Le geometrie non euclidee
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. . Le geometrie non euclidee Enrico Gregorio 5 aprile 2013 .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria? Studio dello spazio? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria? Studio dello spazio? Uno strumento utile per comprendere il mondo? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria? Studio dello spazio? Uno strumento utile per comprendere il mondo? Una creazione della mente? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria? Studio dello spazio? Uno strumento utile per comprendere il mondo? Una creazione della mente? Una concezione a priori? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria? Studio dello spazio? Uno strumento utile per comprendere il mondo? Una creazione della mente? Una concezione a priori? Forse tutto questo o niente di tutto questo .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . L’assioma delle parallele .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . L’assioma delle parallele . Assioma . Se due rette, tagliate da una trasversale, formano angoli minori di due retti, allora, se prolungate, si incontrano dalla parte dove formano angoli minori di due retti . .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . L’assioma delle parallele . Assioma . Se due rette, tagliate da una trasversale, formano angoli minori di due retti, allora, se prolungate, si incontrano dalla parte dove formano angoli minori di due retti . Questa, più o meno, era la formulazione di Euclide dell’ultimo assioma, il quinto .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . L’assioma delle parallele . Assioma . Se due rette, tagliate da una trasversale, formano angoli minori di due retti, allora, se prolungate, si incontrano dalla parte dove formano angoli minori di due retti . Questa, più o meno, era la formulazione di Euclide dell’ultimo assioma, il quinto Euclide dimostra tutte le proposizioni che può senza far uso di questo assioma, probabilmente perché lo riteneva meno “evidente” degli altri .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . L’assioma delle parallele . Assioma . Se due rette, tagliate da una trasversale, formano angoli minori di due retti, allora, se prolungate, si incontrano dalla parte dove formano angoli minori di due retti . Questa, più o meno, era la formulazione di Euclide dell’ultimo assioma, il quinto Euclide dimostra tutte le proposizioni che può senza far uso di questo assioma, probabilmente perché lo riteneva meno “evidente” degli altri Si potrebbe farne a meno? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . L’assioma delle parallele .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . L’assioma delle parallele La formulazione usuale dell’assioma è diversa .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . L’assioma delle parallele La formulazione usuale dell’assioma è diversa Perché Euclide lo enuncia in questo modo? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . L’assioma delle parallele La formulazione usuale dell’assioma è diversa Perché Euclide lo enuncia in questo modo? È possibile dimostrare, senza far uso del quinto postulato, che se due rette formano con una trasversale angoli uguali a due retti (nel senso che la somma degli angoli noti come supplementari) allora non si incontrano .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . L’assioma delle parallele La formulazione usuale dell’assioma è diversa Perché Euclide lo enuncia in questo modo? È possibile dimostrare, senza far uso del quinto postulato, che se due rette formano con una trasversale angoli uguali a due retti (nel senso che la somma degli angoli noti come supplementari) allora non si incontrano Se si incontrassero, si otterrebbe un triangolo in cui la somma degli angoli è maggiore di due angoli retti e la cosa è esclusa da proposizioni già dimostrate .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . L’assioma delle parallele La formulazione usuale dell’assioma è diversa Perché Euclide lo enuncia in questo modo? È possibile dimostrare, senza far uso del quinto postulato, che se due rette formano con una trasversale angoli uguali a due retti (nel senso che la somma degli angoli noti come supplementari) allora non si incontrano Se si incontrassero, si otterrebbe un triangolo in cui la somma degli angoli è maggiore di due angoli retti e la cosa è esclusa da proposizioni già dimostrate Euclide assume dunque che quello è l’unico caso .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Necessità della formulazione euclidea .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Necessità della formulazione euclidea Ciò che Euclide vuole è evitare una formulazione “negativa”: le sue rette sono segmenti che però si possono prolungare a piacere .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Necessità della formulazione euclidea Ciò che Euclide vuole è evitare una formulazione “negativa”: le sue rette sono segmenti che però si possono prolungare a piacere L’idea è dunque di dire che “qualcosa succede” in una regione limitata del piano .