Funzioni-1 - Dipartimento di Matematica e Informatica "Ulisse Dini"

Dispense di Analisi Matematica I
Pietro ZECCA
25 agosto 2003
2
Indice
0.1
Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.1 Presunzioni (dell’Autore) su Culture e loro Trasmissione.
0.1.2 Suggerimenti per gli Studenti . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Funzioni da R in R
1.1 Vocabolario: Traduzione dal Mondo Reale
1.1.1 Costruire Funzioni . . . . . . . . .
1.1.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 I Grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Grafici di Funzioni . . . . . . . . .
1.2.2 Traslazioni e Dilatazioni . . . . . .
1.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 I Grafici ed il Software . . . . . . . . . . .
1.3.1 La Finestra del Grafico . . . . . .
1.3.2 Grafici di Software in Analisi . . .
1.3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Cosa è una Funzione . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Funzioni Pari e Dispari: Simmetria
1.4.2 Funzioni Periodiche . . . . . . . .
1.4.3 Linguaggio delle Funzioni. . . . . .
1.4.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . .
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Coseno
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Grafico.
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2 Funzioni Elementari
2.1 Funzioni Algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Funzioni Esponenziali e Logaritmiche . . . . . . . .
2.2.1 Funzioni Esponenziali . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Funzioni Logaritmiche . . . . . . . . . . . .
2.3 Funzioni Trigonometriche . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Proprietà Fondamentali delle Funzioni Seno
2.3.2 Altre Funzioni Trigonometriche . . . . . . .
2.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Come Costruire Nuove Funzioni . . . . . . . . . . .
2.5.1 Operazioni Algebriche tra Funzioni . . . . .
2.5.2 Composizione di Funzioni . . . . . . . . . .
2.5.3 Funzioni Inverse . . . . . . . . . . . . . . .
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4
INDICE
2.6
2.5.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelli Matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Traiettorie Paraboliche . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Funzione Esponenziale. Crescita ed Interesse
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3 Le Derivate
3.1 La Derivata come Variazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Quantità, Variazioni ed Automobili: Un Primo Esempio
3.1.2 Un Primo Approccio alla Stima della Derivata . . . . .
3.1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 La Geometria delle Derivate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 La Geometria delle Derivate di Ordine Superiore . . . .
3.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Definizione di Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Il Problema della Variazione. . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Derivata: Definizione Formale. . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Limiti e Continuità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 L’Idea Base: Alcuni Esempi Semplici. . . . . . . . . . .
3.4.2 Definizione di Limite - Informale e Preciso. . . . . . . .
3.4.3 Continuità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Limiti che Coinvolgono l’Infinito. . . . . . . . . . . . . .
3.4.6 Algebra dei Limiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Le Derivate delle Funzioni Elementari
4.1 Derivate delle Potenze e dei Polinomi . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Derivata di una Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Combinazione di Potenze: La Regola della Somma e della
Costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Il Binomio di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Esercizi di Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Esercizi su Massimi e Minimi . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Derivata dell’Esponenziale e del Logaritmo . . . . . . . . . . .
4.2.1 Derivata delle funzioni Esponenziali . . . . . . . . . . .
4.2.2 Derivata delle funzioni Logaritmo . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Derivate delle Funzioni Trigonometriche . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Derivazione della Funzione Seno . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Derivazione della Funzione Coseno . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 La Derivazione del Prodotto e del Quoziente . . . . . . . . . . .
4.4.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 La Derivazione delle Funzioni Composte . . . . . . . . . . . . .
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INDICE
5
4.5.1
4.6
Derivata delle Funzioni Inverse e Derivazione della Composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Funzioni Trigonometriche Inverse e Loro Derivate . . . .
4.5.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenziazione Implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Funzioni Definite Implicitamente . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Funzioni Implicite, Derivate Implicite . . . . . . . . . .
5 Applicazioni delle Derivate 1
5.1 La Regola dell’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Come Funziona la Regola. Primi Esempi Semplici
5.1.2 Perché Funziona. Una Idea di Dimostrazione . . .
5.1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Equazioni Differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Problemi al Valore Iniziale . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Equazioni Differenziali: Modellare la Crescita . . .
5.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Polinomi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Retta Tangente e Approssimazione Lineare . . . .
5.3.2 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Polinomi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Definizione Formale . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Ottimizzazione e Derivate . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Il Calcolo ed i Soldi: Derivate in Economia . . . . . . . . .
5.5.1 Fenomeni Discreti e Fenomeni Continui . . . . . .
5.5.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Variazioni Correlate . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Applicazioni delle Derivate 2
6.1 Curve nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Curve Piane ed Equazioni Parametriche. . . . . . . . . .
6.1.2 Equazioni Parametriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Derivate delle Curve Parametriche: Velocità e Pendenza
6.1.4 Il Vettore Velocità e la Lunghezza di una Curva. . . . .
6.2 Proprietà della Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Il Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Le Funzioni Differenziabili Sono Continue . . . . . . . .
6.3.2 IL Teorema del Valor Medio (TVM) . . . . . . . . . . .
6.3.3 Dimostrazione del Teorema del Valor Medio . . . . . . .
6.3.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
INDICE
7 Il Calcolo delle Aree e l’Integrale
331
7.1 Il Problema del Calcolo dell’Area e l’Integrale . . . . . . . . . . . 331
7.1.1 L’Integrale come Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.1.2 Caso di Funzioni Non Necessariamente Positive . . . . . . 338
7.1.3 Valor Medio ed Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
7.2 Il TFCI. Sviluppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
7.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
7.3 Somme Approssimanti: L’Integrale come Limite . . . . . . . . . . 357
7.3.1 Stima degli Integrali con le Somme Approssimanti . . . . 357
7.3.2 Somme di Riemann e Definizione dell’Integrale come Limite361
7.3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
7.4 Aree nel Piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
7.4.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
8 Ricerca delle Primitive
8.1 Integrali, Derivate e il TFCI . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Derivate e Primitive: Strategie Basilari . .
8.1.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Integrazione per Sostituzione . . . . . . . . . . . .
8.2.1 L’Idea della Sostituzione . . . . . . . . . . .
8.2.2 Sostituzione negli Integrali Definiti . . . . .
8.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Integrale per Parti . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Aiuto al Calcolo degli Integrali: Tavole e Software
8.4.1 Tavole di Integrazione . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Completare il Quadrato . . . . . . . . . . .
8.4.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A I numeri reali
A.1 La retta reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Sottoinsiemi dei reali . . . . . . . . . . .
A.1.2 Il simbolo ∞ : non è un numero . . . . .
A.1.3 Valore assoluto, distanza e disequazioni
A.1.4 Coordinate nel piano . . . . . . . . . . .
A.1.5 Sistemi di coordinate . . . . . . . . . . .
A.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Una Dimostrazione con ε e δ. . . . . . .
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401
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. 403
. 404
. 407
. 408
. 412
. 414
0.1. PREFAZIONE
0.1
0.1.1
7
Prefazione
Presunzioni (dell’Autore) su Culture e loro Trasmissione.
Il modo classico, ritenuto più ortodosso, con cui si intende lo studio è spesso
il seguente: si prende un libro, si legge, si studia e, alla fine, con più o meno
fatica, si impara. Un libro è un testo scritto, un’estensione del linguaggio fissato
una volte per tutte su carta. Il linguaggio è fatto di simboli e di parole (altri
simboli). Quando percepiamo questi simboli, se ne conosciamo il significato, se
conosciamo la lingua cui appartengono (la matematica, nel nostro caso), la nostra mente ricostruisce, dentro di sé, le cose cui si riferiscono. Leggere significa
quindi decodificare e ricostruire, lavoro che può essere anche molto complicato. Non basta, infatti, recuperare il significato di singoli simboli e parole. Essi
vanno poi assemblati per dare loro un senso logico corretto.
Il lavoro avviene totalmente nell’interno della mente, senza alcun scambio con
l’esterno che non sia l’input dei simboli dal libro o l’eventuale aiuto di un quaderno. E’ un lavoro che richiede una completa concentrazione, se ci si distrae, se si
assume consapevolezza di altro, si perde il filo. Per questo, studiare è faticoso,
perché richiede attenzione e concentrazione costante. Si è rinchiusi dentro un
meccanismo “simbolico-ricostruttivo”: si decodificano simboli e si ricostruisce
nella mente ciò cui si riferiscono.
Questo è anche il modo in cui la matematica ha formalizzato il suo sapere
in questo secolo.
E’ questo l’unico modo con cui si può apprendere? Non c’è modo di uscire
da questo schema?
In realtà, come tutti sanno sin dall’infanzia, c’è un altro modo di imparare;
quello che si usa giocando. Esso si basa sull’idea di coordinazione senso-motoria.
Si percepisce una situazione e la si modifica con la propria azione, si individua
la nuova situazione e si interviene di nuovo alterando l’azione in base ai risultati, e così via. Così facendo non si impara solo a fare, ma anche come sono
fatte le cose, come funziona il mondo. Usiamo, come si usa dire, il meccanismo percettivo-motorio, un meccanismo che prevede una interazione forte tra
mondo reale che fornisce l’input (percezione) e la mente che analizzato l’input
determina l’output (l’azione) da fare all’esterno.
I passaggi insiti in questo approccio sono spesso inconsci e quindi si impara
senza averne quasi consapevolezza. Contemporaneamente, dal suo operare si
ricava una sensazione di piacevolezza, a volte di frustrazione quando non si
ottiene l’output sperato, ma difficilmente di stanchezza.
Gli apprendimenti di origine senso-motoria sono accessibili quando servono
realmente, quando si presenta una situazione in cui vanno utilizzati. Non sono
invece accessibili in astratto, al di fuori del contesto.
Le differenze tra i due approcci sono tipiche anche nelle risposte che si danno
alle stesse domande. In un caso si risponde te lo dico nell’altro te lo faccio. In un
caso si è in grado di spiegare, per esempio, il funzionamento di un meccanismo
ma non necessariamente di farlo funzionare; nell’altro si sa far funzionare un
meccanismo, ma non è detto che riesca a spiegarne il perché.
La diversa origine e forma comunicativa dei due sistemi, uno basato sulla
8
INDICE
percezione, l’altro sull’azione, ci spiega perché i due sistemi di apprendimento
tendano a non comunicare tra loro: o si usa l’uno o si usa l’altro. Si perdono
così tutti i vantaggi che una interazione tra i due sistemi potrebbe portare.
Il professore, colui che dalla cattedra “dispensa” conoscenze tutte formulare
nel linguaggio totalizzante (?) “simbolico-ricostruttivo”, non riesce ad essere
“maestro”, persona che guida ed orienta l’esperienza. Spesso il professore non è
colui che dovrebbe essere: un accompagnatore che aiuta a compiere un percorso,
che sollecita e corregge, che agisce insieme allo studente.
Sarebbe presuntuoso da parte dell’autore pensare di riuscire a riempire da
solo e con queste dispense il “gap” tra le due culture, i due approcci alla
conoscenza e all’Analisi Matematica, in particolare. Tenteremo solo di scrivere un testo che non vuole essere chiuso in sé, che chiede di essere verificato
continuamente con l’uso dell’intuizione e l’aiuto di strumenti tecnologici per
illustrare e confrontare i punti di vista grafico, numerico e simbolico, questo anche perché, come ormai riconosciuto, la concezione interattiva dei programmi
permette di recuperare, almeno parzialmente, il meccanismo “senso-motorio”.
0.1.2
Suggerimenti per gli Studenti
In queste dispense si intende presentare l’analisi delle proprietà delle funzioni
di una variabile sotto l’aspetto simbolico, numerico ed anche, quando possibile,
grafico. Si assume che gli studenti abbiano una preparazione che contempli
i rudimenti dell’algebra, della geometria, della trigonometria e conoscenza di
alcune delle funzioni elementari come i logaritmi e gli esponenziali. L’idea
che muove la scrittura di queste dispense è quella di fornire agli studenti uno
strumento che permetta loro di avvicinarsi ai concetti principali e ai metodi
dell’analisi delle funzioni di una variabile in modo semplice ed intuitivo.
Per questo facciamo uso e riferimento, tutte le volte che può rivelarsi utile a
Maple, o ad altri programmi come Mathematica, Derive, etc. che permettono
una manipolazione formale, numerica e grafica.
Ogni capitolo delle dispense è pensato per essere letto da cima a fondo. Gli
esempi, in particolare tendono ad illustrare idee, a renderle concrete, a fornire
elementi per nuove idee piuttosto che come esemplificazione degli esercizi.
Così, anche i grafici non sono decorazioni del testo, ma parte importante
nella crescita dell’intuizione geometrica. La capacità di visualizzare i problemi
è altrettanto importante quanto quella di saperli impostare teoricamente.
Infine, la matematica non è un linguaggio naturale, ma ha un suo vocabolario, una sua grammatica ed una sua sintassi. Imparare ad usare correttamente questo linguaggio è fondamentale per capire, impostare e risolvere i
problemi che l’Analisi offre allo studente.
Capitolo 1
Funzioni da R in R
Ci vogliamo occupare di studiare le funzioni reali di variabile reale.
Per funzione intendiamo una procedura ingresso uscita (input - output)
R Ä i −→ funzione
→u∈R
con la proprietà di assegnare un’ unica uscita ad ogni ingresso accettabile.
Le funzioni più familiari sono espresse da formule algebriche esplicite che
esprimono il modo in cui l’ingresso viene trasformato nell’uscita, come ad
esempio:
f (x) = x3 − 3x + 2 ;
g (x) =
x2 − 4
x+5
Funzioni come f e g sono facili da scrivere, facili da calcolare, facili da descrivere.
Non tutte le funzioni hanno queste semplici proprietà e sono facili da descrivere
algebricamente. Cercheremo di imparare a lavorare con funzioni descritte da un
grafico, da tavole, descritte a parole. Cercheremo infine di imparare ad usare
i primi elementi di software matematici, che il mercato informatico offre, per
verificare le nostre intuizioni, i nostri calcoli, i nostri grafici.
Esempio 1 Consideriamo la seguente tabella che rappresenta la crescita della
popolazione umana nei secoli
Anno
Popolazione
(in milioni)
Anno
Popolazione
(in milioni)
0
Popolazione umana
1000 1500 1750 1800
1850
1900
1260
1650
Popolazione umana
1930 1940 1950 1960 1970
1980
1990
2070
4450
5300
300
310
2300
500
2520
790
3020
980
3700
La tavola mostra quello che ci si aspetta. La popolazione cresce sempre più
velocemente nel tempo. Mettendo i dati su di un grafico si ha
1
2
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
5000
4000
3000
2000
1000
0 200 400 600 800
1200
1600
2000
Popolazione umana
La popolazione mondiale è certamente una funzione del tempo; in
corrispondenza ad ogni valore del tempo si ha un valore della popolazione.
Ci possiamo porre la domanda se esiste una formulazione algebrica
che descrive la funzione popolazione. Più avanti nel corso descriveremo i metodi che permettono di trovare formule matematiche che
interpolino dati. Per ora ci limitiamo ad affermare che la funzione
p (t) = 906 e0.008(t−1800)
rappresenta una “buona” interpolazione dei dati.
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
200 400 600 8001000
1400
1800
Popolazione umana e grafico
Esempio 2 Indichiamo con T (t) la temperatura all’aeroporto di Peretola, in
gradi Celsius, a partire dalla mezzanotte del 1◦ gennaio 1998.
Questa regola definisce una funzione: per ogni ingresso t (tempo) la funzione
T assegna come uscita il valore della temperatura. Ci aspettiamo che la temLa definizione peratura vari con continuità nel tempo, ma non pensiamo di poter trovare una
di continuità di semplice formula algebrica che descriva il fenomeno.
una
funzione
verrà data più
ardi.
3
Osservazione. Funzioni come T (t) , che non hanno una formulazione
matematica esplicita, possono sembrare artificiali. In un certo senso la verità è
opposta. La maggior parte delle funzioni del mondo reale, come possono essere
la temperatura, le condizioni atmosferiche, la variazione della popolazione, sono
imprevedibili, complicate e note in modo imperfetto. Le funzioni semplici, esprimibili algebricamente, che usiamo per modellare i fenomeni fisici, sono invece
artificiali. Ciò che è sorprendente è come queste funzioni semplici modellino in
modo qualitativamente buono i fenomeni del mondo reale.
Esempio 3 La tabella seguente dà alcune informazioni sulla funzione n (x)
x
n (x)
−3
−4
−2
−9
−1
−1
0
0
1
1
2
8
3
3
4
2
La nostra conoscenza di n (x) è chiaramente incompleta. Quanto vale n (10)?
Per quali valori dell’ingresso è definita la funzione? Il grafico di n (x) è una
curva spigolosa o liscia?.
La tabella da sola non è in grado di dare risposta alle nostre domande
(d’altra parte avere informazioni incomplete è piuttosto normale, sia nella vita
reale che nei dati sperimentali). Se consideriamo, per esempio, il polinomio
5
11 4 33 5
683 3
1 6
1
152
x + x2 +
x −
x − x +
x + x7
105
72
240
144
80
144
70
potremmo vedere che esso soddisfa i valori di n (x) nei punti assegnati. Questo
tuttavia non significa assolutamente che p (x) rappresenti correttamente la funzione n (x) .
p (x) = −
Esempio 4 Sia m la funzione definita graficamente come segue
3
1
-4
-3
-2
-1
0
1 x 2
3
-1
grafico di m (x)
Alcuni valori della funzione sono chiari anche dal disegno, per esempio
m (0) = −1, m (1) = 0. La funzione può, comunque, essere rappresentata
algebricamente, con una formula che la definisce pezzo per pezzo, nel seguente
modo

