Città di Torino
Da "Bambini" n°5/1989
Divisione Servizi per l'Infanzia
Archivio "Bambini"
LA RAPPRESENTAZIONE
NELL' APPRENDIMENTO
DELLA MATEMATICA
di Maria G. Bartolini Bussi*
Introduzione
sono complessi e variamente articolati.
Il termine rappresentazione viene usato
con significati diversi: l'aspetto comune è
'che, in ogni caso, c'è qualche cosa che si
trova al posto di un'altra. Talvolta la
rappresentazione si può pensare come
una relazione binari a tra un universo di
soggetti ed un universo di oggetti che li
rappresentano. Altre volte, è più utile
pensare alla rappresentazione come a una
relazione ternaria, in cui interviene un
soggetto che rappresenta certi oggetti (ad
esempio quelli del mondo reale)
attraverso altri oggetti (ad esempio
immagini o sequenze di parole). È
appunto quest'ultima accezione che viene
usata nelle ricerche sui processi
cognitivi. È ancora opportuno, in
quest'ultimo caso, distinguere tra:
-rappresentazione interna o mentale,
intesa nel senso di processo interno di
ricostruzione dell'esperienza;
-rappresentazione esterna, intesa nel
senso di processo di produzione di
comportamenti o raffigurazioni che
riflettono l'esperienza o la rappresentazione mentale di essa.
Anche i prodotti di tali processi sono
denotati con lo stesso termine. Si parla,
così, di:
-rappresentazione mentale (o immagine
mentale) per denotare il prodotto imma -
*del Nucleo di Ricerca in Storia e Didattica
della Matematica, Dipartimento di matematica, Università di Modena.
lavoro eseguito con il contributo del M.P .1.
e del C.N.R. (contratto n. 88.00281.01).
L'osservazione delle rappresentazioni.
gazzinato, in una qualche forma, nella
memoria;
-rappresentazione esterna; per denotare il
prodotto,
osservabile,
di
una
rappresentazione
mentale
espresso
attraverso un medium qualsiasi (azioni,
linguaggio, schema, disegno e così via).
Alcuni autori, in quest'ultimo caso,
parlano di ri-rappresentazioni, intendendo
che si tratta di una rappresentazione
(esterna) di una rappresentazione (interna).
Questo termine può suggerire una
sequenzialità temporale:
azione ra rappresentazione interna
rappresentazione esterna.
In realtà, come vedremo, le relazioni tra
l'azione e i vari tipi di rappresentazioni
1
1
L'osservazione diretta delle rappresentazioni mentali non è, in generale,
possibile. Si è dunque costretti a compiere
inferenze su di esse attraverso la raccolta e
l'analisi delle rappresentazioni esterne.
Questa metodologia è usata in modo
sistematico
nelle
ricerche
sull'apprendimento della matematica ed in
particolare sulla soluzione di problemi, in
cui si fa uso di interviste cliniche, registrazioni sonore o video dei soggetti eco. sì
via. Il ricercatore deve affrontare alcuni
problemi metodo logici, a cui facciamo un
breve cenno.
-che cosa è osservabile? Non tutte le
caratteristiche e le componenti della
rappresentazione mentale sono accessibili
al soggetto attraverso l'introspezione: ad
esempio, i meccanismi della percezione
non sono consci e quindi non possono
essere descritti.
-il medium è indifferente? Il medium
attraverso
cui
è
esplicitata
la
rappresentazione è una variabile importante, poiché non tutti i media hanno la
stessa potenzialità descrittiva: esistono
idee che si comunicano meglio a parole,
altre con immagini, altre che sembrano
sfuggire a tutti i tentativi di rirappresentazione. Inoltre, lo stile cognitivo
del soggetto e la padronanza tecnica del
medium influenzano molto il risultato
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dell' esplicitazione.
- c'è interferenza ?
