la rappresentazione nell` apprendimento della matematica
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Città di Torino Da "Bambini" n°5/1989 Divisione Servizi per l'Infanzia Archivio "Bambini" LA RAPPRESENTAZIONE NELL' APPRENDIMENTO DELLA MATEMATICA di Maria G. Bartolini Bussi* Introduzione sono complessi e variamente articolati. Il termine rappresentazione viene usato con significati diversi: l'aspetto comune è 'che, in ogni caso, c'è qualche cosa che si trova al posto di un'altra. Talvolta la rappresentazione si può pensare come una relazione binari a tra un universo di soggetti ed un universo di oggetti che li rappresentano. Altre volte, è più utile pensare alla rappresentazione come a una relazione ternaria, in cui interviene un soggetto che rappresenta certi oggetti (ad esempio quelli del mondo reale) attraverso altri oggetti (ad esempio immagini o sequenze di parole). È appunto quest'ultima accezione che viene usata nelle ricerche sui processi cognitivi. È ancora opportuno, in quest'ultimo caso, distinguere tra: -rappresentazione interna o mentale, intesa nel senso di processo interno di ricostruzione dell'esperienza; -rappresentazione esterna, intesa nel senso di processo di produzione di comportamenti o raffigurazioni che riflettono l'esperienza o la rappresentazione mentale di essa. Anche i prodotti di tali processi sono denotati con lo stesso termine. Si parla, così, di: -rappresentazione mentale (o immagine mentale) per denotare il prodotto imma - *del Nucleo di Ricerca in Storia e Didattica della Matematica, Dipartimento di matematica, Università di Modena. lavoro eseguito con il contributo del M.P .1. e del C.N.R. (contratto n. 88.00281.01). L'osservazione delle rappresentazioni. gazzinato, in una qualche forma, nella memoria; -rappresentazione esterna; per denotare il prodotto, osservabile, di una rappresentazione mentale espresso attraverso un medium qualsiasi (azioni, linguaggio, schema, disegno e così via). Alcuni autori, in quest'ultimo caso, parlano di ri-rappresentazioni, intendendo che si tratta di una rappresentazione (esterna) di una rappresentazione (interna). Questo termine può suggerire una sequenzialità temporale: azione ra rappresentazione interna rappresentazione esterna. In realtà, come vedremo, le relazioni tra l'azione e i vari tipi di rappresentazioni 1 1 L'osservazione diretta delle rappresentazioni mentali non è, in generale, possibile. Si è dunque costretti a compiere inferenze su di esse attraverso la raccolta e l'analisi delle rappresentazioni esterne. Questa metodologia è usata in modo sistematico nelle ricerche sull'apprendimento della matematica ed in particolare sulla soluzione di problemi, in cui si fa uso di interviste cliniche, registrazioni sonore o video dei soggetti eco. sì via. Il ricercatore deve affrontare alcuni problemi metodo logici, a cui facciamo un breve cenno. -che cosa è osservabile? Non tutte le caratteristiche e le componenti della rappresentazione mentale sono accessibili al soggetto attraverso l'introspezione: ad esempio, i meccanismi della percezione non sono consci e quindi non possono essere descritti. -il medium è indifferente? Il medium attraverso cui è esplicitata la rappresentazione è una variabile importante, poiché non tutti i media hanno la stessa potenzialità descrittiva: esistono idee che si comunicano meglio a parole, altre con immagini, altre che sembrano sfuggire a tutti i tentativi di rirappresentazione. Inoltre, lo stile cognitivo del soggetto e la padronanza tecnica del medium influenzano molto il risultato Città di Torino Da "Bambini" n°5/1989 dell' esplicitazione. - c'è interferenza ? Non è possibile, in linea di principio, costruire un esperimento che ci consenta di ottenere dati su un processo mentale, senza interferire con il processo stesso. È questo una sorta di principio di indeterminazione, analogo a quello formulato da Hei- semberg per la meccanica quantistica e ai I1aradossi dell'osservazione partecipante in antropologia. Esso si rende evidente con frequenza nelle interviste cliniche sulla risoluzione di problemi, dove, a volte, lo sforzo di esplicitare ad alta voce il senso della strategia che si sta utilizzando può sbloccare