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Le geometrie non euclidee
Enrico Gregorio
5 aprile 2013
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria?
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria?
Studio dello spazio?
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Enrico Gregorio
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. Che cos’è la geometria?
Studio dello spazio?
Uno strumento utile per comprendere il mondo?
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Enrico Gregorio
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. Che cos’è la geometria?
Studio dello spazio?
Uno strumento utile per comprendere il mondo?
Una creazione della mente?
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Enrico Gregorio
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. Che cos’è la geometria?
Studio dello spazio?
Uno strumento utile per comprendere il mondo?
Una creazione della mente?
Una concezione a priori?
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria?
Studio dello spazio?
Uno strumento utile per comprendere il mondo?
Una creazione della mente?
Una concezione a priori?
Forse tutto questo o niente di tutto questo
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. L’assioma delle parallele
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. L’assioma delle parallele
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Assioma
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Se due rette, tagliate da una trasversale, formano angoli minori
di due retti, allora, se prolungate, si incontrano dalla parte dove
formano
angoli minori di due retti
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Enrico Gregorio
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. L’assioma delle parallele
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Assioma
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Se due rette, tagliate da una trasversale, formano angoli minori
di due retti, allora, se prolungate, si incontrano dalla parte dove
formano
angoli minori di due retti
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Questa, più o meno, era la formulazione di Euclide dell’ultimo
assioma, il quinto
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Enrico Gregorio
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. L’assioma delle parallele
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Assioma
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Se due rette, tagliate da una trasversale, formano angoli minori
di due retti, allora, se prolungate, si incontrano dalla parte dove
formano
angoli minori di due retti
.
Questa, più o meno, era la formulazione di Euclide dell’ultimo
assioma, il quinto
Euclide dimostra tutte le proposizioni che può senza far uso di questo
assioma, probabilmente perché lo riteneva meno “evidente” degli altri
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Enrico Gregorio
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. L’assioma delle parallele
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Assioma
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Se due rette, tagliate da una trasversale, formano angoli minori
di due retti, allora, se prolungate, si incontrano dalla parte dove
formano
angoli minori di due retti
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Questa, più o meno, era la formulazione di Euclide dell’ultimo
assioma, il quinto
Euclide dimostra tutte le proposizioni che può senza far uso di questo
assioma, probabilmente perché lo riteneva meno “evidente” degli altri
Si potrebbe farne a meno?
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Enrico Gregorio
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. L’assioma delle parallele
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. L’assioma delle parallele
La formulazione usuale dell’assioma è diversa
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. L’assioma delle parallele
La formulazione usuale dell’assioma è diversa
Perché Euclide lo enuncia in questo modo?
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. L’assioma delle parallele
La formulazione usuale dell’assioma è diversa
Perché Euclide lo enuncia in questo modo?
È possibile dimostrare, senza far uso del quinto postulato, che se due
rette formano con una trasversale angoli uguali a due retti (nel senso
che la somma degli angoli noti come supplementari) allora non si
incontrano
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Enrico Gregorio
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. L’assioma delle parallele
La formulazione usuale dell’assioma è diversa
Perché Euclide lo enuncia in questo modo?
È possibile dimostrare, senza far uso del quinto postulato, che se due
rette formano con una trasversale angoli uguali a due retti (nel senso
che la somma degli angoli noti come supplementari) allora non si
incontrano
Se si incontrassero, si otterrebbe un triangolo in cui la somma degli
angoli è maggiore di due angoli retti e la cosa è esclusa da
proposizioni già dimostrate
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. L’assioma delle parallele
La formulazione usuale dell’assioma è diversa
Perché Euclide lo enuncia in questo modo?