Non è possibile, in linea di principio,
costruire un esperimento che ci consenta di
ottenere dati su un processo mentale, senza
interferire con il processo stesso. È questo
una sorta di principio di indeterminazione,
analogo a quello formulato da Hei- semberg
per la meccanica quantistica e ai I1aradossi
dell'osservazione
partecipante
in
antropologia. Esso si rende evidente con
frequenza nelle interviste cliniche sulla
risoluzione di problemi, dove, a volte, lo
sforzo di esplicitare ad alta voce il senso
della strategia che si sta utilizzando può
sbloccare il processo di soluzione. Anche
senza arrivare a questo estremo, è
verosimile
che
l'attività
di
rirappresentazione influenzi in modo marcato
la rappresentazione mentale, che, dopo il
processo di esplicitazione, conterrà anche il
risultato di tale processo, immagazzinato in
qualche forma nella memoria.
Anche l'insegnante, nel corso dell'osservazione, incontra questi problemi.
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Essi hanno tuttavia un senso molto diverso
per il ricercatore. Quest' ultimo, infatti, si
preoccupa di isolare e controllare le
variabili del suo esperimento e di ridurre
al minimo le possibili interferenze, mentre
l'insegnante deve, per il suo compito
professionale, interferire nel processo
dell'allievo: ad esempio, può utilizzare
questa interferenza per indirre processi di
ripensamento
sul
proprio
operare
cognitivo
(processi
metacognitivi)
attraverso la riflessione sulla potenzialità
descrittiva dei vari media e l'abitudine,
coltivata fino dall'inizio, ad esplicitare, in
tutti i modi possibili, le diverse strategie
utilizzate, anche se questi comportamenti
non sono presenti spontaneamente negli
allievi, possono essere indotti in un
ambiente che attribuisce valore sociale ad
essi e crea le occasioni per il loro
sviluppo.
Rappresentare che cosa? Con che cosa?
Al centro del problema della rappresentazione è il rapporto tra tre livelli di
oggetti: il referente, il significato, il
significante.
Il livello del referente è costituito dal
mondo reale, così come appare al
soggetto nella sua esperienza.
Il livello del significato è costituito da
ciò che viene costruito "nella testa" del
soggetto (concetti, invarianti, sistemi di
aspettative, inferenze ...) attraverso un
processo di riduzione selettiva del
referente, così come viene percepito. È un
livello essenzialmente individuale, anche
se la possibilità di fare riferimento ad uno
stesso mondo reale consente, all'interno di
una certa cultura, il confronto dei
significati e la costruzione di
significati condivisi da soggetti diversi.
Il livello del significante è costruito a
partire dai diversi sistemi simbolici che
possono essere usati per ri-rappresentare i
significati. Il linguaggio naturale verbale
ha una priorità sugli altri in quanto
consente di descrivere e di controllare criticamente gli altri linguaggi. Ciascun
linguaggio deve essere appreso, in quanto
è dotato di regole proprie. Le rirappresentazioni sono costruite in.
dividualmente, ma aspirano ad una
universalità, a cui si tende attraverso il
processo di comunicazione. La funzione
comunicativa dei vari sistemi di
significanti è molto forte; tuttavia, non va
dimenticata la funzione rappresentativa.
Una rappresentazione mentale, infatti, non
contiene solo una immagine di un oggetto,
ma tutta una serie di informazioni, in
continua evoluzione, sulle caratteristiche,
gli usi, le funzioni, le pro. cedure,
espresse attraverso opportuni significanti.
Il processo di ri-rappresentazione, dunque,
implica anche una ristrutturazione a
livello di significato.
Nascono, ovviamente, problemi di
corrispondenza:
significato
significante.
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Non tutti i significati possono essere espressi attraverso significanti
opportuni: ad esempio, molte esperienze spaziali possono essere descritte verbalmente con difficoltà,
per la struttura stessa del sistema
simbolico scelto, che costringe ad
esprimere in un ordine fisso eventi
contemporanei. Inoltre, l'uso della
lingua naturale comporta anche in
matematica la presenza di figure tipiche che introducono rapporti diversi e complessi tra significante e significato (metafora, omonimia, polisemia).
Rappresentazioni e concetti della
matematica
Gli enti di cui si occupa la matematica
non sono oggetti del mondo reale, ma
rappresentazioni (mentali) che vengono
manipolate attraverso opportuni sistemi
simbolici (i sistemi di numerazione, il
disegno geometrico, gli schemi e così
via).
