Forme bilineari, prodotti scalari, ortogonalità

Forme bilineari e prodotti scalari
Definizione
Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione
(
V × V −→
K
b :
,
~ ) 7−→ b(~v , w
~)
(~v , w
~ ∈ V e per ogni k ∈ K:
si dice forma bilineare su V se per ogni u~, ~v , w
~ ) = b(~
~ ) + b(~v , w
~ );
b(~
u + ~v , w
u, w
~ ) = b(~
~ );
b(~
u , ~v + w
u , ~v ) + b(~
u, w
b(k u~, ~v ) = kb(~
u , ~v ) = b(~
u , k~v ).
Definizione
~ ∈V
...simmetrica o prodotto scalare se per ogni ~v , w
~ ) = b(~
b(~v , w
w , ~v ).
Forme bilineari
Teorema di rappresentazione
Sia b una forma bilineare. Nelle ipotesi precedenti, sia B una base per
~ rispett., rispetto a
V = Vn (K) e ~x , ~y i vettori delle coordinate di ~v e w
B. Allora
~ ) = ~x T A~y ,
b(~v , w
dove A è la matrice di b rispetto a B.
Viceversa ogni matrice A individua una forma bilineare f , ponendo
~ ) = ~x T A~y .
f (~v , w
~ ) = ~x T A~y = polinomio omogeneo di II grado
b(~v , w
Teorema
Una forma bilineare è simmetrica se e solo se lo è la matrice che la
rappresenta.
Definizione
Uno spazio vettoriale su cui è assegnata una forma bilineare simmetrica si
dice spazio metrico.
Forme quadratiche
Definizione
Sia b : V × V −→ K un prodotto scalare. L’applicazione
(
V −→
K
q :
.
~v 7−→ q(~v ) = b(~v , ~v )
è la forma quadratica associata al prodotto scalare b.
q(~v ) = b(~v , ~v ) = ~x T A~x = polinomio omogeneo di II grado nelle x1 , . . . , xn .
Forme bilineari
Definizioni e caratterizzazioni
Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo.
Dato un sottoinsieme A di V , il suo complemento ortogonale è costituito da tutti e soli i vettori di V che sono ortogonali a tutti i vettori di A.
Un prodotto scalare è regolare o non degenere se e solo se V ⊥ = {~0}
(radicale di V ). È degenere altrimenti. Equivalentemente è regolare se e
solo se la matrice che lo rappresenta è non singolare.
Definizioni
Un vettore (che non sia ~0) si dice isotropo se è ortogonale a se stesso.
Anisotropo altrimenti.
Se V contiene un vettore isotropo, si dice che V è uno spazio metrico isotropo. Se non contiene alcun vettore isotropo spazio metrico
anisotropo.
Esercizio 1.
In R3 , data la funzione
3
R × R3 −→ R
f :
,
~ ) 7−→ xx 0 + 2xy 0 + 2x 0 y + 3yy 0 + zz 0
(~v , w
dove v~1 = (x, y , z), v~2 = (x 0 , y 0 , z 0 );
a) dire se f è una forma bilineare;
b) dire se f è un prodotto scalare;
c) scrivere la matrice di f rispetto alla base canonica di R3 ;
~ = (0, −1, −2) sono ortogonali;
d) dire se i vettori ~v = (1, −2, 4) e w
e) determinare ~v ⊥ ;
f) scrivere la forma quadratica associata e stabilire se f è degenere;
g) determinare l’insieme I dei vettori isotropi di R3 .
Esercizio 2.
Tema esame del 15 luglio 2009
Nello spazio vettoriale R3 si consideri la forma bilineare bk , definita
rispetto alla base canonica dalla matrice


5 2
3
Ak = 2 k k(k − 2) ,
3 3
0
dove k è un parametro reale.
a) Determinare i valori di k per cui bk è un prodotto scalare;
b) per ciascuno dei valori determinati al punto precedente, determinare
la dimensione per il radicale di bk e, se esiste, una sua base;
~ = (1, −1, −1) determinare il
c) posto: k = −1, ~v = (1, 0, −1), w
~ >, rispetto a b−1 .
complemento ortogonale di < ~v > e di < w
Esercizio 3.
Date le forme quadratiche
a) su R3 , q(x, y , z) = x 2 − 3xy + 4y 2 ,
b) su R4 , q(x, y , z, t) = xy ,
c) su R4 , q(x, y , z, t) = 2xy − zt,
d) su R3 , q(x, y , z) = x 2 − 5xy + z 2 ,
determinare il prodotto scalare a cui sono associate e la matrice rispetto
alla base canonica.