È possibile dimostrare, senza far uso del quinto postulato, che se due
rette formano con una trasversale angoli uguali a due retti (nel senso
che la somma degli angoli noti come supplementari) allora non si
incontrano
Se si incontrassero, si otterrebbe un triangolo in cui la somma degli
angoli è maggiore di due angoli retti e la cosa è esclusa da
proposizioni già dimostrate
Euclide assume dunque che quello è l’unico caso
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Enrico Gregorio
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. Necessità della formulazione euclidea
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. Necessità della formulazione euclidea
Ciò che Euclide vuole è evitare una formulazione “negativa”: le sue
rette sono segmenti che però si possono prolungare a piacere
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. Necessità della formulazione euclidea
Ciò che Euclide vuole è evitare una formulazione “negativa”: le sue
rette sono segmenti che però si possono prolungare a piacere
L’idea è dunque di dire che “qualcosa succede” in una regione limitata
del piano
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. Necessità della formulazione euclidea
Ciò che Euclide vuole è evitare una formulazione “negativa”: le sue
rette sono segmenti che però si possono prolungare a piacere
L’idea è dunque di dire che “qualcosa succede” in una regione limitata
del piano
È evitato in questo modo il ricorso all’infinito?
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Enrico Gregorio
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. Si può dimostrare?
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. Si può dimostrare?
L’assioma delle parallele è certamente insoddisfacente
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. Si può dimostrare?
L’assioma delle parallele è certamente insoddisfacente
Che, anche nella formulazione euclidea, faccia ricorso all’infinito, fu
evidente fin dall’antichità; molti cercarono di dimostrarlo a partire
dagli altri
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. Si può dimostrare?
L’assioma delle parallele è certamente insoddisfacente
Che, anche nella formulazione euclidea, faccia ricorso all’infinito, fu
evidente fin dall’antichità; molti cercarono di dimostrarlo a partire
dagli altri
Pappo propose un modo di evitare il quinto postulato
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Enrico Gregorio
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. Si può dimostrare?
L’assioma delle parallele è certamente insoddisfacente
Che, anche nella formulazione euclidea, faccia ricorso all’infinito, fu
evidente fin dall’antichità; molti cercarono di dimostrarlo a partire
dagli altri
Pappo propose un modo di evitare il quinto postulato
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Rette equidistanti
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Si definiscono parallele due rette equidistanti
Non
c’è più necessità del quinto postulato
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. Pappo aveva ragione?
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. Pappo aveva ragione?
Qual è il problema nel ragionamento di Pappo?
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. Pappo aveva ragione?
Qual è il problema nel ragionamento di Pappo?
Occorre dimostrare che il luogo dei punti di un semipiano equidistanti
dall’origine del semipiano è una retta
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Enrico Gregorio
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. Pappo aveva ragione?
Qual è il problema nel ragionamento di Pappo?
Occorre dimostrare che il luogo dei punti di un semipiano equidistanti
dall’origine del semipiano è una retta
Lo è se e solo se vale il quinto postulato
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Enrico Gregorio
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. Pappo aveva ragione?
Qual è il problema nel ragionamento di Pappo?
Occorre dimostrare che il luogo dei punti di un semipiano equidistanti
dall’origine del semipiano è una retta
Lo è se e solo se vale il quinto postulato
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L’enunciato il luogo dei punti di un semipiano equidistanti dall’origine del
semipiano
è una retta è equivalente al quinto postulato di Euclide
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. Pappo aveva ragione?
Qual è il problema nel ragionamento di Pappo?