− (x + 1) per x < −1


 √
m (x) =
− 1 − x2 per −1 ≤ x ≤ 1



x−1
per 1 < x ≤ 3
4
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
Funzioni come questa, definite a tratti, possono sembrare strane, ma esse
sono molti utili nella pratica. I disegni fatti dai computer, per esempio, sono di
questo genere, fatti di minuscoli segmenti o archi ognuno dei quali può essere
descritto algebricamente. Il processo di splining (unire correttamente curve o
segmenti per formare una unica curva “liscia”), tipico dell’analisi numerica, è
basato proprio su queste idee. Le splines sono usate in disegno computerizzato,
ingegneria ed altre applicazioni.
Esempio 5 Supponiamo di aver seguito il volo di un deltaplano a motore per 5
minuti, e di aver determinato la curva disegnata sotto, dove in ascisse è l’asse
dei tempi (in minuti, per esempio) e sulle ordinate l’altezza in decine di metri.
Il grafico ci mostra come varia l’altezza A (t) del deltaplano con il tempo, quando
sale e quando scende.
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1
2
x
3
4
5
Altezza del deltaplano
Ci potremmo porre anche un’altra domanda interessante: con quale rapidità
sale o scende il deltaplano ?
In altre parole, come varia la velocità verticale V (t) col tempo? Il grafico
dell’altezza è in grado di dirci qualcosa sulla velocità verticale ?
Osserviamo meglio il grafico e cerchiamo di vedere i seguenti fatti
Su o giù ? Il segno della velocità ci dice se il deltaplano sale o scende.
L’altezza sale quando il deltaplano sale, in tal caso è V (t) > 0, (per esempio
nell’intervallo 0 < t < 1) e V (t) < 0 quando il deltaplano scende (per esempio
per 1 < t < 2).
Quanto rapidamente ? Per t = 4 l’altezza cresce molto rapidamente
al variare del tempo, il che significa che il deltaplano sta salendo molto velocemente. Mentre invece nell’intervallo 1 < t < 2 il deltaplano diminuisce
la propria altezza lentamente, il che vuole dire V (t) pur essendo negativa (il
deltaplano scende) non varia molto.
Come stimare la velocità ? La velocità verticale V (t) dipende dalla
variazione di altezza col tempo. All’istante t = 2 il deltaplano sta scendendo,
ma quanto? In altre parole, come stimare il valore di V (2) ? Una possibilità
è quella di fermare l’attenzione su di un intervallo contenente t = 2, come ad
esempio 1.5 < t < 2.5. Il grafico ci dice che
A (1.5) ≈ 4.75 mentre A (2.5) ≈ 3.75
1.1. VOCABOLARIO: TRADUZIONE DAL MONDO REALE
5
Ne segue che nell’intervallo di tempo di un minuto 1.5 ≤ t ≤ 2.5 il deltaplano
scende di circa 1 unità di misura del grafico o 100 metri; quindi la velocità
media in questo intervallo di tempo è dato da −10 metri al minuto. Possiamo
allora dire che:
all’istante t = 1.5 la velocità è circa di −10 metri al minuto.
In simboli: V (2) ≈ −10 m/min. o V (2) ≈ −1 unità/min
Il significato di pendenza La velocità verticale V (t) ha un importante
significato grafico. Ad ogni istante t, la velocità V (t) è la pendenza del grafico
A (t) al tempo t. Abbiamo già valutato che V (2) ≈ −1 . La versione grafica
della stessa strategia è la seguente: su un piccolo intervallo di tempo intorno
all’istante t = 2 il grafico può essere considerato rettilineo. Per valutare la
pendenza è allora sufficiente considerare due punti sul grafico vicini a (2, 4)
come (1.5, 4.75) e (2.5, 3.75) e calcolare la pendenza come
2.75 − 3.75
= −1
1.5 − 2.5
1.1
Vocabolario: Traduzione dal Mondo Reale
La matematica è un linguaggio. Poiché i problemi del mondo reale vengono
espressi nel linguaggio “naturale” (italiano nel nostro caso), la soluzione di
questi problemi inizia con la loro traduzione nel vocabolario e grammatica della
matematica. La traduzione non è e non può essere parola per parola. I linguaggi naturali sono costruiti per esprimere sfumature, impressioni, emozioni e
quant’altro. La matematica è molto più diretta. Enfatizza semplicità e precisione anche in questioni profonde e sottili; allo stesso tempo individua l’essenza
e non solo la forma del problema. Individuare l’essenza del problema ed esprimerlo matematicamente è il primo passo, e spesso il più importante, verso
la soluzione.
Fenomeni diversi possono trovare la loro formalizzazione corretta in campi
diversi della matematica. I fenomeni che esprimono cambiamento vengono ben
espressi dall’analisi matematica. L’analisi offre sia il linguaggio nel quale descrivere la variazione delle quantità “fisiche”, che le regole con le quali “predire” il
loro comportamento. Le funzioni sono l’oggetto fondamentale dell’Analisi, così
tradurre nel linguaggio analitico significa tradurre nel linguaggio delle funzioni.
Esempio 6 Per fare una scatola da un foglio di cartone di dimensione 20 × 30
si ritagliano dei quadrati uguali dagli angoli e poi si piega. Quale dimensione
devono avere i quadrati perché la scatola abbia il massimo volume possibile?
Soluzione.
6
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
Costruzione della scatola
Indichiamo con x il lato dei quadrati che vengono tagliati. I tre lati della
scatola hanno le seguenti dimensioni: x, 20−2x, 30−2x . Il volume della scatola
è
V (x) = x (20 − 2x) (30 − 2x)
Come è ovvio, il volume della scatola dipende dalla dimensione dei quadrati
che si ritagliano, cioè il volume è una funzione di x. Ricordiamo ancora che il
problema ha senso se i lati della scatola positivi, deve allora essere
x > 0 e 20 − 2x > 0 e 30 − 2x > 0
Queste disuguaglianze implicano
0 < x < 10 .
Nel linguaggio funzionale il problema è quello di trovare, fra tutti i possibili
ingressi, quello che rende massimo il valore V (x) dell’uscita.
Il grafico seguente ci mostra come varia V (x) al variare di x ∈ [0, 10]
1000
800
600
400
200
0
2
4
x
6
8
Grafico di x (20 − 2x) (30 − 2x) :
Come varia il volume
10
1.1. VOCABOLARIO: TRADUZIONE DAL MONDO REALE
7
Il massimo volume possibile, guardando al grafico sembra essere quello relativo al valore di x = 4 per il quale si ha il valore V (4) = 4 (20 − 8) (30 − 8) =
1056. Per essere più precisi, usando il software, possiamo concentrare l’attenzione nell’intorno del punto x = 4
1056
1055
1054
1053
3.8
3.9
4x
4.1
4.2
Grafico di x (20 − 2x) (30 − 2x)
nell’intorno di x = 4
Il punto di vista più ravvicinato ci permette di vedere che in realtà il massimo
sembra essere per 3.9 < x < 4 , x ≈ 3.93 da cui si ricava V (3.93) ≈ 1056.3 che
è maggiore di V (4) = 1056.
Si pone una domanda: è possibile avere un metodo che determina “esattamente”
il punto di massimo ?
1.1.1
Costruire Funzioni
Costruire nuove funzioni, usando quelle che sono già note, è un metodo comunemente usato in Analisi.
Esempio 7 Partiamo avendo a disposizione la funzione l (x) = x + 2. Definiamo, a partire da l una nuova funzione D definita come segue:
Sia D (x) la distanza del punto (x, l (x)) che appartiene alla retta, dall’origine
(0, 0) .
Soluzione. I punti della retta hanno la forma (x, x + 2) . Usando la formula
della distanza nel piano si ha
D (x) =
q
p
(x − 0)2 + (x + 2 − 0)2 = 2 x2 + 4 x + 4
Il grafico della funzione y = D (x) è dato da
8
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
6
5
4
3
2
-2
-1
0x
1
2
3
Grafico di y = D (x)
Notare la parte inferiore del grafico di D. Il minimo sembra cadere vicino al
punto x = −1. Questo minimo corrisponde al punto su l più vicino all’origine.
¥
Approssimare Funzioni con Altre Funzioni
A volte è utile approssimare funzioni con altre funzioni
Esempio 8 (Approssimazione polinomiale della radice quadrata) La
funzione polinomiale
5
5
1
5
+ x − x2 + x3
16 16
16
16
√
approssima bene la funzione x nell’intorno del punto x = 1.
Il disegno mostra cosa intendiamo:
p (x) =
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
Approssimare
x2
3
4
√
x con un polinomio
Nell’intorno del punto x = 1 i grafici sono praticamente indistinguibili.
Altrove invece divergono l’uno dall’altro.
Per esempio,
√
f (1.5) = 1.5 ≈ 1.22474 e p (1.5) ≈ 1.22656
1.1. VOCABOLARIO: TRADUZIONE DAL MONDO REALE
9
ma
f (3) =
√
3 ≈ 1.73205 e p (3) = 2
In che modo abbiamo scelto il polinomio p per approssimare f è per ora misterioso. Più avanti nel corso impareremo come costruire polinomi che approssimano una grande varietà di funzioni non polinomiali.
Problema 9 Non tantissimi anni fa (fino ai primi anni ’70) a scuola si insegnava la tecnica per calcolare a mano le radici quadrate. L’avvento delle
calcolatrici portatili prima e dei calcolatori poi ha fatto dimenticare questa tecnica. Rimane comunque una questione: come fa una calcolatrice a calcolare le
radici quadrate? E con quale accuratezza? Come esercizio, provare a trovare
un modo sistematico di calcolare le radici quadrate con la calcolatrice senza
usare il tasto della radice quadrata.
10
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
1.1.2
Esercizi
1. Considerate la funzione che descrive in modo approssimato la crescita di
popolazione
(a) Quale popolazione prevede per l’anno 2000 ?
(b) Cosa predice per l’anno 1000?
(c) Cosa predice per il 1000 A.C.
(d) Queste previsioni sono sensate?
2. Usare l’espressione algebrica di m data nell’esempio (4) per calcolare
(a) m (−4) , m (0)
(b) m (2.3) , m (π)
3. Trovare una formula definita a tratti per la funzione il cui grafico è
6
4
2
-4
-2
0
2x
4
-2
-4
4. Sia l (x) = 2 x + 1
(a) Tracciare il grafico di l (x) nell’intervallo [0, 5]
