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Capitolo 1
Nozioni fondamentali relative al piano cartesiano
1.1 Il piano cartesiano
Nel ‘600 il filosofo e matematico francese Réné Descartes (1596 – 1650), il cui nome fu latinizzato
in Cartesium e noi oggi conosciamo anche come Cartesio, introdusse un’idea che avrebbe
rivoluzionato il mondo della geometria. L’idea di Descartes è tanto semplice quanto geniale. Al suo
tempo matematici, fisici e filosofi condividevano le nozioni di piano e retta introdotte nel 300 a.C.
dal matematico greco Euclide. Al di là della scarsa chiarezza di Euclide nel suggerire le suddette
nozioni fondamentali che sappiamo essere gli enti primitivi della sua teoria, tutti avevano capito che
il piano è come un lenzuolo infinito privo di spessore e che la retta è un sorta di bacchetta senza
estremi priva di estensione e di spessore. Nel piano della geometria euclidea i punti, però, sono
indistinguibili. In altri termini: muoversi nel piano di Euclide è come viaggiare in un deserto
infinito, senza punti di riferimento. Al fine poter distinguere un punto dall’altro Descartes introduce
nel piano di Euclide due rette perpendicolari e una unità di misura. A questo punto riesce a creare
una corrispondenza biunivoca (corrispondenza 1 a 1) tra i punti di ciascuna retta e l’insieme dei
numeri reali. A tal fine associa al punto in cui s’intersecano le rette (detto origine e indicato con la
lettera O) il numero 0, poi ponendo l’estremo sinistro dell’unità di misura su O individua il punto a
cui associare il numero 1 (che è quello in corrispondenza del quale cade l’estremo destro dell’unità
di misura) su ciascuna retta che, per convenzione, si trova su entrambe a destra dell’origine.
Successivamente ponendo l’estremo sinistro dell’unità di misura sul punto a cui è stato associato il
numero 1 su entrambe le rette si individua il cui punto a cui si associa il numero 2 e così di seguito.
Si tratta, naturalmente, di un procedimento che è inattuabile nella realtà in quanto la sua
realizzazione richiederebbe l’uso degli infiniti sottomultipli dell’unità di misura, ma quel che ci
interessa è l’idea che ci suggerisce il processo che abbiamo innescato. Si precisa che, data la
costruzione indicata, le rette introdotte nel piano prendere il nome di assi, in quanto sono orientate.
In altri termini: il procedimento attuato fa sì che se ad un punto associo un numero, i numeri
successivi (quelli maggiori) si troveranno alla sua destra. Per indicare ciò, su ciascuna retta, si pone
una freccia a destra dell’origine. Preciso che nel corso della costruzione ci siamo posti sempre con
gli occhi rivolti verso le rette e verso l’unità di misura. La costruzione introdotta, però, ci permette
di ottenere un ulteriore risultato: quello di poter associare ad ogni punto del piano una coppia di
numeri. Quali? Quelli che si individuano proiettando il punto su ciascuna retta. In altro modo si
potrebbe dire che a ciascun punto associamo i valori che si ottengono calcolando la distanza dello
stesso da ciascuna retta. Anche se non abbiamo introdotto ufficialmente il concetto di distanza tutti
ne abbiamo un’idea intuitiva. La distanza di un punto da una retta è il segmento perpendicolare alla
retta data che lo congiunge ad essa. Abbiamo finalmente introdotto una corrispondenza biunivoca
tra i punti del piano e le infinite coppie di numeri reali (gli elementi dell’insieme R  R = R2 ). In
definitiva: dopo aver introdotto le due rette perpendicolari e l’unità di misura i punti non sono più
indistinguibili, ma ognuno di loro ha un “nome e un cognome”. In altri termini: ad ogni punto è
associata una coppia di numeri detti coordinate. Occorre precisare che nella pratica per
rappresentare il piano con la costruzione indicata (detta piano cartesiano, dal nome del suo
inventore) si utilizzano fogli, lavagne o oggetti di forma rettangolare per cui le rette perpendicolari
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
che si introducono sono parallele ai lati del rettangolo che dà forma all’oggetto. La retta orizzontale
prende il nome di asse delle ascisse (asse x) e la retta verticale di asse delle ordinate (asse y). Faccio
notare, inoltre, che la scelta delle rette e dell’unità di misura sono del tutto arbitrarie, ma incidono