Occorre dimostrare che il luogo dei punti di un semipiano equidistanti
dall’origine del semipiano è una retta
Lo è se e solo se vale il quinto postulato
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L’enunciato il luogo dei punti di un semipiano equidistanti dall’origine del
semipiano
è una retta è equivalente al quinto postulato di Euclide
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Pappo aveva torto
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Enrico Gregorio
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. La stasi
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. La stasi
Durante il medioevo non ci furono progressi sul problema delle
parallele, sebbene molti cercassero in vari modi di dimostrarlo
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Enrico Gregorio
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. La stasi
Durante il medioevo non ci furono progressi sul problema delle
parallele, sebbene molti cercassero in vari modi di dimostrarlo
Ogni tentativo finiva allo stesso modo: nel trovare un enunciato
equivalente allo stesso postulato
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Enrico Gregorio
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. La stasi
Durante il medioevo non ci furono progressi sul problema delle
parallele, sebbene molti cercassero in vari modi di dimostrarlo
Ogni tentativo finiva allo stesso modo: nel trovare un enunciato
equivalente allo stesso postulato
L’enunciato ‘moderno’ è del diciottesimo secolo; si noti che l’esistenza
di una parallela discende dagli altri assiomi
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Enrico Gregorio
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. La stasi
Durante il medioevo non ci furono progressi sul problema delle
parallele, sebbene molti cercassero in vari modi di dimostrarlo
Ogni tentativo finiva allo stesso modo: nel trovare un enunciato
equivalente allo stesso postulato
L’enunciato ‘moderno’ è del diciottesimo secolo; si noti che l’esistenza
di una parallela discende dagli altri assiomi
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Postulato di Playfair
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Per un punto esterno a una retta passa un’unica parallela
alla
retta data
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
Un ampio cenno va dedicato a Girolamo Saccheri (1667–1733) che
pubblicò il libro Euclides ab omni naevo vindicatus nel quale, con un
metodo del tutto nuovo cercava di dimostrare il quinto postulato
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
Un ampio cenno va dedicato a Girolamo Saccheri (1667–1733) che
pubblicò il libro Euclides ab omni naevo vindicatus nel quale, con un
metodo del tutto nuovo cercava di dimostrare il quinto postulato
La figura da cui prende le mosse è il quadrilatero birettangolo isoscele
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
Gli angoli 𝐴𝐷𝐶 e 𝐵𝐶𝐷 sono uguali per simmetria
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
Gli angoli 𝐴𝐷𝐶 e 𝐵𝐶𝐷 sono uguali per simmetria
Ma come sono?
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Saccheri
Gli angoli 𝐴𝐷𝐶 e 𝐵𝐶𝐷 sono uguali per simmetria
Ma come sono?
acuti
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Saccheri
Gli angoli 𝐴𝐷𝐶 e 𝐵𝐶𝐷 sono uguali per simmetria
Ma come sono?
acuti
retti
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Saccheri
Gli angoli 𝐴𝐷𝐶 e 𝐵𝐶𝐷 sono uguali per simmetria
Ma come sono?
acuti
retti
ottusi
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Saccheri
Con un ragionamento molto ingegnoso, Saccheri mostra che
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
Con un ragionamento molto ingegnoso, Saccheri mostra che
se in un solo quadrilatero vale una delle ipotesi, la stessa vale in
tutti i quadrilateri
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
Con un ragionamento molto ingegnoso, Saccheri mostra che
se in un solo quadrilatero vale una delle ipotesi, la stessa vale in
tutti i quadrilateri
l’ipotesi dell’angolo ottuso implica quella dell’angolo retto,
quindi può essere scartata
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
Con un ragionamento molto ingegnoso, Saccheri mostra che
se in un solo quadrilatero vale una delle ipotesi, la stessa vale in
tutti i quadrilateri
l’ipotesi dell’angolo ottuso implica quella dell’angolo retto,
quindi può essere scartata
L’ipotesi dell’angolo retto implica il quinto postulato
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
Con un ragionamento molto ingegnoso, Saccheri mostra che
se in un solo quadrilatero vale una delle ipotesi, la stessa vale in
tutti i quadrilateri
l’ipotesi dell’angolo ottuso implica quella dell’angolo retto,
quindi può essere scartata
L’ipotesi dell’angolo retto implica il quinto postulato
A Saccheri non resta che distruggere l’ipotesi dell’angolo acuto
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
Così Saccheri procede a dedurre teoremi dall’ipotesi dell’angolo acuto
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. Saccheri
Così Saccheri procede a dedurre teoremi dall’ipotesi dell’angolo acuto
Teoremi bizzarri, come l’esistenza di due rette particolari passanti per
un punto 𝑃 esterno alla retta 𝑟 che dividono le rette passanti per 𝑃 in
tre classi
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
Così Saccheri procede a dedurre teoremi dall’ipotesi dell’angolo acuto
Teoremi bizzarri, come l’esistenza di due rette particolari passanti per
un punto 𝑃 esterno alla retta 𝑟 che dividono le rette passanti per 𝑃 in
tre classi
Una retta e una parallela divergente hanno un’unica retta ortogonale a
entrambe
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
Fu l’estensione di questo teorema alle rette parallele convergenti che
tradì Saccheri
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. Saccheri
Fu l’estensione di questo teorema alle rette parallele convergenti che
tradì Saccheri
Facendo ruotare attorno a 𝑃 una parallela divergente, la
perpendicolare comune si allontana sempre più
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
Fu l’estensione di questo teorema alle rette parallele convergenti che
tradì Saccheri
Facendo ruotare attorno a 𝑃 una parallela divergente, la
perpendicolare comune si allontana sempre più
Saccheri deduce scorrettamente che questa perpendicolare comune
deve passare per il punto (all’infinito) dove la retta incontra la parallela
convergente e che
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Enrico Gregorio
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. Saccheri
Fu l’estensione di questo teorema alle rette parallele convergenti che
tradì Saccheri
Facendo ruotare attorno a 𝑃 una parallela divergente, la
perpendicolare comune si allontana sempre più
Saccheri deduce scorrettamente che questa perpendicolare comune
deve passare per il punto (all’infinito) dove la retta incontra la parallela
convergente e che
.
