesso?
(6.14) Trovare un’azione sul toro che abbia come spazio quoziente un cilindro.
(6.15) Dimostrare che lo stabilizzatore di un punto x ∈ X rispetto ad un’azione di un gruppo
topologico G è un sottogruppo chiuso di G.
(6.16) Si consideri il gruppo G generato da una rotazione nel piano di angolo θ, che agisce
sulla circonferenza S 1 = {(x, y) : x2 + y 2 = 1} ⊂ R2 . Studiare, al variare di θ, la topologia
dello spazio quoziente S 1 /G.
Geometria I
108
(6.17) Siano r1 e r2 riflessioni lungo due rette passanti per l’origine in R2 . Mostrare che la
composizione r1 r2 è una rotazione.
*(6.18) Sia G = Q e X = R, con azione data da g · x = g + x per ogni g ∈ Q e x ∈ R.
Dimostrare che è un’azione di gruppo topologico. È transitiva? Lo spazio quoziente X/G è di
Hausdorff?
(6.19) Si consideri l’azione di GL(1) = R ! {0} su R data dalla moltiplicazione g · x = gx.
Quali sono le orbite?
(6.20) Sia G = R (gruppo additivo) e X = R2 , con azione data da g · (x, y) = (g + x, g + y)
per ogni g ∈ G e ogni (x, y) ∈ X. Che cosa è lo spazio delle orbite?
(6.21) Consideriamo la stessa azione dell’esercizio precedente. Che cosa è lo spazio delle
orbite per l’azione di Z ⊂ G = R su X? È compatto? È connesso? È Hausdorff?
(6.22) Quanti elementi ha il gruppo di simmetrie G di un quadrato Q in R2 ? Che cosa è
(cioè, descriverlo esplicitamente) lo spazio quoziente Q/G.
(6.23) Sia X uno spazio su cui un gruppo topologico X agisca in modo transitivo. Dimostrare
che lo spazio è “omogeneo”, cioè per ogni coppia di punti c’è un omeomorfismo f : X → X che
manda x in y (cioè un “cambio di coordinate” che manda x in y). Rispetto a quale gruppo R
è omogeneo? E Rn ?
(6.24) Trovare un gruppo topologico che agisca in modo transitivo su O(n). Più in generale,
se G è un gruppo topologico e H ⊂ G un sottogruppo, determinare un gruppo che agisce
transitivamente sullo spazio quoziente G/H.
*(6.25) Dimostrare che se G è un gruppo topologico che agisce su uno spazio X, allora la
proiezione sullo spazio delle orbite X → X/G è una mappa aperta. Se G è finito, è anche
chiusa. (Suggerimento: se U ⊂ X è un aperto, allora p(U ) è aperto (chiuso) se e solo se
GU = {g · x : g ∈ G, u ∈ U } è aperto (chiuso) in X.)
(6.26) Dimostrare che se G (gruppo topologico) agisce su X, allora per ogni g ∈ G la mappa
x $→ g · x è un omeomorfismo.
**(6.27) Sia G un gruppo topologico d N ! G un suo sottogruppo normale (dal punto di vista
algebrico) e chiuso (dal punto di vista topologico) in G. Sia G/N il quoziente (quoziente dal
punto di vista algebrico, insieme dei laterali), con la topologia quoziente.
(i) Dimostrare che la proiezione p × p : G × G → G/N × G/N è una mappa quoziente.
(ii) Dimostrare che la moltiplicazione G × G → G induce una moltiplicazione m̄ : G/N ×
G/N → G/N , che è continua.
(iii) Dimostrare che G/N è un gruppo topologico.
Geometria I
109
(6.28) Sia l ≥ 2 un intero. Sia Zl ⊂ C l’insieme delle radici l-esime dell’unità Zl = {z ∈
C : z l = 1}. Dimostrare che Zl è un gruppo topologico, che agisce su C per moltiplicazione a
sinistra g · z = gz (g ∈ Zl , z ∈ C). Al variare di l, determinare lo spazio quoziente C/Zl .
