Algebra dei limiti

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LICEO SCIENTIFICO ESEDRA SCUOLA PARITARIA
Classe V LS Prof. Francesco Marchi
Appunti su: algebra dei limiti
Introduzione
Abbiamo studiato i limiti delle funzioni elementari, ad esempio abbiamo visto che:
lim ln 𝑥 = +∞
(1)
𝑥→+∞
lim 𝑥3 = +∞
(3)
lim 𝑥3 = −∞
(4)
𝑥→+∞
lim ln 𝑥 = −∞
(2)
𝑥→0+
𝑥→−∞
A partire da questi dati, come possiamo calcolare, ad esempio, i seguenti limiti?
lim (ln 𝑥 + 𝑥2 )
ln 𝑥
𝑥3
(7)
lim (𝑥3 − 𝑥2 )
(8)
(5)
𝑥→+∞
lim
𝑥→+∞
lim (𝑥2 + 𝑥3 )
(6)
𝑥→0+
𝑥→−∞
Per poter calcolare questi limiti, dobbiamo vedere come si calcola il limite di una somma di funzioni
di cui conosciamo il limite, il limite del loro rapporto e cosı̀ via.
Si parla, a tal proposito, di “algebra dei limiti”.
Spiegazione qualitativa
Prima di dare le formule e le definizioni relative all’algebra dei limiti, cerchiamo di capire com’è possibile
calcolare i limiti proposti sopra. A tal proposito, ricordiamoci la definizione intutitiva di limite, ad
esempio il limite all’infinito: sostituendo valori sempre più grandi alla x, si guarda a quale valore si
avvicina la 𝑓 (𝑥). Relativamente alla funzione 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 , avremo allora i seguenti limiti:
𝑥
𝑓 (𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2
10
900
100
990000
1000
999000000
1
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𝑥
𝑓 (𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2
-10
-1100
-100
-1010000
-1000
-1001000000
Si intuisce allora, sulla base di questi valori assunti dalla funzione, che i limiti all’infinito saranno i
seguenti:
lim (𝑥3 − 𝑥2 ) = +∞;
lim (𝑥3 − 𝑥2 ) = −∞
𝑥→+∞
𝑥→−∞
3
Qualitativamente, possiamo dire che la funzione 𝑥 cresce più velocemente della funzione 𝑥2 (cioè assume
valori più grandi) e perciò tende a prevalere.
Adesso vediamo meglio le regole che esprimono questi concetti.
L’algebra dei limiti
Supponiamo di sapere quanto fa il limite di due funzioni, 𝑓 (𝑥) e 𝑔(𝑥), per 𝑥 che tende ad uno stesso
valore, 𝑥0 . Sia cioè:
lim 𝑔(𝑥) = 𝑚
lim 𝑓 (𝑥) = 𝑙;
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
Sia 𝑥0 , sia 𝑙, sia 𝑚 possono essere finiti o infiniti.
Vogliamo ora calcolare i limiti della somma, della sottrazione, del prodotto e del rapporto di 𝑓 (𝑥) e 𝑔(𝑥).
Bisognerà distinguere vari casi, a seconda che i limiti siano: finiti e diversi da zero; uguali a zero; infiniti.
Nei seguenti schemi sono riassunte le regole per il calcolo dei limiti di somma, sottrazione, prodotto
e quoziente.
I limiti per i quali non è indicato il risultato sono scritti fra parentesi tonde: tali limiti sono noti come
“forme indeterminate”, e di essi parleremo nel prossimo paragrafo.
Per quanto riguarda l’algebra del prodotto di due funzioni e del loro rapporto, nelle tabelle sono proposti
risutati come ±∞ e simili: infatti, per determinare il segno di un prodotto o di un rapporto, si seguono
le normali regole algebriche (più per meno fa meno, . . . ).
