15/01 - Eurekamat

CINEMATICA SUL PIANO
1. Considera un punto che si sposta sul piano. Definisci le seguenti grandezze, e fornisci un esempio in cui disegni
graficamente: (a) velocità media e istantanea; (b) accelerazione media e istantanea.
2. Come mai nel moto circolare uniforme l’accelerazione (centripeta) è diversa da zero, pur essendo costante l’intensità
della velocità tangenziale?
3. Un bambino si trova su una giostra in rotazione, e si muove da un punto più vicino ad un punto più lontano rispetto
al centro della giostra. Determina quali tra queste grandezze hanno lo stesso valore e quali cambiano man mano che
il bambino si sposta: velocità tangenziale, velocità angolare, accelerazione centripeta, accelerazione angolare, periodo,
frequenza, forza centripeta.
4. Dimostra che la velocità con cui si sposta il centro di una ruota di una bici rispetto al suolo, se il moto è di puro
rotolamento, ha la stessa intensità del vettore velocità tangenziale di un punto sulla ruota della bicicletta.
5. Un punto materiale si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio 1 m, compiendo un giro
completo in 1 s. Calcola la sua velocità angolare (istantanea), la velocità tangenziale (istantanea), e la velocità
angolare media e la velocità tangenziale media rispetto all’intervallo di tempo in cui il punto compie un giro completo.
6. Spiega perchè la forza centrifuga è una forza apparente.
7. Vero o Falso? Correggi le affermazioni sbagliate.
(a) Il vettore spostamento misura lo spazio percorso da un corpo.
(b) In un moto curvilineo, la velocità media ha sempre direzione tangente alla traiettoria del corpo.
(c) In un moto curvilineo, la velocità istantanea ha sempre direzione tangente alla traiettoria del corpo.
(d) In qualsiasi moto curvilineo l’accelerazione è diversa da zero.
(e) In un moto circolare, l’accelerazione può essere tangente alla traiettoria.
(f) In un moto curvilineo uniforme, la velocità tangenziale è costante.
(g) In un moto curvilineo uniforme, l’accelerazione è nulla.
(h) In un moto curvilineo uniforme, l’accelerazione è costante.
(i) In un moto curvilineo uniforme, l’accelerazione tangenziale è nulla.
(j) In un moto circolare uniforme, a parità di velocità il periodo è proporzionale al raggio.
(k) In un moto circolare uniforme, a parità di periodo la velocità è proporzionale al raggio.
(l) In un moto circolare uniforme, a parità di raggio l’accelerazione è proporzionale alla velocità.
(m) Se un corpo si muove di moto circolare uniforme, è soggetto in ogni istante alla forza centrifuga.
(n) Se un corpo si muove di moto circolare uniforme, la risultante delle forze che agiscono su di esso è sempre diretta
verso il centro della circonferenza.
(o) Se un corpo si muove di moto circolare uniforme, la risultante delle forze che agiscono su di esso ha intensità
costante.
(p) Nel moto circolare uniformemente accelerato, l’accelerazione è radiale.
(q) Nel moto circolare uniformemente accelerato, l’accelerazione ha intensità costante.
(r) Nel moto circolare uniformemente accelerato, l’accelerazione tangenziale ha intensità costante.
(s) Nel moto circolare uniformemente accelerato, l’accelerazione angolare ha intensità costante.
(t) Nel moto circolare uniformemente accelerato, l’accelerazione centripeta ha intensità costante.
(u) L’accelerazione angolare si misura in rad2 /s.
8. Un punto materiale si trova in A(2,3) all’istante t1 = 0 s e in B(5,2) all’istante t2 = 4 s. Supponendo che ~vA = (0, 2)
e che ~vB = (1, −1), calcola la velocità media e l’accelerazione media nell’intervallo di tempo considerato.
Moto circolare uniforme
9. Una giostra di raggio 5 m ruota di moto circolare uniforme e compie un giro in 8 s. Calcola il periodo e la frequenza
del moto, e la velocità tangenziale e l’accelerazione centripeta di due punti che si trovano rispettivamente a 3 m e 5
m dal centro.
[8 s, 0,125 s−1 , 2,4 m/s, 1,85 m/s2 , 3,9 m/s, 3,1 m/s2 ]
10. Qual è la velocità angolare delle lancette di un orologio? [0,1 rad/s, 2 · 10−3 rad/s, 1, 45 · 10−4 rad/s]
11. Quanti giri di una pista lunga 400 m dovrà effettuare un atleta che percorre i 5000 m? Se il tempo che impiega è 14
minuti, quale velocità angolare e quale velocità tangenziale media ha tenuto durante la corsa? [12,5 giri, 9, 35 · 10−2
rad/s, 21 km/h]
12. Calcola lo spazio percorso da un ciclista in 1 ora su una pista circolare, sapendo che la sua velocità angolare è di 0,1
rad/s e che la pista è lunga 600 m.
