numeri complessi - Istituto d`Istruzione Superiore "M. Ciliberto – A

1
ISTITUTO TECNICO
TRASPORTI E LOGISTICA
MARIO CILIBERTO
NUMERI COMPLESSI
Appunti
Autore
Sergio Simone
Autore
Luigi Flotta
Indice
1
Numeri complessi
1.1 Forma algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Somma di due numeri complessi . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Dierenza di due numeri complessi . . . . . . . . . .
1.1.3 Prodotto di due numeri complessi . . . . . . . . . . .
1.1.4 Quoziente di due numeri complessi . . . . . . . . . .
1.1.5 Proprietà sui coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Forma trigonometrica dei numeri complessi . . . . . . . . . .
1.2.1 Prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Reciproco di un numero complesso non nullo in forma
trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Quoziente di due numeri complessi in forma trigonometrica, il secondo dei quali non nullo . . . . . . . .
1.2.4 Potenza ad esponente intero di un numero complesso
in forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Radici n − sime di numeri complessi . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Radici n − sime dell'unità . . . . . . . . . . . . . . .
2
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3
3
3
3
4
4
4
5
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6
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7
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7
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8
8
8
Capitolo 1
Numeri complessi
1.1
Forma algebrica
Sono della forma
a + ib
con a, b ∈ R dove
1) a parte reale;
2) ib parte immaginaria;
3) b coeciente dell'immaginario;
4) i2 = −1;
5) a2 + b2 norma;
√
6) |a + ib| = a2 + b2 modulo.
1.1.1 Somma di due numeri complessi
x = a + ib,
y = c + id
x + y = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
L'insieme C è un gruppo commutativo rispetto all'addizione.
1.1.2 Dierenza di due numeri complessi
x = a + ib,
y = c + id
x − y = (a + ib) − (c + id) = (a + ib) + (−c − ib) = (a − c) + i(b − d)
3
4
CAPITOLO 1.
NUMERI COMPLESSI
1.1.3 Prodotto di due numeri complessi
x = a + ib,
y = c + id
x · y = (a + ib) · (c + id) = (ac − bd) + i(bc + ad)
1) (a + ib) · (a − ib) = a2 + b2 , norma;
2) C∗ = C − {0} è un gruppo moltiplicativo.
1.1.4 Quoziente di due numeri complessi
a + ib
a + ib c − id
c − id
=
·
= (a + ib) · 2
c + id
c + id c − id
c + d2
=
bc − ad
ac + bd
+i· 2
2
2
c +d
c + d2
1.1.5 Proprietà sui coniugati
z = a + ib =⇒ z = a − ib, coniugato di z.
1) z + w = z + w
2) z − w = z − w
3) z · w = z · w
4)
z
w
=
z
w
Osservazione 1.1.
(C, +, ·) è un campo. Difatti:
1) (C, +) è un gruppo abeliano;
2) (C, ·) è un gruppo abeliano;
3) Il prodotto · è distributivo rispetto alla somma +
Il reciproco del numero complesso a + ib diverso dallo
zero complesso è il numero
Osservazione 1.2.
a − ib
a2 + b 2
1.2.
FORMA TRIGONOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI
5
y
P
b
ρ
θ
O
x
a
Figura 1.1: Forma trigonometrica di un numero complesso
1.2
Forma trigonometrica dei numeri complessi
Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy , indichiamo con
l'origine O il polo del sistema polare, con il semiasse positivo delle x l'asse
polare e stabiliamo che il verso positivo sia quello antiorario, come mostrato
in gura.
Si ha:
P = (a, b) = (ρ, θ)
con ρ ≥ 0 e ρ = OP modulo ; θ anomalia o argomento
Quindi, dalla gura:
a = ρ cos θ
b = ρ sin θ
(
=⇒
√
a2 + b 2
b
tan θ =
a
ρ=
Sostituendo in a + ib si ottiene
z = a + ib = ρ cos θ + iρ sin θ = ρ(cos θ + i sin θ)
Il numero
z = ρ(cos θ + i sin θ)
6
CAPITOLO 1.
NUMERI COMPLESSI
è la forma trigonometrica del numero complesso a + ib, dove