Tabella 1: Limite della somma
lim𝑥→𝑥0 [𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)]
𝑙
+∞
−∞
m
𝑚+𝑙
𝑚 + ∞ = +∞
𝑚 − ∞ = −∞
+∞
+∞ + 𝑙 = +∞
+∞ + ∞ = +∞
(+∞ − ∞)
−∞
−∞ + 𝑙 = −∞
(−∞ + ∞)
−∞ − ∞ = −∞
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Tabella 2: Limite del prodotto
lim𝑥→𝑥0 [𝑓 (𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]
𝑙
0
+∞
−∞
m
𝑚⋅𝑙
𝑚⋅0=0
𝑚 ⋅ (+∞) = ±∞
𝑚 ⋅ (−∞) = ±∞
0
0⋅𝑙 =0
0⋅0=0
(0 ⋅ +∞)
(0 ⋅ −∞)
+∞
+∞ ⋅ 𝑙 = ±∞
(+∞ ⋅ 0)
+∞ ⋅ +∞ = +∞
+∞ ⋅ −∞ = −∞
−∞
−∞ ⋅ 𝑙 = ±∞
(−∞ ⋅ 0)
−∞ ⋅ +∞ = −∞
−∞ ⋅ −∞ = +∞
Tabella 3: Limite del quoziente
lim𝑥→𝑥0 [𝑓 (𝑥)/𝑔(𝑥)]
𝑙
𝑚
𝑚
𝑙
0
0
𝑙
0
𝑚
0±
=0
+∞
−∞
= ±∞
𝑚
+∞
=0
𝑚
−∞
=0
(0)
0
+∞
=0
0
−∞
=0
0
+∞
+∞
𝑙
= ±∞
+∞
0±
= ±∞
( +∞ )
( +∞ )
+∞
−∞
−∞
−∞
𝑙
= ±∞
−∞
0±
= ±∞
( −∞ )
( −∞ )
+∞
−∞
3
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Tabella 4: Limite delle potenze
lim𝑥→𝑥0 [𝑓 (𝑥)]𝑔(𝑥)
𝑙
0
1
+∞
−∞
m
𝑙𝑚
𝑚0 = 1
𝑚1 = 𝑚
v. limiti potenze
v. limiti potenze
0
0𝑙 = 0
( 0)
0
01 = 0
0+∞
0−∞
1
1𝑙 = 1
10 = 1
11 = 1
+∞
+∞𝑙 = +∞
(
+ ∞0
)
+∞1 = +∞
+∞+∞
+∞−∞
−∞
−∞𝑙 = −∞
(
− ∞0
)
−∞1 = −∞
−∞+∞
−∞−∞
(
1+∞
)
(
1−∞
)
Come abbiamo già detto, nelle tabelle precedenti alcune espressioni sono messe dentro parentesi tonde.
Tali espressioni sono dette forme indeterminate: nel prossimo paragrafo vediamo in cosa consistono.
Le forme indeterminate
Forma indeterminata significa che l’espressione non ha un valore determinato, ovvero fisso: ad esempio,
(+∞ − ∞) può valere 4, 0, +∞, 43
𝜋 o qualsiasi altra cosa.
Da cosa dipende il valore assunto da una forma indeterminata? Dipende dalla particolare funzione di cui
si vuol calcolare il limite. Ad esempio avremo:
lim
𝑥→+∞ 𝑥5
3 + 𝑥4
= 0;
− 𝑥 + 𝑥3
lim
3 + 𝑥5
1
= ;
−𝑥+4
6
𝑥→+∞ 6𝑥5
e cosı̀ via
Impareremo a risolvere le forme indeterminate più avanti.
Tabella 5: Riassunto delle forme indeterminate
somma
+∞ − ∞
prodotto
0 ⋅ ±∞
quoziente
0
0
±∞
±∞
1±∞
00
potenza
±∞0
Il calcolo dei limiti
Vediamo ora quali casi si possono presentare nel calcolo di un limite e quale procedura seguire.
Come prima cosa, sostituisci il valore della 𝑥 nell’espressione della funzione.
In seguito, si distinguono vari casi:
4
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∙ Se il risultato ottenuto è un numero, hai finito: quello è il risultato. Es.: lim𝑥→2 (𝑥2 + 3) = 7
∙ Il limite non esiste. Es.: lim𝑥→+∞ sin 𝑥 non esiste.