La costruzione del significato è cruciale
in matematica ed è il più grande
problema
dell'insegnamento
della
matematica, anche se, spesso, è posta in
ombra dalla maggiore evidenza del
significante. Così accade che, nel senso
comune, una lezione di matematica è
vista come la rappresentazione sulla
lavagna di una serie di formule e di
giochi con simboli strani, che devono
essere maneggiati secondo regole fisse e
un po' misteriose.
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to dai numeri: essi vengono manipolati
attraverso una loro rappresentazione
simbolica, secondo la scrittura posizionale
in base dieci.
Tale rappresentazione è puramente
convenzionale e si basa sull'assunzione di
un certo insieme di regole. Tuttavia questa
convenzionalità non è sempre presente
nella conoscenza di senso comune e nelle
concezioni dei bambini, dove si tende ad
identificare i numeri con le loro rappresentazioni in base dieci. In altre parole, il
significante è confuso con il significato. Lo
stesso fenomeno è documentato per la
lingua, nella filogenesi (concezione magica
del linguaggio) e nell'ontogenesi (la parola
scritta sta al posto dell'oggetto e dunque ne
deve riprodurre alcune caratteristiche).
I concetti della matematica possono
essere considerati da due punti di vista
diversi:
- come strumenti per concettualizzare
nuove situazioni e nuovi problemi;
- come oggetti su cui riflettere.
Nel primo caso, sono in gioco le relazioni tra il concetto e gli altri concetti
che sono implicati nello stesso problema.
Nel secondo, sono in gioco le relazioni tra
il concetto e gli altri concetti della
matematica, che sono ad esso collegati
nella sistemazione teorica della disciplina,
così come è riconosciuta socialmente in un
certo momento storico e in una certa
cultura.
In un primo tempo, i concetti vengono
costruiti attraverso il processo di risoluzio-
Un esempio meno banale è fornito dai
3
ne di problemi; successivamente sono
trasformati, dalla comunità dei ricercatori,
in oggetti di riflessione. I sistemi simbolici
consentono di operare con tali oggetti e
fungono così da amplificatori concettuali.
Ad esempio, i numeri sono generati
attraverso problemi legati ad attività
economiche, ma divengono poi gli oggetti
dell'aritmetica, che costruisce una teoria su
di essi, indipendentemente dai loro usi
concreti. In questo processo si costruiscono
diversi piani di realtà concatenati. Lo
strumento faticosamente costruito per
risolvere certi problemi, diviene a sua volta
oggetto, quasi un nuovo concreto di cui
fare esperienza. I problemi nati da questa
esperienza generano nuovi strumenti e così
via. Questo processo di astrazione
successiva è una caratteristica importante
della matematica, così come è concepita
nella cultura occidentale.
I sistemi simbolici, anche storicamente,
vengono introdotti nel corso della
risoluzione dei problemi, spesso prima che
una loro descrizione completa sia
disponibile. Ad esempio, i numeri negativi
sono stati manipolati per molto tempo,
anche se con un certo sospetto, come
risultato di operazioni "impossibili" con i
numeri interi positivi, prima che venisse
formulata una sistemazione teorica del
concetto che lo integrasse con gli altri
concetti dell'aritmetica.
Queste considerazioni hanno importanti
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I
implicazioni sul piano didattico. In primo
luogo, poiché i concetti vengono costruiti
attraverso il processo di soluzione di
problemi, essi hanno senso, almeno
inizialmente, solo in un determinato
contesto. Il trasferimento ad altro contesto
non è automatico e neppure facile.
Uno dei più grossi problemi, per
l'insegnante, è quello di creare condizioni
favorevoli al trasferimento delle strategie
risolutive da un contesto all'altro. Questo
problema può essere affrontato attraverso
processi dialettici di va e vieni tra il
concetto come strumento e il concetto come oggetto. Ad esempio, si può iniziare un
approccio al numero attraverso una
situazione problematica coinvolgente come
quella
dell'appello,
opportunamente
finalizzata: "La mensa vuole sapere quanti
sono i bambini presenti per inviare le porzioni necessarie per il pranzo". In questa
situazione può essere adottata, ad esempio,
la procedura del contare. Quando tutti gli
allievi si sono impadroniti della procedura
e sanno quindi prendere parte attivamente
alla soluzione (collettiva) del problema -e
questo periodo può durare anche diverse
settimane -si può spostare l'attenzione sul
numero come oggetto, invitando i bambini
a riflettere sullo strumento utilizzato: "Per
risolvere il nostro problema, abbiamo usato
i numeri. Ma, che cosa sono i numeri? Li
avevate già usati prima qualche volta?