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Necessità della formulazione euclidea Ciò che Euclide vuole è evitare una formulazione “negativa”: le sue rette sono segmenti che però si possono prolungare a piacere L’idea è dunque di dire che “qualcosa succede” in una regione limitata del piano È evitato in questo modo il ricorso all’infinito? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Si può dimostrare? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Si può dimostrare? L’assioma delle parallele è certamente insoddisfacente .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Si può dimostrare? L’assioma delle parallele è certamente insoddisfacente Che, anche nella formulazione euclidea, faccia ricorso all’infinito, fu evidente fin dall’antichità; molti cercarono di dimostrarlo a partire dagli altri .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Si può dimostrare? L’assioma delle parallele è certamente insoddisfacente Che, anche nella formulazione euclidea, faccia ricorso all’infinito, fu evidente fin dall’antichità; molti cercarono di dimostrarlo a partire dagli altri Pappo propose un modo di evitare il quinto postulato .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Si può dimostrare? L’assioma delle parallele è certamente insoddisfacente Che, anche nella formulazione euclidea, faccia ricorso all’infinito, fu evidente fin dall’antichità; molti cercarono di dimostrarlo a partire dagli altri Pappo propose un modo di evitare il quinto postulato . Rette equidistanti . Si definiscono parallele due rette equidistanti Non c’è più necessità del quinto postulato . .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Pappo aveva ragione? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Pappo aveva ragione? Qual è il problema nel ragionamento di Pappo? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Pappo aveva ragione? Qual è il problema nel ragionamento di Pappo? Occorre dimostrare che il luogo dei punti di un semipiano equidistanti dall’origine del semipiano è una retta .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Pappo aveva ragione? Qual è il problema nel ragionamento di Pappo? Occorre dimostrare che il luogo dei punti di un semipiano equidistanti dall’origine del semipiano è una retta Lo è se e solo se vale il quinto postulato .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Pappo aveva ragione? Qual è il problema nel ragionamento di Pappo? Occorre dimostrare che il luogo dei punti di un semipiano equidistanti dall’origine del semipiano è una retta Lo è se e solo se vale il quinto postulato . L’enunciato il luogo dei punti di un semipiano equidistanti dall’origine del semipiano è una retta è equivalente al quinto postulato di Euclide . .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Pappo aveva ragione? Qual è il problema nel ragionamento di Pappo? Occorre dimostrare che il luogo dei punti di un semipiano equidistanti dall’origine del semipiano è una retta Lo è se e solo se vale il quinto postulato . L’enunciato il luogo dei punti di un semipiano equidistanti dall’origine del semipiano è una retta è equivalente al quinto postulato di Euclide . Pappo aveva torto .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . La stasi .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . La stasi Durante il medioevo non ci furono progressi sul problema delle parallele, sebbene molti cercassero in vari modi di dimostrarlo .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . La stasi Durante il medioevo non ci furono progressi sul problema delle parallele, sebbene molti cercassero in vari modi di dimostrarlo Ogni tentativo finiva allo stesso modo: nel trovare un enunciato equivalente allo stesso postulato .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . La stasi Durante il medioevo non ci furono progressi sul problema delle parallele, sebbene molti cercassero in vari modi di dimostrarlo Ogni tentativo finiva allo stesso modo: nel trovare un enunciato equivalente allo stesso postulato L’enunciato ‘moderno’ è del diciottesimo secolo; si noti che l’esistenza di una parallela discende dagli altri assiomi .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . La stasi Durante il medioevo non ci furono progressi sul problema delle parallele, sebbene molti cercassero in vari modi di dimostrarlo Ogni tentativo finiva allo stesso modo: nel trovare un enunciato equivalente allo stesso postulato L’enunciato ‘moderno’ è del diciottesimo secolo; si noti che l’esistenza di una parallela discende dagli altri assiomi . Postulato di Playfair . Per un punto esterno a una retta passa un’unica parallela alla retta data . .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Un ampio cenno va dedicato a Girolamo Saccheri (1667–1733) che pubblicò il libro Euclides ab omni naevo vindicatus nel quale, con un metodo del tutto nuovo cercava di dimostrare il quinto postulato .