1
Numeri complessi
L’equazione
x2 + 1 = 0
(1)
non ha soluzioni tra i numeri reali, ma ammettiamo che essa abbia una
soluzione i in un qualche insieme di numeri C . Se in C valgono le usuali
proprietà del prodotto si ha che (−i)2 = (−i) ∗ (−i) = (−1) ∗ (−1) ∗ i ∗ i = i2 ,
quindi anche -i risolve la (1). Attraverso ± i, si possono esprimere soluzioni di
tutte le equazioni di secondo grado a coefficienti reali. Infatti se l’equazione
√
2
ax√
+ bx + c = 0√ha discriminante ∆ = b2 − 4ac < 0 possiamo porre ± ∆ =
± −i2 ∆ = ±i −∆ e quindi determinare le soluzioni
√
√
−b ± i −∆
−b
−∆
x1,2 =
=
±i
(2)
2a
2a
2a
nella forma u+ i v,con u,v∈R. Quindi consideriamo ”numeri” della forma
u+iv con u e v reali. Tali ”numeri” sono in corrispondenza biunivoca con le
coppie di numeri reali e quindi (vedi n.2.33) i punti del piano. Se ammettiamo
che valgano per tali ”numeri” le usuali proprietà algebriche, si ha che:
(u+iv)+(u’+i v’)=u+iv+u’+i v’=u+u’+iv+iv’=(u+u’)+i(v+v’)
(u+iv) (u’+i v’)= u u’+i2 v v’+ i u v’+i u’ v=(u u’-v v’)+i(u v’+u’v)
Con percorso inverso si definiscono i numeri complessi
Definizione 1 L’insieme C dei numeri complessi è costituito dalle coppie
(u,v) di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto definite da:
1. (u,v)+(u’, v’)=(u+u’,v+v’)
2. (u,v) (u’, v’)=(u u’-v v’,uv’+u’v)
Si verfica che per le operazioni definite su C valgono prorietà algebriche
analoghe a quelle viste per R(vedi...) (o con un diverso linguaggio C è un
corpo ).
Definizione 2 Dato un numero complesso z=a+i b, a,b∈ R
1. a si dice la parte reale di z, a= Re z.
2. b si dice la parte immaginaria di z, b= Im z.
3. il numero complesso z=a-ib si dice coniugato di z.
1
4.
√
zz = |z| = |z| si dice modulo di z.
√
√
2+3)=3, Im(i 2+3)= 2
√
√
2. 2 − i2 3 = 2 + i2 3
√
√
3. |2 − i2 3| = |2 + i2 3| = 4
I numeri complessi con parte immaginaria nulla si identificano con i numeri reali, poichè (a,0) +(a’,0)=(a+a’,0) ed (a,0)(a’,0)=(a a’,0) e quindi se
a∈R, a=a+i 0=(a,0)∈C . Inoltre i=(0,1) ed i2 =(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1, che
chiarisce in che senso i risolve l’equazione (1).
I numeri complessi con parte reale nulla si dicono immaginari.
Esempi: 1
1. Re(i
√
NOTA 1 Per moltiplicare un numero complesso a+ib per un numero reale
c, basta moltiplicare per c sia la parte reale che quella immaginaria, quindi
1
a
b
(a+ib)/c= (a + ib) = ( + i ). Poichè qualunque sia z∈C ,|z| è reale, se
c
c
c
zw
z
=
il quoziente tra numeri complessi puó ricondursi al
w∈C , w6=0,
w
ww
prodotto.
Esempi: 2 1. (3 + 5i)(−2 + 3i) = −21 − i
3 + 5i
(3 + 5i)(−2 − 3i)
9
19
=
=
−i
2.
−2 + 3i
13
13
13
3. |3 + 5i| | − 2 + 3i| = | − 21 − i|
¯
¯ 3 + 5i
4. ¯¯
−2 + 3i
¯
¯
¯=
¯
|3 + 5i|
34
=
| − 2 + 3i|
13
Proposizione 1 Il coniugato di una somma è la somma dei coniugati.
