Università degli Studi di Palermo
S. I. S. S. I. S.
Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per
l ’Insegnamento Secondario
Indirizzo Fisico - Matematico - Informatico
Classe 47/A
Laboratorio di Didattica
dell’Algebra
Prof.ssa B. Grillo
Titolo lavoro:
Unità didattica e trasposizione didattica sulle equazioni/problemi di primo grado
Autore:
Giannettino Domenico
Indice
l’algebra fra difficoltà ed errori nello studio di
equazioni/problemi di primo grado………………..……………….......pag. 3
L’Unità didattica, finalità ed obbiettivi…………………………..…...pag. 5
Preliminari………………………………………………………….........pag. 8
Approccio storico……………………………………………………......pag. 8
Approccio con l’uso di nozioni di geometria………………………........pag. 9
Trasposizione didattica……………………................................................pag. 7
Analisi del metodo ed esercizi proposti……………………..................pag. 12
Dalla raccolta dei dati alla loro rappresentazione grafica……......pag. 14
Grandezze direttamente proporzionali …………………………………..pag. 17
Significato intuitivo del coefficiente angolare (m)……………………....pag. 19
Sistemazione del concetto di retta nella sua forma generale (y=mx+q)…pag. 20
Laboratorio con derive…………………………………….……………...pag. 22
Verifica……………………………………………………….………………pag. 24
Conclusioni…………………………………………………………………..pag.26
Laboratorio di algebra
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L’algebra fra difficoltà ed errori nello studio di
equazioni/problemi di primo grado
La difficoltà maggiore riscontrata dagli studenti nell’approccio all’algebra è di
natura epistemologica, ed è relativa al continuo passaggio dall’aritmetica all’algebra
che avviene con una certa difficoltà. L’aritmetica consiste più nel ricercare incognite
intermediarie calcolare le operazioni in un ordine opportunamente scelto che
permetta di controllare il senso della successione delle operazioni effettuate. La
soluzione algebrica di un problema di aritmetica riguarda l’astrazione e la scelta delle
relazioni tra incognite e dati, la scrittura formale di queste relazioni, il trattamento di
queste espressioni formali. Esiste, dunque, una rottura epistemologica tra aritmetica
ed algebra: l’approccio aritmetico ai problemi è operativo, procedurale, collocato nel
tempo; quello algebrico è sistemico, relazionale, a-temporale. E’ però necessario
capire che c’è continuità tra queste due discipline, ovvero che lo sviluppo dell’algebra
trova le sue radici nell’aritmetica e che è inimmaginabile concepire uno sviluppo
dell’algebra in un contesto in cui non vi sia una solida base aritmetica.
Alla base di molti errori da parte degli studenti nell’approccio alle equazioni di primo
grado sta:
¾ L’incapacità di generalizzare che si manifesta nella loro difficoltà ad astrarre
caratteristiche generali e a trasferirle in contesti nuovi;
¾ Nella loro riluttanza ad accettare simboli come oggetti rispondenti a
determinate proprietà;
¾ Nella mancata abitudine a porre in relazione, cioè a stabilire legami tra fatti,
dati, termini;
¾ Nella loro difficoltà a rappresentare e ad operare in situazioni rappresentate.
La risoluzione di molti problemi può essere ricondotta alla risoluzione di equazioni;
si può infatti affermare che le equazioni sono nate e si sono sviluppate proprio per
risolvere certi problemi.
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Molto spesso, invece gli studenti di fronte a determinati problemi in cui si hanno dei
dati corrispondenti a grandezze note, e per altre grandezze si conoscono soltanto le
relazioni tra queste, non riescono a capire che per determinare tali grandezze, può
essere utile considerarle come incognite e tradurre le relazioni, che le legano, in una o
più uguaglianze nelle quali compaiono tali incognite, cioè in equazioni.
Questa grande difficoltà, riscontrata negli studenti è dovuta al mancato sviluppo della
capacità di passare dal linguaggio “naturale” al linguaggio simbolico, cioè non
riescono a tradurre le relazioni tra le grandezze in relazioni tra simboli, e viceversa se
si presenta loro un’espressione del tipo 2x+1=5 e si chiede loro di esprimere
verbalmente tale scrittura non riescono a dire che con tale scrittura si sta cercando
una quantità il cui doppio sommato ad uno dia cinque. Inoltre in una situazione
problematica, molto spesso gli studenti non riescono a valutare quale grandezza sia
opportuno considerare come incognita, e ad analizzare quali tra i dati proposti sono
utili alla risoluzione del problema e quali invece superflui.
Un altro ostacolo si presenta nella risoluzione delle equazioni di primo grado letterali
ad una incognita come ad esempio ax = b, in cui lo studente non riesce a distinguere
il significato parametrico delle lettere a e b, che possono rappresentare numeri dati e
quello dell’incognita x, che rappresenta la soluzione dell’equazione data. Si può
riscontrare che di fronte a problemi del tipo 2x+2a=6, gli studenti non riescono ad
accettare come soluzione l’espressione x=3-a, in cui compare un parametro, infatti, a
tale proposito essi affermano che ancora non abbiamo trovato la soluzione e che
dobbiamo trovare il modo di far “scomparire” la lettera a. Alla base di
quest’affermazione, vi è la loro riluttanza ad accettare simboli come grandezze note e
nella mancata abitudine ad operare in situazioni generalizzate. Per questo motivo è
più che mai opportuno insegnare allo studente a contestualizzzare le variabili che
usa, perchè variabili uguali possono avere diversi significati in ambienti diversi e
variabili diverse possono assumere lo stesso significato.
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Inoltre, i procedimenti di risoluzione, utilizzati spesso in maniera meccanica, non
vengono applicati in modo logico e consapevole, portando lo studente ad errori
banali.