[34,4 km]
13. Un punto materiale si muove lungo una circonferenza di raggio 20 cm con frequenza 5 Hz. Calcola la velocità
tangenziale e il numero di giri compiuti in 20 s.
[6,28 m/s; 100]
14. L’elica di un aeroplano lunga 2 m compie 1000 giri al secondo, ruotando attorno al suo asse. Calcola la velocità
tangenziale della punta.
[6280 m/s]
15. Un ciclista si muove di moto rettilineo uniforme alla velocità di 18 km/h. Le ruote della bici hanno un diametro di 55
cm. Calcola quanti giri percorrono in un secondo e la velocità tangenziale di un punto posto sullo pneumatico. [2,9;
5 m/s]
16. Un’automobile affronta una curva di raggio 80 m alla velocità di 72 km/h. Calcola l’accelerazione centripeta che
devono fornire le ruote affinchè l’auto non esca di strada. Se la velocità salisse a 90 km/h, di quanto dovrebbe
aumentare l’accelerazione? E se si dimezzassero contemporaneamente il raggio della curva e la velocità tangenziale?
[5 m/s2 ; 2,81 m/s2 ; 2,5 m/s2 ; 1,41 m/s2 ]
17. Durante le olimpiadi di Lillehammer (febbraio ’94) hanno avuto luogo le gare di slittino monoposto. In una curva a
90◦ , con raggio 15 m, la velocità costante dello slittino è stata di 127,7 km/h.
(a) Con una costruzione vettoriale si ricavi la variazione ∆~v del vettore velocità tra l’ingresso e l’uscita della curva.
[∆ v = 50,2 m/s]
(b) Quanto tempo ha impiegato lo slittino a percorrere la curva?
[0,66 s]
[4752,6 m/s2 ]
(c) Quanto vale l’intensità dell’accelerazione centripeta? Disegnala.
Cinghie di trasmissione
18. Due ruote di diametro pari a 15 e 45 cm sono collegate da una cinghia di trasmissione. La ruota più grande gira a 300
giri/min. Calcolare la velocità tangenziale e angolare e la frequenza della ruota più piccola e della ruota più grande.
19. Due ruote A e B sono collegate da una cinghia di trasmissione. La ruota B ha diametro 80 cm e ruota a 500 giri/min,
mentre la frequenza della ruota A è di 5000 giri/min. Qual è il diametro della ruota A?
[8 cm]
20. Una cinghia di trasmissione collega due ruote aventi diametro rispettivamente di 10 cm e 20 cm.
(a) Quando la ruota più piccola ha fatto 200 giri quanti ne ha fatti la ruota più grande?
[100]
(b) Se il numero di giri viene compiuto in 1 minuto, qual è il periodo della ruota più piccola e quello della ruota più
grande?
[0,3 s; 0,6 s]
(c) Qual è la velocità di ogni punto della cinghia?
[2,1 m/s]
21. Un criceto fa ruotare la ruota della sua gabbietta con un periodo di 1,1 s. La ruota ha raggio r1 = 9 cm. Calcola:
(a) La velocità angolare e tangenziale e l’accelerazione centripeta della ruota.
[5,7 rad/s; 0,51 m/s; 2,9 m/s2 ]
(b) La velocità angolare e tangenziale e l’accelerazione centripeta di una ruota di raggio doppio, collegata alla prima
ruota tramite una cinghia.
[2,9 rad/s; 0,51 m/s; 1,5 m/s2 ]
Moto circolare uniformemente accelerato
22. Considera un corpo che si muove di moto circolare non uniforme su una circonferenza di raggio 1 m, con velocità che
aumenta in modulo mentre percorre un giro. Supponi che il corpo parta da fermo e che l’accelerazione tangenziale
sia at = 1 m/s2 . Calcola quanto tempo impiega a percorrere il primo, il secondo e il terzo giro e le relative velocità
finali alla fine del primo, del secondo e del terzo giro.
[3,5 s; 3,5 m/s; 5 s; 5 m/s; 6 s; 6 m/s]
23. Un’automobile parte da ferma e accelera per 10 s su una pista circolare lunga 500 m; successivamente si muove di
moto uniforme. Sapendo che l’accelerazione tangenziale è 2 m/s2 , calcola il tempo che impiega a percorrere il primo
giro e la velocità e l’accelerazione centripeta alla fine del primo giro.
[30 s; 20 m/s; 5 m/s2 ]
24. Un lanciatore del disco lancia il disco ruotando il braccio, compiendo due giri del braccio prima del lancio in 1,5 s.
Supponendo che il braccio sia lungo circa 70 cm, che il moto sia uniformemente accelerato e che la velocità di lancio
sia di 30 m/s, calcola l’accelerazione tangenziale prima del lancio e la sua accelerazione centripeta al momento del
lancio.
[20 m/s2 ; 1286 m/s2 ]
25. Un disco ruota con velocità angolare di 10 rad/s, rallenta con decelerazione angolare costante a causa degli attriti e
si ferma in 1000 giri. Calcola il tempo che impiega a fermarsi.