Il coniugato di un prodotto è il prodotto dei coniugati,cioè se z,w∈C allora
z + w = z + w e zw = z w
Basta scrivere z=a+ib e w=c+id con a,b,c,d ∈bR . Per es. z + w =
(a + c) + i(b + d) = (a + c) − i(b + d) = a − i b + c − i d
2
6
Im
Ad ogni numero complesso a+ib resta associato un punto nel piano di
coordinate (a,b). I punti
sull’asse delle ascisse sono
associati ai numeri reali,
mentre i punti dell’asse delle
ordinate sono associati ai
numeri immaginari. Numeri complessi coniugati
sono rappresentati nel piano da punti simmetrici
rispetto all’asse reale.
2+i
-
O
Re
(−4 − 4i)/3
6
Il modulo di un numero complesso z, |z|,è la distanza dall’origine
del punto
che lo rappresenta nel piano.
Sia A il punto di coordinate (1,0). Se z 6= 0 e P è il punto del piano associato
d 0 ≤ AOP
d < 2π. Se z=0 l’argomento
l’ argomento di z, Arg z, è angolo AOP,
non viene definito.
In fig 0esempi dei punti corrispondenti a numeri complessi espressi in
forma trigonometrica. Se P è un punto del piano corrispondente ad un numero complesso z espresso in forma trigonometrica da (ρ, θ), si dice anche
che (ρ, θ) sono le coordinate polari di P. Punti sull’asse x di ascissa positiva
hanno argomento 0,quelli di ascissa negativa hanno argomento −π. Punti
sull’asse y di ordinata positiva hanno argomento π/2,quelli di ordinata negativa hanno argomento 3π/2. Le relazioni tra la forma trigonometrica (ρ, θ)
e la forma cartesiana (a,b) di un numero complesso e quindi tra coordinate
polari
√ e cartesiane di un punto del piano sono:a=ρ cos θ e b=ρ sin θ
ρ = a2 + b2 e se ρ 6= 0 tan θ = b/a o cot θ = a/b. secondo che a o b siano
non nulli. Poichè la tangente e la cotangente sono funzioni di periodo π,
occorre scegliere θ tra −pi/2 e pi/2 se z sta nel primo o quarto quadrante o
tra pi/2 e 3pi/2 se z sta nel secondo o terzo quadrante.
Esecizio 1 1. Determinare la forma trigonometrica dei numeri complessi 2+2i,-8i,-8,-4-4i,4+4i.
3
2. Determinare la forma cartesiana dei numeri complessi di modulo
7π 2π
2 ed argomenti π, −π, , .
12 3
Esecizio 2 Il prodotto (o il quoziente ) di un numero complesso ed il suo
coniugato è sempre un numero reale .
Proposizione 2 Se z,w∈C allora il modulo del prodotto zw è uguale al prodotto
dei moduli di z e di w, |z w| = |z| |w| e l’argomento del prodotto è la somma
degli argomenti, Arg (zw)=Arg z+Arg w.
√ La prima relazione deriva dalla proposizione(1). |z w| =
zzww. La seconda parte equivale alla relazioni:
√
zwzw =
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α + β) = cos α sin β + cos α sin β
vedi fig.0Dalla teoria delle serie di potenze trova giustificazione la notazione
eiθ = cos θ + i sin θ. Ne segue che se z=ρeiθ e w=reit allora z w =ρreiθ+t . Le
operazioni di somma e prodotto tra numeri complessi possono essere rilette
da un punto di vista geometrico. Infatti se z=x+i y e w=u +i v sono numeri
complessi a cui sono associati i punti del piano di coordinate cartesiane (x,y)
ed (u,v), allora il punto corrispondente a z+w si ottiene traslando (x,y) del
vettore (u,v) o viceversa(cfr...).
Se z0 = x0 + iy0 ∈ C è fissato, la funzione z’=f(z)=z+z0 puó indifferentemente essere letta come funzione (lineare di C in se, oppure come la
x′ = x + x0
traslazione nel piano che porta O in z0
. In questo ambito
y ′ = y + y0
se z0 = ρ0 (cos θ0 + i sin θ0 ) ha modulo 1 allora la moltiplicazione per z0 corrisponde nel piano alla rotazione di centro O di un angolo θ0 . Si ottengono
quindi subito le equazioni delle rotazioni di un angolo assegnato φ.Se (x,y)
sono le coordinate di un punto, le coordinate
(x’,y’) del punto trasformato si
(
′
x = x cos φ − y sin φ
ottengono da (cos φ + i sin φ)(x+iy),
y ′ = x sin φ + y cos φ
Infine alla funzione f(z)=z corrisponde nel piano la simmetria rispetto alla
retta reale.