∙ E’ necessario applicare un criterio di confronto. Es.: lim𝑥→+∞ (𝑒𝑥 + 2 + 4 sin 𝑥) = +∞
∙ Se compaiono degli infiniti o degli zeri, guarda la tabella relativa all’algebra dei limiti: se non viene
una forma indeterminata, sei in grado di dire il risultato. Es.: lim𝑥→+∞ (𝑥 + 7)/(3 − 𝑥2 ) = 0
∙ Se ottieni una forma indeterminata, il procedimento cambia a seconda del tipo di forma indeterminata e del tipo di funzione (vedi schema seguente).
Vediamo allora di dare una classificazione dei metodi relativi alla soluzione delle forme indeterminate:
∙ +∞ − ∞
– Per polinomi: lim𝑥→+∞ (𝑥3 − 𝑥2 ) = +∞
√
√
– Per funzioni irrazionali: lim𝑥→+∞ ( 9𝑥 + 1 − 7𝑥 − 4) = +∞
∙ ∞/∞
– Per funzioni razionali fratte: lim𝑥→+∞ (𝑥3 − 𝑥2 )/(2 + 5𝑥) = +∞
√
– Per funzioni irrazionali fratte: lim𝑥→−∞ 7𝑥4 − 𝑥3 /(𝑥3 + 4𝑥 − 1) = 0
∙ 0/0
–
–
–
–
Per funzioni razionali fratte: lim𝑥→0 (𝑥 + 𝑥3 )/(𝑥2 + 𝑥6 ) = +∞
Come sopra (ma da fare tramite scomposizione): lim𝑥→−3 (27 + 𝑥3 )/(𝑥 + 3) = 27
√
Per funzioni irrazionali fratte: lim𝑥→4 ( 5 + 𝑥 − 3)/(𝑥2 − 16) = 1/48
Riconducibili ad un limite notevole: lim𝑥→0 (sin 8𝑥)/𝑥 = 8
∙ 0⋅∞
– Riconducibili alle forme 0/0 o ∞/∞
∙ 1∞
– Riconducibili ad un limite notevole: lim𝑥→+∞ (1 + 1/𝑥)2𝑥 = 𝑒2
Valutare i limiti tramite il computer
Le regole che abbiamo esposto sono sufficienti per calcolare tutti i limiti che incontrerai e possono esser
considerate come un formulario.
Per valutare un limite ti suggeriamo anche uno strumento piuttosto semplice, ma molto utile, anche per
affrontare i prossimi argomenti. Si tratta del software Geogebra, scaricabile gratuitamente dal seguente
sito (sezione download):
http://www.geogebra.org/cms/index.php?option=com_frontpage&Itemid=1
Questo software, una volta installato, permette di disegnare grafici di funzioni complesse quanto vuoi;
basandosi sul grafico di una funzione potete poi intuire il valore dei suoi limiti. Vediamo un esempio.
Supponiamo di voler studiare i limiti della seguente funzione:
𝑥+3
𝑓 (𝑥) =
25 − 𝑥2
Possiamo allora utilizzare il programma Geogebra, digitando, nella barra che compare in basso (a fianco
della scritta “Inserimento”), la seguente espressione:
f(x)=(x+3)/(25-xˆ2)
Dopo aver premuto invio, apparirà il grafico che qui abbiamo riportato in Figura 1
5
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Figura 1: Grafico della funzione
𝑥+3
25−𝑥2
Da tale figura possiamo intuire (non si tratta di una dimostrazione!) il valore dei seguenti limiti:
𝑥+3
=0
25 − 𝑥2
(9)
𝑥+3
=0
𝑥→−∞ 25 − 𝑥2
(10)
lim
𝑥→+∞
lim
𝑥→−5−
𝑥+3
= +∞
25 − 𝑥2
(11)
lim +
𝑥+3
= −∞
25 − 𝑥2
(12)
lim
𝑥→−5
6
lim
𝑥+3
= +∞
25 − 𝑥2
(13)
lim
𝑥+3
= −∞
25 − 𝑥2
(14)
𝑥→+5−
𝑥→+5+