Argomenti trattati nella settimana 7-11 novembre 2011. Il libro cui faccio riferimento, se non specificato altrimenti, è Lang, Algebra lineare SPAZI VETTORIALI (Continua) (pag. 52-54) 1. Teorema di Grassmann; 2. prodotto di spazi vettoriali; 3. spazio quoziente (pag.348-349) COMPLEMENTI Quello che segue è lo spazio quoziente come è stato trattato a lezione. 1 Spazio quoziente Introduciamo ora la struttura quoziente. Sia W ≤ V . In V definiamo una relazione d’equivalenza ponendo x∼y se e solo se x − y ∈ W. Poiché W è un sottospazio di V , la precedente è realmente una relazione d’equivalenza in V , ovvero gode delle proprietà riflessiva, transitiva e simmetrica (si dimostra facilmente ricordando che W è un sottospazio vettoriale.) Inoltre ∼ è compatibile con le operazioni di somma e prodotto per uno scalare definite su V . Ricordiamo che dire che ∼ è compatibile con la somma in V vuol dire: se x ∼ x0 , y ∼ y0 allora x + y ∼ x0 + y 0 dire che ∼ è compatibile con il prodotto per uno scalare vuol dire: ∀ λ∈K se x ∼ x0 allora λx ∼ λx0 Lemma 1. La relazione ∼ è compatibile con le operazioni di somma e prodotto per uno scalare definite su V . Dimostrazione 1 1. Proviamo che è compatibile rispetto alla somma; si supponga quindi: x ∼ x0 , y ∼ y 0 ; per definizione, vuol dire x − x0 ∈ W e y − y 0 ∈ W ; poichè W è sottospazio vettoriale, W è chiuso rispetto alla somma e quindi x − x0 + y − y 0 = x + y − (x0 + y 0 ) ∈ W , cioè x + y ∼ x0 + y 0 2. Proviamo ora che è compatibile rispetto al prodotto per uno scalare; si prenda quindi λ ∈ K e si supponga x ∼ x0 ; per definizione si ha x − x0 ∈ W e, poiché W è un sottospazio vettoriale (quindi è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare), si ha λ(x − x0 ) = λx − λx0 ∈ W , cioè λx ∼ λx0 . 2 Se a ∈ V , denotata con [a]W la classe di equivalenza di a, risulta [a]W = W + a = {w + a : w ∈ W }. L’insieme quoziente, i cui elementi sono le classi di equivalenza, viene denotato con V /W ; si ha pertanto: V /W = {[a]W , a ∈ V }. In V /W definiamo somma e prodotto scalare ponendo per ogni coppia di laterali W + v1 , W + v2 ∈ V /W, ∀ λ ∈ K (W + v1 ) + (W + v2 ) = W + (v1 + v2 ) λ(W + v1 ) = W + λv1 . Poiché la relazione d’equivalenza ∼ è compatibile con le operazioni in V (Lemma 1), abbiamo che somma e prodotto scalare precedentemente definiti sono ben definiti, cioè non dipendono dai rappresentanti utilizzati per le classi d’equivalenza. È immediato verificare, per come sono definite le operazioni, che gli assiomi di spazio vettoriale su K sono soddisfatti. Abbiamo allora il seguente teorema. Teorema 1. Sia W ≤ V , dim V < +∞. Allora dim V /W < +∞ e inoltre dim V /W = dim V − dim W . Dimostrazione Sia S = {e1 , . . . , em } una base di W . Completiamola a una base T = {e1 , . . . , em , fm+1 , . . . , fn } di V . Allora U = {W +fm+1 , . . . , W +fn } è una base di V /W . Che il sistema U generi V /W è ovvio. Proviamo che è linearmente indipendente. Supponiamo che λm+1 (W + fm+1 ) + · · · + λn (W + fn ) = 0V /W 2 cioè, essendo 0V /W la classe W, z = λm+1 fm+1 + · · · + λn fn ∈ W. Se fosse z 6= 0, z = m P µj ej con un qualche µj 6= 0K e T non sarebbe linear- j=1 mente indipendente. Dunque z = 0 e poiché T è linearmente indipendente, ciò implica λm+1 = · · · = λn = 0K . 2 Gli elementi W + a dello spazio quoziente V /W vengono anche detti spazi o varietà affini di giacitura W . 3