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Un ampio cenno va dedicato a Girolamo Saccheri (1667–1733) che pubblicò il libro Euclides ab omni naevo vindicatus nel quale, con un metodo del tutto nuovo cercava di dimostrare il quinto postulato La figura da cui prende le mosse è il quadrilatero birettangolo isoscele .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Gli angoli 𝐴𝐷𝐶 e 𝐵𝐶𝐷 sono uguali per simmetria .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Gli angoli 𝐴𝐷𝐶 e 𝐵𝐶𝐷 sono uguali per simmetria Ma come sono? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Gli angoli 𝐴𝐷𝐶 e 𝐵𝐶𝐷 sono uguali per simmetria Ma come sono? acuti .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Gli angoli 𝐴𝐷𝐶 e 𝐵𝐶𝐷 sono uguali per simmetria Ma come sono? acuti retti .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Gli angoli 𝐴𝐷𝐶 e 𝐵𝐶𝐷 sono uguali per simmetria Ma come sono? acuti retti ottusi .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Con un ragionamento molto ingegnoso, Saccheri mostra che .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Con un ragionamento molto ingegnoso, Saccheri mostra che se in un solo quadrilatero vale una delle ipotesi, la stessa vale in tutti i quadrilateri .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Con un ragionamento molto ingegnoso, Saccheri mostra che se in un solo quadrilatero vale una delle ipotesi, la stessa vale in tutti i quadrilateri l’ipotesi dell’angolo ottuso implica quella dell’angolo retto, quindi può essere scartata .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Con un ragionamento molto ingegnoso, Saccheri mostra che se in un solo quadrilatero vale una delle ipotesi, la stessa vale in tutti i quadrilateri l’ipotesi dell’angolo ottuso implica quella dell’angolo retto, quindi può essere scartata L’ipotesi dell’angolo retto implica il quinto postulato .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Con un ragionamento molto ingegnoso, Saccheri mostra che se in un solo quadrilatero vale una delle ipotesi, la stessa vale in tutti i quadrilateri l’ipotesi dell’angolo ottuso implica quella dell’angolo retto, quindi può essere scartata L’ipotesi dell’angolo retto implica il quinto postulato A Saccheri non resta che distruggere l’ipotesi dell’angolo acuto .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Così Saccheri procede a dedurre teoremi dall’ipotesi dell’angolo acuto .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Così Saccheri procede a dedurre teoremi dall’ipotesi dell’angolo acuto Teoremi bizzarri, come l’esistenza di due rette particolari passanti per un punto 𝑃 esterno alla retta 𝑟 che dividono le rette passanti per 𝑃 in tre classi .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Così Saccheri procede a dedurre teoremi dall’ipotesi dell’angolo acuto Teoremi bizzarri, come l’esistenza di due rette particolari passanti per un punto 𝑃 esterno alla retta 𝑟 che dividono le rette passanti per 𝑃 in tre classi Una retta e una parallela divergente hanno un’unica retta ortogonale a entrambe .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Fu l’estensione di questo teorema alle rette parallele convergenti che tradì Saccheri .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Fu l’estensione di questo teorema alle rette parallele convergenti che tradì Saccheri Facendo ruotare attorno a 𝑃 una parallela divergente, la perpendicolare comune si allontana sempre più .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Fu l’estensione di questo teorema alle rette parallele convergenti che tradì Saccheri Facendo ruotare attorno a 𝑃 una parallela divergente, la perpendicolare comune si allontana sempre più Saccheri deduce scorrettamente che questa perpendicolare comune deve passare per il punto (all’infinito) dove la retta incontra la parallela convergente e che .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Saccheri Fu l’estensione di questo teorema alle rette parallele convergenti che tradì Saccheri Facendo ruotare attorno a 𝑃 una parallela divergente, la perpendicolare comune si allontana sempre più Saccheri deduce scorrettamente che questa perpendicolare comune deve passare per il punto (all’infinito) dove la retta incontra la parallela convergente e che . la nemica ipotesi dell’angolo acuto è totalmente falsa perché ripugna alla natura della linea retta . .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Legendre Adrien Marie Legendre (1752–1833), senza conoscere i risultati di Saccheri, dimostrò che se in un solo triangolo la somma degli angoli interni è un angolo piatto, allora lo è in tutti e quindi vale il quinto postulato .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Legendre Adrien Marie Legendre (1752–1833), senza conoscere i risultati di Saccheri, dimostrò che se in un solo triangolo la somma degli angoli interni è un angolo piatto, allora lo è in tutti e quindi vale il quinto postulato Pensò di aver dimostrato il quinto postulato, ma sbagliava perché ammetteva che l’area di un triangolo può essere arbitrariamente grande .