Se z= ρ(cos θ + i sin θ) è una radice n-esima di w=r(cos α + i sin α), cioè
zn = w allora
ρn (cos nθ + i sin nθ) = r(cos α + i sin α)
4
Tale relazione è vera se
√
ρ= nr
cos nθ = cos α
sin nθ = sin α
e quindi
√
n
r
ρ=
nθ = α + 2kπ, k ∈ Z
(3)
(4)
Di fatto l’equazione ((4)) è soddisfatta solo da n valori distinti di θ, corrispondenti per es. ai valori di k=1,. . . ,n. Infatti per ogni altro valore intero
di k si ottengono per θ angoli, che differiscono per multipli interi di 2π dai
α + 2π
α + 2(n + 1)π
=
+ 2π. Ne deriva
precedenti. Per es. se k=n+1 si ha
n
n
n
che se r6=0 l’equazione z = w ha n radici distinte.
Tali radici hanno tutte lo stesso modulo ed argomenti che differiscono per
2π/n.
Sia w=-4, le radici ottave di w, cioè le soluzioni di z 8 = w, sono ottenute nel
modo seguente:
√
|w| = 4 ed Arg w=π, quindi il modulo di ogni radice sarà 4 2 e gli argomenti
sono dati da:
π + 2π
π + 4π
π + 6π
π + 8π
θ1 =
θ2 =
θ3 =
θ4 =
8
8
8
8
π + 10π
π + 12π
π + 14π
π + 16π
θ5 =
θ6 =
θ7 =
θ8 =
8
8
8
8
Esecizio 3 Determinare espressione cartesiana e trigonometrica dei seguenti
(5 + 5i)
numeri complessi: (3 + i)(3i)
(3 + i)/(3i)
(−2 − i)
Esecizio 4 Determinare le radici complesse delle seguenti equazioni: z 3 =
3i
z 6 = 2 + 2i
z −4 = −3i
z2 -(8+i)z-(1+i)=0
z 1 6 + 4z 8 + 2 = 0
NOTA 2 Dalla proposizione (2) segue un metodo per determinare formule
trigonometriche di triplicazione degli angoli. Infatti, per es. cos 3θ e sin 3θ
possono essere espressi in funzione di cos θ e sin θ. Se z∈C ha modulo 1 ed
argomento θ allora z 3 = z z z ha argomento 3 θ e si ha:
(cos θ + i sin θ)3 = cos 3θ + i sin 3θ
5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Figure 1: Argomento e modulo
Sviluppando il prodotto ed uguagliando le parti reali ed immaginarie di ambo
i membri si ottiene il risultato.
NOTA 3 Se un polinomio P(x) a coefficienti reali ammette una radice complessa z allora ammette anche la coniugata z.
NOTA 4 il teorema fondamentale dell’algebra garantisce che ogni polinomio
di grado a coefficienti complessi ( e quindi anche reali) ammette n radici complesse (contando la molteplicità).Ne deriva che se il grado è dispari almeno
una radice è reale.
Infine la definizione di potenze di numeri reali positivi con esponende
immaginario. Si tratta di definire eıx , poichè se a>0, a= elog a e aıx = ex log a .
Qualunque sia n∈N il polinomio di McLaurin di ex è dato da
ex = 1 + x +
x2
xn
+ .... +
+ Rn
2!
n!
bene porremo allora che eix è approssimato per ogni n da
(ıx)2
(ıx)n
e = 1 + ıx +
+ .... +
+ Rn
2!
n!
ıx
Si può dimostrare che la definizione è ben posta. È interessante notare che,
per ogni n=2 k pari,
6
n
n
x2
x2
x3 x5
kx
kx
1 + ıx −
+ ı.... + −1
=1−
+ .. + (−1)
+ ı(x −
+ ..)
2!
n!
2
n!
3!
5!
in altre parole si ritrovano per le potenze pari il polinomio di McLaurin
di cos x e per le potenze dispari quello di sen x.
Analogo risultatto se n ’ dispari,per cui si pone
eıx = cos x + ısen x
Il processo può essere reso rigoroso, facendo riferimento alla nozione di
serie di potenze.
Ne deriva una identità considerata fondamentale , in quanto lega le 5
costanti più ”‘importanti”’ in Matematica”:
eıπ + 1 = 0
7
