Algebra dei limiti
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http://francescomarchi.wordpress.com http://francescomarchi.wordpress.com LICEO SCIENTIFICO ESEDRA SCUOLA PARITARIA Classe V LS Prof. Francesco Marchi Appunti su: algebra dei limiti Introduzione Abbiamo studiato i limiti delle funzioni elementari, ad esempio abbiamo visto che: lim ln π₯ = +∞ (1) π₯→+∞ lim π₯3 = +∞ (3) lim π₯3 = −∞ (4) π₯→+∞ lim ln π₯ = −∞ (2) π₯→0+ π₯→−∞ A partire da questi dati, come possiamo calcolare, ad esempio, i seguenti limiti? lim (ln π₯ + π₯2 ) ln π₯ π₯3 (7) lim (π₯3 − π₯2 ) (8) (5) π₯→+∞ lim π₯→+∞ lim (π₯2 + π₯3 ) (6) π₯→0+ π₯→−∞ Per poter calcolare questi limiti, dobbiamo vedere come si calcola il limite di una somma di funzioni di cui conosciamo il limite, il limite del loro rapporto e cosΔ±Μ via. Si parla, a tal proposito, di “algebra dei limiti”. Spiegazione qualitativa Prima di dare le formule e le deο¬nizioni relative all’algebra dei limiti, cerchiamo di capire com’eΜ possibile calcolare i limiti proposti sopra. A tal proposito, ricordiamoci la deο¬nizione intutitiva di limite, ad esempio il limite all’inο¬nito: sostituendo valori sempre piuΜ grandi alla x, si guarda a quale valore si avvicina la π (π₯). Relativamente alla funzione π (π₯) = π₯3 − π₯2 , avremo allora i seguenti limiti: π₯ π (π₯) = π₯3 − π₯2 10 900 100 990000 1000 999000000 1 http://francescomarchi.wordpress.com http://francescomarchi.wordpress.com π₯ π (π₯) = π₯3 − π₯2 -10 -1100 -100 -1010000 -1000 -1001000000 Si intuisce allora, sulla base di questi valori assunti dalla funzione, che i limiti all’inο¬nito saranno i seguenti: lim (π₯3 − π₯2 ) = +∞; lim (π₯3 − π₯2 ) = −∞ π₯→+∞ π₯→−∞ 3 Qualitativamente, possiamo dire che la funzione π₯ cresce piuΜ velocemente della funzione π₯2 (cioeΜ assume valori piuΜ grandi) e percioΜ tende a prevalere. Adesso vediamo meglio le regole che esprimono questi concetti. L’algebra dei limiti Supponiamo di sapere quanto fa il limite di due funzioni, π (π₯) e π(π₯), per π₯ che tende ad uno stesso valore, π₯0 . Sia cioeΜ: lim π(π₯) = π lim π (π₯) = π; π₯→π₯0 π₯→π₯0 Sia π₯0 , sia π, sia π possono essere ο¬niti o inο¬niti. Vogliamo ora calcolare i limiti della somma, della sottrazione, del prodotto e del rapporto di π (π₯) e π(π₯). BisogneraΜ distinguere vari casi, a seconda che i limiti siano: ο¬niti e diversi da zero; uguali a zero; inο¬niti. Nei seguenti schemi sono riassunte le regole per il calcolo dei limiti di somma, sottrazione, prodotto e quoziente. I limiti per i quali non eΜ indicato il risultato sono scritti fra parentesi tonde: tali limiti sono noti come “forme indeterminate”, e di essi parleremo nel prossimo