la nemica ipotesi dell’angolo acuto è totalmente falsa perché ripugna
alla
natura della linea retta
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Enrico Gregorio
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. Legendre
Adrien Marie Legendre (1752–1833), senza conoscere i risultati di
Saccheri, dimostrò che se in un solo triangolo la somma degli angoli
interni è un angolo piatto, allora lo è in tutti e quindi vale il quinto
postulato
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Enrico Gregorio
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. Legendre
Adrien Marie Legendre (1752–1833), senza conoscere i risultati di
Saccheri, dimostrò che se in un solo triangolo la somma degli angoli
interni è un angolo piatto, allora lo è in tutti e quindi vale il quinto
postulato
Pensò di aver dimostrato il quinto postulato, ma sbagliava perché
ammetteva che l’area di un triangolo può essere arbitrariamente
grande
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Enrico Gregorio
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. Gauss
In una lettera di Carl Friedrich Gauss (1777–1855) a un amico si legge:
“se potessi dimostrare che esistono triangoli di area arbitrariamente
grande, avrei la dimostrazione del teorema delle parallele”
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Enrico Gregorio
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. Gauss
In una lettera di Carl Friedrich Gauss (1777–1855) a un amico si legge:
“se potessi dimostrare che esistono triangoli di area arbitrariamente
grande, avrei la dimostrazione del teorema delle parallele”
Si era reso conto dell’errore di Legendre
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Enrico Gregorio
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. Gauss
In una lettera di Carl Friedrich Gauss (1777–1855) a un amico si legge:
“se potessi dimostrare che esistono triangoli di area arbitrariamente
grande, avrei la dimostrazione del teorema delle parallele”
Si era reso conto dell’errore di Legendre
Scrisse anche: “Se non ho pubblicato nulla sull’argomento è perché
temo gli strilli dei Beoti”
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Enrico Gregorio
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. Gauss
In una lettera di Carl Friedrich Gauss (1777–1855) a un amico si legge:
“se potessi dimostrare che esistono triangoli di area arbitrariamente
grande, avrei la dimostrazione del teorema delle parallele”
Si era reso conto dell’errore di Legendre
Scrisse anche: “Se non ho pubblicato nulla sull’argomento è perché
temo gli strilli dei Beoti”
Chi siano questi moderni Beoti sarà rivelato in seguito
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Enrico Gregorio
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. Lobačevskij – Лобачевский
Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792–1856) riassunse tutti i suoi studi
nell’opera “Nuovi principi della geometria con una teoria completa
delle parallele” o “Новые начала геометрии с полной теорией
параллельных''
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Enrico Gregorio
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. Lobačevskij – Лобачевский
Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792–1856) riassunse tutti i suoi studi
nell’opera “Nuovi principi della geometria con una teoria completa
delle parallele” o “Новые начала геометрии с полной теорией
параллельных''
La sua `nuova geometria' non era fondata su assiomi simili a quelli di
Euclide, ma su concetti molto diversi e la sviluppò senza ricorrere ad
alcuna ipotesi sull'unicità della parallela, anzi assumendo più in
generale che la parallela possa non essere unica
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Enrico Gregorio
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. Lobačevskij – Лобачевский
Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792–1856) riassunse tutti i suoi studi
nell’opera “Nuovi principi della geometria con una teoria completa
delle parallele” o “Новые начала геометрии с полной теорией
параллельных''
La sua `nuova geometria' non era fondata su assiomi simili a quelli di
Euclide, ma su concetti molto diversi e la sviluppò senza ricorrere ad
alcuna ipotesi sull'unicità della parallela, anzi assumendo più in
