2013-05-22Lezione-Corrente

Corrente elettrica
Conduttore
•  Un conduttore metallico puo’ essere
pensato come una struttura reticolare
tridimensionale di atomi fissi con un
grandissimo numero di elettroni liberi (detti
ELETTRONI DI CONDUZIONE) di
muoversi all’interno del conduttore e, salve
condizioni particolari, impossibilitati ad
uscire dal conduttore stesso.
Nota:
In un cm3 di Cu (rame) vi sono circa 1023 elettroni
In assenza di E
•  Gli elettroni di conduzione sono animati
dalla sola agitazione termica.
•  Moto caotico
Corrente Elettrica
•  Consideriamo una situazione statica in cui due
elementi, A e B, siano ugualmente
elettricamente caricati ma di segno opposto.
•  Tra di essi vi è una d.d.p. ΔV ;
•  Tra A e B è presente un campo elettrico E
•  Supponiamo che sia costruito il circuito in figura
e che ad un certo istante l’interruttore T venga
chiuso
Corrente Elettrica (2)
• 
• 
• 
• 
• 
Si osserva che:
La d.d.p. ΔV decresce rapidamente;
Anche le cariche presenti in A e B decrescono, “come se” le
cariche positive si spostassero da A a B.
Il filo conduttore si riscalda
Un ago magnetico , posto nelle vicinanze si muove….
ecc. ecc.
Corrente Elettrica (3)
In realtà sono gli elettroni di conduzione a muoversi in senso
inverso, ma per ragioni storiche, il fenomeno viene descritto
come un movimento di cariche positive.
•  Quando si ha un moto ORDINATO di cariche elettriche che
si spostano da una posizione ad un’altra si usa dire che tra
le due posizioni si è avuto un passaggio di:
CORRENTE ELETTRICA.
Corrente Elettrica (4)
Nell’esempio considerato il fenomeno dura pochi istanti, non è
un fenomeno STAZIONARIO.
Un dispositivo capace di mantenere la d.d.p. tra i punti A e B
costante nel tempo, anche in presenza di movimento di
cariche elettriche, in un circuito che li collega, viene detto
GENERATORE DI FORZA ELETTROMOTRICE.
(Pile, accumulatori, ecc. )
G
Adesso , si è in
regime
stazionario
Corrente Elettrica (4)
Se consideriamo un filo (o una sbarretta) di materiale
conduttore internamente al quale si abbia, per effetto di un
campo elettrico , un movimento ordinato di cariche, si
definisce CORRENTE ELETTRICA i che passa nel filo
dQ
i=
dt
il rapporto tra la carica elettrica dQ che fluisce nel tempo
infinitesimo dt attraverso una sezione S del filo e
l’intervallo di tempo dt stesso.
Nel S.I. l’unità della corrente è l’AMPERE (A)
pari ad un Coulomb per secondo
1C
1A =
1s
Corrente Elettrica (5)
Microscopicamente l’azione del campo elettrico dovuto alla
d.d.p. è quello di sovrapporre all’agitazione termica degli
elettroni liberi, un moto di deriva nella direzione del campo
elettrico. Tale moto di deriva, ordinato, avviene con velocità
media vd che è molto minore della velocita media termica.
NOTA: vd è dell’ordine di qualche millimetro al secondo;
mentre la velocità termica è dell’ordine di qualche Km al
secondo !
La d.d.p. fra due punti A e B, è ΔV= VB-VA=24V. Trovare la
variazione di energia potenziale elettrica ΔU, per una carica
Q1=2.2 10-6 mC che si muove dal punto A al punto B.
Ripetere il calcolo per Q1=2.2 106 mC.
R…52nJ et 52 mJ
Un lettore MP3 è collegato ad una batteria che fornisce una
corrente di 0.22 A. Trovare il numero di elettroni che
attraversano il lettore in 4.5s.
R. 6.2 10+18 elettroni
Leggi di Ohm e la Resistenza Elettrica
OHM Georg Simon nacque ad Erlangen nel 1787
e morì a Monaco nel 1854.
Fisico tedesco, studiò presso l'università della
città natale e dal 1833 al 1849 diresse il
Politecnico di Norimberga; dal 1852 fino alla
morte fu professore di fisica speri-mentale
all'università di Mo-naco.