(6.29) (La sfera di Rubik) Sia G = SO(3) che agisce su S 2 ⊂ R3 (sfera di raggio uno in R3 e
centro in 0 ∈ R3 ). Dimostrare le seguenti affermazioni.
(i) L’azione di G su S 2 è transitiva.
−→
(ii) Per ogni x ∈ S 2 e ogni g ∈ G tale che gx = x, g ruota il piano ortogonale al vettore Ox
in sé.
(iii) Per ogni x ∈ S 2 , lo stabilizzatore Gx ∼
= SO(2).
2
(iv) Per ogni x, y ∈ S , il sottospazio Gx,y = {g ∈ G : gx = y} ⊂ G è non vuoto ed è
omeomorfo a Gx mediante la mappa g ∈ Gx,y $→ g1−1 g ∈ Gx , dove g1 ∈ Gx,y è un
elemento fissato.
(v) Lo spazio di tutti gli assi di rotazione degli elementi di Gx,y , per x *= y, descrive un
cerchio massimo in S 2 .
−→ −→
(vi) Se x, y ∈ S 2 e Ox · Oy = 0 (sono ortogonali), allora per ogni P ∈ S 2 esiste una rotazione
−−→ −→
−→
g ∈ G che fissa x (gx = x) e tale che OgP e Oy sono ortogonali (è vero anche se Ox e
−→
Oy non sono ortogonali?).
−→ −→
(vii) Se x e y sono due punti di S 2 tali che Ox e Oy sono ortogonali, allora per ogni P ∈
S 2 esistono due rotazioni Rx e Ry attorno a x e y rispettivamente tali che Ry Rx P è
−→ −→
ortogonale ad entrambi Ox e Oy.
(viii) Se vettori ei sono i tre vettori della base standard di R3 e e"i = Rei le rispettive immagini
mediante una rotazione R ∈ SO(3), allora esistono tre rotazioni Ri attorno a ei tali che:
R3 R2 R1 e"3 = e3
R3 R2 R1 e"2 = e2
R3 R2 R1 e"1 = e1 .
(ix) Dimostrare il teorema (11.16) (pagina 94): ogni rotazione in SO(3) si può scrivere come
prodotto R = Rxα Ryβ Rzγ di tre rotazioni attorno agli assi coordinati di R3 .
Ricordiamo che se A è una matrice n × n a coefficienti complessi, allora la trasposta
coniugata (aggiunta Hermitiana) di A si indica con A∗ ed è la matrice con coefficienti āji ,
se aij sono i coefficienti di A. Per ogni intero n ≥ 1 siano U (n) (gruppo delle matrici
unitarie/gruppo unitario) e SU (n) (gruppo speciale uniterio) i gruppi di matrici definiti da
U (n) = {A ∈ GL(n, C) : AA∗ = A∗ A = In },
SU (n) = {A ∈ U (n) : det A = 1}.
*(6.30) Siano U (n) e SU (n) il gruppo unitario e il gruppo speciale unitario. Dimostrare i
seguenti fatti.
Geometria I
110
(i) Per ogni intero n ≥ 1 i gruppi U (n) e SU (n) sono compatti.
(ii) U (1) ≈ S 1 ≈ SO(2).
%
&
z −w̄
(iii) Gli elementi di SU (2) sono tutte e sole le matrici del tipo A =
con (z, w) ∈ C2 ,
w z̄
|z|2 + |w2 | =
&
%
&
%
&
%
% 1. &
0 i
i 0
0 1
1 0
, k = ij =
∈ SU (2). Allora se
, i=
, j =
(iv) Siano 1 =
−1 0
i 0
0 −i
0 1
z = a + ib, w = c + id si ha
%
&
z w
= a1 + bi + cj + dk.
−w̄ z̄
(v) SU (2) ≈ S 3 (rivedere la dimostrazione SO(2) ≈ S 1 ).
*(6.31) Continuando dall’esercizio precedente, mostrare le seguenti proposizioni.
(i) ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik, i2 = j 2 = k2 = −1.