il processo di soluzione. Anche senza arrivare a questo estremo, è verosimile che l'attività di rirappresentazione influenzi in modo marcato la rappresentazione mentale, che, dopo il processo di esplicitazione, conterrà anche il risultato di tale processo, immagazzinato in qualche forma nella memoria. Anche l'insegnante, nel corso dell'osservazione, incontra questi problemi. Divisione Servizi per l'Infanzia Archivio "Bambini" Essi hanno tuttavia un senso molto diverso per il ricercatore. Quest' ultimo, infatti, si preoccupa di isolare e controllare le variabili del suo esperimento e di ridurre al minimo le possibili interferenze, mentre l'insegnante deve, per il suo compito professionale, interferire nel processo dell'allievo: ad esempio, può utilizzare questa interferenza per indirre processi di ripensamento sul proprio operare cognitivo (processi metacognitivi) attraverso la riflessione sulla potenzialità descrittiva dei vari media e l'abitudine, coltivata fino dall'inizio, ad esplicitare, in tutti i modi possibili, le diverse strategie utilizzate, anche se questi comportamenti non sono presenti spontaneamente negli allievi, possono essere indotti in un ambiente che attribuisce valore sociale ad essi e crea le occasioni per il loro sviluppo. Rappresentare che cosa? Con che cosa? Al centro del problema della rappresentazione è il rapporto tra tre livelli di oggetti: il referente, il significato, il significante. Il livello del referente è costituito dal mondo reale, così come appare al soggetto nella sua esperienza. Il livello del significato è costituito da ciò che viene costruito "nella testa" del soggetto (concetti, invarianti, sistemi di aspettative, inferenze ...) attraverso un processo di riduzione selettiva del referente, così come viene percepito. È un livello essenzialmente individuale, anche se la possibilità di fare riferimento ad uno stesso mondo reale consente, all'interno di una certa cultura, il confronto dei significati e la costruzione di significati condivisi da soggetti diversi. Il livello del significante è costruito a partire dai diversi sistemi simbolici che possono essere usati per ri-rappresentare i significati. Il linguaggio naturale verbale ha una priorità sugli altri in quanto consente di descrivere e di controllare criticamente gli altri linguaggi. Ciascun linguaggio deve essere appreso, in quanto è dotato di regole proprie. Le rirappresentazioni sono costruite in. dividualmente, ma aspirano ad una universalità, a cui si tende attraverso il processo di comunicazione. La funzione comunicativa dei vari sistemi di significanti è molto forte; tuttavia, non va dimenticata la funzione rappresentativa. Una rappresentazione mentale, infatti, non contiene solo una immagine di un oggetto, ma tutta una serie di informazioni, in continua evoluzione, sulle caratteristiche, gli usi, le funzioni, le pro. cedure, espresse attraverso opportuni significanti. Il processo di ri-rappresentazione, dunque, implica anche una ristrutturazione a livello di significato. Nascono, ovviamente, problemi di corrispondenza: significato significante. 2 Città di Torino Da "Bambini" n°5/1989 Non tutti i significati possono essere espressi attraverso significanti opportuni: ad esempio, molte esperienze spaziali possono essere descritte verbalmente con difficoltà, per la struttura stessa del sistema simbolico scelto, che costringe ad esprimere in un ordine fisso eventi contemporanei. Inoltre, l'uso della lingua naturale comporta anche in matematica la presenza di figure tipiche che introducono rapporti diversi e complessi tra significante e significato (metafora, omonimia, polisemia). Rappresentazioni e concetti della matematica Gli enti di cui si occupa la matematica non sono oggetti del mondo reale, ma rappresentazioni (mentali) che vengono manipolate attraverso opportuni sistemi simbolici (i sistemi di numerazione, il disegno geometrico, gli schemi e così via). La costruzione del significato è cruciale in matematica ed è il più grande problema dell'insegnamento della matematica, anche se, spesso, è posta in ombra dalla maggiore evidenza del significante. Così accade che, nel senso comune, una lezione di matematica è vista come la