M.GUIDA, S.ROLANDO, 2015
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LIMITI IN DUE VARIABILI / RICHIAMI
Definizione. Siano f : dom f ⊆ R2 → R e P0 = (x0 , y0 ) un punto di accumulazione per dom f .
Si dice che f (P ) tende al limite (finito o infinito) per P che tende a P0 e si scrive
lim f (P ) =
o
P →P0
lim
f (x, y) =
(x,y)→(x0 ,y0 )
se per ogni intorno 1 I ( ) esiste δ > 0 tale che ∀P ∈ dom f vale 0 < d (P, P0 ) < δ ⇒ f (P ) ∈ I ( ) .
• Il limite, se esiste, è unico.
∈ R, allora lim f (P ) =
• Se
se e solo se lim |f (P ) − | = 0.
P →P0
P →P0
Esempio.
Verifichiamo tramite la definizione che per ogni P0 = (x0 , y0 ) si ha
lim d (P, P0 ) = 0 e
P →P0
lim
x = x0 ,
(x,y)→(x0 ,y0 )
lim
y = y0 .
(x,y)→(x0 ,y0 )
(nota: tutte le funzioni considerate sono definite su tutto R2 ). Fissiamo ε > 0 arbitrario.
Il primo limite significa che ∃δ > 0 tale che ∀P ∈ R2 si ha 0 < d (P, P0 ) < δ ⇒ d (P, P0 ) ∈
(−ε, ε). Poiché quest’ultima condizione equivale a d (P, P0 ) < ε (in quanto d (P, P0 ) ≥ 0),
basta allora prendere δ = ε. Analogamente per gli altri due limiti: ad esempio, l’ultimo
significa che ∃δ > 0 tale che ∀P = (x, y) ∈ R2 si ha 0 < d (P, P0 ) < δ ⇒ x ∈ (x0 − ε, x0 + ε),
cioè |x − x0 | < ε; poiché
t
t
2
|x − x0 | = (x − x0 ) ≤ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = d (P, P0 ) ,
basta allora prendere δ = ε.
Condizione necessaria di esistenza del limite. Supponiamo che esista lim f (P ) =
P →P0
(finito o infinito) e consideriamo una qualsiasi curva parametrica
γ (t) ∈ dom f per ogni t,
x = x (t)
(1)
γ:
, t ∈ I,
tale che
y = y (t)
γ (t0 ) = P0 e γ (t) = P0 se t = t0 .
Allora
lim f (x (t) , y (t)) =
(2)
t→t0
(in particolare, tale limite risulta indipendente dalla curva scelta).
Di conseguenza, se restringendo f (x, y) ai punti di curve (1) diverse si trovano limiti (2) diversi,
allora limP →P0 f (P ) = non esiste.
Famiglie tipiche di curve a cui restringere una funzione per testare la condizione necessaria
precedente sono le seguenti:
rette passanti per P0 = (0, 0), asse y escluso
x=x
(x è il parametro; m è fisso ed è il coefficiente
γ:
, x∈R
y = mx
angolare della retta)
γ:
1
x = x0 + ρ cos θ
,
y = y0 + ρ sin θ
ricordiamo che se
con a, b ∈ R
ρ≥0
semirette uscenti da P0 = (x0 , y0 )
(ρ è il parametro; θ è fisso ed individua il versore
u = (cos θ, sin θ) parallelo alla semiretta).
∈ R allora I ( ) = ( − ε, + ε) con ε > 0, mentre I (+∞) = (a, +∞) e I (−∞) = (−∞, b)
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Esempi.
1) Si voglia calcolare
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) con f (x, y) =
x2
x2 +y2
(nota: dom f = R2 \ {(0, 0)}).
Restringendo la funzione alle semirette x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, si ottiene
ρ2 cos2 θ
ρ2 cos2 θ
= cos2 θ
=
2
ρ2 cos2 θ + ρ2 sin θ
ρ2 cos2 θ + sin2 θ
f (ρ cos θ, ρ sin θ) =
e quindi
lim f (ρ cos θ, ρ sin θ) = cos2 θ.