paragrafo. Per quanto riguarda l’algebra del prodotto di due funzioni e del loro rapporto, nelle tabelle sono proposti risutati come ±∞ e simili: infatti, per determinare il segno di un prodotto o di un rapporto, si seguono le normali regole algebriche (piuΜ per meno fa meno, . . . ). Tabella 1: Limite della somma limπ₯→π₯0 [π (π₯) + π(π₯)] π +∞ −∞ m π+π π + ∞ = +∞ π − ∞ = −∞ +∞ +∞ + π = +∞ +∞ + ∞ = +∞ (+∞ − ∞) −∞ −∞ + π = −∞ (−∞ + ∞) −∞ − ∞ = −∞ 2 http://francescomarchi.wordpress.com http://francescomarchi.wordpress.com Tabella 2: Limite del prodotto limπ₯→π₯0 [π (π₯) ⋅ π(π₯)] π 0 +∞ −∞ m π⋅π π⋅0=0 π ⋅ (+∞) = ±∞ π ⋅ (−∞) = ±∞ 0 0⋅π =0 0⋅0=0 (0 ⋅ +∞) (0 ⋅ −∞) +∞ +∞ ⋅ π = ±∞ (+∞ ⋅ 0) +∞ ⋅ +∞ = +∞ +∞ ⋅ −∞ = −∞ −∞ −∞ ⋅ π = ±∞ (−∞ ⋅ 0) −∞ ⋅ +∞ = −∞ −∞ ⋅ −∞ = +∞ Tabella 3: Limite del quoziente limπ₯→π₯0 [π (π₯)/π(π₯)] π π π π 0 0 π 0 π 0± =0 +∞ −∞ = ±∞ π +∞ =0 π −∞ =0 (0) 0 +∞ =0 0 −∞ =0 0 +∞ +∞ π = ±∞ +∞ 0± = ±∞ ( +∞ ) ( +∞ ) +∞ −∞ −∞ −∞ π = ±∞ −∞ 0± = ±∞ ( −∞ ) ( −∞ ) +∞ −∞ 3 http://francescomarchi.wordpress.com http://francescomarchi.wordpress.com Tabella 4: Limite delle potenze limπ₯→π₯0 [π (π₯)]π(π₯) π 0 1 +∞ −∞ m ππ π0 = 1 π1 = π v. limiti potenze v. limiti potenze 0 0π = 0 ( 0) 0 01 = 0 0+∞ 0−∞ 1 1π = 1 10 = 1 11 = 1 +∞ +∞π = +∞ ( + ∞0 ) +∞1 = +∞ +∞+∞ +∞−∞ −∞ −∞π = −∞ ( − ∞0 ) −∞1 = −∞ −∞+∞ −∞−∞ ( 1+∞ ) ( 1−∞ ) Come abbiamo giaΜ detto, nelle tabelle precedenti alcune espressioni sono messe dentro parentesi tonde. Tali espressioni sono dette forme indeterminate: nel prossimo paragrafo vediamo in cosa consistono. Le forme indeterminate Forma indeterminata signiο¬ca che l’espressione non ha un valore determinato, ovvero ο¬sso: ad esempio, (+∞ − ∞) puoΜ valere 4, 0, +∞, 43 π o qualsiasi altra cosa. Da cosa dipende il valore assunto da una forma indeterminata? Dipende dalla particolare funzione di cui si vuol calcolare il limite. Ad esempio avremo: lim π₯→+∞ π₯5 3 + π₯4 = 0; − π₯ + π₯3 lim 3 + π₯5 1 = ; −π₯+4 6 π₯→+∞ 6π₯5 e cosΔ±Μ via Impareremo a risolvere le forme indeterminate piuΜ avanti. Tabella 5: Riassunto delle forme indeterminate somma +∞ − ∞ prodotto 0 ⋅ ±∞ quoziente 0 0 ±∞ ±∞ 1±∞ 00 potenza ±∞0 Il calcolo dei limiti Vediamo ora quali casi si possono presentare nel calcolo di un limite e quale procedura seguire. Come prima cosa, sostituisci il valore della π₯ nell’espressione della funzione. In seguito, si distinguono vari casi: 4 http://francescomarchi.wordpress.com http://francescomarchi.wordpress.com β Se il risultato ottenuto eΜ un numero, hai ο¬nito: quello eΜ il risultato. Es.: limπ₯→2 (π₯2 + 3) = 7 β Il limite non esiste. Es.: limπ₯→+∞ sin π₯ non esiste. β E’ necessario applicare un criterio di