rappresentazione sulla lavagna di una serie di formule e di giochi con simboli strani, che devono essere maneggiati secondo regole fisse e un po' misteriose. Divisione Servizi per l'Infanzia Archivio "Bambini" to dai numeri: essi vengono manipolati attraverso una loro rappresentazione simbolica, secondo la scrittura posizionale in base dieci. Tale rappresentazione è puramente convenzionale e si basa sull'assunzione di un certo insieme di regole. Tuttavia questa convenzionalità non è sempre presente nella conoscenza di senso comune e nelle concezioni dei bambini, dove si tende ad identificare i numeri con le loro rappresentazioni in base dieci. In altre parole, il significante è confuso con il significato. Lo stesso fenomeno è documentato per la lingua, nella filogenesi (concezione magica del linguaggio) e nell'ontogenesi (la parola scritta sta al posto dell'oggetto e dunque ne deve riprodurre alcune caratteristiche). I concetti della matematica possono essere considerati da due punti di vista diversi: - come strumenti per concettualizzare nuove situazioni e nuovi problemi; - come oggetti su cui riflettere. Nel primo caso, sono in gioco le relazioni tra il concetto e gli altri concetti che sono implicati nello stesso problema. Nel secondo, sono in gioco le relazioni tra il concetto e gli altri concetti della matematica, che sono ad esso collegati nella sistemazione teorica della disciplina, così come è riconosciuta socialmente in un certo momento storico e in una certa cultura. In un primo tempo, i concetti vengono costruiti attraverso il processo di risoluzio- Un esempio meno banale è fornito dai 3 ne di problemi; successivamente sono trasformati, dalla comunità dei ricercatori, in oggetti di riflessione. I sistemi simbolici consentono di operare con tali oggetti e fungono così da amplificatori concettuali. Ad esempio, i numeri sono generati attraverso problemi legati ad attività economiche, ma divengono poi gli oggetti dell'aritmetica, che costruisce una teoria su di essi, indipendentemente dai loro usi concreti. In questo processo si costruiscono diversi piani di realtà concatenati. Lo strumento faticosamente costruito per risolvere certi problemi, diviene a sua volta oggetto, quasi un nuovo concreto di cui fare esperienza. I problemi nati da questa esperienza generano nuovi strumenti e così via. Questo processo di astrazione successiva è una caratteristica importante della matematica, così come è concepita nella cultura occidentale. I sistemi simbolici, anche storicamente, vengono introdotti nel corso della risoluzione dei problemi, spesso prima che una loro descrizione completa sia disponibile. Ad esempio, i numeri negativi sono stati manipolati per molto tempo, anche se con un certo sospetto, come risultato di operazioni "impossibili" con i numeri interi positivi, prima che venisse formulata una sistemazione teorica del concetto che lo integrasse con gli altri concetti dell'aritmetica. Queste considerazioni hanno importanti Città di Torino Da "Bambini" n°5/1989 I implicazioni sul piano didattico. In primo luogo, poiché i concetti vengono costruiti attraverso il processo di soluzione di problemi, essi hanno senso, almeno inizialmente, solo in un determinato contesto. Il trasferimento ad altro contesto non è automatico e neppure facile. Uno dei più grossi problemi, per l'insegnante, è quello di creare condizioni favorevoli al trasferimento delle strategie risolutive da un contesto all'altro. Questo problema può essere affrontato attraverso processi dialettici di va e vieni tra il concetto come strumento e il concetto come oggetto. Ad esempio, si può iniziare un approccio al numero attraverso una situazione problematica coinvolgente come quella dell'appello, opportunamente finalizzata: "La mensa vuole sapere quanti sono i bambini presenti per inviare le porzioni necessarie per il pranzo". In questa situazione può essere adottata, ad esempio, la procedura del contare. Quando tutti gli allievi si sono impadroniti della procedura e sanno quindi prendere parte attivamente alla soluzione (collettiva) del problema -e questo periodo può durare anche diverse settimane -si può spostare l'attenzione sul numero come oggetto, invitando