1 ISTITUTO TECNICO TRASPORTI E LOGISTICA MARIO CILIBERTO NUMERI COMPLESSI Appunti Autore Sergio Simone Autore Luigi Flotta Indice 1 Numeri complessi 1.1 Forma algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Somma di due numeri complessi . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Dierenza di due numeri complessi . . . . . . . . . . 1.1.3 Prodotto di due numeri complessi . . . . . . . . . . . 1.1.4 Quoziente di due numeri complessi . . . . . . . . . . 1.1.5 Proprietà sui coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Forma trigonometrica dei numeri complessi . . . . . . . . . . 1.2.1 Prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Reciproco di un numero complesso non nullo in forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Quoziente di due numeri complessi in forma trigonometrica, il secondo dei quali non nullo . . . . . . . . 1.2.4 Potenza ad esponente intero di un numero complesso in forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Radici n − sime di numeri complessi . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Radici n − sime dell'unità . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . 3 3 3 3 4 4 4 5 . 6 . 7 . 7 . . . 8 8 8 Capitolo 1 Numeri complessi 1.1 Forma algebrica Sono della forma a + ib con a, b ∈ R dove 1) a parte reale; 2) ib parte immaginaria; 3) b coeciente dell'immaginario; 4) i2 = −1; 5) a2 + b2 norma; √ 6) |a + ib| = a2 + b2 modulo. 1.1.1 Somma di due numeri complessi x = a + ib, y = c + id x + y = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) L'insieme C è un gruppo commutativo rispetto all'addizione. 1.1.2 Dierenza di due numeri complessi x = a + ib, y = c + id x − y = (a + ib) − (c + id) = (a + ib) + (−c − ib) = (a − c) + i(b − d) 3 4 CAPITOLO 1. NUMERI COMPLESSI 1.1.3 Prodotto di due numeri complessi x = a + ib, y = c + id x · y = (a + ib) · (c + id) = (ac − bd) + i(bc + ad) 1) (a + ib) · (a − ib) = a2 + b2 , norma; 2) C∗ = C − {0} è un gruppo moltiplicativo. 1.1.4 Quoziente di due numeri complessi a + ib a + ib c − id c − id = · = (a + ib) · 2 c + id c + id c − id c + d2 = bc − ad ac + bd +i· 2 2 2 c +d c + d2 1.1.5 Proprietà sui coniugati z = a + ib =⇒ z = a − ib, coniugato di z. 1) z + w = z + w 2) z − w = z − w 3) z · w = z · w 4) z w = z w Osservazione 1.1. (C, +, ·) è un campo. Difatti: 1) (C, +) è un gruppo abeliano; 2) (C, ·) è un gruppo abeliano; 3) Il prodotto · è distributivo rispetto alla somma + Il reciproco del numero complesso a + ib diverso dallo zero complesso è il numero Osservazione 1.2. a − ib a2 + b 2 1.2. FORMA TRIGONOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI 5 y P b ρ θ O x a Figura 1.1: Forma trigonometrica di un numero complesso 1.2 Forma trigonometrica dei numeri complessi Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy , indichiamo con l'origine O il polo del sistema polare, con il semiasse positivo delle x l'asse polare e stabiliamo che il verso positivo sia quello antiorario, come mostrato in gura. Si ha: P = (a, b) = (ρ, θ) con ρ ≥ 0 e ρ = OP modulo ; θ anomalia o argomento Quindi, dalla gura: a = ρ cos θ b = ρ sin θ ( =⇒ √ a2 + b 2 b tan θ = a ρ= Sostituendo in a + ib si ottiene z = a + ib = ρ cos θ + iρ sin θ = ρ(cos θ + i sin θ) Il numero z = ρ(cos θ + i sin θ) 6 CAPITOLO 1. NUMERI COMPLESSI è la forma trigonometrica del numero complesso a + ib, dove √ a2 + b 2 ρ = b θ = arctan a Il modulo ρ è ben determinato, mentre l'anomalia θ è determinata a meno di multipli di 2π . Prendendo θ in modo che sia Osservazione 1.3. −π < θ < π ve ne è solo una. In ogni caso, per scrivere un numero complesso in forma trigonometrica, occorre determinare il suo modulo ρ e una determinazione qualunque del suo argomento θ. Osservazione 1.4. a reale =⇒ a = |a|(cos 0 + i sin 0) se a > 0 a = |a|(cos π + i sin π) se a < 0 π π + i sin se b > 0 b = |b| cos 2 2 ib =⇒ 3 3 se b < 0 b = |b| cos π + i sin π 2 2 0 =⇒ 0 = 0(cos θ + i sin θ) 1.2.1 Prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica Siano z = ρ(cos θ + i sin θ), w = r(cos ϕ + i sin ϕ) Si ha: zw = ρ(cos θ + i sin θ) · r(cos ϕ + i sin ϕ) = ρr[cos (θ + ϕ) + i sin (θ + ϕ)] Sul piano di ARGAND-GAUSS, si ha quanto riportato nella gura 1.2. 1.2. FORMA TRIGONOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI 7 y P ρr B r θ ρ ϕ θ A x Figura 1.2: Prodotto di sue numeri complessi in forma trigonometrica 1.2.2 Reciproco di un numero complesso non nullo in forma trigonometrica Da z = ρ(cos θ + sin θ) si ricava 1 1 1 = [cos (−θ) + i sin (−θ)] = (cos θ − i sin θ) z ρ ρ 1.2.3 Quoziente di due numeri complessi in forma trigonometrica, il secondo dei quali non nullo Siano z = ρ(cos θ + i sin θ), w = r(cos ϕ + i sin ϕ) 6= 0. Allora, z ρ(cos θ + i sin θ) 1 = = ρ(cos θ + i sin θ) · w r(cos ϕ + i sin ϕ) r(cos ϕ + i sin ϕ) ρ = [(cos θ + i sin θ) · (cos −ϕ + i sin ϕ)] r ρ = [cos (θ − ϕ) + i sin (θ − ϕ)] r 8 CAPITOLO 1. NUMERI COMPLESSI 1.2.4 Potenza ad esponente intero di un numero complesso in forma trigonometrica Vale la formula di Moivre: [ρ(cos θ + i sin θ)]n = ρn (cos nθ + i sin nθ), n∈N Per m ∈ Z si ha: [ρ(cos θ + i sin θ]−m = ρ−m [cos (−mθ) + i sin (−mθ)], m∈Z dome m ∈ Z è un intero negativo. Per cui, la formula di Moivre vale ∀n ∈ Z, compreso n = 0, perchè negli ultimi due casi (n = 0, n negativo) a + ib 6= 0 + i0. Osservazione 1.5. 1.3 Radici n − sime di numeri complessi Le radici n − sime del numero complesso z diverso da zero sono soltanto i numeri che si deducono dalla formula √ n θ 2π θ 2π √ n z = wk = ρ cos +k + i sin +k n n n n ∗ con k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. 1.3.1 Radici n − sime dell'unità Nel caso particolare di z = 1, cioè, ρ = 1 e θ = 0, si ha: √ n 1 = wk = cos 2kπ 2kπ + i sin , n n k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 Queste radici le indichiamo rispettivamente con ε0 , ε1 , ε2 , . . . , εn−1 cioè, εk = cos 2kπ 2kπ + i sin , n n k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 tutti e