A mio avviso l’approccio più produttivo allo studio delle equazioni di primo grado è
quello di presentarle come strumento per risolvere situazioni problematiche.
Poiché nella risoluzione di tali situazioni vengono messe in gioco, fra le altre, le
seguenti importanti competenze:
Saper tradurre in termini di linguaggio matematico un qualsiasi problema;
Individuare la o le incognite;
Cogliere le relazioni esistenti fra i dati;
Costruire un modello di risoluzione e vedere se è affidabile;
Acquisire e/o sviluppare capacità linguistiche ed interpretative;
Inoltre, si può osservare che la mancanza di tali competenze sta alla base della
maggior parte degli errori commessi dagli studenti, è necessario, sottolineare tali
aspetti in diversi contesti e proporre svariati esercizi per stimolare l’attenzione dello
studente e per abituarli ad un’analisi accurata dei dati.
L’Unità didattica, finalità ed obiettivi.
Allo scopo di superare questi ed altri problemi che vedremo si presentano nello studio
delle equazioni e dei problemi di primo grado, costruiremo un’unità didattica così di
seguito strutturata:
Unità didattica (all’inizio di un secondo anno di liceo)
Titolo
Problemi di primo grado
Finalità
Scoperta delle equazioni di primo grado a partire da problemi
concreti, loro formalizzazione e rappresentazione grafica
(particolare attenzione all’uso delle variabili rappresentative e
loro contestualizzazione)
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Prerequisiti
Obiettivi
didattici
•
Calcolo letterale: SOMMA, DIFFERENZA, PRODOTTO di
polinomi; QUADRATO e CUBO di un binomio;
•
Insiemi numerici;
•
Concetto di intervallo;
•
Uguaglianze e loro proprietà;
•
Conoscenze di geometria analitica (piano cartesiano,
coordinate di un punto);
•
Concetto di proposizione logica;
•
Software matematico derive
1. Acquisire e sviluppare capacità linguistiche ed interpretative.
2. Costruire un modello di risoluzione e vedere se è affidabile.
e competenze da 3. Cogliere le relazioni esistenti fra i dati.
4. Individuare le variabili e saperle contestualizzare.
raggiungere
5. Saper tradurre in termini di linguaggio matematico un
qualsiasi problema.
6. Rappresentare una retta o un fascio di rette graficamente.
7. Risoluzione d’equazioni algebriche a coefficienti letterali;
8. Formalizzare e risolvere problemi di primo grado;
9. Trasformare una equazione in un’altra equivalente;
10. Interpretare analiticamente la soluzione di un’equazione.
11. Interpretare graficamente la soluzione di un’equazione.
Si deve sapere
Si deve saper
fare.
•
Cos’è un’uguaglianza;
•
Le proprietà delle uguaglianze;
•
Cos’è un’identità;
•
Cos’è un’equazione;
•
Cos’è un intervallo;
•
Cosa s’intende per soluzione di un’equazione;
•
Cosa s’intende per grado di un’equazione algebrica;
•
Cosa s’intende per equazione Determinata, Indeterminata e
Impossibile;
•
Le operazioni inverse dell’addizione e della moltiplicazione;
•
Le operazioni con i monomi e i polinomi;
•
Rappresentare un punto nel piano cartesiano
•
Risolvere una equazione di primo grado
•
Saper usare il software derive
•
Saper costruire tabelle di rappresentazione
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Note
Modalità di
lavoro
Parole chiave
Concetti base
•
In questa unità, si cercherà di evitare la presentazione della
parte teorica in maniera tecnica, privilegiando la
comprensione delle regole che ne stanno alla base ed
attualizzando con situazioni reali l’argomento. Questa unità
che presuppone già da parte dell’allievo la conoscenza delle
equazioni di primo grado(anche se con opportune modifiche
potrebbe essere essa stessa di introduzione alle equazioni di
primo grado) intende da un lato concentrarsi sul passaggio
dal problema reale alla formalizzazione dell’equazione (come
esempio di modello di rappresentazione) e nella
rappresentazione grafica dall’altro.
•
Problem solving
•
Lavoro individuale
•
Lavoro di gruppo
•
Approccio guidato
•
Dialogo con gli allievi
•
lezione frontale
•
laboratorio di informatica
•
variabile
•
costante
•
relazione
•
funzione
•
incognita
•
rappresentazione grafica
•
equazione
•
problema
•
Equazioni di primo grado
•
Problemi di primo grado
•
Rappresentazione e significato delle rette
Trasposizione didattica
Preliminari:
Prima di intraprendere l’attività in classe possiamo ritenere opportuno sottoporre
dei test al fine di migliorare l’azione didattica.
Dalla prima analisi valutativa di attitudine allo studio ed alle motivazioni, si può
decidere di seguire un approccio didattico che favorisca l’apprendimento dei
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ragazzi. Dall’analisi delle risposte ottenute si può evincere che se la classe,
mediamente, è in grado di acquisire nozioni tecnico-scientifiche, ed è capace di
porsi problemi e di risolverli, ci si orienterà alla presentazione dell’argomento
utilizzando situazioni di gioco, o problematiche stimolanti da risolvere con
procedure da individuare e sviluppare (in seguito anche da formalizzare). Se
dall’analisi delle risposte risulta che la classe dimostra un maggior interesse
verso materie umanistiche ci si orienterà verso un modo di affrontare
l’argomento (almeno nella fase preliminare) sfruttando la storia.
Approccio storico:
Situazione problema: Quanto visse Diofanto?
1) Enunciazione dell’obiettivo: Quantificare la vita di Diofanto.
