Corso di Analisi Matematica Comportamenti asintotici

a.a. 2013/2014
Laurea triennale in Informatica
Corso di Analisi Matematica
Comportamenti asintotici
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
Funzioni asintoticamente equivalenti
Sia x̄ ∈ R. Siano f e g due funzioni tali che la funzione rapporto
f /g sia definita vicino a x̄ . Se
f (x)
= 1,
lim
x→x̄ g (x)
diciamo che f e g sono asintoticamente equivalenti per x che tende
a x̄ e scriviamo f (x) ∼ g (x) per x → x̄ .
Osservazione
È indispensabile specificare “per x che tende a x̄ ” perché,
variando il punto in cui si considera il limite, l’affermazione
f (x) ∼ g (x) potrebbe non essere vera.
Esempio: sin(x) ∼ x per x → 0, ma sin(x) 6∼ x per x → π .
Osservazioni
• f e g sono asintoticamente equivalenti per x → x̄ se e solo se
f (x) = g (x) h(x),
dove h è una funzione che tende a 1 per x → x̄ .
• Se f e g sono asintoticamente equivalenti per x → x̄ , allora
sono entrambe non regolari oppure entrambe regolari per x → x̄ ;
in quest’ultimo caso, hanno lo stesso limite per x → x̄ .
Non vale il viceversa!
Proprietà della equivalenza asintotica
Transitività
Per x → x̄ :
f (x) ∼ g (x)
g (x) ∼ h(x)
Prodotti e rapporti
Per x → x̄ :
!
=⇒ f (x) ∼ h(x)
Nota: non c’è una proprietà per somme e differenze!
f1 (x) ∼ f2 (x)
f1 (x) g1 (x) ∼ f2 (x) g2 (x)
!
g1 (x) ∼ g2 (x)
=⇒ f (x)
f2 (x)
1
∼
g1 (x)
g2 (x)
Composizione
h(x) → ȳ per x → x̄


f (y ) ∼ g (y ) per y → ȳ 
 =⇒
f e g continue in ȳ , se ȳ ∈ R
f (h(x)) ∼ g (h(x))
per x → x̄
Osservazione
Dai “limiti notevoli” segue che, per x → 0:
• sin(x), arcsin(x), tan(x), arctan(x), e x − 1, ln(1 + x)
sono asintoticamente equivalenti a x (e quindi tra loro);
x2
• 1 − cos(x) è asintoticamente equivalente a
.
2
Esercizio
(e x − 1) sin(3x)
x→0 ln(1 + tan(x 2 ))
Calcolare lim
Esempi
Per x → +∞:
2x 4 − x 3 + 3x 2 ∼ 2x 4
2x 4 − x 3 + 3x 2 + 5 ∼ 2x 4
3x 2/5 − x 2/3 + 2x 4/3 ∼ 2x 4/3
Per x → 0:
2x 4 − x 3 + 3x 2 ∼ 3x 2
2x 4 − x 3 + 3x 2 + 5 ∼ 5
3x 2/5 − x 2/3 + 2x 4/3 ∼ 3x 2/5
Generalizzando gli esempi si ottiene la seguente
Proposizione
Una combinazione lineare di potenze di x con esponente positivo
(brevemente: funzione algebrica) è asintoticamente equivalente
• al monomio con esponente maggiore per x → +∞,
(x → −∞)
• al monomio con esponente minore per x → 0.
(x → 0+ )
Esercizio
Calcolare i seguenti limiti:
√
2x 3 − 3x − 4 x
√
lim
3
x→+∞
5x 4 + 7 x 5
√
2x 3 − 3x − 4 x
√
lim
3
x→0+
5x 4 + 7 x 5
(x 4 − 2x 3 )(5x 2/5 + 2x 2 )
√
x→−∞ (3x 5 + 3 x 2 )(3x − 1)
lim
(x 4 − 2x 3 )(5x 2/5 + 2x 2 )
√
x→0 (3x 5 + 3 x 2 )(3x − 1)
lim
Gli esempi mostrano che le forme di indecisione in cui compaiono
prodotti e/o rapporti di funzioni algebriche si risolvono rapidamente
trascurando i termini con esponente inferiore o superiore, a seconda
che x tenda all’infinito o a 0.
Possiamo generalizzare il procedimento a funzioni non algebriche?
Confronto tra infiniti e infinitesimi
Sia x̄ ∈ R. Supponiamo che le funzioni f e g siano entrambe infinite
oppure entrambe infinitesime per x che tende a x̄ .
Se
f (x)
lim
= 0,
x→x̄ g (x)
diciamo che f è infinito di ordine inferiore, oppure infinitesimo di
ordine superiore, rispetto a g per x che tende a x̄ e scriviamo
f (x) = o(g (x)) per x → x̄
(si legge “f è o piccolo di g ”). Terminologia?
Esempio
Per x → 0: 1 − cos(x) = o(sin(x)).
Nota
Se il rapporto f (x)/g (x) diverge per x → x̄ , si dice che f è infinito di
ordine superiore, oppure infinitesimo di ordine inferiore, rispetto a g .
Motivazione . . .
Proposizione
Sia x̄ ∈ R. Siano f , g funzioni infinite o infinitesime per x → x̄ .
Le seguenti affermazioni sono logicamente equivalenti:
(a) f (x) ∼ g (x) per x → x̄ ,
(b) f (x) = g (x) + o(g (x)) per x → x̄ .
Verifica . . .
Nota
Con le notazioni della proposizione, chiamiamo g (x) la parte
principale di f (x).
Osservazione
Dalla proposizione e dalle proprietà della equivalenza asintotica segue
che, nel calcolo del limite di un prodotto o di un rapporto,
in ciascun fattore gli infiniti di ordine inferiore e gli infinitesimi di
ordine superiore sono trascurabili (conta solo la parte principale).
Definiamo l’infinito/infinitesimo campione:

1

 x
oppure
se x̄ ∈ {−∞, +∞}
x
ϕ(x) =
1


oppure x − x̄
se x̄ ∈ R
x − x̄
Se la parte principale di f (x) è del tipo c [ϕ(x)]α , chiamiamo α
ordine di infinito/infinitesimo di f .
Nota: se α non è un numero intero, può essere necessario sostituire
ϕ(x) con |ϕ(x)|.
Osservazione
Per una funzione algebrica:
• per x → +∞ (oppure x → −∞), la parte principale coincide con
il monomio con esponente maggiore e l’ordine di infinito coincide
con l’esponente maggiore;
• per x → 0, la parte principale coincide con il monomio con
esponente minore e l’ordine di infinitesimo coincide con
l’esponente minore.
Conferma del procedimento seguito per funzioni algebriche . . .
Esempi
Determinare (se esistono) la parte principale rispetto agli
infiniti/infinitesimi campione delle funzioni
√
• e 3/ x − 1
per x → +∞
4x • ln 1 − 4
per x → +∞
x +1
x +1
• q
5
tan (x − 3)2
• tan(x)
per x →
• x 2 (sin(x) + 3)
• ex
per x → 3
π
da sinistra
2
per x → +∞ ???
per x → +∞ ???
• ln(x)
per x → +∞ ???
Regola di de l’Hôpital
Teorema
Siano f e g due funzioni e sia x̄ ∈ R un punto di accumulazione
f
per il dominio della funzione rapporto .
g
Supponiamo che:
(a) f e g siano entrambe infinite oppure entrambe infinitesime
per x che tende a x̄ ;
(b) f e g siano derivabili vicino a x̄ ;
(c) esista il limite
lim
x→x̄
f 0 (x)
= ` ∈ R.
g 0 (x)
Allora:
f (x)
anche il rapporto
ha limite in x̄ e si ha
g (x)
f (x)
lim
= `.
x→x̄ g (x)
Esempi
ln(x)
Calcolare lim
x→1 1 − x 2
sin(x) − x
x→0
x5
lim
sin(x)
???
x→0
x
lim
Ruolo delle ipotesi
f
Se (a) non è soddisfatta, non è detto che il limite di
sia uguale
g
0
f
x
al limite di 0 . Esempio: lim+
g
x→1 ln(x)
f
Se (c) non è soddisfatta, niente può dirsi sul limite di , che può
g
x − sin(x)
esistere o non esistere. Esempio: lim
x→+∞ x + sin(x)
Esempi (da ricordare)
Come applicazione della regola di de l’Hôpital calcoliamo i seguenti
limiti, che nei casi indicati presentano la forma di indecisione ∞/∞:
lim
x→+∞
loga (x)
=0
xp
p>0
xp
=0
x→+∞ ax
a > 1, p > 0
lim
Esponenziale e logaritmo
non hanno ordine di infinito
Corollario (gerarchia degli infiniti)
Per x → +∞:
• la funzione logaritmo con base qualsiasi è trascurabile rispetto
alla funzione potenza con esponente positivo qualsiasi;
• la funzione potenza con esponente positivo qualsiasi è trascurabile
rispetto alla funzione esponenziale con base maggiore di 1.
Esempi
Calcolare
lim
x→+∞
√
x − ln(x)
(log3 (x))2
x→+∞
x3
lim
x 2 − 3x
x→+∞ 2x + x 3
lim
Classificazione dell’andamento all’infinito di una funzione
Sia x̄ ∈ {−∞, +∞}. Supponiamo che f diverga per x → x̄ .
Diciamo che f ha andamento lineare se
(∗) esiste m ∈ R∗ tale che f (x) ∼ mx per x → x̄ .
Formulazione
equivalente?
Se vale (∗) e inoltre
f (x) − mx → q ∈ R per x → x̄ ,
diciamo che la retta di equazione y = mx + q è un asintoto obliquo
per f . Interpretazione grafica?
Diciamo che f ha andamento sublineare se
f (x) = o(x) per x → x̄ .
Formulazione equivalente?
Diciamo che f ha andamento superlineare se
x = o(f (x)) per x → x̄ .
Formulazione equivalente?
Esempi
Classificare (se appropriato) l’andamento all’infinito delle seguenti
funzioni; in caso di andamento lineare, stabilire l’esistenza di asintoti
obliqui.
q
x2 − x + 2
x3 − x + 2
f (x) =
f
(x)
=
f (x) = 5 x 2 (x − 1)
x2 + 1
x2 + 1
√
f (x) = 3x + x
f (x) = x(sin(x) + 3)
Risoluzione grafica e approssimata di equazioni
Per ciascuna delle seguenti funzioni, tracciare un grafico
approssimativo e utilizzarlo per determinare il numero di soluzioni
dell’equazione f (x) = λ, al variare di λ ∈ R.
f (x) = |x + 1|e −x
f (x) = x ln(x)
f (x) =
ln(x)
x −2
Si considerino le seguenti equazioni, non risolvibili esplicitamente:
2x 3 − 4x 2 + 1 = 0
2x = −x
3x 2 − x 6 = 1
ln
x + 1
+x +4=0
x
Determinare il numero esatto di soluzioni in R; determinare
approssimativamente ciascuna soluzione con una cifra decimale
corretta.
Osservazione
Sia P(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 .
Dal teorema degli zeri segue che:
• se n è dispari, l’equazione P(x) = 0 ammette almeno una
soluzione;
• se n è pari e an · a0 < 0, l’equazione P(x) = 0 ammette almeno
una soluzione negativa e una positiva.