CALCOLO DEI LIMITI
Tenendo conto dei teoremi dei limiti e delle proprietà simboliche dell’infinito è possibile calcolare il
risultato di diversi tipi di limite. Negli esercizi di questo tipo si sostituisce alla x il valore a cui tende e
si effettuano i calcoli cercando di giungere a un risultato.
Esempi:
(
)
lim x 3 − 3 x + 6 = 2 3 − 3 ⋅ 2 + 6 = 8 − 6 + 6 = 8
x→2
−7
7
2x +1 − 8 +1
=
=
lim
=
x → −4 3 x − 8
− 12 − 8 − 20 20
Quando capita di fare i calcoli col simbolo infinito bisogna ricordare le proprietà algebriche di tale
simbolo per i vari casi che possono verificarsi. Vediamo degli esempi caso per caso.
CASI DELLA SOMMA:
lim (19 + x ) = 19 + ∞ = +∞
x → +∞
lim ( x + x ) = +∞ + ∞ = +∞
x → +∞
lim (31 + x ) = 31 − ∞ = −∞
x → −∞
lim ( x + x ) = −∞ − ∞ = −∞
x → −∞
CASI DEL PRODOTTO:
lim (− 5x ) = −5 ⋅ (+ ∞ ) = −∞
x → +∞
lim (− x ⋅ x ) = −∞ ⋅ (+ ∞ ) = −∞
x → +∞
lim (− 5x ) = −5 ⋅ (− ∞ ) = +∞
x → −∞
lim (− x ⋅ x ) = +∞ ⋅ (− ∞ ) = −∞
x → −∞
NB: nel prodotto si devono sempre considerare le regole dei segni.
CASI DEL RAPPORTO:
11
11
11
11
lim
=
=
= 0 − (tende a zero per valori negativi)
=
x → +∞ 8 − 3 x
[8 − 3(+ ∞ )] 8 − ∞ − ∞
11
11
11
11
lim
=
=
= 0 + (tende a zero per valori positivi)
=
x → −∞ 8 − 3 x
[8 − 3(− ∞ )] 8 + ∞ + ∞
−1
2− x 2−3
= +
lim
= + = −∞
3 −3
0
x → 3+ x − 3
lim
x →5
−1
2− x 2−3
= −
lim
= − = +∞
3 −3
0
x → 3− x − 3
2− x
2−5
−3
=
=
= −∞ (sia da sinistra che da destra)
(5 − x )2 (5 − 5)2 0+
Nel foglio seguente vediamo altri esempi di calcolo dei limiti.
Calcolo dei limiti 1 pag. 1
3
3
3
3
3
3
7 − 3x
7−∞
−∞
3
lim
=
=
= (− ∞ ) = −∞
x → +∞ 10
10
10
7 − 3x
7+∞
+∞
3
lim
=
=
= (+ ∞ ) = +∞
x → −∞ 10
10
10
2
2
2
7 − 3x
7−∞
−∞
2
lim
=
=
= (− ∞ ) = +∞
x → +∞ 10
10
10
2
2
NB: NEL CALCOLO PRATICO
DEI LIMITI, ALCUNI PASSAGGI
SI SALTANO:
lim (5 + 3x )7 = (− ∞ )7 = −∞
x→ −∞
2
7 − 3x
7+∞
+∞
2
lim
=
=
= (+ ∞ ) = +∞
x → −∞ 10
10
10
………………………………………………………………………………………………………………
Limite destro e sinistro diversi
x 2 − 7 25 − 7 18
=
=
=∞
lim
x → 5 x 2 − 25
−
25
25
0
In questo esempio se vogliamo stabilire il segno del limite dobbiamo distinguere limite destro e limite
sinistro. Ci sarà utile anche la scomposizione in fattori del denominatore come differenza di quadrati.
Limite sinistro
x2 − 7
x2 − 7
25 − 7 18
= lim
= − = −∞
=
lim 2
10 ⋅ 0 −
0
x → 5 − x − 25
x → 5 − ( x + 5) ⋅ ( x − 5)
Limite destro
x2 − 7
x2 − 7
25 − 7 18
= lim
=
lim 2
x → 5 + ( x + 5) ⋅ ( x − 5) 10 ⋅ 0 + = 0 + = +∞
x → 5 + x − 25
………………………………………………………………………………………………………………
Invece per il seguente limite sia il limite destro che il limite sinistro sono uguali:
x 2 − 27 25 − 27 − 2
=
lim
=
= −∞
x → 5 (5 − x )2
(5 − 5)2 0+
………………………………………………………………………………………………………………
In tutti gli esempi visti sinora siamo sempre stati in grado di calcolare il limite applicando formalmente
l’algebra dei limiti anche coi simboli di infinito. In tutti i casi non si presentavano forme di
indeterminazione e ogni singolo passaggio era calcolabile direttamente.
Ciò potrebbe indurre a credere che sia sempre possibile ottenere un valore per il limite di una funzione,
ma ci sono anche casi particolari in cui il limite non esiste.
Se il limite non esiste vuol dire che la funzione non si avvicina a nessun valore particolare e non
tende nemmeno a più o meno infinito. Vediamo qualche esempio.
Calcolo dei limiti 1 pag. 2
Consideriamo la funzione y = sen x .
Finchè calcoliamo limiti per x che tende a valori finiti non ci sono problemi, ad esempio abbiamo che
lim sen x = 0
lim sen x = sen α
e più in generale
x →0
x →α
………………………………………………………………………………………………………………
Ma cosa possiamo dire del limite:
lim sen x = sen (± ∞ ) = ???
x → ±∞
Ebbene, tale limite non esiste.
