MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA _VECCHIO ORDINAMENTO DI
SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMATIA
Ana Millán Gasca
a.a. 2011-2012
Diario delle lezioni 3
Tema III Geometria
Martedì 13 dicembre 2011
Introduzione al tema III: l’esperienza visiva, tattile e motoria dei corpi e delle forme nel
mondo attorno a noi e le figure geometriche come oggetti astratti. L’aritmetica e la
geometria come “matematiche”, discipline sorelle: esempi delle operazioni geometriche
di addizione di segmenti, angoli e aree e la decomposizione delle figure; le relazioni
geometriche (uguale, la metà, quattro volte un triangolo è un quadrato, la bisettrice
divide l’angolo in due angoli uguali). Il continuo come concetto primordiale tipico della
geometria: ciò che è divisibile all’infinito, ciò che si sussegue senza interruzioni. Idee
antiche e moderne nella geometria: la geometria greca (sintetica); la geometria analitica.
Giovedì 15 dicembre 2011 1. Il continuo: la retta geometrica e l’insieme dei numeri reali. Il
problema della incommensurabilità. 2. Le origini storiche della geometria: il racconto di
Erodoto. L’ipotesi sulle origini degli oggetti matematici (numero, punto, retta) come
oggettivizzazione delle procedure (Giusti). 3. La geometria e il rapporto della mente
umana con il mondo fisico: Einstein, Bergson, Poincaré. La geometria e la realtà, la
geometria come la nostra logica dei solidi.
Giovedì 8 marzo 2012 I Esperienze di tirocinio nel periodo di interruzione della didattica.
Discussione su esempi della moltiplicazione: gli schieramenti di fragole e il prodotto
cartesiano.
II Esercitazione. Problemi di geometria nella scuola primaria: 1) il quadrilatero; 2)
tracciare quadrilateri e confrontarli nella trama di punti 3 x 3.
Giovedì 15 marzo 2012 I Il rapporto fra geometria e aritmetica: 1) la misura (dall’arte della
misura alla geometria euclidea); 2) la posizione (dalla geometria euclidea alla geometria
cartesiana; il concetto di spazio; le coordinate cartesiane e il ritorno del numero nella
geometria).
II I termini (horoi): concetti primitivi. Il punto: segno, posizione (coordinate La retta
Retta, segmento, coordinate dei punti ed equazione della retta (l’algebra applicata alla
geometria)
Giovedì 22 marzo 2012 I. I tre “occultamenti” della geometria: dalla geometria pratica alla
geometria greca; dalla geometria greca (sintetica) alla geometria analitica; la visione
assiomatica moderna della geometria euclidea. Concetti geometrici e numeri: segmento e
lunghezza (distanza, profondità, larghezza); angolo e ampiezza; figura piana e area. L’idea
di forma-limite e la ricerca di precisione. II. Le definizioni di Euclide: angolo; cerchio e
suoi elementi; triangolo; quadrilatero. Angolo come inclinazione in Euclide e misura
dell’ampiezza; angolo come parte di piano compresa fra due semirette; rotazioni. Le
costruzioni fondamentali: angolo retto, cerchio. Introduzione al concetto di uguaglianza
geometrica. Esempio: la simmetria del triangolo equilatero e le costruzioni fondamentali.
I primi quattro assiomi di Euclide: cosa ci dicono sui concetti primitivi, sull’angolo e sul
cerchio.
Martedì 27 marzo 2012 Ripasso: geometria (euclidea) sintetica e geometria (euclidea)
analitica. Oltre la geometria euclidea (geometria proiettiva). Temi della geometria
euclidea: oggetti (elementi geometrici e figure); relazioni fra di loro; costruzioni con riga
e compasso. Esempio: angoli opposti al vertice. Esempio: i triangoli costruiti sulla stessa
base tra due parallele. Esempio: dividere in due triangoli equilateri uguali un rettangolo.
La struttura deduttiva della geometria.
Giovedì 29 marzo 2012 I. Le proprietà geometriche: segmenti e angoli, i criteri di
uguaglianza o congruenza di triangoli, la teoria delle parallele.
II. Le relazioni primitive (giace o sta su, sta fra, uguale o congruente) e gli assiomi di
Hilbert della geometria euclidea. Assiomi di connessione; assiomi di ordinamento;
assiomi di congruenza. Le idee moderne di semiretta e di semipiano. Appartenenza: una
riflessione sul linguaggio della teoria degli insiemi in geometria. Il postulato II di Euclide:
“prolungare continuamente …”
Martedì 3 aprile 2012 I. Dagli assiomi ai teoremi della geometria euclidea. Semiretta,
semipiano, angoli convessi e concavi. Teoremi sulla congruenza. Uguaglianza degli
angoli opposti al vertice.
II. La struttura degli enunciati dei teoremi geometrici.
Giovedì 12 aprile 2012 I I teoremi della geometria euclidea (continua): perpendicolarità e
parallelismo. La struttura della dimostrazione geometrica euclidea: aspetti linguistici.
Matematiche e formazione dell’uomo (paideia) nel pensiero di Platone. Alcune
indicazioni sulla geometria (intuitiva) nella scuola primaria.
II Il significato del V postulato di Euclide: unicità della parallela. Proprietà equivalenti al
V postulato.
