Matematica Discreta I Lezione del giorno 15 ottobre 2007 Funzioni iniettive Dati gli insiemi A,B una funzione f: A B è detta iniettiva quando elementi diversi del dominio A hanno sempre corrispondenti diversi nel codominio B. Quindi f non sarà iniettiva quando esistono almeno 2 elementi diversi del dominio A che hanno lo stesso corrispondente nel codominio B. Se f è rappresentata graficamente, la f è iniettiva quando le frecce che partono dagli elementi del dominio A arrivano su elementi tutti diversi nel codominio B (cioè non devono esistere 2 frecce che hanno la “punta” sullo stesso elemento di B). Esempio: 1 2 6 f 2 3 5 6 7 A B 1 2 2 5 6 A f 7 Esempio di rappresentazione grafica di una funzione iniettiva Esempio di rappresentazione grafica di una Funzione non iniettiva B Se f è rappresentata con una matrice, la f è iniettiva quando ogni colonna non contiene più di un valore =1 (quindi in ogni colonna non vi sono valori =1 oppure vi è esattamente un solo valore=1). In modo formale, per verificare se una funzione è iniettiva si deve dimostrare la seguente implicazione: x,yA, xy f(x)f(y) La dimostrazione si può effettuare “per assurdo”: si suppone vera l’ipotesi x,yA, xy, e falsa la tesi (quindi si suppone per assurdo f(x)=f(y)) e si cerca di pervenire ad una contraddizione logica. Esempio: se A=B={interi >0}, e se f: A B è la funzione definita da f(x)=3x+4, allora f è iniettiva. Infatti se per assurdo supponiamo x,yA, xy, f(x)=f(y), si ha 3x+4=3y+4, da cui, sottraendo 4 e dividendo per 3, si ottiene x=y (contraddizione). Funzioni iniettive e cardinalità Se A è un insieme finito, ossia che contiene un numero finito di elementi, si chiama cardinalità di A il numero A che rappresenta il numero di elementi di A. Per esempio se A={1,a,2,3,b} si ha A=5. Ovviamente =0. Per il momento, se A è un insieme infinito, ci limiteremo a dire che la sua cardinalità è infinita. Teorema. Se A,B sono insiemi finiti e se esiste una funzione iniettiva f: A B, allora AB. Dimostrazione: Poniamo A= n, B= m. Elenchiamo esplicitamente gli n elementi distinti di A: A={a1, a2, a3, …….., an} (dove a1 indica l’elemento al primo posto nell’elenco, a2 quello al secondo posto,….., an quello al posto n, ultimo nell’elenco). Poiché per ipotesi f è iniettiva, i corrispondenti: f(a1), f(a2), f(a3),……, f(an) sono elementi tutti diversi nel codominio B, quindi tali corrispondenti sono esattamente in numero di n. L’insieme B contiene dunque almeno n elementi, e allora la cardinalità di B è almeno uguale ad n, cioè nm (tesi). Il Teorema precedente si può anche interpretare affermando che: se A,B sono insiemi finiti e se A>B allora non è possibile costruire una funzione iniettiva f: A B. Funzioni surgettive Dati gli insiemi A,B una funzione f: A B è detta surgettiva quando ogni elemento y del codominio B é corrispondente di almeno un elemento x del dominio A. Quindi f non sarà surgettiva quando esiste qualche elemento del codominio B che non è corrispondente di nessun elemento del dominio A. Se f è rappresentata graficamente, la f è surgettiva quando ogni elemento di B è coperto da almeno una punta delle frecce che partono dagli elementi del dominio A. Esempio: 1 2 3 6 2 5 f A 7 B Esempio di rappresentazione grafica di una funzione surgettiva 1 2 3 6 2 5 f A 7 Esempio di rappresentazione grafica di una funzione non surgettiva B Se f è rappresentata con una matrice, la f è surgettiva quando ogni colonna contiene almeno un valore =1 (quindi non vi sono colonne con tutte le caselle contenenti valori =0). Per verificare formalmente se una funzione f: A B é surgettiva, si prende un generico elemento yB e si cerca almeno un elemento xA tale che si abbia f(x)=y: se un tale xA esiste sempre (comunque sia preso yB) allora f é surgettiva; se per alcuni valori di yB tale xA non esiste, allora la f non è surgetttiva. Spesso, nelle funzioni matematiche, la f(x)=y diventa un’equazione di cui si devono cercare le soluzioni x nel dominio A: se almeno una di tali soluzioni esiste sempre in A (comunque sia preso yB) allora f é surgettiva. Esempio: se A é l’insieme dei numeri interi >8, e se B é l’insieme dei numeri interi >0, la funzione f: A B definita da f(x)=x-8 é surgettiva. Infatti, preso un generico intero yB, la ricerca di un valore intero xA tale che si abbia f(x)=y porta all’equazione x-8=y, che ha la soluzione x=y+8 (soluzione il cui valore é in A, per ogni yB, perché essendo y un intero positivo, certamente x=y+8 è un intero >8). Invece, se A,B sono come sopra, la funzione f: A B definita da f(x)=x-5 non é surgettiva. Infatti, preso un generico intero yB, la ricerca di un valore xA tale che si abbia f(x)=y porta all’equazione x-5=y, che ha la soluzione x=y+5 (soluzione il cui valore però non sempre é elemento di A: per esempio per y=2B si ha x=2+5=7A). Funzioni surgettive e cardinalità Teorema. Se A,B sono insiemi finiti e se esiste una funzione surgettiva f: A B, allora A≥B. Dimostrazione: Poniamo A= n, B= m. Elenchiamo esplicitamente gli m elementi distinti di B: B={b1, b2, b3, …….., bm} Poiché per ipotesi f è surgettiva, troviamo un elemento x1A tale che f(x1)=b1; per lo stesso motivo troviamo un elemento x2A tale che f(x2)=b2 e così procediamo fino a trovare un elemento xmA tale che f(xm)=bm. Gli elementi trovati x1, x2, …. ,xm sono tutti diversi fra loro (se 2 fra essi coincidessero, la f non sarebbe più una funzione) quindi il loro numero è esattamente m. L’insieme A contiene dunque almeno questi m elementi, cioé la cardinalità di A è almeno uguale ad m, ossia nm (tesi). Il Teorema precedente si può anche interpretare affermando che: se A,B sono insiemi finiti e se A<B allora non è possibile costruire una funzione surgettiva f: A B. Funzioni biunivoche Dati gli insiemi A,B una funzione f: A B è detta biunivoca (o bigettiva) quando è sia iniettiva che surgettiva (quindi quando elementi diversi del dominio A hanno sempre corrispondenti diversi nel codominio B, e ogni elemento del codominio B é corrispondente di almeno un elemento del dominio A). Teorema. Se A,B sono insiemi finiti e se esiste una funzione biunivoca f: A B, allora A=B. Dimostrazione: Essendo f iniettiva, per un teorema già dimostrato si ha AB; essendo f surgettiva, per un altro teorema già dimostrato si ha AB. Si deduce allora che A=B. Il Teorema precedente si può anche interpretare affermando che: se A,B sono insiemi finiti e se AB allora non è possibile costruire una funzione biunivoca f: A B.