generale che la parallela possa non essere unica
Fu il primo a pubblicare la formula per la determinazione dell'angolo
di parallelismo
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Enrico Gregorio
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. Bolyai
János Bolyai (1802–1860) era il figlio di un amico di Gauss
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Enrico Gregorio
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. Bolyai
János Bolyai (1802–1860) era il figlio di un amico di Gauss
Quando il padre Farkas pubblicò un suo trattato matematico, János
aggiunse in appendice i suoi studi sulla teoria delle parallele
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Enrico Gregorio
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. Bolyai
János Bolyai (1802–1860) era il figlio di un amico di Gauss
Quando il padre Farkas pubblicò un suo trattato matematico, János
aggiunse in appendice i suoi studi sulla teoria delle parallele
Farkas Bolyai inviò una copia del trattato a Gauss, il quale rispose
dicendo che non poteva lodare l’appendice di János, perché sarebbe
stato come lodare sé stesso, visto che era giunto alle stesse conclusioni
molti anni prima
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Enrico Gregorio
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. Bolyai
Qual era la motivazione di János Bolyai?
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Enrico Gregorio
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. Bolyai
Qual era la motivazione di János Bolyai?
La stessa che appassionò i matematici per ben più di venti secoli
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Enrico Gregorio
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. Bolyai
Qual era la motivazione di János Bolyai?
La stessa che appassionò i matematici per ben più di venti secoli cioè
la quadratura del cerchio
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Enrico Gregorio
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. Bolyai
Qual era la motivazione di János Bolyai?
La stessa che appassionò i matematici per ben più di venti secoli cioè
la quadratura del cerchio
Bolyai dimostrò infatti che non assumendo l’unicità della parallela il
rapporto fra l’area del cerchio e la circonferenza dipende dal raggio!
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Enrico Gregorio
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. Bolyai
Se il raggio è 𝑟, l’area 𝐴 del cerchio e la lunghezza 𝑙 della circonferenza
sono, rispettivamente,
𝐴 = 2𝜋𝑘 (cosh(𝑟/𝑘) − 1),
dove
cosh 𝑥 =
𝑒 + 𝑒−
,
2
𝑙 = 2𝜋𝑘 sinh(𝑟/𝑘)
sinh 𝑥 =
𝑒 − 𝑒−
2
e si può dimostrare che più il raggio è piccolo più il rapporto 𝐴/𝑟 si
avvicina a 𝜋, mentre all’aumentare del raggio il rapporto è illimitato;
lo stesso per il rapporto 𝑙/(2𝑟)
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Enrico Gregorio
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. Bolyai
Se il raggio è 𝑟, l’area 𝐴 del cerchio e la lunghezza 𝑙 della circonferenza
sono, rispettivamente,
𝐴 = 2𝜋𝑘 (cosh(𝑟/𝑘) − 1),
dove
cosh 𝑥 =
𝑒 + 𝑒−
,
2
𝑙 = 2𝜋𝑘 sinh(𝑟/𝑘)
sinh 𝑥 =
𝑒 − 𝑒−
2
e si può dimostrare che più il raggio è piccolo più il rapporto 𝐴/𝑟 si
avvicina a 𝜋, mentre all’aumentare del raggio il rapporto è illimitato;
lo stesso per il rapporto 𝑙/(2𝑟)
Esiste dunque un raggio per il quale il rapporto 𝐴/𝑟 = 4 e in tal caso il
cerchio è quadrabile con riga e compasso
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Enrico Gregorio
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. La costante 𝑘
Nelle formule precedenti compare una costante 𝑘 che non è
determinabile a priori: in effetti esistono “infinite” geometrie non
euclidee, una per ciascun 𝑘 > 0
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Enrico Gregorio
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. La costante 𝑘
Nelle formule precedenti compare una costante 𝑘 che non è
determinabile a priori: in effetti esistono “infinite” geometrie non
euclidee, una per ciascun 𝑘 > 0
Se questa costante è molto grande, la crescita del rapporto fra l’area del
cerchio e il quadrato del raggio è molto lenta
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Enrico Gregorio
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.
