Numeri complessi

Numeri complessi
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Risoluzione delle equazioni di secondo grado
Vogliamo determinare le soluzioni z ∈ C dell’equazione di 2o
grado:
az2 + bz + c = 0,
(1)
dove a, b, c ∈ R sono fissati, con a 6= 0.
Già sappiamo che, se ∆ = b2 − 4ac ≥ 0, allora la (1) è risolvibile
in R (e, quindi, anche in C).
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Risoluzione delle equazioni di secondo grado
Il fatto nuovo ed interessante è che, se ∆ < 0, allora la (1) ha
due soluzioni in C date da:
√
√
−b + ( −∆)i
−b − ( −∆)i
z1 =
,
z2 = z1 =
.
(2)
2a
2a
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Esercizio
Esercizio: Determinare le soluzioni in C di:
z2 + z + 1 = 0
(3)
e verificare il risultato.
Soluzione:
√
1
3
i,
z1 = − +
2
2
√
1
3
z2 = z1 = − −
i.
2
2
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Forma trigonometrica dei numeri complessi
Denotiamo ρ = |z| e facciamo riferimento alla seguente figura:
y
z = a + bi
b
ρ
ϑ
O
a
x
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Forma trigonometrica dei numeri complessi
Se z 6= 0, allora z è univocamente determinato dalla conoscenza
di ρ (sempre > 0) e dell’angolo ϑ .
Il legame tra le coordinate [ρ , ϑ ] (chiamate coordinate polari) e
le coordinate cartesiane [a, b] è espresso dalle relazioni:
a = ρ cos ϑ
(4)
b = ρ sin ϑ .
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Forma trigonometrica dei numeri complessi
Un numero z = a + bi può essere riscritto, mediante le (4),
come:
z = a + bi = (ρ cos ϑ ) + (ρ sin ϑ )i = ρ [cos ϑ + sin ϑ i].
(5)
Il formalismo si semplifica definendo il cosiddetto
esponenziale complesso:
eiϑ = [cos ϑ + sin ϑ i].
def
(6)
Sostituendo in (5) otteniamo:
z = ρ eiϑ ,
(7)
che è denominata forma trigonometrica di z.
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Esponenziale complesso ei ϑ
È importante rendersi conto che la (6) è solo una definizione di
comodo, in cui la terminologia esponenziale complesso è
giustificata dal fatto che eiϑ ha proprietà algebriche che, come
mostreremo tra poco, sono molto simili a quelle di cui godono le
funzioni esponenziali reali.
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Argomento di un numero complesso (Arg(z))
Osservazione: Dato che le funzioni cos ϑ e sin ϑ sono
periodiche di periodo 2π , abbiamo che:
eiϑ = ei(ϑ +2kπ ) ,
∀k ∈ Z, ∀ϑ ∈ R.
(8)
Per questo motivo è conveniente assumere che l’angolo ϑ , che
chiameremo argomento di z, (si scrive ϑ = Arg(z)), sia definito
a meno di multipli interi di 2π .
Per esempio, scrivere Arg(z) = 0 è equivalente a scrivere
Arg(z) = 2π , oppure Arg(z) = 4π .
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Proprietà fondamentale dell’esponenziale complesso
L’osservazione precedente consente di enunciare la prima
proprietà di interesse per noi, e cioè:
ei(ϑ1 +ϑ2 ) = eiϑ1 · eiϑ2 ,
∀ϑ1 , ϑ2 ∈ R .
(9)
La dimostrazione della (9) avviene per calcolo diretto.
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Formula di De Moivre
Applicando iterativamente la (9) si deduce anche la:
[eiϑ ]n = einϑ ,
∀ϑ ∈ R, n ∈ N,
(10)
da cui, ragionando ora sulla forma trigonometrica (7), segue
che
zn = ρ n einϑ , ∀ n ∈ N , ∀ z ∈ C , z 6= 0 .
(11)
La (11) è detta formula di de Moivre.
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Esercizio
Esercizio: Sia z = (1 + i). Calcolare Re(z17 ), Im(z17 ).
Soluzione: Scrivendo z in forma trigonometrica e usando la
formula di De Moivre, si ottiene:
Re(z17 ) = 28 = 256, Im(z17 ) = 256.
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Esercizio
• Determinare una rappresentazione parametrica del
piano che passa per il punto P0 = [x0 , y0 , z0 ] ed è parallelo a
~u = [u1 , u2 , u3 ] e~v = [v1 , v2 , v3 ] (~u, ~v 6= 0);
• Siano r una retta e P0 = [x0 , y0 , z0 ] un punto. Verificare che:
−−−−→
dist(P0 , r) = |(P0 − P1 ) ∧ ~ur | ,
ur è un versore
dove P1 = [x1 , y1 , z1 ] è un punto di r e ~
parallelo a r.
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