Esercitazione 8 Novembre 2016

Esercizio 1
Un punto materiale di massa m = 2.5 kg è attaccato all’estremo di una molla di costante elastica k = 120
N/m e lunghezza a riposo r0 = 0.3 m. L’altro estremo della molla è vincolato ad un punto O. Il sistema si
trova su un piano orizzontale e ruota con velocità angolare costante ω0 = 4 rad/s attorno ad O. Calcolare
il raggio r della circonferenza descritta dalla massa nel suo moto.
Soluzione
Se ci poniamo in un sistema di riferimento inerziale, l’accelerazione centripeta che il corpo in moto circolare
uniforme possiede è dovuta all’azione della forza elastica!
mω02 r = k(r − r0 )
→
r=
kr0
= 45 cm
k − mω02
Esercizio 2 (pendolo conico)
Si consideri un punto materiale di massa m = 100 g, appeso in O, come mostrato in figura, tramite una fune
inestensibile e di massa trascurabile di lunghezza L = 1 m. Se il corpo esegue un moto circolare di raggio
⃗ del filo e il periodo T del moto. Qual è la dipendenza del periodo
r = 26 cm, determinare la tensione R
dalla lunghezza del filo?
O
L
r
Soluzione
Disegnamo il diagramma di corpo libero del pendolo conico:
O
L
θ
R
mac
r
mg
Se il corpo esegue un moto circolare, significa che è presente una accelerazione centripeta ⃗ac diretta verso
il centro della circonferenza che il corpo descrive nel piano. Se la lunghezza della fune è L e il raggio della
circonferenza descritta dal corpo in moto è r, avremo θ = arcsin(r/L) = 15◦ . Pertanto:
!
mg
mg = R cos θ → R = cos
θ ≃ 1N
mac = R sin θ → ac = g tan θ ≃ 2.6 m/s2
Nota l’accelerazione centripeta, possiamo determinare direttamente le velocità angolare del moto circolare
e il suo periodo:
"
"
ac
2π
r
2
ac = ω r → ω =
;
T =
= 2π
=2s
r
ω
ac
Da questa ultima equazione possiamo ricavare la dipendenza del periodo dalla lunghezza del filo, infatti:
#
#
"
r
L sin θ
L cos θ
= 2π
= 2π
r = L sin θ e ac = g tan θ → T = 2π
ac
g tan θ
g
Esercizio 3
Consideriamo una macchina in moto su una curva sopraelevata, come mostrato in figura. Determinare a
che velocità v la macchina deve percorrere la curva per rimanere su una traiettoria circolare. Calcolare la
velocità di percorrenza della curva sopraelevata se θ = 30◦ e il raggio della traiettoria circolare è r = 30 m.
N
R
O
ϑ
P
v
O
Soluzione
Per rimanere su una traiettoria circolare, è necessario che la risultante delle forze che agiscono sulla macchina
(cioè la forza peso e la reazione vincolare esercitata dal piano inclinato di un angolo θ) sia ortogonale alla
traiettoria e punti verso il centro. In altre parole, la risultante fornirà la forza centripeta necessaria a
mantenere l’auto in moto circolare uniforme.
N cos θ − mg = 0
N sin θ = mac = m
v2
r
→
v=
→
N=
mg
cos θ
$
gr tan θ = 13 m/s
(≃ 47 km/h)
Esercizio 4
Due punti materiali di massa m1 = 2 kg e m2 = 5 kg sono collegati tramite un filo inestensibile di massa
trascurabile e una carrucola di massa trascurabile. Ciascuno dei due corpi è appoggiato (vedi figura) su
un piano liscio inclinato con l’orizzontale di θ1 = 45◦ e θ2 = 30◦ rispettivamente. Inoltre il corpo di massa
m1 è collegato ad una estremità di una molla ideale di massa trascurabile e costante elastica k = 300 N/m
elongata di ∆l = 30 cm, mentre un fermo che blocca m2 tiene in quiete il sistema.
Calcolare: (a) il modulo della reazione vincolare agente su m2 ; (b) l’accelerazione dei corpi immediatamente dopo che il fermo viene rimosso.
k
Soluzione
Innanzi tutto prepariamo il diagramma di corpo libero per le due masse, come nella seguente figura, e
scriviamo le equazioni di equilibrio di ciascuno dei due corpi nel proprio sistema di riferimento
N2
T
T
R2
N1
m2
y2
Fel
m1g
O1
m2g
y1
O2
x2
x1
!