ρ→0+
Tale limite dipende dalla semiretta considerata (cioè da θ) e perciò risulta violata la condizione necessaria di esistenza del limite
lim f (x, y), il quale, pertanto, non esiste.
(x,y)→(0,0)
La figura seguente evidenzia graficamente questo fatto.
Geometricamente, restringere la funzione
alla semiretta r : x = ρ cos θ, y = ρ sin θ
equivale a tagliare il grafico di f con il piano verticale
passante per r, sul quale si viene così a disegnare
il grafico della funzione ρ → f (ρ cos θ, ρ sin θ),
che in questo caso risulta costante.
2) Si voglia calcolare
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) con f (x, y) =
x2 y
x4 +y2
(nota: dom f = R2 \ {(0, 0)}).
Restringendo la funzione alle rette y = mx, si ottiene
f (x, mx) =
mx3
mx
mx3
= 2
=
4
2
2
2
x + mx
x (x + m)
x +m
e quindi per ogni m risulta
mx
= 0.
+m
lim f (x, mx) = lim
x→0 x2
x→0
Inoltre si ha f (0, y) = 0 per ogni y = 0 e quindi
lim f (0, y) = 0.
y→0
La condizione necessaria di esistenza del limite
lim
f (x, y) risulta allora soddisfatta
(x,y)→(0,0)
su tutte le rette passanti per l’origine e pertanto tale limite potrebbe esistere. Proviamo
allora a considerare curve diverse, ad esempio le parabole y = ax2 (x è il parametro; a è
fisso e dà l’apertura della parabola): otteniamo
e quindi
f x, ax2 =
ax4
a
ax4
=
=
4
2
4
4
2
x +a x
x (1 + a )
1 + a2
lim f x, ax2 =
x→0
a
.
1 + a2
Tale limite dipende dalla parabola considerata e pertanto
lim
f (x, y) non esiste.
(x,y)→(0,0)
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Condizione sufficiente di esistenza del limite finito. Sia f : dom f ⊆ R2 → R definita
∗ (P ) di un punto P = (x , y ). Se esiste ∈ R tale che
almeno in un intorno bucato 2 BR
0
0
0 0
∀ρ ∈ (0, R) ,
∀θ ∈ R risulta
|f (x0 + ρ cos θ, y0 + ρ sin θ) − | ≤ g (ρ)
dove g (ρ) è una qualche funzione di ρ (ma non di θ) tale che lim g (ρ) = 0, allora
ρ→0+
lim
f (x, y) = .
(x,y)→(x0 ,y0 )
Osserviamo che la richiesta |f (x0 + ρ cos θ, y0 + ρ sin θ) − | ≤ g (ρ) con lim g (ρ) = 0 può essere
ρ→0+
equivalentemente espressa come
g1 (ρ) ≤ f (x0 + ρ cos θ, y0 + ρ sin θ) − ≤ g2 (ρ)
con
lim g1 (ρ) = lim g2 (ρ) = 0.
ρ→0+
ρ→0+
Esempio.
Si voglia calcolare
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) con f (x, y) =
xy2
x2 +2y2
(nota: dom f = R2 \ {(0, 0)}).
Restringendo la funzione alle semirette x = ρ cos θ, y = ρ sin θ (ρ variabile, θ fisso) si
ottiene
ρ3 cos θ sin2 θ
cos θ sin2 θ
f (ρ cos θ, ρ sin θ) = 2 2
=
ρ
ρ cos θ + 2 sin2 θ
1 + sin2 θ
e quindi
lim f (ρ cos θ, ρ sin θ) = lim ρ
ρ→0+
ρ→0+
cos θ sin2 θ
cos θ sin2 θ
=
lim ρ = 0.