…….Entrando in classe dicendo:……Oggi vi sottopongo un problema da
risolvere…
2) Introdurre il problema con cenni storici:
……..Diofanto è una delle figure greche della storia della matematica e il
suo contributo per l’algebra fu molto importante. Di questo uomo peraltro
non abbiamo molte notizie, si ritiene che sia vissuto intorno al 250 A.C. ma
non vi è nulla di certo. L’unico riferimento sulla sua vita a nostra
disposizione è rappresentato dal cosiddetto “epitaffio di Diofanto”
contenuto nell’Antologia Palatina, che è una raccolta di problemi in forma
poetica.
3) Leggiamo l’epitaffio:
Dio gli concesse di rimanere fanciullo per un sesto(1/6) della sua
vita, e trascorso un altro dodicesimo gli coprì le guance di peluria, dopo
un settimo della sua vita gli accese la fiaccola del matrimonio e 5 anni
dopo gli concesse un figlio.
Purtroppo questo bambino nato dopo tanto tempo, fu sfortunato,
dopo aver raggiunto la metà della vita di suo padre fu portato via da un
destino crudele. Dopo aver consolato il proprio dolore con la scienza dei
numeri per quattro anni, Diofanto morì.
3) Lavoro individuale:
L’alunno viene lasciato solo a riflettere per circa 15 min, sulla seguente
questione: Quanto visse Diofanto? In questa fase il docente dovrà
cercare di non intervenire in nessun caso e dovrà contribuire a creare un
ambiente calmo e silenzioso
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4) Approccio guidato e Lavoro di gruppo e Dialogo con gli allievi.
Gli alunni vengono divisi in gruppi (opportunamente scelti in maniera
eterogenea) e vengono invitati a confrontare tra loro i risultati ottenuti
nella fase precedente, vengono inoltre invitati a prendere in
considerazione i seguenti suggerimenti dell’insegnante:
……Se “E”è l’età di Diofanto (variabile opportunamente scelta,
cerchiamo nella fase iniziale di non vincolare gli alunni all’uso di x e y)
allora la traduzione del testo per mezzo di simboli algebrici darà luogo
a quale equazione?... Quale sarà l’età in cui morì Diofanto? E quali
sarebbero le età in cui era fanciullo, in cui avrebbe portato la barba, in
cui avrebbe preso moglie, in cui fosse divenuto padre ed infine l’età in
cui avrebbe perso il proprio figlio?... Ragionateci…
In questa fase l’insegnante interagisce con gli alunni cercando di
incoraggiare gli approcci ritenuti corretti e scoraggiare gli altri, questa
fase potrebbe avere una durata di 20 min.
5) La validazione
Questa è la fase della formalizzazione e sistemazione dei concetti.
L’insegnante partendo dai risultati ottenuti dai gruppi formalizzerà il
problema, ne darà l’approccio risolutivo, risolverà il particolare
problema dato ed infine generalizzerà i risultati ottenuti magari
applicando lo stesso modo di procedere ad un problema analogo. Questa
fase può avere una durata di circa
Le fasi della situazione didattica potrebbero essere così riassunte:
• Distribuzione delle fotocopie contenenti la situazione problema (in questo caso
l’epitaffio).
• 15 minuti di ragionamento in silenzio (lavoro individuale)
• 20 minuti di lavoro di gruppo in cui verranno discusse le soluzioni e le
possibili alternative (socializzazione)
• Validazione delle regole (riconoscimento dei risultati ottenuti
Un algoritmo risolutivo trovato dalla classe potrebbe essere:
• Analisi del testo
• Sintesi dei dati
• Evidenziazione del problema
• Definizione dell’incognita
• Risoluzione dell’equazione
• Verifica del risultato
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Approccio con l’uso di nozioni di geometria:
Situazione problema:
Un triangolo ha i tre lati di lunghezze diverse. Si sa che il latro medio è i 4/3
del minore aumentato di cm. 6, e che il lato maggiore è uguale alla somma del lato
medio e della metà del lato minore. Se il perimetro è di cm. 62, quanto risulta lungo
ciascun lato?
Anche se l’approccio usato è diverso, sostanzialmente la procedura da attuare è simile
alla precedente (problem solving). Dopo aver passato la prima fase del ragionamento
individuale, l’insegnante (nella fase del lavoro di gruppo e dell’approccio guidato)
potrà fornire ai gruppi delle cordicelle lunghe esattamente cm. 62 e delle righe
graduate. Si noterà che alcuni gruppi lavoreranno con la cordicella per
approssimazioni successive per poi magari passare alla formalizzazione algebrica,
altri invece applicheranno direttamente l’algebra costruendo così il triangolo (con la
cordicella) usando i valori ottenuti dal calcolo.
Nella fase della validazione, l’insegnante mostrerà particolare cura nell’evidenziare il
cruciale passaggio dal linguaggio naturale e l’impostazione algebrica, sceglierà nomi
opportuni per le variabili e renderà evidente il contesto in cui esse sono valide:
Chiamo” lminore” la lunghezza del lato minore, quella del lato medio sarà
quindi (fase della traduzione dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico).
lmedio = 4/3 lminore + 6
Quella del lato maggiore sarà
lmaggiore = lmedio + 1/2 lminore
Siccome il perimetro è uguale alla somma dei tre lati e il perimetro è uguale a cm. 62
abbiamo
lminore + lmedio + lmaggiore = 62
sostituendo a lato maggiore
lminore + lmedio + lmedio + 1/2 lminore = 62 sostituendo a lato medio
lminore + 4/3 lminore + 6 + 4/3 lminore + 6 + 1/2 lminore = 62
Da cui trasformando l’equazione in un’equivalente mediante lo schema riportato di
seguito.