Conoscete persone che li usano? A quale
proposito?" e così via. Può poi essere
esplorato un altro uso del numero, ad
esempio
l'ordinale
(attraverso
l'introduzione nei giochi di ordinamenti tra i
vari giocatori) o la misura (usando il
contare, per misurare il tempo a
nascondino). Ogni volta, un aspetto
particolare del numero è costruito in un
contesto particolare. Le discussioni
periodiche sulla natura dei numeri
utilizzano la funzione rappresentativa del
linguaggio verbale per favorire la
costruzione di una rete di connessioni tra i
vari aspetti esplorativi nei diversi contesti.
Naturalmente, lo schema può essere
variato: si può esplorare lo stesso aspetto
del numero, in un contesto diverso, oppure
un diverso aspetto del numero nello stesso
contesto oppure variare sia aspetto che
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contesto (come negli esempi riportati più
sopra).
Una seconda conseguenza importante è
la dinamicità nella costruzione dei
concetti: i concetti cambiano significato
nel tempo, sia nella filogenesi (i concetti
matematici nella loro formulazione attuale
sono incrostati da secoli di evoluzione e
fortemente influenzati dalle teorie della
matematica che sono state formulate nel
tempo) che nell'ontogenesi (i concetti si
modificano continuamente nella rete di
conoscenze del singolo individuo, nel
corso del suo sviluppo). Un mito quindi
deve crollare: non è detto che la
formulazione attuale di un concetto sia la
più idonea ad essere insegnata ovvero non
è detto che le strutture fondamentali della
matematica
rispecchino
strutture
fondamentali delle operazioni mentali. La
vera preoccupazione dell'insegnante non
deve quindi essere quella dél rigore (inteso
come adesione totale ad una formulazione
attuale di un certo concetto) ma quella
della costruzione del significato, cioè della
proposta di una serie di esperienze che costruiscano la rete dei significati associati ad
un certo concetto.
Infine, è opportuno spendere qualche
parola sul problema della introduzione dei
sistemi simbolici. In passato, molte parole
sono state spese sull'opportunità di
rinviare l'uso di sistemi simbolici
particolari (ad esempio, la scrittura dei
numeri) al momento in cui il concetto
4
relativo fosse stato "acquisito". Abbiamo
vi. sto che non ha senso fissare un momento particolare per l"'acquisizione" di
un concetto, in quanto l'evoluzione del
significato è continua, anche in età
adulta. Dunque, quando introdurre le
rappresentazioni esterne dei significati?
E come introdurle? In questo caso è
opportuno utilizza. re tutte le potenzialità
dell'ambiente culturale in cui l;bambini
sono immersi, a scuola e fuori dalla
scuola. Alcuni sistemi simbolici (la
lingua scritta, il sistema numerico in
base dieci, il linguaggio delle forme)
sono presenti in modo massiccio nel nostro ambiente. Si può quindi partire
dall'osservazione e dalla "lettura" (nel
senso di tentativo di interpretazione) di
certi messaggi contenuti nel mondo
circostante, per poi proporre al bambino
la produzione di messaggi dello stesso
tipo.
Tutte le considerazioni precedenti
sono strettamente legate alla cultura in
cui siamo immersi e alla lingua naturale:
in altre culture non avremmo neppure la
possibilità di avviare una discussione sui
concetti come oggetti, poiché ci
mancherebbero le parole necessarie; non
avremmo la possibilità di trasferire le
procedure tra i vari contesti (in alcune
lingue i numerali sono diversi a seconda
delle categorie di oggetti a cui si
riferiscono); non avremmo la possibilità
di fare riferimento agli stessi sistemi
simbolici. Questo fatto sottolinea
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ancora una volta la potenzialità
rappresentativa della lingua naturale
(almeno la nostra e quelle dello stesso
ceppo linguistico) nella costruzione dei
concetti della matematica.
La rappresentazione nella soluzione
dei problemi
Vedremo ora alcune funzioni del\a
rappresentazione nella soluzione dei
problemi per illustrare la complessità
dei rapporti tra referente, significato e
significante.