. La costante 𝑘
Nelle formule precedenti compare una costante 𝑘 che non è
determinabile a priori: in effetti esistono “infinite” geometrie non
euclidee, una per ciascun 𝑘 > 0
Se questa costante è molto grande, la crescita del rapporto fra l’area del
cerchio e il quadrato del raggio è molto lenta
.
in regioni ‘piccole’ dello spazio iperbolico, la geometria euclidea è una buona
approssimazione
della geometria iperbolica
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Enrico Gregorio
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. Bizzarrie
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Enrico Gregorio
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. Bizzarrie
L’area di un triangolo è proporzionale al suo difetto angolare, cioè
quanto la somma degli angoli interni differisce da un angolo piatto
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Bizzarrie
L’area di un triangolo è proporzionale al suo difetto angolare, cioè
quanto la somma degli angoli interni differisce da un angolo piatto
Per quanto siano grandi i lati di un triangolo, l’area non può superare
un certo valore limite (si ricordi che cosa diceva Gauss)
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Bizzarrie
L’area di un triangolo è proporzionale al suo difetto angolare, cioè
quanto la somma degli angoli interni differisce da un angolo piatto
Per quanto siano grandi i lati di un triangolo, l’area non può superare
un certo valore limite (si ricordi che cosa diceva Gauss)
Il rapporto fra la diagonale di un quadrato e il lato dipende dal lato e
può prendere tutti i valori compresi tra 2 e 1
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Bizzarrie
L’area di un triangolo è proporzionale al suo difetto angolare, cioè
quanto la somma degli angoli interni differisce da un angolo piatto
Per quanto siano grandi i lati di un triangolo, l’area non può superare
un certo valore limite (si ricordi che cosa diceva Gauss)
Il rapporto fra la diagonale di un quadrato e il lato dipende dal lato e
può prendere tutti i valori compresi tra 2 e 1
Esistono quadrati in cui la diagonale è commensurabile con il lato
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Bizzarrie
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Bizzarrie
Si può fissare un’unità di misura ‘naturale’ delle lunghezze tramite
l’angolo di parallelismo
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Bizzarrie
Si può fissare un’unità di misura ‘naturale’ delle lunghezze tramite
l’angolo di parallelismo
Per esempio si può prendere come lunghezza base il segmento 𝑃𝐵 per
il quale l’angolo di parallelismo 𝜃 è metà di un angolo retto
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Bizzarrie
Si può fissare un’unità di misura ‘naturale’ delle lunghezze tramite
l’angolo di parallelismo
Per esempio si può prendere come lunghezza base il segmento 𝑃𝐵 per
il quale l’angolo di parallelismo 𝜃 è metà di un angolo retto
Ma la lunghezza base è già data dalla costante 𝑘
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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Enrico Gregorio
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. Bizzarrie
In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Bizzarrie
In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi
ellisse
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Bizzarrie
In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi
ellisse
parabola
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Bizzarrie
In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi
ellisse
parabola
iperbole
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Bizzarrie
In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi
ellisse
parabola
iperbole
oriciclo
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Bizzarrie
In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi
ellisse
parabola
iperbole
oriciclo
iperciclo
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Bizzarrie
In geometria iperbolica le sezioni coniche sono di cinque tipi
ellisse
parabola
iperbole
oriciclo
iperciclo
L’iperciclo può essere definito come il luogo dei punti aventi una
distanza fissata da una retta (si ricordi il problema di Pappo)
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Klein
Felix Klein (1849–1925) sistemò definitivamente la questione
realizzando un modello della geometria iperbolica all’interno della
geometria euclidea
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Klein
I dettagli sono complicati, ma in sostanza si considerano come punti
quelli interni a un cerchio di raggio 𝑘 e come rette le corde di questo
cerchio
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Klein
I dettagli sono complicati, ma in sostanza si considerano come punti
quelli interni a un cerchio di raggio 𝑘 e come rette le corde di questo
cerchio
Con un’opportuna definizione di misura dei segmenti e degli angoli, la
geometria che si ottiene è proprio la geometria iperbolica di constante 𝑘
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Klein
I dettagli sono complicati, ma in sostanza si considerano come punti
quelli interni a un cerchio di raggio 𝑘 e come rette le corde di questo
cerchio
Con un’opportuna definizione di misura dei segmenti e degli angoli, la
geometria che si ottiene è proprio la geometria iperbolica di constante 𝑘
Se si potesse ottenere una contraddizione negando l’assioma delle
parallele, si otterrebbe una contraddizione nella geometria euclidea
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Non contraddittorietà relativa
Con un po’ di lavoro in più è possibile costruire nella geometria
iperbolica un modello della geometria euclidea
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Non contraddittorietà relativa
Con un po’ di lavoro in più è possibile costruire nella geometria
iperbolica un modello della geometria euclidea
Perché mai si desidera farlo?