Sviluppo operazioni
riduzione a forma normale
semplificazioni
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6 lminore + 8 lminore + 36 + 8 lminore + 36 + 3 lminore = 372
Raccoglimento a fattor comune
Risoluzione dell’equazione
Definizione dell’incognita
25 lminore = 300
da cui
lminore = 300/25
quindi
lminore = 12
trovata cosi la lunghezza del lato minore abbiamo che:
lmedio = 4/3 lminore + 6
da cui
lmaggiore = lmedio + 1/2 lminore
lmedio = 4/3 12 + 6 = 22
lmaggiore = 22 + 1/2 12 = 28
Si verifica che la somma dei tre lati è 62.
…ragazzi è bello riflettere su questo mezzo di risoluzione dei problemi. Esso ci
viene così spontaneo, naturale, che come sempre accade per le cose semplici e
geniali, non riusciamo ad apprezzarne il valore se non ci si trova, appunto, di fronte
a problemi che presentano delle difficoltà ad essere risolti con altri metodi.
Che cosa si fa, in fondo, quando si traduce un problema in equazione?
Noi scriviamo il problema in un linguaggio abbreviato, il linguaggio dell’algebra: le
parole e le frasi che intervengono nell’enunciato del problema si traducono in
simboli e in segni di operazioni.
Da un problema, dunque, ad un’equazione.
E ora, pensate come la cosa sia interessante: questo passaggio, infatti, si può
invertire e ancor meglio ci fa comprendere la potenza del simbolismo; perché ha
anche senso dire” da una equazione ad un problema”.
In una equazione qualunque infatti si può leggere un problema , anzi infiniti
problemi (classi di problemi): perché l’equazione cambia di significato a seconda
che l’incognita viene interpretata come lunghezza di segmento o come area o come
somma di danaro ecc…
Tanti diversi problemi sono “convogliati” in un’unica equazione, in un’unica forma
algebrica; e, viceversa, un’equazione è lo specchio di tante interpretazioni di tanti
problemi.
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Come esempio di ciò appena detto proviamo a riscrivere in simboli le due frasi
seguenti
1) Una quantità di latte fresco(F) costa il 50% in più della stessa quantità di latte a
lunga conservazione (LC).
2) Una quantità di pere (P)costa il 50% in più della stessa quantità d’arance(A).
Dalla prima abbiamo che
Dalla seconda abbiamo che
F = ½ LC + LC =3/2 LC
P = ½ A + A = 3/2 A
Problemi diversi espressi dalla stessa equazione generale Y= 3/2 X dove Y, la prima
volta rappresenta quantità di latte fresco e la seconda una quantità di pere, mentre la
variabile X rappresenta, la prima volta una quantità di latte a lunga conservazione e
la seconda volta una quantità d’arance.
Come possiamo osservare le equazioni precedenti risolvono tutti i problemi (e quindi
la classe dei problemi) in cui la relazione fra due variabili qualsiasi è data da
Y=3/2 X dove i significatI di Y e X dipendono dal contesto in cui operiamo.
Analisi del metodo ed esercizi proposti
Un passo molto importante nella risoluzione di questo tipo di problemi, dunque, è
quello della costruzione di modelli appropriati.
E’ molto probabile che proponendo agli studenti quesiti del tipo prima enunciati, la
prima procedura che mettono in atto per poter risolvere tali problemi è quella per
tentativi, ma molto presto si accorgono che è sconsigliabile perché non solo è lungo e
laborioso, ma non garantisce nemmeno di arrivare ad una soluzione. Alcuni
procedono per via empirica, basandosi sulle proprie esperienze, e solo pochi cercano
di affrontare la risoluzione di un problema cercando di individuare gli obiettivi da
raggiungere e le relazioni esistenti fra gli oggetti che vengono coinvolti dal problema.
E’ opportuno a questo punto, mettere in evidenza che è utile costruire uno schema
semplice che rappresenti in qualche modo la situazione del problema, mettendone in
evidenza le caratteristiche importanti al fine della sua risoluzione, ovvero creare un
modello cioè una rappresentazione semplificata della realtà che tiene conto di tutti gli
elementi determinanti, e solo di essi, per la risoluzione di un problema.
Laboratorio di algebra 12
Bisogna, inoltre, marcare l’utilità di tale strumento in tutti i possibili contesti in modo
da abituare lo studente a rappresentare la realtà e ad operare in situazioni
rappresentate.
Ad esempio, in diversi ambiti, si possono proporre le seguenti applicazioni che
ricalcano quelle più approfonditamente espresse in precedenza:
Esercizio 1
In una classe prima di 20 alunni si fa un sondaggio per sapere come si sono passate le
vacanze. Tre persone sono rimaste in città. Un alunno è andato in montagna, uno al
mare e uno all'estero. Tre persone sono andate solo all'estero, due alunni solo in
montagna e quattro solo al mare. Tredici persone non sono andate in montagna.
Quattro alunni hanno passato le vacanze in montagna e al mare. All'estero sono
andate complessivamente 8 alunni.
Quanti sono andati in montagna?
Quanti sono andati al mare?
Quanti sono andati all'estero e in montagna?
Esercizio 2
Tre navi salpano dallo stesso porto lo stesso giorno. Dopo quanto tempo si
ritroveranno insieme nel porto se, fra andata e ritorno, impiegano rispettivamente 6,
10 e 18 giorni?
Esercizio 3
Voglio recintare un'aiuola di fiori a forma rettangolare larga 6 m e lunga 9 m. Voglio
inoltre che tutti i paletti che sostengono la rete siano tutti alla stessa distanza l'uno
dall'altro. Qual è la distanza fra due paletti vicini in modo che sia la massima
possibile? Quanti paletti occorre acquistare?
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Questi esercizi hanno lo scopo di sviluppare le competenze elencate nello schema
dell’unità didattica, che possono essere perseguite in diversi ambiti come mostra la
collocazione dei vari esercizi all’interno dei programmi didattici.
