1 Spazio quoziente

Argomenti trattati nella settimana 7-11 novembre 2011. Il libro cui faccio
riferimento, se non specificato altrimenti, è Lang, Algebra lineare
SPAZI VETTORIALI (Continua) (pag. 52-54)
1. Teorema di Grassmann;
2. prodotto di spazi vettoriali;
3. spazio quoziente (pag.348-349)
COMPLEMENTI
Quello che segue è lo spazio quoziente come è stato trattato a lezione.
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Spazio quoziente
Introduciamo ora la struttura quoziente. Sia W ≤ V . In V definiamo una
relazione d’equivalenza ponendo
x∼y
se e solo se
x − y ∈ W.
Poiché W è un sottospazio di V , la precedente è realmente una relazione
d’equivalenza in V , ovvero gode delle proprietà riflessiva, transitiva e simmetrica (si dimostra facilmente ricordando che W è un sottospazio
vettoriale.)
Inoltre ∼ è compatibile con le operazioni di somma e prodotto per uno
scalare definite su V . Ricordiamo che dire che ∼ è compatibile con la
somma in V vuol dire:
se x ∼ x0 ,
y ∼ y0
allora x + y ∼ x0 + y 0
dire che ∼ è compatibile con il prodotto per uno scalare vuol dire:
∀ λ∈K
se x ∼ x0
allora λx ∼ λx0
Lemma 1. La relazione ∼ è compatibile con le operazioni di somma e
prodotto per uno scalare definite su V .
Dimostrazione
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1. Proviamo che è compatibile rispetto alla somma; si supponga quindi:
x ∼ x0 , y ∼ y 0 ;
per definizione, vuol dire x − x0 ∈ W e y − y 0 ∈ W ; poichè W è
sottospazio vettoriale, W è chiuso rispetto alla somma e quindi
x − x0 + y − y 0 = x + y − (x0 + y 0 ) ∈ W , cioè x + y ∼ x0 + y 0
2. Proviamo ora che è compatibile rispetto al prodotto per uno scalare; si
prenda quindi λ ∈ K e si supponga x ∼ x0 ;
per definizione si ha x − x0 ∈ W e, poiché W è un sottospazio vettoriale
(quindi è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare), si ha
λ(x − x0 ) = λx − λx0 ∈ W , cioè λx ∼ λx0 .
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Se a ∈ V , denotata con [a]W la classe di equivalenza di a, risulta
[a]W = W + a = {w + a : w ∈ W }.
L’insieme quoziente, i cui elementi sono le classi di equivalenza, viene denotato con V /W ; si ha pertanto:
V /W = {[a]W , a ∈ V }.
In V /W definiamo somma e prodotto scalare ponendo per ogni coppia di
laterali W + v1 , W + v2 ∈ V /W, ∀ λ ∈ K
(W + v1 ) + (W + v2 ) = W + (v1 + v2 )
λ(W + v1 ) = W + λv1 .
Poiché la relazione d’equivalenza ∼ è compatibile con le operazioni in V
(Lemma 1), abbiamo che somma e prodotto scalare precedentemente definiti
sono ben definiti, cioè non dipendono dai rappresentanti utilizzati per le classi
d’equivalenza.
È immediato verificare, per come sono definite le operazioni, che gli assiomi di
spazio vettoriale su K sono soddisfatti. Abbiamo allora il seguente teorema.
Teorema 1. Sia W ≤ V , dim V < +∞. Allora dim V /W < +∞ e inoltre
dim V /W = dim V − dim W .
Dimostrazione Sia S = {e1 , . . . , em } una base di W . Completiamola a una
base T = {e1 , . . . , em , fm+1 , . . . , fn } di V . Allora U = {W +fm+1 , . . . , W +fn }
è una base di V /W . Che il sistema U generi V /W è ovvio. Proviamo che è
linearmente indipendente. Supponiamo che
λm+1 (W + fm+1 ) + · · · + λn (W + fn ) = 0V /W
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cioè, essendo 0V /W la classe W,
z = λm+1 fm+1 + · · · + λn fn ∈ W.
Se fosse z 6= 0, z =
m
P
µj ej con un qualche µj 6= 0K e T non sarebbe linear-
j=1
mente indipendente. Dunque z = 0 e poiché T è linearmente indipendente,
ciò implica λm+1 = · · · = λn = 0K .
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Gli elementi W + a dello spazio quoziente V /W vengono anche detti spazi
o varietà affini di giacitura W .
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