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Non contraddittorietà relativa
Con un po’ di lavoro in più è possibile costruire nella geometria
iperbolica un modello della geometria euclidea
Perché mai si desidera farlo?
Perché non esiste la vera geometria
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
Ritorniamo alla domanda originale
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
Ritorniamo alla domanda originale
Kant basava la sua concezione filosofica sull’esistenza di giudizi
sintetici a priori e i suoi due esempi erano la concezione del numero e
quella dello spazio, necessariamente euclideo
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
Ritorniamo alla domanda originale
Kant basava la sua concezione filosofica sull’esistenza di giudizi
sintetici a priori e i suoi due esempi erano la concezione del numero e
quella dello spazio, necessariamente euclideo
I Beoti di cui Gauss temeva gli strilli erano i seguaci di Kant e del suo
idealismo
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
Ritorniamo alla domanda originale
Kant basava la sua concezione filosofica sull’esistenza di giudizi
sintetici a priori e i suoi due esempi erano la concezione del numero e
quella dello spazio, necessariamente euclideo
I Beoti di cui Gauss temeva gli strilli erano i seguaci di Kant e del suo
idealismo
Rendere pubbliche le sue idee sulla geometria non euclidea avrebbe
scalfito la base della filosofia idealistica
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
Esiste la geometria dello spazio?
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
Esiste la geometria dello spazio?
Ahimè, no
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
Esiste la geometria dello spazio?
Ahimè, no
La geometria è solo uno strumento matematico che possiamo
applicare nello studio del mondo fisico
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
Esiste la geometria dello spazio?
Ahimè, no
La geometria è solo uno strumento matematico che possiamo
applicare nello studio del mondo fisico
Fino alla relatività generale di Einstein, la concezione era che i raggi di
luce viaggiano in linea retta
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
Esiste la geometria dello spazio?
Ahimè, no
La geometria è solo uno strumento matematico che possiamo
applicare nello studio del mondo fisico
Fino alla relatività generale di Einstein, la concezione era che i raggi di
luce viaggiano in linea retta
Ma come possiamo saperlo? È solo un modello matematico che
potrebbe non rivelarsi adeguato a descrivere tutti i fenomeni di
propagazione della luce
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
E infatti la luce non viaggia in linea retta, ma è deviata dai campi
gravitazionali
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
E infatti la luce non viaggia in linea retta, ma è deviata dai campi
gravitazionali
Possiamo misurare gli angoli di un triangolo grande, prendendo come
vertici tre pianeti?
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
E infatti la luce non viaggia in linea retta, ma è deviata dai campi
gravitazionali
Possiamo misurare gli angoli di un triangolo grande, prendendo come
vertici tre pianeti?
No, perché non sappiamo se la luce viaggia in linea retta e inoltre gli
strumenti che adoperiamo hanno un margine di errore
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
Parafrasando Poincaré
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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. Che cos’è la geometria
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Non esiste la geometria dello spazio, ma esistono tante geometrie che
possono
essere più o meno adeguate a descrivere certi fenomeni fisici
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Enrico Gregorio
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Le geometrie non euclidee
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