Se gli studenti sono abituati ad analizzare svariate situazioni, ad individuare
informazioni da esse, a riconoscere tra tutte le informazioni quelle essenziali rispetto
all’obiettivo del problema, ad individuare eventuali vincoli e il dominio delle
soluzioni, a trovare uno o più modelli rappresentativi del problema, a scomporre un
problema complesso in blocchi di procedure più semplici, quando si presenterà loro
una classe di problemi le cui relazioni tra le grandezze che vi compaiono portano ad
un modello algebrico e precisamente ad equazioni di primo grado, per loro non sarà
poi così traumatico operare in un contesto algebrico per poter risolvere il problema.
Inoltre, per gli studenti risulterà naturale e necessario procedere alla formalizzazione
di questo nuovo strumento per poter risolvere tutta una serie di problemi.
Dalla raccolta dei dati alla loro rappresentazione grafica.
I numeri non sono isolati ma fra loro in relazione. Non significa nulla
dire”questo numero è piccolo” o “ questo numero è grande” se non si
confrontano tra loro numeri che rappresentano quantità di qualcosa.
……In precedenza abbiamo visto come tutta una frase possa essere tradotta in
un’uguaglianza interrogativa(un’equazione) che lega numeri e lettere, possa cioè
essere riassunta in un’unica formula.
Spesso alcune variabili che rappresentano fenomeni sono legate fra di loro.
Per “cogliere” la legge che esprime il legame di più variabili, si fa uso sia di formule
che di grafici, infatti, la rappresentazione grafica risulta di grande aiuto per mettere
a confronto dei dati. Noi ci limiteremo a studiare dei fenomeni che dipendono da
poche variabili in modo da vedere alcuni fenomeni sono “funzione” d’altri fenomeni,
in che modo dipendono fra loro e come potremmo precisare e rappresentare tali
funzioni.
Quello che segue è dedicato allo studio di questo legame fra variabili, realizzato per
mezzo di grafici e di formule.
Allo scopo possiamo procurarci un piedistallo con un elastico legato ad esso, una
riga graduata, ed una serie di pesi da 10 grammi(qualcuno anche da cinque grammi e
Laboratorio di algebra 14
da un grammo). Con tali strumenti possiamo entrare in classe e proporre una
situazione gioco ai nostri alunni.
……Ragazzi proviamo a fare un esperimento, appendiamo all’elastico pesi via via
più grossi e prendiamo nota degli allungamenti dell’elastico.
Proviamo ad appendere il primo peso da 10 grammi, prendendo nota di quanti cm. Si
allunga l’elastico.
Sarete d’accordo con me che conviene scrivere queste situazioni in qualche forma
per evitare di dimenticarle.
L’insegnante stimola i ragazzi nel trovare un modo per rappresentare tali dati,
sperando che la proposta una tabella arrivi dal qualcuno di loro, stimolerà altresì i
ragazzi ad identificare, etichettare e contestualizzare le variabili in gioco
evidenziando il meccanismo della dipendenza.
….Bene abbiamo dunque stabilito di chiamare con” L” la misura dell’allungamento
in cm dell’elastico e con” P” il peso in grammi che appendiamo all’elastico.
Costruiamo quindi questa tabella.
L’insegnante chiama, uno dopo l’altro, coppie di allievi, i quali provvederanno:
1)appendere uno o più pesi da 10 da 5 o da 1 grammo.
2)rilevare il corrispondente allungamento dell’elastico
3)annotarlo sulla tabella alla lavagna
L’insegnante inoltre stimolerà gli allievi a
riflettere e commentare quello che avviene
durante l’esperimento.
La tabella potrebbe essere
Simile alla seguente:
peso (P)
0 gr.
0 +10=10gr.
10+5=15 gr.
15+10=25 gr.
25+1= 26 gr.
26+2=28 gr.
28+5=33 gr.
33+12=45 gr.
45+15=60 gr.
allungamento (L)
0 cm.
4 cm.
6 cm.
10 cm.
10,4 cm.
11,2 cm.
13,2 cm.
18 cm.
24 cm.
….Abbiamo notato che aumentando il
peso appeso all’elastico aumenta
l’allungamento dell’elastico, quindi
possiamo dire che l’allungamento
dell’elastico dipende dai pesi appesi
vediamo ora in che modo. Qual è l’equazione che lega il peso all’allungamento?
…beh… possiamo notare che aumentando di 10 gr. Il peso appeso, la lunghezza
aumenta di conseguenza di 4 cm. E questo badate bene succede ogni volta.
Se per esempio aumentiamo di un grammo, la lunghezza aumenta di 0,4 cm.
Possiamo allora scrivere che L=2/5 P, infatti, proviamo a ricavare le altre righe
tramite la precedente equazione.
Notiamo quindi che l’allungamento è funzione del peso attaccato all’elastico, le
grandezze del tipo descritto da P e L si dicono direttamente proporzionali (torneremo
su questo concetto nel prossimo esercizio) infatti, all’aumentare dell’una(P) aumenta
proporzionalmente l’altra(L).
Adesso ragazzi proviamo a segnare questi punti in un piano cartesiano, provando a
mettere nelle ascisse i pesi e l’allungamento all’ordinata.
Laboratorio di algebra 15
30
25
L
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
50
60
70
P
Possiamo provare ora ad unire i punti, otterremo una retta che suggerisce il fatto che
possiamo desumere valori non misurati direttamente, cioè e scegliere un punto sulla
retta (nell’intervallo considerato) e trovare i valori di P e L corrispondenti.