1 + sin2 θ
1 + sin2 θ ρ→0+
Allora, per condizione necessaria, se il limite
lim
f (x, y) esiste il suo valore deve essere
(x,y)→(0,0)
= 0. Proviamolo mediante la condizione sufficiente. Per ogni ρ > 0 e θ ∈ R si ha
cos θ sin2 θ
cos θ sin2 θ =ρ
|f (ρ cos θ, ρ sin θ)| = ρ ,
1 + sin2 θ 1 + sin2 θ
dove risulta
cos θ sin2 θ
cos θ sin2 θ = |cos θ| |sin θ|2 ≤ 1.
≤
2
1 + sin θ (1+sin2 θ≥1)
Dunque
|f (ρ cos θ, ρ sin θ)| = ρ
e quindi
lim
f (x, y) = 0.
cos θ sin2 θ
1 + sin2 θ
≤ ρ −→ 0
ρ→0+
(x,y)→(0,0)
Teoremi sui limiti e simboli di Landau. I principali teoremi sui limiti di funzioni di una
variabile (confronto, algebra dei limiti, sostituzione, permanenza del segno) ed i principi che
utilizzano i simboli di Landau (sostituzione con termini equivalenti, eliminazione di termini
trascurabili) valgono anche per funzioni di due variabili, con ovvi adattamenti.
Limiti e continuità. Siano f : dom f ⊆ R2 → R e P0 un punto di accumulazione per dom f .
Allora
f è continua in P0
2
⇐⇒
∗
si ricordi che si definisce BR
(P0 ) := BR (P0 ) \ {P0 }
lim f (P ) = f (P0 ) .
P →P0
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Esempio.
Si voglia studiare la continuità della funzione
+
2
sin(xy2 )
2
4 +y 2 + log x + y
x
f (x, y) =
1
se (x, y) = (0, 0)
se (x, y) = (0, 0) .
La prima delle espressioni che definiscono f (x, y) è ben definita su R2 \ {(0, 0)} ed è ivi
continua, in quanto risultato di operazioni elementari su funzioni continue. Resta allora da
studiare la continuità nell’origine, dove f è continua se e solo se
lim f (x, y) = f (0, 0),
(x,y)→(0,0)
cioè
lim
(x,y)→(0,0)
(3)
2
sin(xy 2 )
2
+ log x + y
= 1.
x4 + y 2
Calcoliamo tale limite. Si ha
2
sin(xy2 )
sin(xy 2 )
2
+
log
x
+
y
+
lim log x2 + y 2
=
lim
lim
4
2
4
2
x +y
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0) x + y
(x,y)→(0,0)
(se la somma dei limiti non dà forma indeterminata). Poiché t = xy 2 → 0 per (x, y) → (0, 0)
(perché? ) e sin t ∼ t per t → 0, si ha sin(xy 2 ) ∼ xy2 e quindi
sin(xy2 )
xy2
∼
x4 + y2
x4 + y 2
per (x, y) → (0, 0) ,
da cui segue
sin(xy2 )
xy 2
=
lim
.
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
lim
Applichiamo ora il teorema del confronto: per ogni (x, y) = (0, 0) si ha
xy 2 |x| x4 + y2
|x| y 2
=
0≤ 4
≤
= |x| −→ 0
x + y 2 x4 + y 2 (y2 ≤x4 +y2 ) x4 + y 2
(x,y)→(0,0)
(perché
lim
(x,y)→(0,0)
|x| = 0? ) e quindi risulta
xy 2
= 0.
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
lim
Circa il secondo limite della somma (3), si ha t = x2 +y 2 → 0+ per (x, y) → (0, 0) (perché? )
e quindi si ottiene
lim log x2 + y2 = lim log t = −∞.
(x,y)→(0,0)
Dunque
lim
(x,y)→(0,0)
t→0+
2
sin(xy 2 )
2
+ log x + y
= 0 − ∞ = −∞ = 1
x4 + y 2
e pertanto f non è continua in (0, 0).