Se prendiamo le mosse da una situazione problematica, che può essere
affrontata
attraverso
strumenti
matematici, la rappresentazione è una
componente essenziale dell'attività di
distanziamento spaziale e psicologico
tra il soggetto e la situazione, che si
esplica
attraverso
l'impiego
dell'immaginazione per ripensare o
prevedere oggetti o eventi, attraverso
questa attività, si eliminano i dati inutili
e si costruisce un significato della
situazione problematica che contiene già
in sé il germe della soluzione. In questo
caso, opportuni significanti possono
intervenire
nel
processo
di
rappresentazione, ad esempio, in una
situazione in cui entra in gioco la
variabile tempo, la rappresentazione del
tempo su un calendario può giocare un
ruolo molto forte nella costruzione del
significato.
.
cioè mirata alla costruzione di uno
strumento di soluzione. Si pensi ad
esempio al ragionamento a voce alta, alla
Se partiamo invece da un problema
verbale, cioè un problema espresso
attraverso un testo, una prima funzione
della rappresentazione è finalizzata alla
comprensione del testo, cioè alla
ricostruzione
di
una
situazione
problematica che ne esprime il
significato.
Le foto provengono dalle Scuole
Comunali dell’Infanzia di Modena
5
schematizzazione (con frecce o tabelle),
alla dichiarazione verbale della strategia
che si intende seguire. In questa fase, la
capacità di muoversi liberamente tra
diversi modi di rappresentazione è
fondamentale: il buon risolutore di
problemi si lascia guidare dal linguaggio
verbale, fin dove aiuta, ma è in grado di
passare
rapidamente
ad
una
rappresentazione grafica o di altro tipo, se
quest'ultima si rivela più utile.
In altri casi, la rappresentazione ha una
funzione cristallizzatrice, mirata cioè a
organizzare dall'interno tentativi già fatti,
e, al termine della soluzione, a rendere
conto della strategia usata, per poterla
immagazzinare nella memoria.
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significato
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significante
Nella fase di verifica, la soluzione
ottenuta deve essere reinterpretata in
relazione alla situazione problematica:
significante
significato
referente
Questi sono solo alcuni esempi.
Speriamo che siano sufficienti a
rompere lo stereotipo.
azione --rappresentazione interna -rappresentazione esterna
a cui avevamo fatto cenno nell'introduzione.
Conclusione
Vogliamo concludere questo articolo con uno schema generale di impianto delle esperienze, che può essere
applicato, senza rigidezza, a molti casi
particolari.
1. Prima dell'esperienza. È opportuno preparare i bambini all'esperienza
che si è progettata, discutendo ciò che
si intende fare e raccogliendo le loro
ipotesi su ciò che accadrà. In questo
modo, oltre a creare una motivazione,
si apre uno spazio rappresentativo,
cioè una serie di rappresentazioni
(mentali)
che
guideranno
i
comportamenti successivi.
2. Durante l'esperienza. È opportuno indirizzare l'attenzione dei bambini
sulle ipotesi avanzate in precedenza,
per verificarle o falsificarle.
3. Dopo l'esperienza. È opportuno
ricostruire l'esperienza con diversi
linguaggi: verbalmente (racconto), con
rappresentazioni grafiche di vario tipo.
L'occasione di dover descrivere
l'esperienza a compagni che non erano
presenti introduce una dimensione
sociale esplicita in una attività
essenzialmente individuale.
La ricostruzione può essere condotta anche collettivamente (discussione o costruzione di grandi pannelli).
4. Dopo la ricostruzione. Ogni tanto, è opportuno riflettere sugli strumenti di ricostruzione utilizzati: che
cosa possiamo esprimere con le parole? con i disegni? con i numeri?, attivando in questo modo la riflessione
sul proprio operare cognitivo.
Nel/o schema sono descritte, in modo indicativo, alcune operazioni di "traduzione"
tra i diversi sistemi.
In questo articolo, si è fatto riferimento senza citarle espressamente, a
diverse ricerche didattiche pubblicate su riviste straniere. Per maggiori
dettagli si veda l’articolo: Bartolini Bussi M . La discussione collettiva
nell’apprendimento della matematica, in L’insegnamento della matematica
e delle scienze integrate, vol. 12(1989) n°1
6
