Numeri complessi 1 / 13 Risoluzione delle equazioni di secondo grado Vogliamo determinare le soluzioni z ∈ C dell’equazione di 2o grado: az2 + bz + c = 0, (1) dove a, b, c ∈ R sono fissati, con a 6= 0. Già sappiamo che, se ∆ = b2 − 4ac ≥ 0, allora la (1) è risolvibile in R (e, quindi, anche in C). 2 / 13 Risoluzione delle equazioni di secondo grado Il fatto nuovo ed interessante è che, se ∆ < 0, allora la (1) ha due soluzioni in C date da: √ √ −b + ( −∆)i −b − ( −∆)i z1 = , z2 = z1 = . (2) 2a 2a 3 / 13 Esercizio Esercizio: Determinare le soluzioni in C di: z2 + z + 1 = 0 (3) e verificare il risultato. Soluzione: √ 1 3 i, z1 = − + 2 2 √ 1 3 z2 = z1 = − − i. 2 2 4 / 13 Forma trigonometrica dei numeri complessi Denotiamo ρ = |z| e facciamo riferimento alla seguente figura: y z = a + bi b ρ ϑ O a x 5 / 13 Forma trigonometrica dei numeri complessi Se z 6= 0, allora z è univocamente determinato dalla conoscenza di ρ (sempre > 0) e dell’angolo ϑ . Il legame tra le coordinate [ρ , ϑ ] (chiamate coordinate polari) e le coordinate cartesiane [a, b] è espresso dalle relazioni: a = ρ cos ϑ (4) b = ρ sin ϑ . 6 / 13 Forma trigonometrica dei numeri complessi Un numero z = a + bi può essere riscritto, mediante le (4), come: z = a + bi = (ρ cos ϑ ) + (ρ sin ϑ )i = ρ [cos ϑ + sin ϑ i]. (5) Il formalismo si semplifica definendo il cosiddetto esponenziale complesso: eiϑ = [cos ϑ + sin ϑ i]. def (6) Sostituendo in (5) otteniamo: z = ρ eiϑ , (7) che è denominata forma trigonometrica di z. 7 / 13 Esponenziale complesso ei ϑ È importante rendersi conto che la (6) è solo una definizione di comodo, in cui la terminologia esponenziale complesso è giustificata dal fatto che eiϑ ha proprietà algebriche che, come mostreremo tra poco, sono molto simili a quelle di cui godono le funzioni esponenziali reali. 8 / 13 Argomento di un numero complesso (Arg(z)) Osservazione: Dato che le funzioni cos ϑ e sin ϑ sono periodiche di periodo 2π , abbiamo che: eiϑ = ei(ϑ +2kπ ) , ∀k ∈ Z, ∀ϑ ∈ R. (8) Per questo motivo è conveniente assumere che l’angolo ϑ , che chiameremo argomento di z, (si scrive ϑ = Arg(z)), sia definito a meno di multipli interi di 2π . Per esempio, scrivere Arg(z) = 0 è equivalente a scrivere Arg(z) = 2π , oppure Arg(z) = 4π . 9 / 13 Proprietà fondamentale dell’esponenziale complesso L’osservazione precedente consente di enunciare la prima proprietà di interesse per noi, e cioè: ei(ϑ1 +ϑ2 ) = eiϑ1 · eiϑ2 , ∀ϑ1 , ϑ2 ∈ R . (9) La dimostrazione della (9) avviene per calcolo diretto. 10 / 13 Formula di De Moivre Applicando iterativamente la (9) si deduce anche la: [eiϑ ]n = einϑ , ∀ϑ ∈ R, n ∈ N, (10) da cui, ragionando ora sulla forma trigonometrica (7), segue che zn = ρ n einϑ , ∀ n ∈ N , ∀ z ∈ C , z 6= 0 . (11) La (11) è detta formula di de Moivre. 11 / 13 Esercizio Esercizio: Sia z = (1 + i). Calcolare Re(z17 ), Im(z17 ). Soluzione: Scrivendo z in forma trigonometrica e usando la formula di De Moivre, si ottiene: Re(z17 ) = 28 = 256, Im(z17 ) = 256. 12 / 13 Esercizio • Determinare una rappresentazione parametrica del piano che passa per il punto P0 = [x0 , y0 , z0 ] ed è parallelo a ~u = [u1 , u2 , u3 ] e~v = [v1 , v2 , v3 ] (~u, ~v 6= 0); • Siano r una retta e P0 = [x0 , y0 , z0 ] un punto. Verificare che: −−−−→ dist(P0 , r) = |(P0 − P1 ) ∧ ~ur | , ur è un versore dove P1 = [x1 , y1 , z1 ] è un punto di r e ~ parallelo a r. 13 / 13