Proposizione
Se b : V × V −→ K è un prodotto scalare su V , la forma quadratica
(
V −→
K
q :
~v 7−→ q(~v ) = b(~v , ~v )
gode delle seguenti proprietà:
a) per ogni λ ∈ K, per ogni ~v ∈ V : q(λ~v ) = λ2 q(~v );
b) se la caratteristica del campo è diversa da 2,
~ ) = q(~v + w
~ ) − q(~v ) − q(~
2b(~v , w
w ).
Decomposizioni
Proprietà
Sia Vn (R) uno spazio metrico e sia U un suo sottospazio. Allora:
dim U + dim U ⊥ ≥ dim V ;
se il prodotto scalare è regolare, dim U + dim U ⊥ = dim V ;
se il prodotto scalare è regolare e U è regolare (cioè U ∩ U ⊥ = {~0}),
allora
⊥
U ⊕ U ⊥ = V , da cui U ⊥ = U;
se ~v ∈ V è anisotropo, < ~v > è regolare.
Esercizio 4.
Sia f : Mat2 (R) × Mat2 (R) −→ R tale che
0
x y
x
x y0
0
0
f
=
xx
+yy
∀
, 0
z t
z t0
z
y
t
0
x
, 0
z
y0
t0
∈ Mat2 (R).
a) Verificare che f è un prodotto scalare e scriverne la matrice rispetto
alla base
0 1
0 1
1 1
−1 −1
B = E1 =
, E2 =
, E3 =
, E4 =
.
1 0
2 0
0 0
0
1
b) Scrivere una base per il radicale V ⊥ .
c) Posto A =< E1 , E2 >, determinare A⊥ , A⊥
< A > + A⊥ .
⊥
, < A > ∩ A⊥ ,
Il complemento ortogonale di V non è banale, per cui f è degenere. Si ha
che: dim A + dim A⊥ > dim V , quindi la somma A + A⊥ non è diretta e
⊥
A⊥ 6= A.
Esercizio 5.
Siano V = R4 e f : R4 × R4 −→ R il prodotto scalare definito da:
f ((x, y , z, t), (x 0 , y 0 , z 0 , t 0 )) =
1 0 1 0
1
1
xt + x t + yz 0 + y 0 z,
2
2
2
2
∀(x, y , z, t), (x 0 , y 0 , z 0 , t 0 ) ∈ R4 . Siano inoltre:
U =< (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) >, W =< (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) >
e Z =< (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1) >.
a) Stabilire se f è regolare o degenere.
⊥
b) Stabilire se U è regolare; determinare U ⊥ e U ⊥ . Fare lo stesso
per W e per Z .
f è regolare. I sottospazi U e W non sono regolari, per cui, nonostante
dim U + dim U ⊥ = dim V
e
dim W + dim W ⊥ = dim V ,
ciascuno sottospazio non è in somma diretta con il proprio complemento
ortogonale.
Z , invece, è un sottospazio regolare per cui oltre al fatto che
dim Z + dim Z ⊥ = dim Z , si ha anche Z ⊕ Z ⊥ = V .
Esercizio 6.
Dire se i prodotti scalari
a) f : R3 × R3 −→ R tale che
f ((x, y , z), (x 0 , y 0 , z 0 )) = 2xx 0 + xy 0 + x 0 y + yy 0 + zz 0
b) f : Mat2 (R) × Mat2 (R) −→ R tale che
0
x y
x y0
= xx 0 + yy 0
f
, 0
z t0
z t
sono definiti positivi.
Definizione
definito positivo o euclideo se ∀~v ∈ V ∗ : q(~v ) > 0;
definito negativo se ∀~v ∈ V ∗ : q(~v ) < 0;
semidefinito positivo se ∀~v ∈ V ∗ : q(~v ) ≥ 0;
semidefinito negativo se ∀~v ∈ V ∗ : q(~v ) ≤ 0;
indefinito altrimenti, cioè se ∃~v1 , ~v2 ∈ V : q(~v1 ) < 0 < q(~v2 ).
...oppure determinare gli autovalori!
Esercizio 7.

2 1
In R3 sia M = 1 1
1 1
base canonica. Posto

1
1 la matrice del prodotto scalare f rispetto alla
2
A = {(0, k, 0), (k, 2k, 1), (2k, k, 0)},
determinare una base e la dimensione di A⊥ , al variare del parametro
reale k.