(ii) Se per ogni matrice del tipo X = a1 + bi + cj + dk si pone X̄ = a1 − bi − cj − dk, allora
(XY ) = (Ȳ )(X̄), e
X X̄ = a2 + b2 + c2 + d2 =: |X|2
(quest’ultima uguaglianza è una definizione).
Segue che |XY |2 = |X|2 |Y |2 .
(iii) Per ogni (a, b, c, d) *= (0, 0, 0, 0) ∈ R4 la matrice inversa di X = a1 + bi + cj + dk è uguale
a X̄/|X|2 = (a1 − bi − cj − dk)/(a2 + b2 + c2 + d2 ).
(iv) Si consideri la funzione M : R3 → Mat2×2 (C) definita ponendo
M (v) = Mv = v1 i + v2 j + v3 k.
per ogni vettore v ∈ R3 di componenti vi , e H ⊂ Mat2×2 (C) la sua immagine. Si mostri
che H è il sottospazio di Mat2×2 (C) di tutte le matrici Hermitiane a traccia nulla.
(v) Per ogni A ∈ SU (2) la funzione LA : H → H definita ponendo
LA (X) = AXA−1
è ben definita e lineare in X rispetto alla somma di matrici (osservare che X ∈ H se e
solo se la traccia della matrice X è nulla e la traccia . . . ).
(vi) Per ogni A ∈ SU (2) la funzione LA : H → H, tramite la corrispondenza M , è una
funzione lineare invertibile R3 → R3 , cioè induce un elemento ρA ∈ GL(3, R).
(vii) Per ogni A ∈ SU (2), l’elemento ρA del punto precedente è un elemento di O(3) (basta
mostrare che ρA conserva la norma).
(viii) La funzione A $→ det(ρA ) è una funzione continua SU (2) ≈ S 3 → {−1, 1} = S 0 .
Dedurre che per ogni A ∈ SU (2), si ha ρA ∈ SO(3).
(ix) La funzione continua A $→ ρA è anche un omomorfismo di gruppi π : SU (2) → SO(3).
Geometria I
111
(x) Il nucleo di π è uguale all’insieme di tutti gli elementi A = a1 + bi + cj + dk ∈ SU (2)
tali che
Ai = iA, Aj = jA, Ak = kA,
e quindi ker π = {−1, 1}.
(xi) Le immagini mediante π in SO(3) dei tre sottogruppi
Gi = {A ∈ SU (2) : Ai = iA} = {a + bi}
Gj = {A ∈ SU (2) : Aj = jA} = {a + cj}
Gk = {A ∈ SU (2) : Ak = kA} = {a + dk}
sono i gruppi di rotazioni di SO(3) che fissano uno degli assi cartesiani di R3 (osservare
per esempio che se A = 1 cos θ + i sin θ ∈ SU (2), allora ρA è la rotazione attorno al
primo asse di R3 di angolo 2θ).
(xii) Se B ∈ SU (2) è a traccia nulla B = b1 i + b2 j + b3 k, allora B 2 = −1;
(xiii) Se B, C ∈ SU (2) sono come sopra a traccia nulla, allora BC + CB = 0 se e soltanto se
i due vettori corrispondenti in H sono ortogonali (rispetto al prodotto scalare standard
di R3 , con l’identificazione mediante M ).
(xiv) Se B ∈ SU (2) è come sopra a traccia nulla, allora esistono esistono C, D ∈ SU (2) a
traccia nulla tali che BC = D, CD = B, DB = C, C 2 = D2 = −1, BC + BC = 0,
BD + DB = 0, CD + DC = 0 (si scelgano due vettori unitari in H che costituiscano,
insieme a B, una base ortonormale in H, coerentemente orientata).
(xv) Se A = 1 cos θ + B sin θ, con B ∈ SU (2) del tipo B = bi + cj + dk, allora ρA è una
rotazione che fissa (b, c, d) ∈ R3 , di angolo 2θ (si consideri una base come nel punto
precedente . . . ).
(xvi) L’omomorfismo π : S 3 ≈ SU (2) → SO(3) è suriettivo ed è una mappa quoziente, dunque
SU (2)/ ker π = SU (2)/{±1} ≈ SO(3),
e SO(3) è connesso.
