M.GUIDA, S.ROLANDO, 2015 1 LIMITI IN DUE VARIABILI / RICHIAMI Definizione. Siano f : dom f ⊆ R2 → R e P0 = (x0 , y0 ) un punto di accumulazione per dom f . Si dice che f (P ) tende al limite (finito o infinito) per P che tende a P0 e si scrive lim f (P ) = o P →P0 lim f (x, y) = (x,y)→(x0 ,y0 ) se per ogni intorno 1 I ( ) esiste δ > 0 tale che ∀P ∈ dom f vale 0 < d (P, P0 ) < δ ⇒ f (P ) ∈ I ( ) . • Il limite, se esiste, è unico. ∈ R, allora lim f (P ) = • Se se e solo se lim |f (P ) − | = 0. P →P0 P →P0 Esempio. Verifichiamo tramite la definizione che per ogni P0 = (x0 , y0 ) si ha lim d (P, P0 ) = 0 e P →P0 lim x = x0 , (x,y)→(x0 ,y0 ) lim y = y0 . (x,y)→(x0 ,y0 ) (nota: tutte le funzioni considerate sono definite su tutto R2 ). Fissiamo ε > 0 arbitrario. Il primo limite significa che ∃δ > 0 tale che ∀P ∈ R2 si ha 0 < d (P, P0 ) < δ ⇒ d (P, P0 ) ∈ (−ε, ε). Poiché quest’ultima condizione equivale a d (P, P0 ) < ε (in quanto d (P, P0 ) ≥ 0), basta allora prendere δ = ε. Analogamente per gli altri due limiti: ad esempio, l’ultimo significa che ∃δ > 0 tale che ∀P = (x, y) ∈ R2 si ha 0 < d (P, P0 ) < δ ⇒ x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), cioè |x − x0 | < ε; poiché t t 2 |x − x0 | = (x − x0 ) ≤ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = d (P, P0 ) , basta allora prendere δ = ε. Condizione necessaria di esistenza del limite. Supponiamo che esista lim f (P ) = P →P0 (finito o infinito) e consideriamo una qualsiasi curva parametrica γ (t) ∈ dom f per ogni t, x = x (t) (1) γ: , t ∈ I, tale che y = y (t) γ (t0 ) = P0 e γ (t) = P0 se t = t0 . Allora lim f (x (t) , y (t)) = (2) t→t0 (in particolare, tale limite risulta indipendente dalla curva scelta). Di conseguenza, se restringendo f (x, y) ai punti di curve (1) diverse si trovano limiti (2) diversi, allora limP →P0 f (P ) = non esiste. Famiglie tipiche di curve a cui restringere una funzione per testare la condizione necessaria precedente sono le seguenti: rette passanti per P0 = (0, 0), asse y escluso x=x (x è il parametro; m è fisso ed è il coefficiente γ: , x∈R y = mx angolare della retta) γ: 1 x = x0 + ρ cos θ , y = y0 + ρ sin θ ricordiamo che se con a, b ∈ R ρ≥0 semirette uscenti da P0 = (x0 , y0 ) (ρ è il parametro; θ è fisso ed individua il versore u = (cos θ, sin θ) parallelo alla semiretta). ∈ R allora I ( ) = ( − ε, + ε) con ε > 0, mentre I (+∞) = (a, +∞) e I (−∞) = (−∞, b) 2 M.GUIDA, S.ROLANDO, 2015 Esempi. 1) Si voglia calcolare lim (x,y)→(0,0) f (x, y) con f (x, y) = x2 x2 +y2 (nota: dom f = R2 \ {(0, 0)}). Restringendo la funzione alle semirette x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, si ottiene ρ2 cos2 θ ρ2 cos2 θ = cos2 θ = 2 ρ2 cos2 θ + ρ2 sin θ ρ2 cos2 θ + sin2 θ f (ρ cos θ, ρ sin θ) = e quindi lim f (ρ cos θ, ρ sin θ) = cos2 θ. ρ→0+ Tale limite dipende dalla semiretta considerata (cioè da θ) e perciò risulta violata la condizione necessaria di esistenza del limite lim f (x, y), il quale, pertanto, non esiste. (x,y)→(0,0) La figura seguente evidenzia graficamente questo fatto. Geometricamente, restringere la funzione alla semiretta r : x = ρ cos θ, y = ρ sin θ equivale a tagliare il grafico di f con il piano verticale passante per r, sul quale si viene così a disegnare il grafico della funzione ρ → f (ρ cos θ, ρ sin θ), che in questo caso risulta costante. 2) Si voglia calcolare lim (x,y)→(0,0) f (x, y) con f (x, y) = x2 y x4 +y2 (nota: dom f = R2 \ {(0, 0)}). Restringendo la funzione alle rette y = mx, si ottiene f (x, mx) = mx3 mx mx3 = 2 = 4 2 2 2 x + mx x (x + m) x +m e quindi per ogni m risulta mx = 0. +m lim f (x, mx) = lim x→0 x2 x→0 Inoltre si ha f (0, y) = 0 per ogni y = 0 e quindi lim f (0, y) = 0. y→0 La condizione necessaria di esistenza del limite lim f (x, y) risulta allora soddisfatta (x,y)→(0,0) su tutte le rette passanti per l’origine e pertanto tale limite potrebbe esistere. Proviamo allora a considerare curve diverse, ad esempio le parabole y = ax2 (x è il parametro; a è fisso e dà l’apertura della parabola): otteniamo e quindi f x, ax2 = ax4 a ax4 = = 4 2 4 4 2 x +a x x (1 + a ) 1 + a2 lim f x, ax2 = x→0 a . 