IL PENDOLO FISICO
Pendolo fisico (o composto): qualsiasi corpo rigido che, sotto
l’azione della gravità, può oscillare liberamente attorno ad un asse
orizzontale passante per un punto diverso dal suo centro di massa.
Z asse orizzontale privo d’attrito (asse di rotazione); O punto del
corpo (perno) appartenente all’asse di rotazione; C centro di
massa del corpo.
Se z è la componente lungo l’asse Z del momento della forza
peso del corpo calcolato rispetto al punto O, allora:
I
d
dt
d2
I
dt 2
z
m g b sin
1
sin
Equazione differenziale del pendolo fisico nel limite delle piccole
oscillazioni:
d2
dt 2
mgb
I
0
mK2
I
d2
dt 2
gb
K2
0
ossia:
d2
dt 2
2
0
(6)
con:
2
gb
K2
Soluzione dell’equazione differenziale (6):
0
cos ( t
0
)
Periodo d’oscillazione del pendolo fisico nel limite delle piccole
oscillazioni:
P
2
2
K2
gb
(7 )
Il periodo d’oscillazione è indipendente dalla massa del corpo e
dalla forma geometrica fino a che il rapporto K2/b resta invariato.
Confrontando la (7) con l’omologa grandezza relativa al pendolo
semplice:
P
2
2
l
g
è possibile definire la cosiddetta lunghezza ridotta del pendolo
fisico:
lR
K2
b
Un pendolo semplice di lunghezza lR ha lo stesso periodo del
pendolo fisico in esame.
Tutta la massa del pendolo fisico può essere pensata concentrata in
un punto Q la cui distanza dal perno è pari a lR. Tale punto è
chiamato centro d’oscillazione del pendolo fisico.
L’OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO
Esempio di oscillatore smorzato: ad un corpo oscillante di massa
m è attaccata una pala di massa trascurabile immersa in un fluido;
il piano d’appoggio è liscio.
Analisi delle forze
Forza elastica (di richiamo):
Fe
k x xˆ
Forza d’attrito:
Fa
bv
b
dx
x̂
dt
dove il parametro positivo b dipende dalle proprietà del fluido e
dalla forma e dalle dimensioni della pala e del recipiente.
Equazione del moto
F
Fe
dv
m
dt
Fa
dx
k x xˆ b
xˆ
dt
d 2x
m 2 xˆ
dt
Equazione differenziale dell’oscillatore smorzato:
d 2x
m 2
dt
b
dx
kx
dt
0
(8)
Soluzione dell’equazione differenziale (8):
x
Ae
bt 2m
valida per b
cos (
t
0)
Ae
t
cos (
t
0
)
2 km .
Nella precedente:
k
m
Il parametro
oscillazioni.
b
2m
2
2m
b
è detto costante temporale di smorzamento delle
(a) Oscillazioni non smorzate nel caso in cui la fase iniziale è nulla. (b) Oscillazioni
poco smorzate con frequenza prossima a quella delle oscillazioni mostrate in (a).
Oscillazioni con smorzamento non trascurabile
Osservazioni
La frequenza d’oscillazione è minore di quella propria del
sistema : l’attrito rallenta il moto oscillatorio.
L’ampiezza del moto decresce esponenzialmente nel tempo: è il
tempo necessario affinché l’ampiezza si riduca di un fattore 1/e.
Se b = 0 (smorzamento nullo),
e l’ampiezza rimane
costante.
Nel caso di massimo smorzamento (b = 2 k m ), allora = 0 e x
tende esponenzialmente a zero senza oscillare (smorzamento
critico).
L’OSCILLATORE ARMONICO FORZATO
Esempio di oscillatore forzato: ad un corpo oscillante di massa m
è attaccata una pala di massa trascurabile che è immersa in un
fluido ed è soggetta ad una forza impressa da un motore elettrico;
il piano d’appoggio è liscio.
Analisi delle forze
Forza elastica (di richiamo):
Fe
k x xˆ
Forza d’attrito:
Fa
bv
b
dx
x̂
dt
Forza esterna oscillante:
Fext
F0 cos (
t ) xˆ
Equazione del moto
F
Fe
Fa
dv
m
dt
Fext
dx
k x xˆ b
xˆ
dt
F0 cos (
t ) xˆ
d 2x
m 2 xˆ
dt
Equazione differenziale dell’oscillatore forzato:
d 2x
m 2
dt
b
dx
dt
kx
F0 cos (
t)
0
(9)
Soluzione stazionaria dell’equazione differenziale (9):
F0
sin (
B
x
t
0
)
dove:
B
0
m2 (
arccos (
2
2 2
)
(b
)2
b
)
B
Osservazioni
La frequenza d’oscillazione
quella propria del sistema .
è quella della forza applicata e non
Nonostante la forza d’attrito, l’ampiezza del moto è costante, cioè
il moto non è smorzato.
Se b = 0, quando
, allora x
.
Se b 0 (oscillatore smorzato), l’ampiezza d’oscillazione è
massima per valori di
prossimi a ma diversi da . Questa
condizione è chiamata risonanza d’ampiezza e la corrispondente
è chiamata frequenza di risonanza.
All’aumentare dello smorzamento, l’ampiezza di risonanza è
sempre più piccola e cade a frequenze
che si discostano
sempre più da .
Se la forza ha la “giusta” frequenza, anche una successione di
piccoli impulsi può produrre oscillazioni di grande ampiezza.
Tutti i sistemi meccanici (palazzi, ponti, aerei, ecc.) hanno proprie
frequenze d’oscillazione; se sottoposti a perturbazioni risonanti,
gli effetti possono essere disastrosi!