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Gauss In una lettera di Carl Friedrich Gauss (1777–1855) a un amico si legge: “se potessi dimostrare che esistono triangoli di area arbitrariamente grande, avrei la dimostrazione del teorema delle parallele” .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Gauss In una lettera di Carl Friedrich Gauss (1777–1855) a un amico si legge: “se potessi dimostrare che esistono triangoli di area arbitrariamente grande, avrei la dimostrazione del teorema delle parallele” Si era reso conto dell’errore di Legendre .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Gauss In una lettera di Carl Friedrich Gauss (1777–1855) a un amico si legge: “se potessi dimostrare che esistono triangoli di area arbitrariamente grande, avrei la dimostrazione del teorema delle parallele” Si era reso conto dell’errore di Legendre Scrisse anche: “Se non ho pubblicato nulla sull’argomento è perché temo gli strilli dei Beoti” .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Gauss In una lettera di Carl Friedrich Gauss (1777–1855) a un amico si legge: “se potessi dimostrare che esistono triangoli di area arbitrariamente grande, avrei la dimostrazione del teorema delle parallele” Si era reso conto dell’errore di Legendre Scrisse anche: “Se non ho pubblicato nulla sull’argomento è perché temo gli strilli dei Beoti” Chi siano questi moderni Beoti sarà rivelato in seguito .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Lobačevskij – Лобачевский Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792–1856) riassunse tutti i suoi studi nell’opera “Nuovi principi della geometria con una teoria completa delle parallele” o “Новые начала геометрии с полной теорией параллельных'' .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Lobačevskij – Лобачевский Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792–1856) riassunse tutti i suoi studi nell’opera “Nuovi principi della geometria con una teoria completa delle parallele” o “Новые начала геометрии с полной теорией параллельных'' La sua `nuova geometria' non era fondata su assiomi simili a quelli di Euclide, ma su concetti molto diversi e la sviluppò senza ricorrere ad alcuna ipotesi sull'unicità della parallela, anzi assumendo più in generale che la parallela possa non essere unica .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Lobačevskij – Лобачевский Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792–1856) riassunse tutti i suoi studi nell’opera “Nuovi principi della geometria con una teoria completa delle parallele” o “Новые начала геометрии с полной теорией параллельных'' La sua `nuova geometria' non era fondata su assiomi simili a quelli di Euclide, ma su concetti molto diversi e la sviluppò senza ricorrere ad alcuna ipotesi sull'unicità della parallela, anzi assumendo più in generale che la parallela possa non essere unica Fu il primo a pubblicare la formula per la determinazione dell'angolo di parallelismo .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bolyai János Bolyai (1802–1860) era il figlio di un amico di Gauss .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bolyai János Bolyai (1802–1860) era il figlio di un amico di Gauss Quando il padre Farkas pubblicò un suo trattato matematico, János aggiunse in appendice i suoi studi sulla teoria delle parallele .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bolyai János Bolyai (1802–1860) era il figlio di un amico di Gauss Quando il padre Farkas pubblicò un suo trattato matematico, János aggiunse in appendice i suoi studi sulla teoria delle parallele Farkas Bolyai inviò una copia del trattato a Gauss, il quale rispose dicendo che non poteva lodare l’appendice di János, perché sarebbe stato come lodare sé stesso, visto che era giunto alle stesse conclusioni molti anni prima .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bolyai Qual era la motivazione di János Bolyai? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bolyai Qual era la motivazione di János Bolyai? La stessa che appassionò i matematici per ben più di venti secoli .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bolyai Qual era la motivazione di János Bolyai? La stessa che appassionò i matematici per ben più di venti secoli cioè la quadratura del cerchio .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bolyai Qual era la motivazione di János Bolyai? La stessa che appassionò i matematici per ben più di venti secoli cioè la quadratura del cerchio Bolyai dimostrò infatti che non assumendo l’unicità della parallela il rapporto fra l’area del cerchio e la circonferenza dipende dal raggio! .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bolyai Se il raggio è 𝑟, l’area 𝐴 del cerchio e la lunghezza 𝑙 della circonferenza sono, rispettivamente, 𝐴 = 2𝜋𝑘 (cosh(𝑟/𝑘) − 1), dove cosh 𝑥 = 𝑒 + 𝑒− , 2 𝑙 = 2𝜋𝑘 sinh(𝑟/𝑘) sinh 𝑥 = 𝑒 − 𝑒− 2 e si può dimostrare che più il raggio è piccolo più il rapporto 𝐴/𝑟 si avvicina a 𝜋, mentre all’aumentare del raggio il rapporto è illimitato; lo stesso per il rapporto 𝑙/(2𝑟) .