1 + a2 Tale limite dipende dalla parabola considerata e pertanto lim f (x, y) non esiste. (x,y)→(0,0) M.GUIDA, S.ROLANDO, 2015 3 Condizione sufficiente di esistenza del limite finito. Sia f : dom f ⊆ R2 → R definita ∗ (P ) di un punto P = (x , y ). Se esiste ∈ R tale che almeno in un intorno bucato 2 BR 0 0 0 0 ∀ρ ∈ (0, R) , ∀θ ∈ R risulta |f (x0 + ρ cos θ, y0 + ρ sin θ) − | ≤ g (ρ) dove g (ρ) è una qualche funzione di ρ (ma non di θ) tale che lim g (ρ) = 0, allora ρ→0+ lim f (x, y) = . (x,y)→(x0 ,y0 ) Osserviamo che la richiesta |f (x0 + ρ cos θ, y0 + ρ sin θ) − | ≤ g (ρ) con lim g (ρ) = 0 può essere ρ→0+ equivalentemente espressa come g1 (ρ) ≤ f (x0 + ρ cos θ, y0 + ρ sin θ) − ≤ g2 (ρ) con lim g1 (ρ) = lim g2 (ρ) = 0. ρ→0+ ρ→0+ Esempio. Si voglia calcolare lim (x,y)→(0,0) f (x, y) con f (x, y) = xy2 x2 +2y2 (nota: dom f = R2 \ {(0, 0)}). Restringendo la funzione alle semirette x = ρ cos θ, y = ρ sin θ (ρ variabile, θ fisso) si ottiene ρ3 cos θ sin2 θ cos θ sin2 θ f (ρ cos θ, ρ sin θ) = 2 2 = ρ ρ cos θ + 2 sin2 θ 1 + sin2 θ e quindi lim f (ρ cos θ, ρ sin θ) = lim ρ ρ→0+ ρ→0+ cos θ sin2 θ cos θ sin2 θ = lim ρ = 0. 1 + sin2 θ 1 + sin2 θ ρ→0+ Allora, per condizione necessaria, se il limite lim f (x, y) esiste il suo valore deve essere (x,y)→(0,0) = 0. Proviamolo mediante la condizione sufficiente. Per ogni ρ > 0 e θ ∈ R si ha cos θ sin2 θ cos θ sin2 θ =ρ |f (ρ cos θ, ρ sin θ)| = ρ , 1 + sin2 θ 1 + sin2 θ dove risulta cos θ sin2 θ cos θ sin2 θ = |cos θ| |sin θ|2 ≤ 1. ≤ 2 1 + sin θ (1+sin2 θ≥1) Dunque |f (ρ cos θ, ρ sin θ)| = ρ e quindi lim f (x, y) = 0. cos θ sin2 θ 1 + sin2 θ ≤ ρ −→ 0 ρ→0+ (x,y)→(0,0) Teoremi sui limiti e simboli di Landau. I principali teoremi sui limiti di funzioni di una variabile (confronto, algebra dei limiti, sostituzione, permanenza del segno) ed i principi che utilizzano i simboli di Landau (sostituzione con termini equivalenti, eliminazione di termini trascurabili) valgono anche per funzioni di due variabili, con ovvi adattamenti. Limiti e continuità. Siano f : dom f ⊆ R2 → R e P0 un punto di accumulazione per dom f . Allora f è continua in P0 2 ⇐⇒ ∗ si ricordi che si definisce BR (P0 ) := BR (P0 ) \ {P0 } lim f (P ) = f (P0 ) . P →P0 4 M.GUIDA, S.ROLANDO, 2015 Esempio. Si voglia studiare la continuità della funzione + 2 sin(xy2 ) 2 4 +y 2 + log x + y x f (x, y) = 1 se (x, y) = (0, 0) se (x, y) = (0, 0) . La prima delle espressioni che definiscono f (x, y) è ben definita su R2 \ {(0, 0)} ed è ivi continua, in quanto risultato di operazioni elementari su funzioni continue. Resta allora da studiare la continuità nell’origine, dove f è continua se e solo se lim f (x, y) = f (0, 0), (x,y)→(0,0) cioè lim (x,y)→(0,0) (3) 2 sin(xy 2 ) 2 + log x + y = 1. x4 + y 2 Calcoliamo tale limite. Si ha 2 sin(xy2 ) sin(xy 2 ) 2 + log x + y + lim log x2 + y 2 = lim lim 4 2 4 2 x +y (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) x + y (x,y)→(0,0) (se la somma dei limiti non dà forma indeterminata). Poiché t = xy 2 → 0 per (x, y) → (0, 0) (perché? ) e sin t ∼ t per t → 0, si ha sin(xy 2 ) ∼ xy2 e quindi sin(xy2 ) xy2 ∼ x4 + y2 x4 + y 2 per (x, y) → (0, 0) , da cui segue sin(xy2 ) xy 2 = lim . (x,y)→(0,0) x4 + y 2 (x,y)→(0,0) x4 + y 2 lim Applichiamo ora il teorema del confronto: per ogni (x, y) = (0, 0) si ha xy 2 |x| x4 + y2 |x| y 2 = 0≤ 4 ≤ = |x| −→ 0 x + y 2 x4 + y 2 (y2 ≤x4 +y2 ) x4 + y 2 (x,y)→(0,0) (perché lim (x,y)→(0,0) |x| = 0? ) e quindi risulta xy 2 = 0. (x,y)→(0,0) x4 + y 2 lim Circa il secondo limite della somma (3), si ha t = x2 +y 2 → 0+ per (x, y) → (0, 0) (perché? ) e quindi si ottiene lim log x2 + y2 = lim log t = −∞. (x,y)→(0,0) Dunque lim (x,y)→(0,0) t→0+ 2 sin(xy 2 ) 2 + log x + y = 0 − ∞ = −∞ = 1 x4 + y 2 e pertanto f non è continua in (0, 0).