(b) Sia D (x) la distanza del punto (x, l (x)) dall’origine. Trovare la
formula per D (x)
(c) Disegnare il grafico di D (x) nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 5
5. Per ogni t ≥ 0 sia A (t) l’area del rettangolo limitato superiormente dalla
retta y = 3, inferiormente dall’asse x , a sinistra dall’asse delle y e a destra
dalla retta x = t.
(a) Scrivere l’equazione di A (t)
(b) Tracciare il grafico di A (t) per 0 ≤ t ≤ 4
6. Sia f la funzione definita da f (x) = x2 . Definire la funzione m come
segue. Per x 6= 0 m (x) è la pendenza della retta che unisce l’origine (0, 0)
con il punto (x, f (x)) .
1.1. VOCABOLARIO: TRADUZIONE DAL MONDO REALE
11
(a) Trovare m (−1) , m (1) , m (2) , m (500)
(b) Scrivere la formula di m (x) in funzione di x
(c) Tracciare il grafico di m (x) nell’intervallo −5 ≤ x ≤ 5
7. Supponete di noleggiare una macchina e che compagnia noleggiatrice vi
faccia pagare f (x) migliaia di lire al giorno al chilometro, dove f è dato
dalla seguente formula
½
60
se 0 ≤ x ≤ 100
f (x) =
60 + 0.09 (x − 100) se x > 100
Descrivere in linguaggio corrente qual’è il costo della macchina
8. Trovare una formula (definita a tratti) per le due funzioni definite dai
seguenti grafici
2
2.5
1
2
1.5
-4
-2
0
2x
4
1
-1
0.5
-4
-2
0
2x
4
-2
9. Per t > 0 sia A (t) l’area del triangolo limitato superiormente dalla retta
y = x, inferiormente dall’asse delle x e a destra dalla retta x = t.
(a) Scrivere una formula per A (t)
(b) Tracciare il grafico di A (t) nell’intervallo 0 ≤ t ≤ 5
10. Sia l (t) = 2 x+1 e sia A (t) l’area del trapezio limitato dall’asse x, dall’asse
y, da l e dalla retta x = t
11. Sia f la funzione definita da f (x) = x2 . Per x 6= 0 definire la funzione k
nel seguente modo
k (x) =
f (2 + x) − f (2 − x)
2x
(a) Trovare k (−1) , k (−0.1) , k (1) , k (100)
(b) Scrivere la formula esplicita per k (x)
(c) Tracciare il grafico di k (x) per 0 ≤ x ≤ 5
12. Sia f la funzione f (x) = x2 + 3x − 4 ed l la retta che interseca il grafico
di f nei punti x = 2 e x = 2 + h
12
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
(a) Trovare l’equazione della retta che interseca f nei punti x = −1 e
x=2
(b) Trovare un’espressione algebrica della pendenza della retta l
[NOTA: la risposta dipende da h]
(c) Usare la risposta di (b) per trovare l’equazione della retta l
(d) Usare (c) per trovare l’equazione della retta che interseca f in x = 2
e x = 2.003
(e) Usare la risposta di (c) per trovare l’equazione della retta che interseca il grafico di f per x = 2 e x = −1
13. La produzione di un bicchiere costa ad un’azienda 600 lire.
L’azienda stima che se il prezzo di vendita fosse 1000 lire potrebbe venderne 1000 pezzi.
Diminuendo il prezzo di 10 lire potrebbe venderne 50 di più. Sia N
il numero di bicchieri prodotti (e venduti) e sia x la riduzione di costo
unitario
(a) Spiegare perché N (x) = 1000 + 50 x
(b) Spiegare che il guadagno per ogni bicchiere venduto è: (1000 − 10x)−
600
(c) Trovare una formula che mette in relazione profitto totale e x
(d) Qual’è il prezzo ottimale?
[Suggerimento: fare il grafico della funzione di (c)]
1.2. I GRAFICI
1.2
13
I Grafici
Ogni equazione nelle variabili x ed y ha un grafico - l’insieme delle coppie
ordinate (x, y) di numeri reali che soddisfano l’equazione -. Per esempio, il
grafico di ogni equazione della forma
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
è una circonferenza di centro (a, b) e raggio r.
Associare un’equazione (un oggetto algebrico) ad un grafico (un oggetto geometrico) è una operazione importante per comprenderle entrambe.
I grafici possono essere semplici, complicati e a volte anche bizzarri. Quelli di
cui ci interesseremo saranno quasi sempre della forma y = f (x) e quasi ogni
pagina di questo libro si occuperà di studiare le proprietà di oggetti del tipo
y = f (x) , cioè i grafici di funzioni.
Comunque, per iniziare consideriamo tre grafici “strani”
Esempio 10 Disegnare i grafici delle tre equazioni seguenti: x2 +y 2 = −1 , x2 +
y 2 = 0 , x2 + y 2 = 1
Soluzione. I grafici sono i seguenti:
1
2
2
1
y1
0.8
0.6
y
0.4
0.2
-1 -0.8
-0.4
0
-0.2
0.2 0.4 x0.6 0.8 1
-0.4
-0.6
-2
-1
1
2
-2
-1
1
x
-1
-1
-2
-2
2
-0.8
-1
Essi ci dicono che nessuna coppia (x, y) soddisfa l’equazione data, quindi il
grafico è vuoto; che solo l’origine (0, 0) soddisfa la seconda equazione e quindi
che il grafico è formato da un solo punto, il terzo è la circonferenza di raggio 1.
¥
Fatto 11 I grafici sono stati costruiti usando il seguente comando di Maple
>implicitplot(expr(x,y),x=a..b,y=c..d)
Per esempio, il terzo grafico è dato da:
>implicitplot(x^2+y^2=1,x=0..1,y=0..1)
Il comando si chiama implicitplot perché l’espressione nelle variabili (x, y)
definisce “implicitamente” una o più funzioni (spiegheremo più avanti il significato di ciò).
1.2.1
Grafici di Funzioni
Alla funzione f (x) = x2 corrisponde, in modo ovvio, l’equazione y = x2 e
quindi la ben nota curva parabolica. Nello stesso modo, ad ogni funzione f
corrisponde l’equazione y = f (x) e quindi un grafico.
14
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
Definizione 12 Il grafico di una funzione f è l’insieme dei punti (x, y) che
soddisfa l’equazione y = f (x) . Cioè l’insieme dei punti della forma (x, f (x)) .
Il grafico di una funzione mostra geometricamente come varia la funzione al
variare degli ingressi nell’insieme in cui la funzione è definita. Poiché una delle
questioni fondamentali di questo corso è imparare a capire come le quantità
varino una rispetto all’altra, i grafici giocano un ruolo essenziale nel darci la
visione geometrica del problema.
Tracciare il grafico di una funzione espressa esplicitamente da una formula,
come ad esempio p (x) = x3 − 2x2 + x − 2 è un problema antico, standard, ma
ancora estremamente importante.
Si potrebbe obiettare che ormai ci sono programmi che tracciano i grafici con
molta accuratezza; ciò è vero, ma rimane fondamentale capire con chiarezza
cosa ci dicono i grafici e come ce lo dicono e, per fare questo c’è ancora bisogno
della nostra capacità di analisi e di sintesi.
Tracciare i grafici è utile (lo abbiamo già detto), ma ancora più interessante
è la connessione tra le proprietà analitiche di una funzione (per.es. quando e
dove cresce o decresce) e le proprietà geometriche del grafico (se e dove sale o
scende).
8
6
y
4
2
-1
0
-2
1
x
2
3
-4
-6
Grafico di y = p (x)
Osservazione:
(a) intersezione con l’asse delle y. Il grafico interseca l’asse y all’altezza
−2. In simboli p (0) = −2.
(b) il grafico non presenta “salti” né “interruzioni”; potrebbe essere disegnato a mano senza staccare la penna dal foglio. In linguaggio matematico,
si dice che la funzione è continua nel dominio mostrato.
(c) il grafico interseca l’asse delle x nel punto x = 2, cioè p (2) = 0 come
si vede fattorizzando la formula di p (x)
¡
¢
p (x) = x3 − 2x2 + x − 2 = (x − 2) x2 + 1
La fattorizzazione ci dice qualcosa di più,: p (x) = 0 solo se x = 2.
(d) il grafico di p sale da x = 1 a x = 3. Nel linguaggio dell’Analisi diremo
1.2. I GRAFICI
15
che p cresce per 1 < x < 3. Il grafico è disegnato nell’intervallo [−1, 3],
così non possiamo dire cosa accade per valori maggiori della variabile x.
Osservando, però l’espressione fattorizzata di p (x) , possiamo vedere che
p cresce per tutti i valori di x > 1 (più avanti vedremo metodi che ci
permetteranno di mostrare la stessa proprietà in modo più semplice).
Esempio 13 Consideriamo il seguente grafico di una funzione f
1
0.5
-2
-1
1
x2
3
0
-0.5
-1.5
-2
Grafico di y = f (x)
Cosa ci dice il grafico sulla funzione f ?
Soluzione.
• Poiché il punto (0, 0) appare nel grafico è f (0, 0) = 0.
• Osservando il grafico potremmo dire che f (−1) ≈ 0.6, per poter affermare
che f (−1) = 0.6 avremmo bisogno di maggiori informazioni.
• Il grafico non ci dice quanto vale f (4) o f (−3) . Possiamo cercare di
ipotizzarlo osservando l’andamento decrescente a sinistra di x = −2 o a
destra di x = 3. In realtà dal solo grafico non siamo neanche in grado di
sapere se f (−3) o f (4) esistono.
• I punti sul grafico, corrispondenti ai due cerchi, sono quelli che chiameremo punti di massimo locale e minimo locale della funzione f. Le
coordinate del massimo sono circa (−1, 0.6) il che implica f (−1) ≈ 0.6,
quelle del minimo (2, −1.7) il che implica f (2) ≈ −1.7. Mettendo insieme
questi dati possiamo dire (con l’approssimazione dovuta al disegno del
grafico) che f cresce a sinistra di x = −1, decresce nell’intervallo (−1, 2) ,
cresce a destra di x = 2.
• Per quali valori di x si ha f (x) < −1 ? Un possibile approccio è quello di
tracciare una retta orizzontale per y = −1. Questa retta taglia il grafico
in tre punti diversi che sono all’incirca x ≈ −2.5, x ≈ 1, x ≈ 3 per cui
possiamo stimare che f (x) < −1 se x < −2.5 o se 1 < x < 3.
Due precauzioni sono necessarie nei nostri ragionamenti: primo, ogni numero è solo approssimato; secondo, non abbiamo alcuna idea del comportamento della funzione f (x) per valori della variabile x esterni all’intervallo mostrato nel grafico.
16
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
• Più avanti studieremo meglio il significato di convessità e concavità. La
convessità è una proprietà geometrica: un cucchiaio (nella sua posizione