i bambini a riflettere sullo strumento utilizzato: "Per risolvere il nostro problema, abbiamo usato i numeri. Ma, che cosa sono i numeri? Li avevate già usati prima qualche volta? Conoscete persone che li usano? A quale proposito?" e così via. Può poi essere esplorato un altro uso del numero, ad esempio l'ordinale (attraverso l'introduzione nei giochi di ordinamenti tra i vari giocatori) o la misura (usando il contare, per misurare il tempo a nascondino). Ogni volta, un aspetto particolare del numero è costruito in un contesto particolare. Le discussioni periodiche sulla natura dei numeri utilizzano la funzione rappresentativa del linguaggio verbale per favorire la costruzione di una rete di connessioni tra i vari aspetti esplorativi nei diversi contesti. Naturalmente, lo schema può essere variato: si può esplorare lo stesso aspetto del numero, in un contesto diverso, oppure un diverso aspetto del numero nello stesso contesto oppure variare sia aspetto che Divisione Servizi per l'Infanzia Archivio "Bambini" contesto (come negli esempi riportati più sopra). Una seconda conseguenza importante è la dinamicità nella costruzione dei concetti: i concetti cambiano significato nel tempo, sia nella filogenesi (i concetti matematici nella loro formulazione attuale sono incrostati da secoli di evoluzione e fortemente influenzati dalle teorie della matematica che sono state formulate nel tempo) che nell'ontogenesi (i concetti si modificano continuamente nella rete di conoscenze del singolo individuo, nel corso del suo sviluppo). Un mito quindi deve crollare: non è detto che la formulazione attuale di un concetto sia la più idonea ad essere insegnata ovvero non è detto che le strutture fondamentali della matematica rispecchino strutture fondamentali delle operazioni mentali. La vera preoccupazione dell'insegnante non deve quindi essere quella dél rigore (inteso come adesione totale ad una formulazione attuale di un certo concetto) ma quella della costruzione del significato, cioè della proposta di una serie di esperienze che costruiscano la rete dei significati associati ad un certo concetto. Infine, è opportuno spendere qualche parola sul problema della introduzione dei sistemi simbolici. In passato, molte parole sono state spese sull'opportunità di rinviare l'uso di sistemi simbolici particolari (ad esempio, la scrittura dei numeri) al momento in cui il concetto 4 relativo fosse stato "acquisito". Abbiamo vi. sto che non ha senso fissare un momento particolare per l"'acquisizione" di un concetto, in quanto l'evoluzione del significato è continua, anche in età adulta. Dunque, quando introdurre le rappresentazioni esterne dei significati? E come introdurle? In questo caso è opportuno utilizza. re tutte le potenzialità dell'ambiente culturale in cui l;bambini sono immersi, a scuola e fuori dalla scuola. Alcuni sistemi simbolici (la lingua scritta, il sistema numerico in base dieci, il linguaggio delle forme) sono presenti in modo massiccio nel nostro ambiente. Si può quindi partire dall'osservazione e dalla "lettura" (nel senso di tentativo di interpretazione) di certi messaggi contenuti nel mondo circostante, per poi proporre al bambino la produzione di messaggi dello stesso tipo. Tutte le considerazioni precedenti sono strettamente legate alla cultura in cui siamo immersi e alla lingua naturale: in altre culture non avremmo neppure la possibilità di avviare una discussione sui concetti come oggetti, poiché ci mancherebbero le parole necessarie; non avremmo la possibilità di trasferire le procedure tra i vari contesti (in alcune lingue i numerali sono diversi a seconda delle categorie di oggetti a cui si riferiscono); non avremmo la possibilità di fare riferimento agli stessi sistemi simbolici. Questo fatto sottolinea Città di Torino Da "Bambini" n°5/1989 Divisione Servizi per l'Infanzia Archivio "Bambini" ancora una volta la potenzialità rappresentativa della lingua naturale (almeno la nostra e quelle dello stesso ceppo linguistico) nella costruzione dei concetti della matematica. La rappresentazione nella soluzione dei problemi Vedremo ora alcune funzioni del\a rappresentazione nella soluzione dei problemi per illustrare la complessità