!
massa m1 lungo ŷ1 : m1 g cos θ1 = N1
massa m1 lungo x̂1 : m1 g sin θ1 + fel = T
massa m2 lungo ŷ2 : m2 g cos θ2 = N2 ≃ 42.4 N
massa m2 lungo x̂2 : m2 g sin θ2 + R2 = T → R2 = T − m2 g sin θ2 = m1 g sin θ1 + k∆l − m2 g sin θ2 ≃ 79.4 N
2
$
⃗ = R2 + N 2 ≃ 90 N.
La reazione vincolare agente su m2 ha due componenti, quindi il suo modulo sarà |R|
2
Quando il fermo viene rimosso, il sistema si mette in movimento con accelerazione ⃗a. Le equazioni lungo
le direzioni ortogonali ai due piani inclinati non vengono modificate, mentre parallelamente ai piani inclinati
avremo:
!
massa m1 lungo x̂1 : m1 a = m1 g sin θ1 + fel − T
massa m2 lungo x̂2 : m2 a = T − m2 g sin θ2
Sommando membro a membro, otteniamo:
(m1 + m2 )a = m1 g sin θ1 + k∆l − m2 g sin θ2
→
m1 g sin θ1 + k∆l − m2 g sin θ2
≃ 11.3 m/s2
m1 + m2
a=
Esercizio 5
Quale forza orizzontale deve essere applicata al carrello in figura affinché i blocchi che trasporta rimangano
fermi relativamente ad esso? Si assuma che tutte le superfici siano prive di attrito e che le masse in gioco
siano M = 20 kg, m1 = 10 kg e m2 = 5 kg.
Soluzione (1◦ metodo)
Se tutti i blocchi si muovono con la stessa accelerazione:
F = (M + m1 + m2 )a
→
F
M + m1 + m2
a=
Contemporaneamente, l’accelerazione del corpo di massa m1 è dovuta alla tensione della fune che è a sua
volta determinata dalla forza peso del blocco di massa m2 , cioè:
→
m1 a = m2 g
m1
F
= m2 g
M + m1 + m2
→
F =
M + m1 + m2
m2 g = 171.5 N
m1
Soluzione (2◦ metodo)
⃗ spinge la massa M e determina
Fissato un sistema di riferimento inerziale Oxy solidale con la terra, la forza F
una accelerazione ⃗a ∥ x̂, mentre lungo la direzione verticale ŷ, ay = 0.
Andiamo ora a considerare singolarmente le parti che compongono il sistema e andiamo a scrivere le
equazioni della dinamica di ciascun corpo nel sistema di riferimento Oxy, in cui ciascun corpo si muove con
la stessa accelerazione ⃗a. Avremo, quindi, delle equazioni di equilibrio per le forze lungo la verticale e delle
equazioni dinamiche con accelerazione ⃗a, lungo la direzione orizzontale.
Rc
m 1g
F
!
R2
M
Mg
T
T
Rc
m 1g
N1
m2
m 2g
N
massa M lungo ŷ N = M g + m1 g + Rcy
massa M lungo x̂ M a = F − R2 − Rcx →
!
T
m1
T
R2
carrucola lungo ŷ Rcy = T
carrucola lungo x̂ Rcx = T
3
→
F = M a + R2 + Rcx
F = M a + R2 + T
!
massa m1 lungo ŷ N1 = m1 g
M
massa m1 lungo x̂ m1 a = T → a = mT1 ; pertanto: F = T m
+ R2 + T
1
!
2
massa m2 lungo ŷ T = m2 g; pertanto: F = m
m1 M g + R2 + m2 g
m2
2
massa m2 lungo x̂ m2 a = R2 → R2 = m1 T = m
m1 m2 g
Concludendo la catena di sostituzioni otteniamo:
!
m2
2
lungo x̂ F = m
m1 M g + R2 + m2 g = m1 M g +
lungo ŷ N = (m1 + m2 + M )g = 343 N
m2
m1 m2 g
4
+ m2 g =
m2
m1 (M
+ m2 + m1 )g = 171.5 N