30
25
L
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
50
60
70
P
Infatti, possiamo provare a scegliere tale punto e trovare le proiezioni sull’asse p e
sull’asse L per trovare i rispettivi valori. Siano essi P=50 e L=20 che guarda caso
sono valori che si possono ricavare dall’equazione trovata in precedenza L=2/5 P
.…Ma noi, ragazzi!! Non ci fidiamo e andiamo ad appendere al nostro elastico il
peso di 50 grammi e rileviamo la misura dell’allungamento dell’elastico….(Dopo
aver preso le misure)….Beh ragazzi dovevamo aspettarcelo, l’allungamento è
proprio 20 cm. proprio per il modo con cui abbiamo costruito il grafico. Possiamo
quindi generalizzare e dire che la relazione fra le due variabili descritte in
Laboratorio di algebra 16
precedenza è definita dalla funzione L= 2/5 P ( y=2/5 x). In futuro non avremo
quindi bisogno di appendere fisicamente il peso all’elastico per conoscere il
rispettivo allungamento, ma basta sostituire nell’equazione L = 2/5 P il valore di P
ed otterremo il valore corrispondente di L.
Ma……possiamo dire di più, con la stessa equazione posso conoscere il peso da
appendere all’elastico per ottenere l’allungamento dell’elastico voluto.
Insomma questi strumenti come vedete sono molto potenti e riescono a descrivere in
maniera matematica fenomeni reali.
Grandezze direttamente proporzionali (equazione della retta y=mx)
Consideriamo ora un insieme di rettangoli simili. Poiché due rettangoli siano simili
occorre che vi sia un rapporto fisso fra le dimensioni Riferiamoci ad esempio ai.
rettangoli
che
hanno
una
dimensione y quadrupla dell’altra x,
tali cioè che: y=4x Nella figura sono
disegnati in un piano cartesiano
alcuni di questi rettangoli(quelli
riportati in tabella). Ci si accorge
che i vertici liberi sono allineati sulla
retta d’equazione y=4x. Nella tabella
qui sotto sono riportate le dimensioni
di alcuni di questi rettangoli.
y
1
2
3
x
4
8
12
4
5
…….
16
20
…….
Questa tabella si può leggere in due
modi,
fissando
rispettivamente
l’attenzione sui numeri disposti in
colonna o sui numeri disposti in riga;
ci si accorge allora che:
Al raddoppiare, triplicare di x anche
Laboratorio di algebra 17
y raddoppia, triplica, cioè è costante il rapporto fra due valori di x e i corrispondenti
valori di y;
ad esempio
2/5=8/20
ed è costante il rapporto fra due valori di x e i corrispondenti valori di y;
ad esempio
1/4=3/12
queste due proprietà sono riassunte dalla
y=4x
E’ questa legge che obbliga i rettangoli a variare in quella certa maniera: se la base
raddoppia anche l’altezza deve raddoppiare, se la base triplica anche l’altezza deve
triplicare, …. Se la base diventa la metà anche l’altezza diventerà la metà. Si dice
allora che basi e altezze di rettangoli simili sono grandezze direttamente
proporzionali.
In generale due grandezze sono direttamente proporzionali se sono legate da una
legge del tipo
y=mx
Dove m è un numero qualunque appartenente ai numeri reali.
Nell’esercizio dell’elastico abbiamo ricavato in maniera sperimentale il valore di m
che risultava m=2/5.
Nel mondo economico, in quello finanziario, in quello fisico si incontrano spesso
esempi di grandezze direttamente proporzionali; eccone alcuni:
• Il costo di un quantitativo di farina è direttamente proporzionale al peso della
farina.
• L’interesse annuale dato da un capitale impiegato in titoli di stato è
direttamente proporzionale al capitale stesso.
• Lo spazio percorso da un’automobile che procede di moto uniforme, cioè con
velocità costante, è direttamente proporzionale al tempo trascorso.
Illustriamo più dettagliatamente l’esempio del moto uniforme:
Un’automobile percorre un’autostrada a 90 chilometri l’ora; immaginiamo che
proceda sempre con la stessa velocità, cioè che non rallenti né acceleri mai la sua
corsa; si dice allora che si muove di moto uniforme.
Dire che in un’ora percorre 90 km, significa dire che in 60 minuti percorre 90 km;
allora in 1 minuto percorrerà 90/60=1,5 km; in due minuti percorrerà 2 volte km
1,5; in tre minuti tre volte………in “t “ minuti percorrerà uno spazio s uguale a t
volte 1,5km.
Laboratorio di algebra 18
Possiamo allora scrivere la tabella:
Dalla quale possiamo(come fatto negli
esercizi precedenti) trarre l’espressione.
Della funzione
s = 1,5 t
Spazio s
percorso (km.)
Tempo t impiegato
a percorrerlo(min.)
1,5 * 1 = 1,5
1,5 * 2 = 3
1,5 * 3 = 4,5
1,5 * 4 = 6
…………
…………
1,5 * t
1
2
3
4
…………..
………….
t
che esprime la legge del moto uniforme di
velocità 1,5 (chilometri al minuto).
Si vede che s è legato a t da un’equazione
del tipo y = m x che esprime la proporzionalità diretta fra spazio e tempo.
Disegniamo ora il grafico a partire dalla tabella data:
0
…………
………
….
t
s
1,5 * t
0
0
Serie1
7
6
5
4
3
2
1
0
s=1,5 t
0
2
4
6
t
Significato intuitivo del coefficiente angolare (m)
Se la velocità fosse diversa da 1,5, la retta avrebbe una diversa inclinazione
(osserviamo il grafico seguente in cui sono rappresentati anche diagrammi di moto
uniforme di velocità 2 e 3).
Quindi l’idea che ci suggerisce ciò detto è che per valori di m diversi le rette che
rappresentano le funzioni hanno inclinazione diverse e che il valore di m indica
quanto più cresce una variabile rispetto all’altra.