[126 s]
26. Il volano di una macchina ruota con una frequenza di 100 giri/min. A causa dell’attrito si ferma in un’ora. Supponendo
che la forza di attrito sia costante e cosı̀ pure la decelerazione angolare da essa prodotta, calcola il valore di questa
decelerazione e il numero di giri compiuti dal volano prima di fermarsi.
[−2, 9 · 10−3 rad/s; 3000 giri circa]
27. Il motore di un’automobile aumenta il numero di giri da 2000 a 4000 giri/min in 8 s. Calcola la sua accelerazione
angolare. Calcola il numero di giri compiuti dal motore durante la fase di accelerazione.
[26,2 s−2 ; 400 giri]
Moto circolare uniforme e forza centripeta
28. Un corpo di massa 0,1 kg ruota con una frequenza di 100 Hz su una circonferenza di raggio 2 m. Quanto vale la forza
centripeta?
[7, 9 · 104 N]
29. Un corpo di massa 2 kg legato a una fune ruota su una circonferenza di raggio 1 m. Il periodo di rotazione è di 0,1 s.
Quanto vale la forza centripeta?
[7, 9 · 103 N]
30. Un corpo ruota legato a un cavo in grado di sopportare una tensione massima di 500 N. Se il raggio di rotazione è di
50 cm e la massa del corpo è di 4 kg, qual è la massima velocità che può sopportare il cavo?
[7,9 m/s]
31. Un satellite ruota su un’orbita circolare a un’altezza di 500 km dalla superficie terrestre. Sapendo che l’accelerazione
di gravità g a quella altezza vale circa 8,4 m/s2 , determina il periodo di rotazione del satellite. (suggerimento: la forza
centripeta è la forza peso del satellite)
[5683 s]
32. Un’auto di massa 1000 kg percorre una curva di raggio 50 m alla velocità di 60 km/h: quanto deve valere il coefficiente
d’attrito tra le gomme e l’asfalto affinchè l’auto non vada fuori strada? E’ importante conoscere la massa dell’auto?
[0,57; no]
33. Un corpo, appoggiato alla parete interna di un cilindro, ruota in moto circolare uniforme intorno all’asse del cilindro.
Se il coefficiente di attrito tra il corpo e la parete del cilindro è 0,4 e il raggio del cilindro è uguale a 3 m, qual è il
minimo periodo di rotazione T per il quale il corpo aderisce alla parete del cilindro senza scivolare?
[2,2 s]
34. Una pallina di massa 210 g ruota attorno a un centro O vincolata per mezzo di una molla di costante elastica 289
N/m. La pallina si muove di moto circolare uniforme con velocità angolare di 3,21 rad/s. Il raggio della circonferenza
è 38,1 cm. Calcola la lunghezza a riposo della molla.
[0,378 m]
35. (*) Un pendolo legato ad una corda di lunghezza L = 1 m descrive in aria una traiettoria circolare. Sapendo che
l’angolo formato in ogni istante dalla corda e dalla verticale è di 30◦ , calcola il periodo del pendolo.
36. (*) Qual è la velocità che un’auto da corsa può mantenere in una curva di raggio 200 m, inclinata con un angolo di
30◦ rispetto al piano orizzontale, trascurando l’attrito delle gomme sulla strada?
[121 km/h]
Il giro della morte
37. Un secchio d’acqua ruota di moto circolare uniforme su un piano verticale su una circonferenza di raggio 50 cm.
Quale velocità tangenziale deve avere affinchè l’acqua non cada quando il secchio si trova nel punto più alto della sua
traiettoria?
[2,2 m/s]
38. Un motociclista percorre un giro della morte di raggio 5 m alla velocità di 40 km/h. Ce la farà senza cadere? Qual è
la velocità minima per non cadere? E se il motociclista raddoppiasse la velocità, quale sarebbe il raggio massimo del
cerchio che potrebbe percorrere senza cadere?
[sı̀; 7 m/s; 50,3 m]
39. Un carrello scivola praticamente senza attrito su una pista che contiene un giro della morte di raggio 1,2 m. Calcola
la minima altezza h da cui il carrello deve partire per completare il giro della morte. Trova una formula generale per
h, in funzione di r.
[3 m; 5/2 r]
40. La rampa di discesa di una pista ha un’altezza massima di 83 cm rispetto al livello del suolo. Calcola il massimo
raggio di un giro della morte che può essere inserito (a partire dalla base della discesa) in modo che venga completato
correttamente.
[33 cm]
41. Un carrello che ha una massa di 120 g scivola senza attrito su una pista che forma un giro della morte il cui diametro
misura 68,2 cm. La quota da cui è lasciato partire il carrello si trova 95,5 cm al di sopra del punto più basso del
giro della morte. Calcola il valore della velocità del carrello nel punto più alto del giro della morte e il modulo della
reazione vincolare che la pista esercita sul carrello in tale punto.
[2,31 m/s; 0,7 N]