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bolyai Se il raggio è 𝑟, l’area 𝐴 del cerchio e la lunghezza 𝑙 della circonferenza sono, rispettivamente, 𝐴 = 2𝜋𝑘 (cosh(𝑟/𝑘) − 1), dove cosh 𝑥 = 𝑒 + 𝑒− , 2 𝑙 = 2𝜋𝑘 sinh(𝑟/𝑘) sinh 𝑥 = 𝑒 − 𝑒− 2 e si può dimostrare che più il raggio è piccolo più il rapporto 𝐴/𝑟 si avvicina a 𝜋, mentre all’aumentare del raggio il rapporto è illimitato; lo stesso per il rapporto 𝑙/(2𝑟) Esiste dunque un raggio per il quale il rapporto 𝐴/𝑟 = 4 e in tal caso il cerchio è quadrabile con riga e compasso .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . La costante 𝑘 Nelle formule precedenti compare una costante 𝑘 che non è determinabile a priori: in effetti esistono “infinite” geometrie non euclidee, una per ciascun 𝑘 > 0 .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . La costante 𝑘 Nelle formule precedenti compare una costante 𝑘 che non è determinabile a priori: in effetti esistono “infinite” geometrie non euclidee, una per ciascun 𝑘 > 0 Se questa costante è molto grande, la crescita del rapporto fra l’area del cerchio e il quadrato del raggio è molto lenta .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . La costante 𝑘 Nelle formule precedenti compare una costante 𝑘 che non è determinabile a priori: in effetti esistono “infinite” geometrie non euclidee, una per ciascun 𝑘 > 0 Se questa costante è molto grande, la crescita del rapporto fra l’area del cerchio e il quadrato del raggio è molto lenta . in regioni ‘piccole’ dello spazio iperbolico, la geometria euclidea è una buona approssimazione della geometria iperbolica . .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie L’area di un triangolo è proporzionale al suo difetto angolare, cioè quanto la somma degli angoli interni differisce da un angolo piatto .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie L’area di un triangolo è proporzionale al suo difetto angolare, cioè quanto la somma degli angoli interni differisce da un angolo piatto Per quanto siano grandi i lati di un triangolo, l’area non può superare un certo valore limite (si ricordi che cosa diceva Gauss) .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie L’area di un triangolo è proporzionale al suo difetto angolare, cioè quanto la somma degli angoli interni differisce da un angolo piatto Per quanto siano grandi i lati di un triangolo, l’area non può superare un certo valore limite (si ricordi che cosa diceva Gauss) Il rapporto fra la diagonale di un quadrato e il lato dipende dal lato e può prendere tutti i valori compresi tra 2 e 1 .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie L’area di un triangolo è proporzionale al suo difetto angolare, cioè quanto la somma degli angoli interni differisce da un angolo piatto Per quanto siano grandi i lati di un triangolo, l’area non può superare un certo valore limite (si ricordi che cosa diceva Gauss) Il rapporto fra la diagonale di un quadrato e il lato dipende dal lato e può prendere tutti i valori compresi tra 2 e 1 Esistono quadrati in cui la diagonale è commensurabile con il lato .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie Si può fissare un’unità di misura ‘naturale’ delle lunghezze tramite l’angolo di parallelismo .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie Si può fissare un’unità di misura ‘naturale’ delle lunghezze tramite l’angolo di parallelismo Per esempio si può prendere come lunghezza base il segmento 𝑃𝐵 per il quale l’angolo di parallelismo 𝜃 è metà di un angolo retto .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie Si può fissare un’unità di misura ‘naturale’ delle lunghezze tramite l’angolo di parallelismo Per esempio si può prendere come lunghezza base il segmento 𝑃𝐵 per il quale l’angolo di parallelismo 𝜃 è metà di un angolo retto Ma la lunghezza base è già data dalla costante 𝑘 .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi ellisse .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi ellisse parabola .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi ellisse parabola iperbole .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi ellisse parabola iperbole oriciclo .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi ellisse parabola iperbole oriciclo iperciclo .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Bizzarrie In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi ellisse parabola iperbole oriciclo iperciclo L’iperciclo può essere definito come il luogo dei punti aventi una distanza fissata da una retta (si ricordi il problema di Pappo) .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Klein Felix Klein (1849–1925) sistemò definitivamente la questione realizzando un modello della geometria iperbolica all’interno della geometria euclidea .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Klein I dettagli sono complicati, ma in sostanza si considerano come punti quelli interni a un cerchio di raggio 𝑘 e come rette le corde di questo cerchio .