usuale) è convesso, un ombrello è concavo. Partendo da questi esempi
possiamo dire che il grafico della funzione è concavo nell’intorno del punto
massimo e convesso relativamente a quello di minimo.
• Il punto in cui il grafico passa dall’essere concavo all’essere convesso (o
viceversa) è detto punto di flesso. Quanti sono i punti di flesso del
grafico mostrato?
Un’occhiata attenta mostra che si ha un punto di flesso per un valore di
x tra 0 ed 1. E’ difficile essere più precisi osservando il grafico. Vedremo
come l’Analisi ci permette di dare una risposta precisa.
1.2.2
Traslazioni e Dilatazioni
In questo paragrafo vogliamo capire come le costanti modificano le funzioni ed
i loro grafici.
Data una funzione f ed una costante a possiamo creare nuove funzioni nei
seguenti modi
f (x) + a , f (x + a) , f (ax) , af (x)
Come le nuove funzioni si differenziano da f ? Quale ruolo ha la costante a ?
Traslazione orizzontale e verticale
Cominciamo a considerare le due funzioni
g (x) = f (x) + a , h (x) = f (x + a)
dove a si comporta come una costante additiva.
Si ottiene g da f sommando la costante a all’uscita di f, mentre h è ottenuta
sommando a all’ingresso x.
Disegniamo il grafico di g per vari valori di a
6
4
2
0
-2
-4
-6
-3
-2
-1
0x
1
2
Traslazione verticale: y = f (x) + a
3
4
1.2. I GRAFICI
17
Il grafico di f (x) + a si ottiene da quello di f (x) traslandolo verticalmente
della quantità a.
La costante a causa una traslazione verticale.
La relazione tra f ed h è differente. Confrontate i grafici
6
4
2
0
-2
-4
-6
-4
-2
0x
2
4
6
Traslazione orizzontale: y = f (x + a)
Il grafico di f (x + a) si ottiene dal grafico di f traslandolo orizzontalmente
di a unità verso sinistra.
Questa volta la costante a causa una traslazione orizzontale.
Sinistra? Non destra? Può sembrare sorprendente che a > 0 trasli il
grafico di f (x + a) verso sinistra e non verso destra. Per vederlo geometricamente, pensiamo alla funzione f (x + 2) . Allora è h (−2) = f (0) , h (−1) =
f (1) , h (0) = f (2) e così via. Come si vede h è di due unità in anticipo
rispetto ad f . Qualunque cosa faccia h , f la fa due unità più tardi.
Costanti Moltiplicative: Allungamento, Compressione e Riflessione
Come prima, partiamo da una funzione f (x) e costruiamo le due nuove funzioni
g (x) = a f (x) , h (x) = f (a x)
Notate che g si ottiene da f moltiplicando l’uscita per a, mentre h si ottiene
moltiplicando l’ingresso per a.
18
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
6
4
2
0
-2
-4
-6
-3
-2
-1
0x
1
2
3
4
Dilatazione verticale : y = af (x)
con : a = 1/2, 1, −1, 3, −3
I grafici mostrano l’effetto del fattore a. Moltiplicare f (x) per a causa una
dilatazione verticale di valore |a| , e se a < 0 una riflessione rispetto all’asse
x.
Prima di continuare, vogliamo puntualizzare l’uso che facciamo dei termini
dilatare, comprimere e riflettere.
• Se a > 1 cosa significa dilatare è semplice. Il grafico di y = 3f (x) si
ottiene dal grafico di f triplicando i valori della coordinata y in ogni
punto del grafico di f .
• se 0 < a < 1 (individua nel grafico il caso a = 1/2) ciò che si ottiene è un
decremento del valore rispetto a quello di f (x) con il grafico che tende ad
appiattirsi. In questa situazione parleremo anche di compressione del
grafico.
• Un fattore moltiplicativo negativo aggiunge agli effetti di cui sopra anche
una riflessione rispetto all’asse delle x (vedere sopra i casi a = −1 e a =
−3). Nel caso a = −1 si ha che i grafici di f e −f sono immagini speculari
l’uno dell’altro. Per a = −3 si hanno sia riflessione che dilatazione
verticale.
Dilatazione orizzontale e riflessione. Consideriamo adesso la funzione
h (x) = f (ax) . Come abbiamo appena detto moltiplicare l’uscita di una funzione implica una dilatazione verticale. Analogamente, la moltiplicazione dell’ingresso per una costante da luogo ad una dilatazione o compressione orizzontale. I seguenti grafici mostrano h per diversi valori di a
1.2. I GRAFICI
19
2
2
1.8
1.8
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
-3
-2
-1
x0
1
2
3
4
y = f (x) ; a = 1
0
2
2
1.8
1.8
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
-3
-2
-1
x0
1
2
y = f (2x) ; a = 2
-3
-2
-1
x0
1
2
3
4
y = f (1/2 x) ; a = 1/2
3
4
0
-3
-2
-1
x0
1
2
3
4
y = f (−x) ; a = −1
Cercate di notare le similarità, ma anche le differenze con la dilatazione
verticale:
• Il grafico di f (x) , f (1/2 x) , f (2x) mostrano che se a > 0 il grafico di
f (ax) è il risultato della dilatazione del grafico di f di un fattore pari ad
1/a oppure compressione di fattore a.
• Un valore negativo di a causa, questa volta, una riflessione intorno all’asse
y. Il grafico di f (−2x), per esempio, si ottiene sia comprimendo il grafico
di f di un fattore 2 che riflettendolo intorno all’asse y.
20
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
1.2.3
Esercizi
1. E’ data una funzione f il cui grafico è
2.5
2
1
0.5
-3
-2
0
-1
1 x 2
3
-0.5
-1
Grafico di f
Usare il grafico per completare la seguente tabella
x f (x)
2
(a)
(b) −1
0
(c)
(d) 1
1
(e)
2. Indicare con i numeri da 1 a 5 i punti evidenziati sul grafico.
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
0
1
2
3
x
4
5
6
7
Grafico di f
(a) Tra quali dei cinque punti, la funzione è crescente?
(b) Tra quali dei cinque punti, la funzione è decrescente?
(c) In quale punto ha un punto di flesso?
(d) Tra quali punti adiacenti è convessa?
(e) Tra quali punti adiacenti è concava?
(f) Tra quali punti ha massimo?
3. Sia g (x) la funzione il cui grafico è dato da
1.2. I GRAFICI
21
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2 x 3
4
5
-1
Grafico di g
Tracciare il grafico delle seguenti funzioni
(a) f (x) = g (x) + 1
(b) f (x) = g (x + 1)
(c) f (x) = g (2x)
(d) f (x) = 2g (x)
(e) f (x) = −g (x)
(f) f (x) = g (−x)
(g) f (x) = −2g (−x)
(h) f (x) = 3g (x − 2) + 1
4. Siano (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) punti della retta y = −2 (x − 1) + 3. Se x1 < x2
cosa possiamo dire di y1 e y2 ? Perché?
5. Siano (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) punti della retta y = 3 (x + 1) − 2. Se y1 < y2 cosa
possiamo dire di x1 e x2 ? Perché?
6. Sia L1 la retta passante per (0, 0) e (2, 1) e L2 la retta per (0, 0) e (3, 7) .
Per quali valori di m la retta y = mx giace tra le due rette date?
7. Supponiamo che f sia una funzione tale che −5 < f (x) < 11 quando
−3 < x < 8. Dire quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera,
può essere vera, è falsa. Giustificare le risposte con un ragionamento e/o
un grafico
(a) f (x) > −6 se −3 < x ≤ 8
(b) f (x) ≤ 100 se −3 < x ≤ 8
(c) |f (x)| ≤ 53 se |x| < 2
(d) f (2) = 11
(e) f (−3) = 11
(f) |f (0)| = 5
(g) f (13) = 6
(h) −4 < f (x) ≤ 9 se −3 < x ≤ 8
22
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
8. Sia data una semisfera di raggio 10. Supponendo di usarla come contenitore d’acqua, quale pensate sia, fra i tre proposti, il grafico del volume
in funzione dell’altezza di riempimento? Spiegare il ragionamento che ha
portato alla risposta.
x
Grafico A
x
x
Grafico B
Grafico C
9. Disegnare il grafico di una funzione che ha le seguenti proprietà
(a)
i.
ii.
iii.
iv.
f è continua nell’intervallo [−5, 5]
è convessa in [−5, −1]
ha un minimo locale in x = −2
ha un massimo locale in x = 3
10. Sia data la retta y = mx + b disegnata in figura
x
Disegnare le seguenti rette:
(a) y = mx − b
(b) y = −mx + b
(c) y = −mx − b
11. Sia g (x) = |3x − 2|. Spiegare come è possibili ottenere il grafico di
g da quello di f (x) = |x| per dilatazione, compressione, traslazione e
quant’altro serve.
12. Sia f (x) = x2 . Per ognuno degli esercizi proposti scrivere la formula
esplicita di g (x) e spiegare come si può ottenere il grafico di g da quello
di f usando traslazione, compressione, etc.
(a) g (x) = f (x) + 2
(b) g (x) = f (x + 2)
(c) g (x) = 2f (x)
1.2. I GRAFICI
23
(d) g (x) = f (2x)
(e) g (x) = f (−2x)
(f) g (x) = −2f (x)
13. Sia f (x) = x2 e g (x) = x2 + 4x + 3
(a) Completare il quadrato per mostrare che g (x) = f (x + 2) − 1
(b) Spiegare come ottenere il grafico di g da quello di f
14. Supponiamo che il minimo della funzione f abbia valore −7 ed il massimo
3.
(a) Quanto vale il massimo di g (x) = f (x) + 2?
(b) Quanto vale il minimo di g (x) = 2f (x) + 3?
(c) Quanto vale il massimo di g (x) = −3f (x + 2) + 5?
(d) Quanto vale il massimo di g (x) = |f (x)|
15. Supponiamo che la funzione f assuma il valore minimo in x = 4 ed il
massimo in x = −3; inoltre sia −5 < f (x) < 2 quando 0 ≤ x ≤ 6
(a) In quale punto ha minimo la funzione g (x) = 3f (x − 1) + 2? Ed il
massimo?
(b) Sia g la funzione definita in (a). Trovare due numeri a e b tali che
−13 < g (x) < 8 per a ≤ x ≤ b
16. Supponiamo che la funzione f abbia minimo nel punto x = 4, massimo
nel punto x = −5 ed inoltre sia −1 < f (x) < 3 per −3 ≤ x ≤ 6.
(a) In quale punto ha minimo ed in quale ha massimo la funzione g (x) =
−2f (4 − 3x) + 1 ?
(b) Sia g (x) la funzione definita in (a). Trovare a e b tali che −5 <
g (x) < 3 se a ≤ x ≤ b.
17. Sia f una funzione crescente nell’intervallo (1, 10) . Indicare quale, tra le
seguenti affermazioni è, vera, possibile, falsa. Giustificare le risposte
(a) f (8) < f (3)
(b) f (5) > 0
(c) f è concava nell’intervallo (1, 10)
(d) g (x) = f (x) − 25 è crescente in (2, 7)
(e) g (x) = f (2x) è crescente in (1, 4)