√

a2 + b 2
ρ
=


b


 θ = arctan
a
Il modulo ρ è ben determinato, mentre l'anomalia θ è
determinata a meno di multipli di 2π . Prendendo θ in modo che sia
Osservazione 1.3.
−π < θ < π
ve ne è solo una.
In ogni caso, per scrivere un numero complesso in forma trigonometrica,
occorre determinare il suo modulo ρ e una determinazione qualunque del
suo argomento θ.
Osservazione 1.4.
a reale =⇒

 a = |a|(cos 0 + i sin 0)
se a > 0
 a = |a|(cos π + i sin π) se a < 0

π
π

+
i
sin
se b > 0
b
=
|b|
cos


2
2
ib =⇒
3
3


se b < 0
 b = |b| cos π + i sin π
2
2
0 =⇒ 0 = 0(cos θ + i sin θ)
1.2.1 Prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica
Siano
z = ρ(cos θ + i sin θ), w = r(cos ϕ + i sin ϕ)
Si ha:
zw = ρ(cos θ + i sin θ) · r(cos ϕ + i sin ϕ) = ρr[cos (θ + ϕ) + i sin (θ + ϕ)]
Sul piano di ARGAND-GAUSS, si ha quanto riportato nella gura 1.2.
1.2.
FORMA TRIGONOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI
7
y
P
ρr
B
r
θ
ρ
ϕ
θ
A
x
Figura 1.2: Prodotto di sue numeri complessi in forma trigonometrica
1.2.2 Reciproco di un numero complesso non nullo in
forma trigonometrica
Da z = ρ(cos θ + sin θ) si ricava
1
1
1
= [cos (−θ) + i sin (−θ)] = (cos θ − i sin θ)
z
ρ
ρ
1.2.3 Quoziente di due numeri complessi in forma trigonometrica, il secondo dei quali non nullo
Siano z = ρ(cos θ + i sin θ), w = r(cos ϕ + i sin ϕ) 6= 0. Allora,
z
ρ(cos θ + i sin θ)
1
=
= ρ(cos θ + i sin θ) ·
w
r(cos ϕ + i sin ϕ)
r(cos ϕ + i sin ϕ)
ρ
= [(cos θ + i sin θ) · (cos −ϕ + i sin ϕ)]
r
ρ
= [cos (θ − ϕ) + i sin (θ − ϕ)]
r
8
CAPITOLO 1.
NUMERI COMPLESSI
1.2.4 Potenza ad esponente intero di un numero complesso in forma trigonometrica
Vale la formula di Moivre:
[ρ(cos θ + i sin θ)]n = ρn (cos nθ + i sin nθ),
n∈N
Per m ∈ Z si ha:
[ρ(cos θ + i sin θ]−m = ρ−m [cos (−mθ) + i sin (−mθ)],
m∈Z
dome m ∈ Z è un intero negativo.
Per cui, la formula di Moivre vale ∀n ∈ Z, compreso
n = 0, perchè negli ultimi due casi (n = 0, n negativo) a + ib 6= 0 + i0.
Osservazione 1.5.
1.3
Radici
n − sime
di numeri complessi
Le radici n − sime del numero complesso z diverso da zero sono
soltanto i numeri che si deducono dalla formula
√
n
θ
2π
θ
2π
√
n
z = wk = ρ cos
+k
+ i sin
+k
n
n
n
n
∗
con k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
1.3.1 Radici n − sime dell'unità
Nel caso particolare di z = 1, cioè, ρ = 1 e θ = 0, si ha:
√
n
1 = wk = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
,
n
n
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Queste radici le indichiamo rispettivamente con
ε0 , ε1 , ε2 , . . . , εn−1
cioè,
εk = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
,
n
n
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
tutti e