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Klein I dettagli sono complicati, ma in sostanza si considerano come punti quelli interni a un cerchio di raggio 𝑘 e come rette le corde di questo cerchio Con un’opportuna definizione di misura dei segmenti e degli angoli, la geometria che si ottiene è proprio la geometria iperbolica di constante 𝑘 .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Klein I dettagli sono complicati, ma in sostanza si considerano come punti quelli interni a un cerchio di raggio 𝑘 e come rette le corde di questo cerchio Con un’opportuna definizione di misura dei segmenti e degli angoli, la geometria che si ottiene è proprio la geometria iperbolica di constante 𝑘 Se si potesse ottenere una contraddizione negando l’assioma delle parallele, si otterrebbe una contraddizione nella geometria euclidea .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Non contraddittorietà relativa Con un po’ di lavoro in più è possibile costruire nella geometria iperbolica un modello della geometria euclidea .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Non contraddittorietà relativa Con un po’ di lavoro in più è possibile costruire nella geometria iperbolica un modello della geometria euclidea Perché mai si desidera farlo? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Non contraddittorietà relativa Con un po’ di lavoro in più è possibile costruire nella geometria iperbolica un modello della geometria euclidea Perché mai si desidera farlo? Perché non esiste la vera geometria .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria Ritorniamo alla domanda originale .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria Ritorniamo alla domanda originale Kant basava la sua concezione filosofica sull’esistenza di giudizi sintetici a priori e i suoi due esempi erano la concezione del numero e quella dello spazio, necessariamente euclideo .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria Ritorniamo alla domanda originale Kant basava la sua concezione filosofica sull’esistenza di giudizi sintetici a priori e i suoi due esempi erano la concezione del numero e quella dello spazio, necessariamente euclideo I Beoti di cui Gauss temeva gli strilli erano i seguaci di Kant e del suo idealismo .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria Ritorniamo alla domanda originale Kant basava la sua concezione filosofica sull’esistenza di giudizi sintetici a priori e i suoi due esempi erano la concezione del numero e quella dello spazio, necessariamente euclideo I Beoti di cui Gauss temeva gli strilli erano i seguaci di Kant e del suo idealismo Rendere pubbliche le sue idee sulla geometria non euclidea avrebbe scalfito la base della filosofia idealistica .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria Esiste la geometria dello spazio? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria Esiste la geometria dello spazio? Ahimè, no .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria Esiste la geometria dello spazio? Ahimè, no La geometria è solo uno strumento matematico che possiamo applicare nello studio del mondo fisico .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria Esiste la geometria dello spazio? Ahimè, no La geometria è solo uno strumento matematico che possiamo applicare nello studio del mondo fisico Fino alla relatività generale di Einstein, la concezione era che i raggi di luce viaggiano in linea retta .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria Esiste la geometria dello spazio? Ahimè, no La geometria è solo uno strumento matematico che possiamo applicare nello studio del mondo fisico Fino alla relatività generale di Einstein, la concezione era che i raggi di luce viaggiano in linea retta Ma come possiamo saperlo? È solo un modello matematico che potrebbe non rivelarsi adeguato a descrivere tutti i fenomeni di propagazione della luce .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria E infatti la luce non viaggia in linea retta, ma è deviata dai campi gravitazionali .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria E infatti la luce non viaggia in linea retta, ma è deviata dai campi gravitazionali Possiamo misurare gli angoli di un triangolo grande, prendendo come vertici tre pianeti? .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria E infatti la luce non viaggia in linea retta, ma è deviata dai campi gravitazionali Possiamo misurare gli angoli di un triangolo grande, prendendo come vertici tre pianeti? No, perché non sappiamo se la luce viaggia in linea retta e inoltre gli strumenti che adoperiamo hanno un margine di errore .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria Parafrasando Poincaré .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Che cos’è la geometria . Non esiste la geometria dello spazio, ma esistono tante geometrie che possono essere più o meno adeguate a descrivere certi fenomeni fisici . .. Enrico Gregorio . .. . .. Le geometrie non euclidee . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .
