Matematica Discreta I - Matematica e Informatica

Matematica Discreta I
Lezione del giorno 15 ottobre 2007
Funzioni iniettive
Dati gli insiemi A,B una funzione f: A  B è detta iniettiva quando elementi diversi del dominio
A hanno sempre corrispondenti diversi nel codominio B.
Quindi f non sarà iniettiva quando esistono almeno 2 elementi diversi del dominio A che hanno lo
stesso corrispondente nel codominio B.
Se f è rappresentata graficamente, la f è iniettiva quando le frecce che partono dagli elementi del
dominio A arrivano su elementi tutti diversi nel codominio B (cioè non devono esistere 2 frecce che
hanno la “punta” sullo stesso elemento di B).
Esempio:
1
2
6
f
2
3
5
6
7
A
B
1
2
2
5
6
A
f
7
Esempio di rappresentazione grafica di una
funzione iniettiva
Esempio di rappresentazione grafica di una
Funzione non iniettiva
B
Se f è rappresentata con una matrice, la f è iniettiva quando ogni colonna non contiene più di un
valore =1 (quindi in ogni colonna non vi sono valori =1 oppure vi è esattamente un solo valore=1).
In modo formale, per verificare se una funzione è iniettiva si deve dimostrare la seguente
implicazione:
x,yA, xy  f(x)f(y)
La dimostrazione si può effettuare “per assurdo”: si suppone vera l’ipotesi x,yA, xy, e falsa la
tesi (quindi si suppone per assurdo f(x)=f(y)) e si cerca di pervenire ad una contraddizione logica.
Esempio: se A=B={interi >0}, e se f: A  B è la funzione definita da f(x)=3x+4, allora f è
iniettiva. Infatti se per assurdo supponiamo x,yA, xy, f(x)=f(y), si ha 3x+4=3y+4, da cui,
sottraendo 4 e dividendo per 3, si ottiene x=y (contraddizione).
Funzioni iniettive e cardinalità
Se A è un insieme finito, ossia che contiene un numero finito di elementi, si chiama cardinalità di
A il numero A che rappresenta il numero di elementi di A.
Per esempio se A={1,a,2,3,b} si ha A=5. Ovviamente =0.
Per il momento, se A è un insieme infinito, ci limiteremo a dire che la sua cardinalità è infinita.
Teorema. Se A,B sono insiemi finiti e se esiste una funzione iniettiva f: A  B, allora AB.
Dimostrazione:
Poniamo A= n, B= m.
Elenchiamo esplicitamente gli n elementi distinti di A:
A={a1, a2, a3, …….., an}
(dove a1 indica l’elemento al primo posto nell’elenco, a2 quello al secondo posto,….., an quello al
posto n, ultimo nell’elenco).
Poiché per ipotesi f è iniettiva, i corrispondenti:
f(a1), f(a2), f(a3),……, f(an)
sono elementi tutti diversi nel codominio B, quindi tali corrispondenti sono esattamente in numero
di n. L’insieme B contiene dunque almeno n elementi, e allora la cardinalità di B è almeno uguale
ad n, cioè nm (tesi).
Il Teorema precedente si può anche interpretare affermando che: se A,B sono insiemi finiti e se
A>B allora non è possibile costruire una funzione iniettiva f: A  B.
Funzioni surgettive
Dati gli insiemi A,B una funzione f: A  B è detta surgettiva quando ogni elemento y del
codominio B é corrispondente di almeno un elemento x del dominio A.
Quindi f non sarà surgettiva quando esiste qualche elemento del codominio B che non è
corrispondente di nessun elemento del dominio A.
Se f è rappresentata graficamente, la f è surgettiva quando ogni elemento di B è coperto da almeno
una punta delle frecce che partono dagli elementi del dominio A.
Esempio:
1
2
3
6
2
5
f
A
7
B
Esempio di rappresentazione grafica di una
funzione surgettiva
1
2
3
6
2
5
f
A
7
Esempio di rappresentazione grafica di una
funzione non surgettiva
B
Se f è rappresentata con una matrice, la f è surgettiva quando ogni colonna contiene almeno un
valore =1 (quindi non vi sono colonne con tutte le caselle contenenti valori =0).
Per verificare formalmente se una funzione f: A  B é surgettiva, si prende un generico elemento
yB e si cerca almeno un elemento xA tale che si abbia f(x)=y: se un tale xA esiste sempre
(comunque sia preso yB) allora f é surgettiva; se per alcuni valori di yB tale xA non esiste,
allora la f non è surgetttiva.
Spesso, nelle funzioni matematiche, la f(x)=y diventa un’equazione di cui si devono cercare le
soluzioni x nel dominio A: se almeno una di tali soluzioni esiste sempre in A (comunque sia preso
yB) allora f é surgettiva.
Esempio: se A é l’insieme dei numeri interi >8, e se B é l’insieme dei numeri interi >0, la funzione
f: A  B definita da f(x)=x-8 é surgettiva. Infatti, preso un generico intero yB, la ricerca di un
valore intero xA tale che si abbia f(x)=y porta all’equazione x-8=y, che ha la soluzione x=y+8
(soluzione il cui valore é in A, per ogni yB, perché essendo y un intero positivo, certamente
x=y+8 è un intero >8).
Invece, se A,B sono come sopra, la funzione f: A  B definita da f(x)=x-5 non é surgettiva. Infatti,
preso un generico intero yB, la ricerca di un valore xA tale che si abbia f(x)=y porta
all’equazione x-5=y, che ha la soluzione x=y+5 (soluzione il cui valore però non sempre é elemento
di A: per esempio per y=2B si ha x=2+5=7A).
Funzioni surgettive e cardinalità
Teorema. Se A,B sono insiemi finiti e se esiste una funzione surgettiva f: A  B, allora
A≥B.
Dimostrazione:
Poniamo A= n, B= m.
Elenchiamo esplicitamente gli m elementi distinti di B:
B={b1, b2, b3, …….., bm}
Poiché per ipotesi f è surgettiva, troviamo un elemento x1A tale che f(x1)=b1; per lo stesso motivo
troviamo un elemento x2A tale che f(x2)=b2 e così procediamo fino a trovare un elemento xmA
tale che f(xm)=bm.
Gli elementi trovati x1, x2, …. ,xm sono tutti diversi fra loro (se 2 fra essi coincidessero, la f non
sarebbe più una funzione) quindi il loro numero è esattamente m.
L’insieme A contiene dunque almeno questi m elementi, cioé la cardinalità di A è almeno uguale ad
m, ossia nm (tesi).
Il Teorema precedente si può anche interpretare affermando che: se A,B sono insiemi finiti e se
A<B allora non è possibile costruire una funzione surgettiva f: A  B.
Funzioni biunivoche
Dati gli insiemi A,B una funzione f: A  B è detta biunivoca (o bigettiva) quando è sia iniettiva
che surgettiva (quindi quando elementi diversi del dominio A hanno sempre corrispondenti diversi
nel codominio B, e ogni elemento del codominio B é corrispondente di almeno un elemento del
dominio A).
Teorema. Se A,B sono insiemi finiti e se esiste una funzione biunivoca f: A  B, allora
A=B.
Dimostrazione:
Essendo f iniettiva, per un teorema già dimostrato si ha AB; essendo f surgettiva, per un
altro teorema già dimostrato si ha AB. Si deduce allora che A=B.
Il Teorema precedente si può anche interpretare affermando che: se A,B sono insiemi finiti e se
AB allora non è possibile costruire una funzione biunivoca f: A  B.