(f) g (x) = 5f (x) è decrescente in (1, 3)
(g) g (x) = −3f (x) è decrescente in (1, 2)
(h) g (x) = f (x + 4) è crescente nell’intervallo (−2, 2)
24
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
(i) g (x) = −f (x) è crescente in (−10, −1)
(j) g (x) = |f (x)| è crescente in (1, 10)
(k) g (x) = f (−x) è decrescente in (1, 10)
(l) g (x) = f (−x) è crescente in (−10, −1)
(m) g (x) = f (|x|) è decrescente in (−10, −1)
18. Sia f una funzione concava nell’intervallo (1, 10) . Indicare quale, tra le
seguenti affermazioni è, vera, possibile, falsa. Giustificare le risposte
(a) f (8) < f (3)
(b) f (5) > 0
(c) f è crescente nell’intervallo (1, 10)
(d) g (x) = f (x) − 25 è concava in (2, 7)
(e) g (x) = f (2x) è convessa in (1, 4)
(f) g (x) = 5f (x) è concava in (1, 3)
(g) g (x) = −3f (x) è convessa in (1, 2)
(h) g (x) = f (x + 4) è concava nell’intervallo (−2, 2)
(i) g (x) = −f (x) è convessa in (−10, −1)
(j) g (x) = |f (x)| è convessa in (1, 10)
(k) g (x) = f (−x) è convessa in (1, 10)
(l) g (x) = f (−x) è convessa in (−10, −1)
(m) g (x) = f (|x|) è convessa in (−10, −1)
19. Se una funzione f è convessa nell’intervallo [a, b] allora il segmento che
unisce il punto (a, f (a)) con il punto (b, f (b)) giace sopra il grafico di f .
(a) Supposto f convessa in [a, b] spiegare perché
f (a) +
f (b) − f (a)
(x − a) > f (x)
b−a
per tutti i valori di x tali che a < x < b
(b) Mostrare che se f è convessa in [a, b] allora
f (b) − f (a)
f (x) − f (a)
<
b−a
b−a
per tutti i valori di x tali che a < x < b. [Suggerimento: usare la
parte (a)]
(c) Supponiamo che la funzione g sia concava sull’intervallo [a, b]. Che
relazione c’è tra il segmento che unisce il punto (a, f (a)) con il punto (b, f (b)) ed il grafico di g ? [Suggerimento: se g è concava
sull’intervallo, −g è convessa]
1.2. I GRAFICI
25
20. Supponiamo che f sia convessa nell’intervallo [a, b]. Mostrare che se 0 <
t < 1 si ha
f ((1 − t) a + t b) < (1 − t) f (a) + t f (b)
[Suggerimento: usare la parte (a) dell’esercizio precedente ponendo t =
(x − a) / (b − a) ]
26
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
1.3
I Grafici ed il Software
I grafici, l’abilità nel rappresentare oggetti matematici geometricamente, sono
uno dei più importanti vantaggi che la matematica computazionale ci offre.
Senza l’aiuto di programmi computerizzati sarebbe spesso complicato e noioso,
a volte impossibile, disegnare grafici di funzioni. I programmi ci permettono
di fare grafici, di osservarli da vari punti di vista, aiutandoci a sviluppare l’intuizione matematica. In questo paragrafo vogliamo cominciare con l’illustrare
alcune delle capacità, ed anche dei limiti, che offre la grafica computerizzata.
La grafica computerizzata ci viene offerta da molti e diversi strumenti che vanno
dalle calcolatrici tascabili ai supercomputer. I programmi variano anch’essi da
semplici programmi di disegno ad ambienti grafici di tipo sofisticato. I comandi per il disegno possono essere dati per mezzo di istruzioni scritte, attraverso
tasti predisposti nel calcolatore, attraverso l’uso del mouse, o quant’altro possa
venire a mente nella fantasia dei programmatori.
Noi useremo sostanzialmente un programma di “valenza universitaria” come
il Maple. Questo non è l’unico programma usabile, dello stesso livello o comunque con la stessa versatilità ci sono anche Mathematica, Derive o altro
ancora. Dovendo noi operare una scelta, visto che era comunque poco sensato pensare di usarli tutti, abbiamo optato per quello che ci è parso unisse
semplicità e versatilità.
Vediamo alcuni semplici grafici tracciati con l’ausilio dei programmi.
Il comando Maple
plot( sin(x), x=-5..5);
produce un grafico del tipo
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-4
-3
-2
-1
0x
1
2
3
4
5
Se avessimo usato Mathematica il comando sarebbe stato
Plot[ Sin[x], {x, -5,5} ]
ottenendo un risultato del tutto simile (da notare che in entrambi casi la
variabile x indica radianti e non gradi).
Al di là delle differenze, molte idee ed intuizioni ci possono essere fornite da
questi programmi, vediamone qui di seguito alcuni pregi e difetti.
1.3. I GRAFICI ED IL SOFTWARE
1.3.1
27
La Finestra del Grafico
Il grafico della funzione y = sin x che abbiamo mostrato è incompleto. Mostra
solo quello che accade nell’intervallo −5 ≤ x ≤ 5, mentre la funzione sin x
è definita per tutti i valori della variabile indipendente x . In realtà ciò che
noi vediamo è quindi solo una parte del grafico della funzione e non il tutto.
Questo fatto non dà fastidio più di tanto, in effetti quando diciamo grafico spesso
intendiamo “un pezzo di grafico”, ciò non toglie che si debba tenere presente
che quello che vediamo è solo un pezzo di grafico. L’intero grafico della funzione
potrebbe essere infinitamente lungo, nessun disegno potrebbe mostrarlo nella
sua interezza.
Con il termine finestra intendiamo ciò che si vede del grafico. Nell’esempio
precedente la finestra era il rettangolo
{(x, y) : −5 ≤ x ≤ 5, −1 ≤ y ≤ 1} ,
usando la notazione prodotto indicheremmo lo stesso rettangolo nella forma
La
parentesi
[−5, 5] × [−1, 1] .
La forma del grafico dipende fortemente dalla finestra attraverso cui guardiamoquadra [−5, 5]
al grafico. Per capirlo meglio vediamo sei grafici diversi della stessa funzione: indica un intervallo chiuso uno che contiene
i suoi estremi.
Vedere
l’appendice A per
maggiori informazioni
sugli
intervalli e la
loro notazione.
1
0.8
4
0.6
0.4
2
0.2
0
0
-0.2
-2
-0.4
-0.6
-4
-0.8
-20
-10
x0
10
20
30
-1
Grafico 1 : y = sin x
Finestra [−30, 30] × [−5, 5]
1
0.1
0.08
0.6
0.06
0.4
0.04
0.2
0.02
0
0
-0.2
-0.02
-0.4
-0.04
-0.6
-0.06
-0.8
-0.08
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
x0
0.2
0.4
0.6
Grafico 3 : y = sin x
Finestra [−1, 1] × [−1, 1]
-10
x0
10
20
30
Grafico 2 : y = sin x
Finestra [−30, 30] × [−1, 1]
0.8
-1
-20
0.8
1
-0.1
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02
x0
0.02 0.04 0.06 0.08
Grafico 4 : y = sin x
Finestra [−0.1, 0.1] × [−0.1, 0.1]
0.1
Calcolatrice,
computer,
matita, etc.
28
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
0.1
0.01
0.08
0.008
0.06
0.006
0.04
0.004
0.02
0.002
0
0
-0.02
-0.002
-0.04
-0.004
-0.06
-0.006
-0.08
-0.008
-0.1 3.13
3.134 3.136 3.138 3.14
x 3.142 3.144 3.146 3.148 3.15
Grafico 5 : y = sin x
Finestra [3.13, 3.15] × [−0.1, 0.1]
-0.01 3.13
3.134 3.136 3.138 3.14
x 3.142 3.144 3.146 3.148 3.15
Grafico 6 : y = sin x
Finestra [3.13, 3.15] × [−0.01, 0.01]
Come si vede la forma del grafico dipende in modo consistente dalla finestra
attraverso cui la guardiamo, quindi qualunque sia lo strumento per tracciare
grafici I è colui che lo usa che deve scegliere la finestra. Come decidere?
In molti casi è lo strumento che tenta di interpretare la volontà dell’utente. Per
esempio, nel caso dei comandi di Maple o di Mathematica
plot( sin(x), x=-5..5);
Plot[Sin[x], {x, -5,5}]
l’intervallo della variabile indipendente è fissato, −5 ≤ x ≤ 5, ma non quello
della variabile dipendente y; in qualche modo è il programma che sceglie l’intervallo delle y. Lasciare la scelta alla macchina può essere una scelta appropriata,
specialmente per funzioni complicate, per le quali è difficile individuare a priori il comportamento. Se la macchina non sceglie correttamente l’utente può
intervenire e cambiare la scelta.
Nel foglio tutte e sei le finestre hanno la stessa dimensione di 6 centimetri
per 4. Le differenze riflettono le varie scelte e aspetti del rapporto tra le due
dimensioni. Alcune parole tecniche ci aiuteranno a descrivere le differenze
Scala: misura le dimensioni della lunghezza orizzontale e quella verticale
sul grafico. Le scala del grafico 4, per esempio è dieci volte quella del grafico 3.
Ingrandimento: il risultato di ingrandire la scala di un fattore di ingrandimento in una o entrambe le direzioni. Il grafico 4 si ottiene dal 3
per un fattore di ingrandimento di 10 in entrambe le direzioni (i fattori di
ingrandimento sulle due direzioni potrebbero essere diversi).
Compressione: il risultato di comprimere la scala in una o entrambe le
direzioni. Il grafico 3 si ottiene dal 4 con una compressione di scala 10 in
entrambe le direzioni.
Rapporto di scala: misura il rapporto tra scale orizzontali e verticali. Una
finestra del tipo [−1, 1]×[−3, 3] ha un rapporto di scala 3 : 1 ; le unità orizzontali
sono tre volte quelle verticali. L’aspetto del rapporto di scala è importante
specialmente quando si disegnano oggetti quali ad esempio circonferenze, per le
quali il rapporto di scala conta molto.
1.3. I GRAFICI ED IL SOFTWARE
29
Una curva è formata da infiniti punti, ma gli strumenti di disegno possono
umero di pix- trattare solo un numero finito di punti. Quindi, ogni grafico può solo approssimita l’accu- mare il “vero” grafico di una funzione. Questa limitazione può dar luogo a
zza del grafi- “patologie” nel disegno; fortunatamente questo non avviene per i grafici delle
funzioni più comuni. Per la maggior parte delle funzioni 100 punti producono
un grafico più che passabile. Per funzioni molto semplici (rette, per esempio)
anche un numero minore di punti
Attenzione
I grafici fatti dalle macchine devono sempre essere guardati con attenzione.
Non sempre è colpa delle macchine. Ecco alcune cose da evitare
