Metodi di integrazione

08/11/2015
Integrazione per sostituzione
È basato sulla regola di derivazione della funzione
composta.
Sia f continua e g una funzione derivabile con derivata
continua, si ha
 f ( x)dx
x g (t )
  f ( g (t )) g (t )dt
se x=g(t) allora dx=g’(t)dt è il differenziale di g(t).
Integrazione per sostituzione
Se F(x) è una primitiva di f(x), ricordando la regola di
derivazione della funzione composta si ha
F  g  (t )  F ( g (t )) g (t ) 
f ( g (t )) g (t )
Cioè F  g (t ) è una primitiva di f ( g (t )) g (t )
Il risultato dell’integrazione per sostituzione è in funzione
di t. Per esprimerlo in funzione di x occorre che g(t) sia
1
invertibile, in tale caso basterà risostituire a t: t  g ( x).
1
08/11/2015
Integrazione per sostituzione
Esercizio
Utilizzando il metodo di integrazione per sostituzione
calcolare
  e x dx con la sostituzione

x  t2, t  0
ex
dx
1  e2 x
Integrazione per sostituzione
Se l’integrale è definito:

b
a
f ( x)dx
e si effettua la sostituzione x=g(t), supponendo che
x  a  c  g 1 (a)
x  b  d  g 1 (b)
si ha

b
a
f ( x)dx  c f ( g (t )) g (t )dt
d
2
08/11/2015
Integrazione per sostituzione
Esercizio
Calcolare

1
1
1  x 2 dx con la sostituzione x  sin t
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08/11/2015
Metodo di integrazione delle funzioni razionali fratte

1°caso:
N ( x)
dx,
D( x)
N ( x), D( x) polinomi in x
grado(N(x)) < grado(D(x))
a) D(x) ha radici reali semplici: si determinano
le radici del denominatore D(x) e lo si
scompone in fattori
Integrazione delle funzioni razionali fratte
Esercizio

1
dx
x  3x  2
2
D( x)  x 2  3x  2  ( x  2)( x  1)
Si devono cercare 2 costanti A e B (in quanto 2 sono i
fattori semplici in cui è scomposto il polinomio D(x)):
1
A
B
( A  B) x  A  2 B



x  3x  2 x  2 x  1
( x  2)( x  1)
2
4
08/11/2015
Integrazione delle funzioni razionali fratte
Per il principio di identità dei polinomi, i polinomi a
numeratore del 1°e dell’ultimo membro, sono uguali se
sono uguali i rispettivi coefficienti cioè
A 1
 A B  0
1
1
1

 2



 A  2 B  1 B  1 x  3x  2 x  2 x  1
e quindi

1
dx 
x  3x  2
2

1
dx 
x2

1
x2
dx  ln
c
x 1
x 1
Integrazione delle funzioni razionali fratte
b) D(x) ha radici reali multiple
Esercizio
1
 x 3  x 2 dx
si ha D(x)  x 3  x 2  x 2 ( x  1) :
una radice semplice ( x  1) e una radice multipla
di molteplicità 2 (radice doppia x  0) si devono
cercare 3 costanti :
1
A B
C
Ax( x  1)  B( x  1)  Cx 2
 3
  

x  x2 x x2 x 1
x 2 ( x  1)
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08/11/2015
Integrazione delle funzioni razionali fratte
1
( A  C ) x 2  ( A  B) x  B
 3

x  x2
x 2 ( x  1)
A  1
 AC  0

 A  B  0  B  1
  B 1
C 1

1
1
1
1
 x  x dx    x dx    x dx   x  1 dx 
3
ln
2
2
x 1 1
 c
x
x
Integrazione delle funzioni razionali fratte
c) D(x) ha radici complesse coniugate semplici
Esercizio

1
dx
x3  x2  x  1
D(x)= x3 + x2+ x + 1= (x+1)(x2+1)
3 radici: x =-1 reale semplice
x=∓i complesse coniugate

1
1
A
Bx  C



x 3  x 2  x  1 ( x  1)( x 2  1) x  1 x 2  1
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08/11/2015
Integrazione delle funzioni razionali fratte
A  12
A  B  0

  B  C  0  B   12
 A C 1
C  12

E quindi si ottiene
1
1
1
1 x 1
dx

dx

dx 
3
2
2
x  x  x 1
2 x 1
2 x 1
1
1
1
2x
1
1
dx 
dx

dx 
2 x 1
4 x2  1
2 x2  1






1
1
1
ln | x  1 |  ln x 2  1   arctgx  c
2
4
2
Integrazione delle funzioni razionali fratte
Non consideriamo il caso di radici complesse multiple
2°caso:
grado(N(x))  grado(D(x))
In questo caso si deve eseguire la divisione tra il
polinomio a numeratore (N(x)) e il polinomo a
denominatore (D(x)):
N ( x)  D( x)q( x)  r ( x)
q( x)  quoziente della divisione
r ( x)  resto della divisione
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08/11/2015
Integrazione delle funzioni razionali fratte

N ( x)
r ( x)
 q( x) 
D( x)
D( x)
con r(x) un polinomio di grado inferiore a quello di N(x):


N ( x)
dx  q( x)dx 
D( x)

r ( x)
dx
D( x)
Integrale di funzione razionale
intera (polinomio)
Integrale di funzione razionale
fratta (caso 1)
Integrazione delle funzioni razionali fratte
Esercizio

x5  x  1
dx
x4  x2
grado(N(x))=5 > grado (D(x)) =4
Effettuando la divisione tra i due polinomi si ottiene
q(x)=x,
r(x)= -x3-x+1
x5  x  1
x3  x  1
 4
 x 4
x  x2
x  x2
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08/11/2015
Integrazione delle funzioni razionali fratte
x 3  x  1 x 3  x  1 A B Cx  D
 2 2
   2

x4  x2
x ( x  1) x x 2
x 1
( A  C ) x 3  ( B  D) x 2  Ax  B
x 2 ( x 2  1)
 A C 1
 A 1
B  D  0
 B  1


 

 A 1
C 0
 B  1
 D  1
Integrazione delle funzioni razionali fratte
Si ha

x5  x  1
dx 
x4  x2

xdx 

1
dx 
x
 xdx  
x3  x  1
dx 
x4  x2


1
dx 
x2
1
dx 
x2  1
x2
1
 ln | x |   arctgx  c
2
x
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08/11/2015
Applicazioni dell’integrale definito
Calcolo dell’area di una figura piana
Sia T  ( x, y )  R 2 : a  x  b, 0  y  f ( x)
Con f(x) funzione continua e
f ( x)  0 in [a, b]
T
 f ( x)dx
b
area(T ) 
a
a
b
Applicazioni dell’integrale definito
Calcolo dell’area di una figura piana
Sia
T  ( x, y )  R 2 : a  x  b, g ( x)  y  f ( x)
Con f(x) e g(x) funzione continue.
f(x)
  f ( x)  g ( x)dx
b
area(T ) 
T
a
g(x)
a
b
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08/11/2015
Applicazioni dell’integrale definito
Calcolo dell’area di una figura piana
Se f ( x)  0 cioè T  ( x, y )  R 2 : a  x  b, f ( x)  y  0
Allora:
a

b
area(T )   f ( x)dx
b
T
a
Calcolare l’area della regione
T  ( x, y )  R 2 : 1  x  e, 0  y  ln x
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08/11/2015
Calcolare l’area della porzione di piano compresa tra
l’asse delle x, il grafico della funzione y=xex con x∊[-1,1]
Calcolare l’area della porzione di piano compresa tra le
2
2
due parabole di equazione y  x  3x  2 e y   x  x  2
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