confronto. Es.: limπ₯→+∞ (ππ₯ + 2 + 4 sin π₯) = +∞ β Se compaiono degli inο¬niti o degli zeri, guarda la tabella relativa all’algebra dei limiti: se non viene una forma indeterminata, sei in grado di dire il risultato. Es.: limπ₯→+∞ (π₯ + 7)/(3 − π₯2 ) = 0 β Se ottieni una forma indeterminata, il procedimento cambia a seconda del tipo di forma indeterminata e del tipo di funzione (vedi schema seguente). Vediamo allora di dare una classiο¬cazione dei metodi relativi alla soluzione delle forme indeterminate: β +∞ − ∞ – Per polinomi: limπ₯→+∞ (π₯3 − π₯2 ) = +∞ √ √ – Per funzioni irrazionali: limπ₯→+∞ ( 9π₯ + 1 − 7π₯ − 4) = +∞ β ∞/∞ – Per funzioni razionali fratte: limπ₯→+∞ (π₯3 − π₯2 )/(2 + 5π₯) = +∞ √ – Per funzioni irrazionali fratte: limπ₯→−∞ 7π₯4 − π₯3 /(π₯3 + 4π₯ − 1) = 0 β 0/0 – – – – Per funzioni razionali fratte: limπ₯→0 (π₯ + π₯3 )/(π₯2 + π₯6 ) = +∞ Come sopra (ma da fare tramite scomposizione): limπ₯→−3 (27 + π₯3 )/(π₯ + 3) = 27 √ Per funzioni irrazionali fratte: limπ₯→4 ( 5 + π₯ − 3)/(π₯2 − 16) = 1/48 Riconducibili ad un limite notevole: limπ₯→0 (sin 8π₯)/π₯ = 8 β 0⋅∞ – Riconducibili alle forme 0/0 o ∞/∞ β 1∞ – Riconducibili ad un limite notevole: limπ₯→+∞ (1 + 1/π₯)2π₯ = π2 Valutare i limiti tramite il computer Le regole che abbiamo esposto sono suο¬cienti per calcolare tutti i limiti che incontrerai e possono esser considerate come un formulario. Per valutare un limite ti suggeriamo anche uno strumento piuttosto semplice, ma molto utile, anche per aο¬rontare i prossimi argomenti. Si tratta del software Geogebra, scaricabile gratuitamente dal seguente sito (sezione download): http://www.geogebra.org/cms/index.php?option=com_frontpage&Itemid=1 Questo software, una volta installato, permette di disegnare graο¬ci di funzioni complesse quanto vuoi; basandosi sul graο¬co di una funzione potete poi intuire il valore dei suoi limiti. Vediamo un esempio. Supponiamo di voler studiare i limiti della seguente funzione: π₯+3 π (π₯) = 25 − π₯2 Possiamo allora utilizzare il programma Geogebra, digitando, nella barra che compare in basso (a ο¬anco della scritta “Inserimento”), la seguente espressione: f(x)=(x+3)/(25-xˆ2) Dopo aver premuto invio, appariraΜ il graο¬co che qui abbiamo riportato in Figura 1 5 http://francescomarchi.wordpress.com http://francescomarchi.wordpress.com Figura 1: Graο¬co della funzione π₯+3 25−π₯2 Da tale ο¬gura possiamo intuire (non si tratta di una dimostrazione!) il valore dei seguenti limiti: π₯+3 =0 25 − π₯2 (9) π₯+3 =0 π₯→−∞ 25 − π₯2 (10) lim π₯→+∞ lim π₯→−5− π₯+3 = +∞ 25 − π₯2 (11) lim + π₯+3 = −∞ 25 − π₯2 (12) lim π₯→−5 6 lim π₯+3 = +∞ 25 − π₯2 (13) lim π₯+3 = −∞ 25 − π₯2 (14) π₯→+5− π₯→+5+