dei rapporti tra referente, significato e significante. Se prendiamo le mosse da una situazione problematica, che può essere affrontata attraverso strumenti matematici, la rappresentazione è una componente essenziale dell'attività di distanziamento spaziale e psicologico tra il soggetto e la situazione, che si esplica attraverso l'impiego dell'immaginazione per ripensare o prevedere oggetti o eventi, attraverso questa attività, si eliminano i dati inutili e si costruisce un significato della situazione problematica che contiene già in sé il germe della soluzione. In questo caso, opportuni significanti possono intervenire nel processo di rappresentazione, ad esempio, in una situazione in cui entra in gioco la variabile tempo, la rappresentazione del tempo su un calendario può giocare un ruolo molto forte nella costruzione del significato. . cioè mirata alla costruzione di uno strumento di soluzione. Si pensi ad esempio al ragionamento a voce alta, alla Se partiamo invece da un problema verbale, cioè un problema espresso attraverso un testo, una prima funzione della rappresentazione è finalizzata alla comprensione del testo, cioè alla ricostruzione di una situazione problematica che ne esprime il significato. Le foto provengono dalle Scuole Comunali dell’Infanzia di Modena 5 schematizzazione (con frecce o tabelle), alla dichiarazione verbale della strategia che si intende seguire. In questa fase, la capacità di muoversi liberamente tra diversi modi di rappresentazione è fondamentale: il buon risolutore di problemi si lascia guidare dal linguaggio verbale, fin dove aiuta, ma è in grado di passare rapidamente ad una rappresentazione grafica o di altro tipo, se quest'ultima si rivela più utile. In altri casi, la rappresentazione ha una funzione cristallizzatrice, mirata cioè a organizzare dall'interno tentativi già fatti, e, al termine della soluzione, a rendere conto della strategia usata, per poterla immagazzinare nella memoria. Città di Torino Da "Bambini" n°5/1989 significato Divisione Servizi per l'Infanzia Archivio "Bambini" significante Nella fase di verifica, la soluzione ottenuta deve essere reinterpretata in relazione alla situazione problematica: significante significato referente Questi sono solo alcuni esempi. Speriamo che siano sufficienti a rompere lo stereotipo. azione --rappresentazione interna -rappresentazione esterna a cui avevamo fatto cenno nell'introduzione. Conclusione Vogliamo concludere questo articolo con uno schema generale di impianto delle esperienze, che può essere applicato, senza rigidezza, a molti casi particolari. 1. Prima dell'esperienza. È opportuno preparare i bambini all'esperienza che si è progettata, discutendo ciò che si intende fare e raccogliendo le loro ipotesi su ciò che accadrà. In questo modo, oltre a creare una motivazione, si apre uno spazio rappresentativo, cioè una serie di rappresentazioni (mentali) che guideranno i comportamenti successivi. 2. Durante l'esperienza. È opportuno indirizzare l'attenzione dei bambini sulle ipotesi avanzate in precedenza, per verificarle o falsificarle. 3. Dopo l'esperienza. È opportuno ricostruire l'esperienza con diversi linguaggi: verbalmente (racconto), con rappresentazioni grafiche di vario tipo. L'occasione di dover descrivere l'esperienza a compagni che non erano presenti introduce una dimensione sociale esplicita in una attività essenzialmente individuale. La ricostruzione può essere condotta anche collettivamente (discussione o costruzione di grandi pannelli). 4. Dopo la ricostruzione. Ogni tanto, è opportuno riflettere sugli strumenti di ricostruzione utilizzati: che cosa possiamo esprimere con le parole? con i disegni? con i numeri?, attivando in questo modo la riflessione sul proprio operare cognitivo. Nel/o schema sono descritte, in modo indicativo, alcune operazioni di "traduzione" tra i diversi sistemi. In questo articolo, si è fatto riferimento senza citarle espressamente, a diverse ricerche didattiche pubblicate su riviste straniere. Per maggiori dettagli si veda l’articolo: Bartolini Bussi M . La discussione collettiva nell’apprendimento della matematica, in L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 12(1989) n°1 6