Leggi di Ohm e la Resistenza Elettrica (2)
•  Sperimentalmente è possibile ricavare
una legge che lega la d.d.p. ai capi di un
filo conduttore con la corrente che lo
attraversa
A
Generatore
di
tensione
-
A = Amperometro ( serve a
misurare la corrente elettrica
che circola in un circuito)
V
+
V =
Voltmetro ( serve a
m i s u r a r e l e d i ff e r e n z e d i
potenziale ai capi di un
conduttore percorso da corrente
elettrica)
Leggi di Ohm e la Resistenza Elettrica (3)
1a
V
=R
I
V 2V 3V
=
=
= costante = R
legge di Ohm:
I 2I 3I
•  “R” esprime una proprietà intrinseca del
conduttore nelle condizioni considerate e
prende il nome di resistenza elettrica
I
Ohm =
tang ϑ = 1/R
V
Volt
Ampere
1V
1Ω =
1A
Leggi di Ohm e la Resistenza Elettrica (4)
• 
2a
legge di Ohm:
l
R=ρ
S
•  “ρ” è una costante di proporzionalità detta
resistività, dipendente dalla natura fisica del
conduttore
•  Per i metalli si trova che ρ aumenta con la
temperatura secondo una legge lineare:
ρ = ρ 20 (1 + α ⋅ Δt )
Legge di KIRCHHOFF
Definendo una superficie che racchiuda un
singolo nodo (il punto di un circuito in cui
convergono più conduttori) del circuito, si
può dire che in esso la somma delle correnti
entranti (+ie) è uguale alla somma delle
correnti uscenti (-iu) :
Resistori in serie
Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale e due lampadine con
resistenze R1 e R2.
deve essere I = cost per cui ΔV = Vac = Vab + Vbc = IR1 + IR2
quindi ΔV = IReq = IR1 + IR2 → Req = R1 + R2
in generale
Req = R1 + R2 + R3 + ...
La resistenza equivalente di un insieme di resistori collegati in serie è uguale alla
somma delle singole resistenze ed è sempre maggiore di ciascuna di esse
Resistori
in
parallelo
Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale e due lampadine
collegate in parallelo con resistenze R1 e R2.
deve essere ΔV = cost
quindi
I = I1 + I 2 =
1
1 1
= +
in generale
Req R1 R2
⎛ 1 1 ⎞ ΔV
ΔV ΔV
+
= ΔV ⎜ + ⎟ =
R1
R2
⎝ R1 R2 ⎠ Req
1
1 1
1
= + + + ...
Req R1 R2 R3
L’inverso della resistenza equivalente di due o più resistori collegati in parallelo è
uguale alla somma dell’inverso delle singole resistenze ed è sempre minore del
più piccolo resistore
Esempio
1) 
2) 
3) 
4) 
Le lampadine collegate al generatore in
questo modo, sono tutte eguali:
quale sarà, nell’ordine, la loro
luminosità ?
cosa succede se si interrompe A (si
rompe il filamento) ?
se si interrompe C ?
se si interrompe D ?
1.  in C e in A+B passa la stessa corrente, quindi C sarà più luminosa di A o B, che
hanno la stessa luminosità; D non si accenderà mai (ha i terminali in cortocircuito)
2. 
B si spegne, C più luminosa, D sempre spenta
3. 
A e B più luminose, D sempre spenta
Esempio
a)  trovare la resistenza equivalente della rete di
resistori in grafico
b)  qual è la corrente in ciascun resistore se la d.d.p.
tra a e c vale Vac=42V
Applicando le relazioni per
collegamento in serie e parallelo di
resistenze
Req = 14Ω
La corrente nelle resistenze da 8Ω e 4Ω è = cost usando ΔV = IR si ha
ΔV ac 42V
I =
=
= 3A
Ai capi b e c ΔV = cost quindi
Req
14Ω
6Ω I 1 = 3Ω I 2 da cui I 2 =2 I 1 , inoltre I 1 + I 2 = I = 3 A → I 1 = 1 A e I 2 = 2 A
Capacità
elettrica
Capacità elettrica ⇒ Condensatore
Condensatore = sistema per
immagazzinare energia (elettrica)
Capacità elettrica
Definizione
Q
C≡
ΔV
La capacità è una misura di quanta
carica debba possedere un certo
tipo di condensatore per avere una
data differenza di potenziale tra
le armature:
• maggiore capacità,
• maggiore è la carica necessaria.
(la capacità è sempre positiva !)
Unità di Misura
1 Farad = 1 F = 1 Coulomb/Volt = 1 C/V
Capacità di una sfera isolata
Tesi:
La capacità di un dispositivo dipende dalle caratteristiche
geometriche dei conduttori.
Dimostrazione:
Consideriamo un conduttore sferico di raggio R e carica Q. Per
simmetria, assimiliamo il secondo conduttore ad un guscio sferico
concentrico di raggio infinito. Essendo V=0 sul guscio di raggio
infinito, la capacità della sfera sarà:
Vsfera
Q
= ke
R
⇒
Q
Q
C=
=
ΔV k Q
e
R
R
= = 4πε 0 R
ke
La capacità di una sfera carica isolata è proporzionale al suo
raggio ed è indipendente sia dalla carica che dalla differenza di
potenziale.