………………………………………………………………………………………………………………
Lo si può capire se si analizza il grafico della funzione (la sinusoide della trigonometria):
lim sen x = non esiste!
x → ±∞
La funzione è una funzione periodica che si ripete sempre allo stesso modo e quando x tende a infinito
assume comunque tutti i valori compresi tra –1 e +1 (misurati in verticale).
La funzione continua ad oscillare tra –1 e +1 e non esiste quindi nessun valore particolare a cui si
avvicina per x che tende a infinito.
Lo stesso accade in generale per tutte le funzioni oscillanti per x che tende a infinito. Alcuni altri esempi
sono:
lim cos x = non esiste!
x → ±∞
lim tg x = non esiste!
x → ±∞
Dopo aver visto questi casi un po’ patologici torniamo a considerare il problema del calcolo dei limiti
per il caso delle forme indeterminate. Le vediamo nelle pagine seguenti.
Calcolo dei limiti 1 pag. 3
LE PRIME 4 FORME INDETERMINATE
+ ∞−∞
forma indeterminata della somma
∞⋅0
forma indeterminata del prodotto
∞
∞
1a forma indeterminata del rapporto
0
0
2a forma indeterminata del rapporto
………………………………………………………………………………………………………………
Quando nel calcolo di un limite si arriva a una di queste forme vuol dire che non siamo in grado di
calcolare direttamente il limite e dobbiamo escogitare qualche modo per calcolarlo.
+ ∞−∞
forma indeterminata della somma
CASO 1 DEI POLINOMI PER X CHE TENDE A INFINITO
lim
x → +∞
(x
7
)
− 100 x 6 = (+ ∞ )7 − 100 ⋅ (+ ∞ )6 = +∞ − ∞ = ?
come calcolarla?
In questo caso prevale, in un certo senso, l’ordine di infinito. L’esponente 7 prevale sul 6 e quindi il
limite sarà alla fine più infinito. Ma dobbiamo calcolarlo in modo rigoroso.
Il trucco sta nel RACCOGLIERE LA X CON L’ESPONENTE MAGGIORE
(
)
7
lim x − 100 x = lim x 1 −
x → +∞
x → +∞
7
6
100 x 6
100
100
= lim x 7 1 −
= +∞ ⋅ 1 −
= +∞ ⋅ (1 − 0 ) = +∞
7
x
x x → +∞
+∞
e il limite è stato calcolato.
………………………………………………………………………………………………………………
Altro esempio:
(
)
100 x 6 415
100 415
8
lim − 5 x 8 + 100 x 6 − 415 = lim x 8 − 5 +
lim
x
5
=
−
+
− 8 = +∞ ⋅ (− 5) = −∞
−
8
8
2
x → +∞
x → +∞
x → +∞
x
x
x
x
.
Nei due esempi visti è importante notare che prevale il termine col grado più alto:
• nel primo esempio ∞ 7 ha ordine maggiore di ∞ 6
• nel secondo esempio ∞ 8 ha ordine maggiore di ∞ 6
Calcolo dei limiti 1 pag. 4
∞
∞
1a forma indeterminata del rapporto
CASO 2 DEL RAPPORTO TRA POLINOMI PER X CHE TENDE A INFINITO
5 x + 1000 + ∞ + 1000 + ∞
=
=
=?
x → +∞ 2 x − 989
+ ∞ − 989 + ∞
lim
come calcolarla?
Il trucco sta nel RACCOGLIERE LA X CON L’ESPONENTE MAGGIORE AL NUMERATORE
E AL DENOMINATORE
1000 1000
x ⋅ 5 +
5 +
5 x + 1000
x
+ ∞ 5+0 5
lim
=
=
=
= lim
x → +∞ 2 x − 989
x → +∞
989 2 − 0 2 e il limite è stato calcolato.
989
x ⋅2 −
2 −
x
+∞
………………………………………………………………………………………………………………
Altro esempio:
10 x 2
5
3
10 5
2 + 3 + 3
x
x 2 + + 3
3
2
x
x
2 x + 10 x + 5
x x + ∞ ⋅ (2 + 0 + 0 )
lim
lim
lim
=
= +∞
=
=
x → +∞
x → +∞
x → +∞
0 −1
7
7x − x 2
2 7x
x 2 − 1
− 1
x
x
Notare che a numeratore abbiamo raccolto x3 mentre al denominatore x2, poi abbiamo semplificato le
varie x e completato i calcoli coi simboli di infinito.
………………………………………………………………………………………………………………
Per questo tipo di limite (rapporto di polinomi per x che tende a infinito) possiamo avere tre casi
nei risultati:
1. se il grado di numeratore e denominatore sono uguali il limite è finito e diverso da zero.
2. se il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore il limite è infinito
3. se il grado del numeratore è minore di quello del denominatore il limite è zero.
………………………………………………………………………………………………………………
Esercizi per lo studente diligente:
a)
lim
− 4 x 3 + 10 x 5 + 4
=?
x → −∞ 7 x − 9 x 6 + 11
b)
− 4 x 3 + 10 x 5 + 4
=?
x → +∞ 7 x − 9 x 5 + 11
c)
− 4 x 3 + 10 x 7 + 4
=?
x → −∞ 7 x − 9 x 6 + 11
d)
− 4 x 3 + 10 x 7 + 4
=?
x → +∞ 7 x − 9 x 6 + 11
e)
lim − 2 x 9 + 10 x 7 + 4 = ?
f)
lim − 2 x 9 + 10 x 7 + 4 = ?
lim
x → −∞
(
)
lim
lim
x → +∞
(
)
Calcolo dei limiti 1 pag. 5