sul valore delle coordinate. Il complesso costituito dalle rette e dall’unità di misura prende il nome
di sistema di riferimento cartesiano. l variare delle rette e dell’unità di misura scelte varia il valore
delle coordinate. Ad ogni punto è quindi associata un’ascissa (il numero che si legge sull’asse x
dopo averlo proiettato o la distanza del punto dall’asse y) e un’ordinata (il numero che si legge
sull’asse y dopo averlo proiettato o la distanza del punto dall’asse x). Nell’indicare la coppia di
numeri associata al punto si scrive prima l’ascissa e poi l’ordinata.
L’intuizione di Descartes getta un ponte fra l’algebra e la geometria permettendo così di trasformare
la risoluzione di problemi geometrici in problemi algebrici. Si pensi a tal proposito al calcolo della
distanza tra due punti di cui siano note le coordinate, alla determinazione delle coordinate del punto
medio di due punti di cui si conoscono le coordinate, alla possibilità di scrivere l’equazione di un
luogo geometrico come la retta, la parabola, l’ellisse e l’iperbole, nonché la risoluzione del
problema relativo alla ricerca dei punti di intersezione fra luoghi geometrici.
L’idea di Descartes ha avuto talmente successo che una sua evoluzione ci ha permesso di associare
ad ogni punto del piano in cui è possibile sviluppare il pianeta Terra una coppia di numeri detti
rispettivamente latitudine e longitudine, le cosiddette coordinate geografiche. Si tratta di distanze
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
angolari. Una è la distanza angolare dall’equatore e l’altra dal meridiano di Greenwich che
costituiscono il sistema di riferimento a partire dal quale si ottengono le coordinate geografiche.
La loro introduzione ha il pregio di permettere a chiunque di individuare una posizione sul globo
terrestre senza essere sul posto. Tutto ciò a vantaggio di chi, disponendo degli strumenti adeguati a
reperire le coordinate geografiche, lancia un S.O.S. per chiedere soccorso anche se si trova in mare
aperto .
Per completare la breve introduzione al concetto di piano cartesiano vi richiamo il gioco della
battaglia navale che si basa sullo stesso principio introdotto da Descartes. I due giocatori possono
agire sul foglio dell’avversario pur non avendolo sotto gli occhi. E tutto ciò grazie al fatto che si
sono introdotte le coordinate associabili ad ogni quadretto.
1.2 Simmetrie
Dopo aver introdotto le coordinate cartesiane di un punto è possibile introdurre il concetto di
simmetria. Due punti sono simmetrici rispetto all’asse x se hanno la stessa ascissa e ordinate uguali
in valore assoluto, ma di segno opposto.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Due punti sono simmetrici rispetto all’asse y se hanno la stessa ordinata e ascisse uguali in valore
assoluto, ma di segno opposto.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Infine due punti sono simmetrici rispetto all’origine se hanno ascisse e ordinate uguali in valore
assoluto, ma di segno opposto.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
1.3 Distanza tra due punti di cui sono note le coordinate
Si consideri la figura sottostante.
In essa sono presenti due punti A(xA;yA) e B(xB;yB). La distanza tra i due punti è, dal punto di vista
geometrico, il segmento di retta che li congiunge. Come è facile notare i due punti insieme alle rette
che li proiettano sugli assi e alla loro intersezione formano un triangolo rettangolo di cui la distanza
è l’ipotenusa. Di questo triangolo rettangolo conosciamo le misure dei cateti y B  y A e
xB  x A .
Di conseguenza la misura della distanza tra i due punti che coincide con l’ipotenusa si ottiene
semplicemente applicando il teorema di Pitagora. In simboli:
BA 
xB  xA 2   yB  y A 2
In definitiva: se si conoscono le coordinate di due punti per determinare la loro distanza non è
necessario rappresentarli e fare uso di strumenti di misura, ma basta estrarre la radice quadrata della
somma dei quadrati della differenza delle ordinate e quella delle ascisse dei due punti. Faccio notare
che questo strumento teorico fornisce una misura perfetta a differenza di quella fornita dallo
strumento fisico più preciso.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Osservazione 1.3.1
Consideriamo i seguenti due casi limite:

Se A e B hanno la stessa ascissa, allora BA 

Se A e B hanno la stessa ordinata, allora BA 
 yB  y A 2
xB  x A 2
 yB  y A
 xB  x A .
Esempio 1.3.1
Calcolare la distanza tra i punti A(2;7) e B(5;11). Per ottenere il risultato voluto basta sostituire le
coordinate dei punti nella formula BA 
BA 
5  22  11  72
xB  xA 2   yB  y A 2 . Si ottiene:
 32  42  9  16  25  5 .
1.4. Coordinate del punto medio tra due punti di cui sono note le coordinate
Il punto medio tra due punti A(xA;yA) e B(xB;yB) è, da un punto di vista geometrico, il punto M che
si trova al centro del segmento che ha come estremi i due punti. In altri termini: la distanza di M da
A coincide con la distanza di M da B. Intendiamo determinare le coordinate di M data la
conoscenza di quelle di A e B. A tal fine consideriamo la figura in basso:
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Il teorema di Talete ci assicura che la distanza della proiezione di M sull’asse x (e quindi l’ascissa di
M) dalla proiezione di A coincide con la sua distanza dalla proiezione di B e che la distanza della
proiezione di M sull’asse y (e quindi l’ordinata di M) dalla proiezione di A coincide con la sua
distanza dalla proiezione di B. Questa affermazione ci permette di scrivere le seguenti uguaglianze:
xM  xA  xB  xM
yM  y A  y B  yM
dalle quali, facendo uso dell’algebra, si ottiene
xM  xM  xB  xA
2xM  xB  xA
xM 
xB  x A
2
yM  yM  y B  y A
2 yM  y B  y A
yM 
yB  y A
2
che sono proprio le coordinate di M in funzione delle coordinate di A e B.
Esempio 1.4.1
Determinare il punto medio del segmento di estremi A(1;7) e B(5;15). Per ottenere il risultato
x  xA
y  yA
voluto basta sostituire le coordinate dei punti nelle formule xM  B
e yM  B
. Si
2
2
1 5 6
7  15 22
  3 e yM 

 11 .
ottiene: xM 
2
2
2
2
Osservazione 1.4.1
Il teorema di Talete dice che se due o più rette parallele tagliano da due rette trasversali in segmenti
a due a due proporzionali.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Servendosi della figura si può affermare che
AB
CD

.
A' B ' C ' D '
Vediamo di applicare il suddetto teorema al caso trattato
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Vediamo di applicare il suddetto teorema al caso trattato. Nella fattispecie
AM
MB
AM
MB


e
A' M ' M ' B'
A' ' M ' ' M ' ' B' '
Ora AM è la distanza di M da A , A' M '  xM  x A , MB è la distanza di M da B e M ' B'  xB  xM
per la prima relazione diventa:
AM
MB

xM  x A x B  xM
da cui segue che
xB  xM MB

1
xM  x A AM
e quindi
xM  xA  xB  xM .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Analogamente AM è la distanza di M da A , A' ' M ' '  y M  y A , MB è la distanza di M da B e
M ' ' B' '  y B  y M per la prima relazione diventa:
AM
MB

yM  y A yB  yM
da cui segue che
y B  y M MB

1
y M  y A AM
e quindi
yM  y A  y B  yM .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)