Per esempio nell’esercizio precedente m rappresenta la velocità(potremmo, infatti,
scrivere in luogo di s=m*t la funzione s=v*t), e tanto più alta è la velocità tanto più
spazio percorreremo nell’unità di tempo, …………d’altra parte è quello che
logicamente ci aspettiamo.
Laboratorio di algebra 19
14
s=3t
12
10
s=2t
8
s
s=1,5t
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
t
Sistemazione del concetto di retta nella sua forma generale (y=mx+q)
Ragazzi……dobbiamo tenere presente che nel caso dell’esempio sul moto uniforme ci
siamo messi in condizioni particolari un po’ fuori dalla realtà; abbiamo supposto che
la velocità dell’auto fosse costante fin dall’istante iniziale t=0.
…Ma quando una macchina inizia la sua corsa, non raggiunge istantaneamente la
velocità di 90 km/ora, ma la raggiunge solo per gradi.
Una strada per risolvere quest’incongruenza potrebbe essere quella di considerare il
tempo t=0 quello in cui inizio ad osservare il fenomeno e considerare inoltre che
l’auto avrà a quel momento già percorso un certo spazio nel quale ha raggiunto la
velocità di 90 km/ora.
Quale modello utilizzare allora alla luce di questi nuovi fatti?
…Beh… potremmo ipotizzare che l’auto abbia già percorso, per esempio, un
chilometro nella quale abbia raggiunto la velocità di 90 km/ora, a quel punto faccio
partire il cronometro e comincio ad annotare il comportamento del fenomeno.
Riscriviamo allora la tabella allo scopo di contemplare il caso appena esposto, tale
tabella sarà simile a quella precedente con una riga in più che tenga conto dello
spazio già percorso al momento in cui inizio ad osservare il moto dell’auto (t=0).
Laboratorio di algebra 20
La tabella qui a fianco e sotto la corrispondente
rappresentazione grafica.
8
7
6
Tempo t impiegato
a percorrerlo(min.)
1
1,5 * 1 + 1 = 2,5
1,5 * 2 + 1= 4
1,5 * 3 + 1 = 5,5
1,5 * 4 + 1 = 7
…………
…………
1,5 * t + 1
0
1
2
3
4
…………..
………….
t
Analizzando sia il grafico che la
tabella possiamo ora, a partire
dall’equazione
trovata
in
precedenza, provare a scrivere
l’equazione di primo grado che
rappresenta la nuova situazione.
Bene prima l’equazione era data
dalla:
5
s
Spazio s
percorso (km.)
4
3
2
s = 1,5 t
1
0
0
1
2
3
4
5
t
Adesso per modellizzare lo spazio
percorso in precedenza, che è di un
chilometro come vediamo dalla
tabella bisogna sommare 1, quindi
l’equazione diventa:
s = 1,5 t + 1
che è legata alla funzione generale
y = mx +q
che rappresenta la forma generale di una funzione di primo grado, il cui grafico è
una retta.
Se q=0 ritorniamo a quella vista in precedenza y=mx che è rappresentata da una
retta passante per l’origine.
Volendo trovare allora l’equazione di una retta passante per un punto diverso
dall’origine possiamo usare la seguente
y - yp = m(x - xp)
Che sviluppata diventa nella forma
valore di q.
y = mx + q determinando univocamente il
Laboratorio di algebra 21
Proviamo ad imporre il passaggio dall’origine P(0,0), y-0=m(x-0) che è, infatti, la
nota y = mx dove chiaramente q=0. Proviamo adesso ad imporre il passaggio dal
punto P(0,1) (dell’esercizio del moto dell’auto), y-1=m(x-0) dalla quale otteniamo
y=mx+1
La quale rappresenta tutte le rette che passano per il punto P(0,1), tali rette
prendono il nome di fascio proprio di rette di centro P(0,1).
Se adesso volessimo ritrovare l’equazione y=1,5x+1 vista in precedenza, basta
imporre il valore del coefficiente angolare m=1,5.
Quello che abbiamo fatto per determinare il fascio proprio di rette, passante per un
punto è quello di fissare un punto ( da cui passeranno tutte le rette del fascio) e
lasciare il valore di m libero di variare.
Se al contrario fissiamo m e lasciamo variare il valore di q troveremo un fascio di
rette parallele fra di loro che prende il nome di fascio improprio con coefficiente
angolare m fissato.
Se nel solito esempio del moto dell’auto avessimo supposto che essa avesse già
percorso in precedenza 2 chilometri (invece che 1), l’equazione sarebbe stata
y=1,5 x + 2 e la sua rappresentazione sarebbe stata una retta parallela a quella
d’equazione y=1,5 x + 1, ma passante per il punto P(0,2).
E’ con queste premesse che prepariamo il successivo esercizio per gli alunni,
consistente in un’attività di laboratorio, a tale scopo ci avvarremo dell’ausilio del
software didattico “Derive”.
Attività di laboratorio
Nel primo degli esercizi proposti chiederemo agli alunni di costruire con derive la
rappresentazione grafica di un fascio proprio di rette passanti per un punto P, dando
come suggerimento l’uso dell’equazione di una retta passante per un punto.
Nel secondo chiederemo agli alunni di costruire con derive la rappresentazione
grafica di un fascio improprio di rette con m=1
L’intento è farli giocare con i valori di m e q, per farli padroneggiare meglio con i
concetti appena appresi.
Esercizio 1
Scrivi l'equazione del fascio proprio di rette di centro P(2, -1) Utilizzando la formula
vista
y - yp = m(x - xp)
si ha immediatamente:
y + 1 = m (x – 2)
Laboratorio di algebra 22
sotto sono illustrate alcune rette del fascio ottenute con Derive mediante l'istruzione
VECTOR.