Troppi pochi dati: disegnare grafici di funzioni irregolari può richiedere
molti punti. Usare finestre più piccole (ingrandire il grafico) può aiutare.
Finestre errate: sia f (x) = x10 − x. E’ chiaro che f (0) = 0 e f (1) = 0,
quindi il grafico interseca l’asse x nei punti x = 0 e x = 1. Vediamo cosa disegna
la macchina in modo automatico.
x10 − x
8e+06
6e+06
4e+06
2e+06
0
-4
-2
0x
2
4
x10
Grafico di y =
−
£ x 6 7¤
finestra= [−5, 5] × −10 , 10
Il grafico sembra piatto intorno allo zero. E’ x10 il termine che provoca il
problema. Anche per modesti valori della variabile x esso assume valori molto
grandi, che nel grafico “schiacciano” tutti gli altri. Vediamo cosa accade a
restringere il dominio
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-1
0x
1
2
x10
Grafico di y =
−x
finestra= [−2, 2] × [−10, 10]
Il grafico è adesso decisamente meglio, anche se ancora c’è sproporzione tra
finestra e grafico, ma questo dipende dalla funzione; in questo caso non c’è una
scelta veramente buona per la finestra.
30
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
Effetto di scala: scale diverse possono dar luogo a disegni molto diversi
dello stesso grafico. Qui di seguito due diverse scale per il grafico della funzione
y = x + sin (200x) /200. Il secondo ha un ingrandimento dieci volte più grande
del primo
1
0.1
0.8
0.08
0.6
0.06
0.4
0.04
0.2
0.02
0
0
-0.2
-0.02
-0.4
-0.04
-0.6
-0.06
-0.8
-1
-0.08
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y = x + sin (200x) /200
-0.1
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02
x0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
y = x + sin (200x) /200
Notate la differenza: Il primo grafico sembra quasi la retta y = x . Il secondo grafico, con un intervallo minore della variabile indipendente, mostra con
chiarezza la rapida oscillazione creata dal termine sin (200x) /200x .
Quindi, vedere i grafici con scale diverse può mostrare aspetti diversi del comportamento della funzione.
Attenzione alle pendenze: il grafico della retta y = 10x dovrebbe apparire molto più pendente della retta y = x. Eppure i due grafici seguenti
sembrano uguali
10
1
8
0.8
6
0.6
4
0.4
2
0.2
0
0
-2
-0.2
-4
-0.4
-6
-0.6
-8
-10
-0.8
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
x0
0.2 0.4 0.6 0.8
-1
1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
y = 10x
x0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
y=x
L’apparente anomalia discende dalla differente scelta dell’intervallo delle y.
Disegnando entrambi i grafici nella stessa finestra si ha l’idea della differenza:
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
x0
0.2 0.4 0.6 0.8
y = x e y = 10x
1
1.3. I GRAFICI ED IL SOFTWARE
31
La lezione in questo caso è: guardare sempre la scala orizzontale e quella
verticale. Cambiare una delle due può cambiare moltissimo l’aspetto del grafico.
1.3.2
Grafici di Software in Analisi
I grafici verranno usati come un importante mezzo di interpretazione e comprensione lungo tutto il volume. A volte verrà chiesto allo studente di disegnarli
a mano per impratichirsi e capire, ma nella maggior parte dei casi (specialmente
per grafici complessi) lasceremo che li tracci il computer. Più importante che
disegnare i grafici è imparare a leggerli e capire cosa essi ci dicono sulle funzioni.
Esempio 14 Trovare il massimo valore ed il punto di massimo della funzione
f (x) = x sin x nell’intervallo [0, 4] .
Soluzione. Più avanti nel corso useremo il concetto di derivata per risolvere
questo problema, per ora ci limitiamo a vedere cosa ci dice il grafico.
Il comando Maple per tracciare il grafico è
>plot(x*sin(x), x=0..4);
2
1
0
-1
-2
-3
1
2x
3
4
x sin x, x ∈ [0, 4]
Il massimo sembra essere nell’intorno di x = 2. Tracciamo di nuovo il grafico
restringendo l’attenzione, per esempio, nell’intervallo [1.8, 2.2]
1.83
1.82
1.81
1.8
1.79
1.78
1.77
1.76
1.75 1.8 1.85
1.9
1.95
2x
2.05
2.1
x sin x, x ∈ [1.8, 2.2]
e restringendo ancora l’attenzione
2.15
2.2
32
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
1.8198
1.8197
1.8196
1.8195
1.8194
1.8193
1.8192
1.8191
1.819
2.015
2.02
2.025
2.03
x
2.035
2.04
2.045
2.05
x sin x, x ∈ [1.8, 2.2]
Il massimo valore è circa 1.8198 ed è raggiunto per un valore di x ≈ 2.03.¥
Esempio 15 Per valori di x vicino a zero la funzione p (x) = x − x3 /6 è
una buona approssimazione della funzione sin x. Qual’è la bontà dell’approssimazione nell’intervallo [−1, 1] ? E sull’intervallo [−2, 2] ?
Soluzione. Cominciamo col tracciare i grafici di sin x e p (x) per x nell’intervallo [−2, 2] .
Il comando Maple è
>plot([sin(x),x-x^3/6], x=-2..2);
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
x0
1
I grafici di y = sin x e p (x) = x
2
− x3 /6
Si vede che per x ∈ [−1, 1] l’approssimazione è buona, i due grafici praticamente non si distinguono. Le cosa peggiorano quando |x| > 1, per x = ±2
i grafici sono molto distanti. Per vedere meglio la differenza tra le due funzioni, conviene tracciare il grafico di quella che potremmo chiamare la funzione
errore p (x) − sin x : nell’intervallo [−1, 1] ; si ha
>plot(x-x^3/6-sin(x), x=-2..2);
1.3. I GRAFICI ED IL SOFTWARE
33
0.008
0.006
0.004
0.002
0
-0.002
-0.004
-0.006
-0.008
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Grafico di p (x) − sin x
Il grafico mostra che nell’intervallo [−1, 1] la differenza tra le due funzioni
non supera (in valore assoluto) il valore di 0.008. In altre parole:
Nell’intervallo [−1, 1] p (x) approssima sin x con un errore minore di 0.008.
Davvero una ottima approssimazione. Rimane da rispondere alla domanda:
per quali valori di x si ha: |p (x) − sin x| < 0.001 ?
Ancora una volta è il grafico che ci da la risposta restringendo il dominio
0.0015
0.001
0.0005
0
0.0005
-0.001
0.0015
-0.6
-0.4
-0.2
0x
0.2
0.4
0.6
Grafico di p (x) − sin x
Tracciando le rette orizzontali y = ±0.001 si vede che l’errore è minore di
0.001 se |x| < 0.65.
¥
34
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
1.3.3
Esercizi
Nota: Gli esercizi richiedono una qualche forma di tecnologia per tracciare i
grafici. Qualsiasi tipo di macchina va bene, la sola richiesta è la capacità di
scegliere le finestre opportune.
1. Abbiamo da poco discusso il fatto che il polinomio x − x3 /6 approssima
sin x vicino a x = 0. Consideriamo nell’intorno di x = 0 un’approssimazione più semplice considerando la funzione l (x) = x.
(a) Dire in quali intervalli la differenza |x − sin x| è minore di 0.5, 0.1, 0.01
(b) Qual’è l’errore massimo di x − sin x nell’intervallo [−1, 1]?
(c) Trovare in quale intervallo l (x) approssima sin x a meno di 0.001
2. Dire quali rette, nel grafico seguente, hanno coefficiente angolare maggiore
di 1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
x0
0.5
1
1.5
3. Dire quali rette, nel grafico seguente, hanno coefficiente angolare maggiore
di 1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-10
-5
x0
5
10
15
4. Dire quali rette, nel grafico seguente, hanno coefficiente angolare maggiore
di 1
15
10
5
0
-5
-10
-15
-1
-0.5
x0
0.5
1
1.5
1.3. I GRAFICI ED IL SOFTWARE
35
5. In ognuna delle parti seguenti, trovare una finestra nella quale la funzione
sin x ha (approssimativamente) la forma richiesta. Dare la risposta nella
forma [a, b] × [c, d] .
(a) Retta orizzontale.
(b) Retta diagonale dall’angolo inferiore sinistro al superiore destro.
(c) Retta diagonale dall’angolo superiore sinistro all’inferiore destro.
(d) Una retta verticale.
(e) Una lettera V arrotondata.
6. Ripetere l’esercizio 5 usando il grafico della funzione y = cos x.
7. Ripetere l’esercizio 5 usando il grafico della funzione y = x2 .
8. Un numero r si chiama radice per una funzione f se f (r) = 0. Tracciare
il grafico per trovare le radici (con un errore inferiore al centesimo) delle
seguenti funzioni nell’intervallo [−5, 5] .
(a) f (x) = x2 − x
(b) f (x) = x − sin x
(c) f (x) = x − cos x
(d) f (x) = 2x − x2
9. Per x nell’intorno di zero la funzione q (x) = 1 − x2 /2 è una buona
approssimazione della funzione cos x.
(a) Quale approssimazione si ha usando q invece di cos x nell’intervallo
[−1, 1] ?
(b) Trovare un intervallo (−a, a) nel quale q (x) approssima cos x con un
errore minore di 0.001.
10. Trovare una finestra, centrata nel punto dato, nella quale il grafico della
funzione data appare come una retta
(a) y = x2 nel punto (2, 4) .
(b) y = −x3 + 3x2 + 2 nel punto (1, 0) .
(c) y = cos x nel punto (0, 1) .
(d) y = cos x2 nel punto (0, 1) .
(e) y = cos x2 nel punto (5, cos 25) .
(f) y = cos x2 nel punto (10, cos 100) .
11. Per ognuna delle funzioni sotto, usare la grafica per stimare il punto di
massimo, di minimo e i valori massimi e minimi di f (x) nell’intervallo
−10 ≤ x ≤ 10. Arrotondare le risposte alla terza cifra decimale).
36
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
(a) f (x) = sin x
(b) f (x) = x + sin x
x
(c) f (x) =
x + 11
(d) f (x) = x2
(e) f (x) = 2x
(f) f (x) = 2x − x2
1.4. COSA È UNA FUNZIONE
1.4
37
Cosa è una Funzione
Che cosa è esattamente una funzione? Abbiamo visto alcuni esempi, dati attraverso formule, parole, grafici e tavole. Si tratta adesso di capire come ricavare
un’idea generale ed una definizione di funzione.
Cominciamo con alcuni esempi che riepilogano le situazioni incontrate:
3
f (x) = x +
x
g (t) = la popolazione umana t anni D.C.