Se Vn (R) è uno spazio euclideo (con prodotto scalare euclideo), allora
ogni vettore è anisotropo;
per ogni sottoinsieme A di Vn (R) si ha
< A > ⊕ A⊥ = Vn (R).
Esercizio 8.
Nello spazio vettoriale R4 sia
f ((x, y , z, t), (x 0 , y 0 , z 0 , t 0 )) = xx 0 − tt 0
un prodotto scalare. Posto
A = {(k, 0, 1, k), (k, 0, k, k)},
determinare una base e la dimensione di A⊥ .
Attenzione: il prodotto scalare f non è euclideo, quindi non è più vero
che < A > ⊕ A⊥ = Vn (R) = R3 .
Esercizio 9.
Dato il prodotto scalare euclideo su R3
q(x, y , z) = x 2 + (x + y + z)2 + z 2 ,
determinare la norma dei seguenti vettori:
v~1 = (1, 2, 3),
v~2 = (0, 1, −1),
v~3 = (1, 0, 0).
Definizione
Sia ~v ∈ V (R) e sia “·” un prodotto scalare euclideo. Si definisce norma
del vettore ~v lo scalare
√
||~v || = ~v · ~v .
Esercizio 10.
Nello spazio vettoriale R3 si costruisca una base ortogonale rispetto al
prodotto scalare
f ((x, y , z), (x 0 , y 0 , z 0 )) = xx 0 + yy 0 + zz 0 + xy 0 + x 0 y + yz 0 + y 0 z.
Definizione
Una base B = (e~1 , . . . , e~n ) dello spazio vettoriale metrico (Vn (K), ·) si dice
ortogonale o diagonalizzante rispetto al prodotto scalare ”‘”‘·”’”’ se per
ogni i, j = 1, . . . , n con i 6= j, vale: e~i · e~j = 0.
Gram-Schmidt (se prodotto scalare euclideo):
e~10 = e~1 ,
e~n0 = e~n −
e~2 · e~10 ~0
e~20 = e~2 −
e1
q(e~10 )
0~
~0
e~n · en−1
0~ − · · · − e~n · e1 e~0 .
en−1
1
0~ )
q(en−1
q(e~10 )
Esercizio 11.
Tema esame del 1◦ aprile 2004
Nello spazio vettoriale R3 è data la funzione ϕ tale che, per ogni coppia
di vettori ~v = (x, y , z), v~0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ R3 , si ha ∀h, k ∈ R,
ϕ(~v , v~0 ) = hxx 0 +hxz 0 +kyy 0 +(h2 −h+1)yz 0 +h2 zx 0 +(k −2)x 0 +zy 0 +2zz 0 .
Determinare per quali valori di h e k:
a) ϕ è una forma bilineare;
b) ϕ è un prodotto scalare;
c) ϕ è un prodotto scalare definito positivo.
Nei casi in cui ϕ è un prodotto scalare:
d) verificare se la base canonica di R3 è ortogonale; in caso di risposta
negativa, ortogonalizzarla;
e) costruire il sottoinsieme U dei vettori di R3 isotropi rispetto a ϕ;
verificare se U è sottospazio vettoriale di R3 ;
f) stabilire se esistono valori dei parametri per i quali R3 ammette una
base ortonormale; in caso di risposta positiva, determinare una tale
base.
Esercizio 12.
Tema esame del 17 marzo 2005
Nello spazio vettoriale R3 sia ϕ : R3 × R3 −→ R la funzione tale che
∀~v = (x, y , z), v~0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ R3 si ha ∀h, k, ∈ R,
ϕ(~v , v~0 ) = (h + k)xx 0 + h2 xy 0 + hyx 0 + hyy 0 + hxz 0 + (k − 1)x+
+h3 zx 0 + (h + k)zz 0 + (h − k)yz 0 + (h − k)zy 0 .
Stabilire per quali valori di h e k la funzione:
a) ϕ è una forma bilineare;
b) ϕ è un prodotto scalare;
c) ϕ è un prodotto scalare definito positivo.
Nei casi in cui ϕ è un prodotto scalare:
d) verificare se la base canonica di R3 è ortogonale; in caso di risposta
negativa, ortogonalizzarla;
e) costruire, se possibile, una base ortonormale che contenga il vettore
(0, 1, 0).