In Author digitare:
Poi sviluppare l'espressione mediante
EXPAND e plottare.
Esercizio 2
Scrivi l'equazione del fascio improprio con coefficiente angolare m=1
Dall'equazione generica della retta
y=mx+q
imponendo la condizione sul coefficiente
angolare otteniamo
y = 1x + q
che, al variare di q, rappresenta le
infinite rette del piano aventi tutte
direzione 1.
La figura a lato è stata ottenuta con
Derive
poi Expand e Plot.
Laboratorio di algebra 23
Test di verifica
Esercizio 1
Riscrivere in simboli le seguenti frasi.
1) Un numero è uguale al doppio di un altro aumentato di tre
2) La metà di un numero è uguale al suo quadrato
3) Una quantità di miscela per il motorino ( M ) costa il 15% in più
della stessa quantità di benzina verde ( B )
4) Una quantità di mele ( M ) costa il 15% in più della stessa quantità
di banane ( B )
Esercizio 2
In riguardo alle domande 3 e 4 dell’esercizio precedente discutere
delle analogie e differenze dei risultati ottenuti e delle variabili M e
B.
Esercizio 3
Dire se nei seguenti tre punti siamo in presenza di equazioni o
uguaglianze.
Nel caso di equazioni sostituisci opportuni numeri in modo che
diventino uguaglianze vere. Nel caso di uguaglianza dire se è vera o
falsa
1) 2 + x = 1
2) 1 + 1/3 = 5/3
3) x - x = 0
Esercizio 4
Delle seguenti equazioni quali sono identità, quali proprie e quali
impossibili nell’insieme dei reali.
1) x + x = 2x
2) 0 * x = 3
3) x + 4 = 6
4) 0 * x = 0
Laboratorio di algebra 24
Esercizio 5
Risolvi la seguente equazione e indica il suo grado
x/5(x /2 +2)-3/5-[( x3-1)-3/5(x-1)-9x3/10] = 0
2
Esercizio 6
Risolvi la seguente equazione e indica il suo grado
2x/(3x-4) - 2/(x+5) = (x-1)/(x-4/3) - (x+3)/[3(x+5)]
Esercizio 7
Eseguite la traduzione in equazione del seguente problema e
successivamente risolvere l’equazione ottenuta:
la somma di tre numeri consecutivi è uguale a 90. Determinare
i tre numeri.
Esercizio 8
Rappresentare graficamente le seguenti coppie d’equazione
nello stesso piano cartesiano (sono quindi necessari due piani
cartesiani):
1) y = 5 ; x = 4
2) y = 2x + 1 ; y = -1/2x + 1
Valutazione del test
Es. 1
Es. 2
Es. 3
Tradurre le frasi in simboli
1)Per ogni esercizio corretto
Riconoscere e contestualizzare le variabili
1)Nota che le equazioni sono uguali e indica il doppio significato
delle variabili in gioco
2)Indica chiaramente, inoltre, che i contesti delle due equazioni
sono differenti e le variabili assumono significato diverso in
dipendenza dal contesto anche se la lettera che le rappresenta è
uguale.
Saper riconoscere equazioni e uguaglianze
1) Discrimina fra equazione ed uguaglianza
2) Sostituisce il valore corretto della variabile o indica se
l’uguaglianza è vera o falsa
Tot. 1
0,25
Tot. 1
0,50
0,50
Tot. 1,5
0,25
0,25
Laboratorio di algebra 25
Es. 4
Es. 5
Es. 6
Es. 7
Es. 8
Distingue fra equazioni identità, proprie e impossibili
Per ogni risposta corretta
Saper risolvere equazioni di primo grado.
1) Comincia l’esercizio applicando i principi di equivalenza per
trasformare l’equazione.
2) Applica correttamente i principi di equivalenza
3) Indica il grado corretto dell’equazione
4) Risolve in maniera corretta dando il giusto risultato
Saper risolvere equazioni di primo grado.
1) indica correttamente i valori per i quali si annullano i
denominatori
2) Comincia l’esercizio applicando i principi di equivalenza per
trasformare l’equazione.
3) Applica correttamente i principi di equivalenza
4) Indica il grado corretto dell’equazione
5) Risolve in maniera corretta dando il giusto risultato
Saper rappresentare le equazioni
Traduce correttamente in equazione
Risolve l’equazione
Saper rappresentare le equazioni
L’esercizio è inserito per stimolare l’apprendimento di concetti
non espressamente trattati a lezione.
1)Per ogni esercizio corretto
Tot. 1
0.25
Tot. 1,25
0.25
0.25
0.25
0.50
Tot. 1,75
0.50
0.25
0.25
0.25
0.50
Tot. 1,5
1
0,5
Tot. 1
0,50
Conclusioni
Il lavoro fin qui svolto non vuole essere esaustivo per la trattazione dell’argomento
ma solo un modo di introdurre l’unità didattica proposta per mezzo di problemi aperti
e situazioni gioco facendo uso del problem solving.
Ritengo che per svolgere il programma esposto siano sufficienti 5-6 ore di cui 3-4 di
lezione in classe una di laboratorio con derive ed infine un’ora dedicata in al test di
verifica. Nel caso che le equazioni siano proprio introdotte in questo modo, abbiamo
bisogno d’integrazioni al lavoro svolto per la definizione dei vari tipi d’equazioni
(determinate, indeterminate, impossibili), per la trattazione delle equazioni letterali
fratte ecc.
Il test di verifica proposto interroga anche su altri aspetti delle equazioni che
nell’esposizione dell’unità didattica ho ritenuto che siano stati trattati
precedentemente, è completo di griglia di valutazione e può essere usato anche per
prevedere attività di recupero mirate, una volta analizzate le risposte degli studenti.
Laboratorio di algebra 26