 1 − u se u ≤ 0
se 0 < u < 2
u2
h (u) =

42
se u ≥ 30
f
g
h
j
La funzione data dal grafico
10
5
0
-5
-10
-15
-20
1
k
2x
3
4
La funzione data dalla tabella
n
k(n)
−3
−4
−2
1
−1
−1
0
0
1
2
2
5
3
3
4
−2
Tutte queste “trasformazioni” hanno in comune la proprietà di essere funzioni, cioè
Definizione 16 Una funzione è una regola che associa ad ogni elemento di
un insieme, chiamato dominio, un solo elemento di un altro insieme, chiamato
rango (o codominio).
La definizione contiene tre parole chiave: “regola”, “dominio” e “rango”.
Le discuteremo separatamente.
Regola
Una funzione accetta un ingresso e fornisce un’uscita. La regola descrive
come avviene questa trasformazione. Nelle funzioni degli esempi precedenti:
f
la regola è semplice, esplicita e sempre la stessa; una “ricetta” algebrica.
Dato un numero reale x calcolare x2 + 3/x. Al numero x = 2 la funzione f
assegna il numero f (2) = 22 + 3/2 = 11/2.
38
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
g
ad ogni numero t, prendiamo per esempio t = 1962, 34 la funzione
g assegna la popolazione mondiale a quell’istante. Quindi potrebbe essere
g (1962, 34) = 4, 567, 890 persone.
E’ vero, è difficile contare la popolazione mondiale esattamente, ma non è
questo il punto. g è una funzione,ammette cioè un insieme come dominio, legge
di trasformazione univoca ed un codominio. Ad ogni istante di tempo t c’è uno
ed un sol valore della popolazione g (t) , che si sappia o meno calcolare.
Notare infine che mentre la regola per f ci dice come calcolare l’uscita, la
regola di g descrive l’uscita.
h
la regola per h coinvolge “casi” diversi. Differenti ingressi vengono
trattati differentemente, per esempio
h (−5) = 1 − (−5) = 6
perché l’ingresso −5 soddisfa il primo caso della definizione, mentre
h (175) = 42
poiché l’ingresso 175 soddisfa il terzo caso.
Funzioni definite usando casi diversi verranno chiamate definite a tratti.
Esse appaiono naturalmente nelle applicazioni di computer grafica dove pezzi
di curve sono unite per formare le forme desiderate.
j
la regola che definisce j è di tipo grafico, i valori di j si possono trovare in
modo solo approssimato, j (x) è l’altezza del grafico relativamente alla posizione
orizzontale x. Allora j (1) ≈ 0 e j (3) ≈ −10. Nonostante la loro inesattezza,
si può imparare molto dai grafici. L’idea di approssimazione è connaturata al
mondo reale.
k
possiamo usare solo la tavola che abbiamo a disposizione. La regola
di k ci dice che per ogni valore di n nella prima riga corrisponde il valore k (n)
nella riga sottostante. Allora è k (−2) = 1, k (2) = 5 e k (34) non è definito.
La regola non ci dice come si calcolano le uscite; esse ci vengono fornite insieme agli ingressi. Non ci sono formule che definiscono la funzione k. Al più
potremmo cercare di trovare una formula o curva che passa per i punti dati.
Nota 17 Alle nostre funzioni si danno dei nomi - x, t, u, n - agli ingressi e
f, g, h, j, k alle uscite. Questo è solo per pura convenienza espressiva, ma i
nomi in se non contano. Per esempio le trasformazioni
f (x) = x2 + 3/x , g (z) = z 2 + 3/z , h (andrea) = andrea2 + 3/andrea
definiscono esattamente la stessa funzione.
Dominio
Il dominio di una funzione, che indicheremo con D è l’insieme degli ingressi
accettabili. Nel caso delle funzioni degli esempi precedenti si ha:
1.4. COSA È UNA FUNZIONE
39
f
La formula algebrica f (x) = x2 + 3/x ha senso purché sia x 6= 0.
Il dominio di f è allora l’insieme D = {x : x 6= 0} . A parole: D è l’insieme dei
numeri x tali che x 6= 0.
g
h
L
a regola “la popolazione umana t anni D.C.” ha senso per
ogni numero reale positivo. Quindi il dominio di g è l’insieme [0, +∞)
Osservando la sua definizione, si nota che h accetta come ingresso ogni numero reale u eccetto quelli che appartengono all’intervallo 2 ≤ u < 30.
Quindi il dominio di h è l’insieme D = {u : u < 2 o u ≥ 30} che, con la notazione
Il simbolo ∪ sigdegli intervalli, si scrive nella forma (−∞, 2) ∪ [30, +∞)
j
k
Gli ingressi accettabili sono quelli appartenenti all’intervallo [0, 4] .
Ogni funzione descritta da una tabella ha un dominio finito. Il
dominio di k è l’insieme D = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} .
Nella pratica, i domini delle funzioni sono raramente dati in modo esplicito. In questi casi il dominio naturale è dato dall’insieme degli ingressi,
per i quali le regole che definiscono la funzione, hanno senso. Per una funzione
come f , data da una formula algebrica in x, il dominio naturale è l’insieme dei
valori di x per i quali la formula algebrica ha senso.
nifica “unione”.
Vedere
l’Appendice A per
ulteriori dettagli
sulle operazioni
tra insiemi.
Il caso più comune nei corsi di
Analisi al nostro
livello.
Codominio
Il dominio di una funzione è l’insieme degli ingressi ammissibili. Il codominio (o rango) è il corrispondente insieme delle uscite. Usando il linguaggio
simbolico si ha
Se f ha dominio D, allora il codominio di f, indicato con R, è
l’insieme R = {f (x) : x ∈ D}
Leggere il codominio di una funzione dal suo grafico. Definire
il codominio di una funzione è facile, difficile è calcolarlo, specialmente se si prova a farlo a mano. I grafici possono aiutarci se le
finestre sono state scelte opportunamente.
Per esempio, il numero 42 appartiene al codominio di una funzione
F , se e solo se la retta orizzontale y = 42 incontra il grafico di F ,
qualunque sia la funzione F. Possiamo allora dire che: il codominio
di F è l’insieme dei valori y ai quali la retta orizzontale incontra il
grafico di F.
Come trovare i codomini delle funzioni degli esempi. Useremo sia il
metodo grafico che quello algebrico per calcolare i codomini delle funzioni degli
esempi dati.
f
Il dominio
ª di f è D = {x : x 6= 0} , così il codominio di f è
©
R = x2 + 3/x : x ∈ D . E’ facile scrivere la formula formale, più complicato è
capire cosa contiene esattamente R. Per esempio, R contiene il numero −2345 ?
Vediamo una finestra di grafico della funzione
La
notazione
x ∈ D significa
“x appartiene a
D”
40
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-4
-2
x0
2
4
Grafico di f (x) = x2 + 3/x
Il grafico suggerisce che il codominio contenga tutti i numeri reali: f sembra
assumere ogni valore reale almeno una volta. In particolare “sembra” che il
numero −2345 venga assunto per qualche valore negativo degli ingressi. Per
stimare quale valore di x da come risultato f (x) = −2345 osserviamo il grafico
da un’altra finestra
3000
2000
1000
0
-1000
-2000
-3000
-0.003 -0.002 -0.001
0x
0.001
0.002
0.003
0.004
Grafico di f (x) = x2 + 3/x
Il grafico suggerisce che f (x) = −2345 per x ≈ −0.0015
g
Per definizione, il codominio di g è l’insieme di tutta la popolazione mondiale. Questo è chiaramente un qualche insieme dei numeri interi
positivi; dire di più è impossibile.
h
Il dominio di h è composto di tre parti. Per trovare il codominio dovremo decidere in che modo ogni singolo pezzo del dominio contribuisce
separatamente, e poi assemblare le risposte
1. la formula per l’uscita 1 − u vale per u ≤ 0. Mentre u varia nell’intervallo
(−∞, 0], 1−u copre l’intervallo [1, +∞) . Quindi il codominio di h contiene
l’intervallo [1, +∞) .
1.4. COSA È UNA FUNZIONE
41
2. Per 0 < u < 2, h (u) = u2 . Quindi quando u varia tra 0 e 2, u2 varia tra
0 e 4. Allora il codominio di h contiene l’intervallo (0, 4) .
3. Per u ≥ 30 è h (u) = 42. Allora il terzo pezzo della formula contribuisce
al codominio per l’insieme numerico, formato da un solo elemento, {42} .
Mettendo insiemi tutti i pezzi, si ottiene che il codominio di h è
R = [1, +∞) ∪ (0, 4) ∪ {42} = (0, +∞)
Notate che i primi due intervalli si sovrappongono in parte ed il terzo, contenuto nel primo, non aggiunge nulla all’unione dei primi due. La sovrapposizione ci dice anche che alcuni valori del codominio sono ottenuti per più di un
valore del dominio.
j
Il grafico di j mostra chiaramente che l’insieme dei valori assunti
da j è l’intervallo [−15, 5] .
k
L’insieme delle uscite della funzione k è la seconda riga della
tavola che la definisce
{−4, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 5} .
Il codominio di k, come il suo dominio, è un insieme finito.
Ancora sulla definizione di funzione.
Una funzione è un pacchetto che contiene tre parti principali: legge di
trasformazione, dominio e codominio.
La legge di trasformazione può essere data in vari modi - con una formula algebrica, come grafico, come tabella, come espressione verbale in Italiano, e così
via -. Tuttavia, qualunque sia il modo in cui è data, la legge deve essere non
ambigua. Ad ogni elemento del dominio la legge deve associare esattamente un
elemento del codominio.
Il dominio ed il codominio di una funzione f sono, rispettivamente l’insieme
degli ingressi e delle uscite. Il dominio naturale di una funzione f è l’insieme degli ingressi per i quali la legge che definisce f ha senso. Nell’Analisi
matematica sia il dominio che il codominio sono usualmente insiemi di numeri
reali.
1.4.1
Funzioni Pari e Dispari: Simmetria del Grafico.
Alcune funzioni, come i numeri, vengono chiamate pari o dispari Queste proprietà, che definiamo simbolicamente, sono chiaramente individuabili graficamente. Cominciamo con la definizione.
Definizione 18 Una funzione f è pari se f (−x) = f (x) per tutti gli x del
suo dominio; f è detta dispari se f (−x) = −f (x) .
42
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
Esempio 19 Sia f (x) = x2 , allora si ha
f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x)
quindi f è pari.
Se g (x) = x3 si ha
g (−x) = (−x)3 = −x3 = −g (x)
quindi g è dispari.
La funzione h (x) = x + x2 non è né pari né dispari, infatti
h (−x) = −x + (−x)2 = −x + x2 6= ±h (x) .
Grafici e Simmetria
Guardiamo adesso i grafici delle funzioni f (x) = x2 e g (x) = x3 e cerchiamo di
capire che proprietà hanno i loro grafici.
8
6
4
3
2
2
-2
-1
0
-2
1x
2
-4
1
-6
-2
-1
0
1x
Il grafico di f (x) = x2
2
-8
Il grafico di g (x) = x3
Come si nota, il grafico di x2 è simmetrico rispetto all’asse delle y,
mentre quello di x3 è simmetrico rispetto all’origine, o che è lo stesso, la
parte del grafico per valori negativi di x si ottiene rotando il grafico per le x
positive dapprima rispetto all’asse y e poi rispetto all’asse x.
1.4.2
Funzioni Periodiche
La funzione sin x è detta 2π-periodica perché ripete se stessa su ogni intervallo
di ampiezza 2π. Lo stesso comportamento hanno le funzioni trigonometriche
fondamentali (che ricorderemo quanto prima). Qualunque funzione che ripeta
se stessa su intervalli di lunghezza prefissata è detta periodica.
1.4. COSA È UNA FUNZIONE
43
4
2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4 x 6
8
10
-2
-4
I grafici di tre funzioni periodiche
Il grafico di ogni funzione ripete una forma base. Quanto spesso una funzione
periodica si ripete in un dato intervallo dipende dal suo periodo, cioè dalla
lunghezza della forma che si ripete. Si vede dal grafico che le funzioni disegnate
hanno periodo 1, 8, 4 (dall’alto in basso).
La proprietà di periodicità può essere definita simbolicamente nel seguente
modo
Definizione 20 Una funzione f è periodica se l’equazione
f (x + P ) = f (x)
vale per tutti gli x nel dominio di f e per un numero positivo P. Il più piccolo
numero P per cui l’equazione è vera è il periodo di f .
• Se per esempio, P = 3, allora l’equazione funzionale ci dice che f (x + 3) =
f (x) . Questo significa che f (1) = f (4) , f (1.5) = f (4.5) , f (2) =
f (5) , f (2.5) = f (5.5) e così via. Quindi, per ogni valore di x l’altezza
del grafico in x è la stessa che nel punto x + 3, x + 6, x + 9, · · · .
• Data una funzione f il grafico di f (x + P ) si ottiene da quello di f (x)
con una traslazione verso sinistra di una quantità uguale a P . Da questo
punto di vista, l’equazione di periodicità f (x + P ) = f (x) implica che il
grafico di f non cambia se si trasla di P unità verso sinistra
• Poiché il grafico di una funzione periodica si ripete su intervalli di lunghezza P , esso si ripete anche su intervalli di lunghezza 2P, 3P, 4P, · · · .
Ricordate che il periodo è la lunghezza dell’intervallo più corto sul quale
la funzione si ripete.
Esempio 21 Consideriamo i grafici delle due funzioni
f (x) =
sin x
+3
3
e
g (x) = sin2 x + sin x
44
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
Individuare qual’è il grafico di ogni singola funzione. Perché le due funzioni
sono di periodo 2π?
4
2
1
-6
-4
0
-2
2
x
4
6
-1
Soluzione. Il grafico superiore è quello di f . Lo si ottiene comprimendo
il grafico di della curva seno e traslandolo di 3 unità verso l’alto. Il grafico
inferiore è quindi quello di g.
Verifichiamo che le funzioni sono 2π periodiche.
f (x + 2π)
=
g (x + 2π)
=
sin x
sin (x + 2π)
+3=
+ 3 = f (x)
3
3
2
sin (x + 2π) + sin (x + 2π) = sin2 x + sin x = g (x)
¥
1.4.3
Linguaggio delle Funzioni.
Il parlare quotidiano è un misto di linguaggio formale ed informale, nomi e
soprannomi, affermazioni nette e dettagliate così come vaghe allusioni. Gli
oggetti del parlare - gli amici, i luoghi, i corsi che si seguono, la musica ed altro
ancora - vengono spesso citati attraverso diminuitivi, soprannomi, abbreviazioni
verbali ed alias.
Nel linguaggio dell’ analisi matematica sono le funzioni gli oggetti più comuni. Il linguaggio matematico, per quanto formalmente preciso, usa modi diversi
nel parlare delle funzioni, alcuni più chiari e più precisi, altri meno.
Ecco qualche suggerimento linguistico.
Funzione e valore di una funzione.
E’ a volte importante distinguere tra una funzione e i valori assunti dalla
funzione. L’affermazione
Consideriamo la funzione f (x) = x2
può sembrare chiara, ma rende confusa la distinzione tra f - una funzione e f (x) - un valore di f -.
E’ tecnicamente più corretto (anche se lessicamente meno semplice) affermare:
Consideriamo la funzione f definita da f (x) = x2 .
Espressioni composte
2
Se f è definita
µ da¶ f (x) = x è chiaro cosa si intende con l’espressione
17
f (3) , f (z) , f −
. Espressioni composte come
2
f (x + 2) , f (−x) , f (f (x))
1.4. COSA È UNA FUNZIONE
45
hanno bisogno di maggior attenzione. Per dare loro un senso, può aiutare
pensare f come un operatore o una procedura: f prende qualsiasi cosa le
venga fornita e la trasforma nel suo quadrato. Si ha quindi
f (x + 3) = (x + 3)2 = x2 + 6x + 9
f (−x) = (−x)2 = x2
¡ ¢2
f (f (x)) = x2 = x4
Funzioni ed espressioni.
L’affermazione: il codominio di x2 − 6x è [−9, +∞) è comprensibile, ma
l’espressione x2 −6x è usata in modo non completamente corretto per descrivere
una funzione. Una versione corretta dell’affermazione precedente chiarisce la
distinzione:
Sia f la funzione definita da f (x) = x2 − 6x. Il codominio di f è [−9, +∞)
Le differenze tra espressioni e funzioni sono sottili ma importanti. Eccone tre
• Non tutte le funzioni sono definite da espressioni simboliche. Delle cinque
funzioni che abbiamo definito all’inizio del paragrafo, solo due sono definite simbolicamente.
• Diverse espressioni simboliche possono definire le stessa funzione. Le tre
espressioni seguenti sono equivalenti
x2 − 6x ,
x4 − 6x3 + x2 − 6x
x2 − 6x
,
x2 + 1
sin2 x + cos2 x
Ognuna di loro potrebbe definire f.
• Le funzioni non si preoccupano dei nomi delle variabili, le espressioni si.
Per esempio:
x2 − 6x , t2 − 6t , P 2 − 6P
sono espressioni diverse, ma definiscono la stessa funzione.
I computer valutano la differenza. I programmi dei computer insistono nella
distinzione tra funzioni ed espressioni. In Maple, per esempio, il comando
f:=x^2-6*x ;
definisce f come un’espressione. Per definire f come una funzione, bisogna scrivere
f:= x-> x^2-6*x ;
Quest’ultima espressione è esplicita. f è definita come l’operatore che associa ad ogni
ingresso x l’uscita x^2-6*x .
46
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
1.4.4
Esercizi