Carica di un condensatore
•  Inizialmente potenziale nullo
•  Chiusura interruttore
•  Campo elettrico “spinge” gli elettroni
•  Piatto h perde elettroni
•  Piatto l acquisisce elettroni
•  Al crescere della carica (su C) cresce
d.d.p. fino a V
•  h e (+) batteria allo stesso potenziale,
campo nullo, flusso elettroni nullo
•  Il condensatore è carico
Calcolo capacità elettrica
Legge di Gauss ε 0 —
∫ EgdA = q
E=
σ
q
=
quindi
ε0 ε0 A
E dA e E = cost ⇒ q = ε 0 EA
f
+
d
−
0
d .d . p. V f − Vi = − ∫ Egds da cui V = ∫ E ds = E ∫ ds = Ed
i
A
q = CV ⇒ ε 0 EA = C E d ⇒ C = ε 0
d
ε0 = 8.85·10-12 F/m = 8.85 pF/m = 8.85·10-12 C2/(N·m2)
Condensatore cilindrico
Legge Gauss sup. cilindrica ( E = cost e radiale )
ΦE = 
∫ Eid A =E
da cui
E =
b
V b −V a = − ∫ a
C =
∫ dA = E (2π rL ) =
q
ε0
q
2ε0π rL
q
E r dr = −
2ε0π L
∫
b
a
$a '
dr
q
=
ln & )
r 2ε0π L % b (
q
L
= 2πε0
C ∝ L lungh . cilindro )
(
ΔV
ln (b a )
Condensatore sferico
Legge Gauss sup. sferica
q = ε 0 EA = ε 0 E ( 4π r 2 ) ⇒ E =
b
q
a
4πε 0
Vb − Va = − ∫ Er dr = −
=−
∫
b
a
1
q
4πε 0 r 2
dr
=
2
r
q ⎛ 1 1 ⎞
q a −b
−
=
⎜
⎟
4πε 0 ⎝ a b ⎠ 4πε 0 ab
C=
q
ab
= 4πε 0
ΔV
b−a
a
Sfera isolata C = 4πε 0
1− a b
per
b → ∞ e ponendo a = R
C = 4πε 0 R
Collegamento di condensatori
simboli circuitali
esempio di circuito
↓
Condensatori in parallelo
q1 = C1V
q2 = C2V
q3 = C3V
q = q1 + q2 + q3 = ( C1 + C2 + C3 )V
q
Ceq = = C1 + C2 + C3
V
n
Ceq = ∑ C j
j =1
( n condensatori in parallelo )
Condensatori in serie
V1 = q C1
V2 = q C2
V3 = q C3
⎛ 1 1 1 ⎞
V = V1 + V2 + V3 = q ⎜ + + ⎟
⎝ C1 C2 C3 ⎠
q
1
Ceq = =
V 1 C1 + 1 C2 + 1 C3
1
1 1 1
= + +
Ceq C1 C2 C3
n
1
1
=∑
Ceq j =1 C j
( n condensatori in serie )
Energia di un Condensatore
Quanta energia è immagazzinata in un condensatore carico ?
–  Calcoliamo il lavoro fornito (usualmente da una batteria) per caricare un
condensatore a +/- Q:
Calcolare il lavoro incrementale dL necessario per aggiungere una carica dq al
condensatore alla tensione V :
-
"q
dL = V (q ) ⋅ dq = $
#C
+
%
' ⋅ dq
&
C piatti paralleli
A
= ε0
d
Il lavoro totale L per caricare a Q è quindi dato da:
1
L≡
C
∫
Q
0
2
Q
q dq = 12
C
V
In termini della tensione
Q si ha:
usando
C≡
V
L ≡ CV
1
2
2
Dove è immagazzinata l’ ENERGIA ?
L’energia è immagazzinata nel campo elettrico stesso. Pensiamo all’energia necessaria
per caricare il condensatore come all’energia necessaria per creare il campo
Dielettrici
Osservazione sperimentale:
Inserendo un materiale non-conduttore tra i piatti di un condensatore
si modifica il VALORE della capacità.
Definizione:
La costante dielettrica di un materiale è il rapporto tra le capacità in
presenza e quella in assenza di un dielettrico, cioè
C
εr ≡
C0
–  i valori di εr sono sempre > 1 (p.es., vetro = 5.6; acqua = 78) (acqua
distillata)
–  essi INCREMENTANO la capacità di un condensatore (fatto
“positivo”, perchè è difficile realizzare “grandi” condensatori)
–  essi permettono di immagazzinare una maggiore quantità di energia
(rispetto al caso del vuoto, ovvero aria)
Condensatori reali
Fisica II - Informatica