0
se 0 ≤ x < 1



1. Sia f (x) =
−2 se 1 ≤ x < 2



x
se 2 ≤ x
(a) Tracciare il grafico di f.
(b) Qual’è il dominio di f ?
(c) Qual’è il rango (o codominio) di f ?
2. Trovare dominio e codominio delle seguenti funzioni
(a) g (x) = x2 + x − 1 ;
x+3
;
(b) h (x) =
x−1
1
;
(c) l (x) =
(x + 3) (x − 1)
√
(d) m (x) = x − 2 .
3. Dire quale delle seguenti funzioni è pari o dispari
(a)
(b)
(c)
(d)
4. Sia f una funzione pari. Il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse x ?
Giustificare la risposta.
5. Il test della linea verticale afferma: una curva è il grafico di una funzione
solo se ogni retta verticale y = k interseca il grafico al più una volta.
Spiegare perché il test funziona.
1.4. COSA È UNA FUNZIONE
47
(a) Disegnare la curva soluzione di y2 = x + 4.
(b) La curva disegnata in (a) è il grafico di una funzione? Giustificare
la risposta.
(a) Può il grafico di una funzione intersecare l’asse delle x più di una
volta?
(b) Può il grafico di una funzione intersecare l’asse delle y più di una
volta?
6. Tracciare il grafico delle seguenti funzioni; trovare anche dominio e codominio.

0
se x ≤ −1



(a) f (x) =
3x − 2 se 1 < x < 1.5


 2
se 1.5 ≤ x < 2
x

1

se x < 0

2−x
(b) f (x) =
√

 1 + 4x2 se x > 1
√
x2 − 4
1
g (x) = p
(x + 2) (x − 1)
1
h (x) = p
(x + 2) (1 − x)
r
1−x
l (x) =
x+2
m (x) = (x − 2) (x + 3)
√
n (x) = 4 − x2
(c) f (x) =
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) p (x) = (2x + 5)1/3
(j) q (x) = (4 − 5x)2/3
7. Sia f (x) =
p
p
√
x4 + x2 = x2 (1 + x2 ) e g (x) = x (1 + x2 )
(a) Trovare dominio e codominio di f.
(b) Trovare dominio e codominio di g.
(c) Spiegare perché f 6= g.
8. Per ognuno degli insiemi che seguono, trovare una funzione definita da una
singola espressione algebrica
che ha l’insieme come suo dominio naturale
p
[Esempio: la funzione (x + 3) (x − 1) ha l’insieme (−∞, −3] ∪ [1, +∞)
come suo dominio ]
(a) {x : x 6= −1 e x 6= 3}
48
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
(b) [−1, 3]
(c) [−1, +∞)
(d) (−1, 3)
(e) (−∞, −1) ∪ (3, +∞)
(f) [−1, 3)
9. Supponiamo che l’acqua fluisca in un serbatoio di forma cubica di altezza
10 m.
(a) Scrivere la formula del volume V dell’ acqua contenuta nel serbatoio
come funzione della profondità d dell’acqua.
(b) Quali sono il dominio e codominio della funzione V ?
(c) Scrivere una formula per d come funzione di V.
10. Sia f (x) = |x| e g definita dalla regola “g (x) è la pendenza del grafico di
f in x”.
(a) Trovare dominio e codominio di f.
(b) Spiegare perché 0 non fa parte del dominio di g.
(c) Trovare dominio e rango di g.
(d) Trovare un’espressione simbolica per g [Sugg.: usare una funzione
definita a tratti.].
11. Sia f (x) = x + |x| e g definita dalla regola “g (x) è la pendenza del grafico
di f in x”.
(a) Trovare dominio e codominio di f.
(b) Scrivere f come funzione definita a tratti.
(c) Trovare dominio e rango di g.
(d) Trovare un’espressione simbolica per g.
12. Sia f (x) =
di f in x”.
x
e g definita dalla regola “g (x) è la pendenza del grafico
|x|
(a) Trovare dominio e codominio di f.
(b) Scrivere f come funzione definita a tratti.
(c) Trovare dominio e rango di g.
(d) Trovare un’espressione simbolica per g.
13. Dire quale delle seguenti funzioni è pari o dispari. Cominciare disegnando
i grafici e giustificare poi le risposte con l’algebra.
(a) f (x) = 3x4 − 5x2 + 13
1.4. COSA È UNA FUNZIONE
49
(b) f (x) = 12x7 + 6x3 − 2x
(c) f (x) = | x|
(d) f (x) = | x + 4|
¯ ¯
(e) f (x) = x4 + ¯ x3 ¯
(f) f (x) = 4x3 + 3
14. Sia f una funzione dispari il cui dominio include lo 0. Spiegare perché
deve essere f (0) = 0.
15. Esistono funzioni che sono sia pari che dispari ?
16. Le funzioni pari sono caratterizzate dall’avere il grafico simmetrico rispetto all’asse delle y. Ci sono funzioni con il grafico simmetrico rispetto
all’asse delle x ?
17. Sia q (x) = ax2 + bx + c, con a, b, c costanti.
(a) Supponiamo che q sia una funzione pari. Mostrare che b = 0.
(b) Supponiamo che q sia dispari. Cosa si può dire di a, b e c ?
18. Supponiamo che il grafico di una funzione f sia simmetrico rispetto all’asse
delle y e che f (3) = 1. Calcolare f (−3) .
19. Sia f una funzione pari. Supponiamo che il punto (−3, 5) faccia parte del
grafico di f . Trovare un altro punto del grafico.
20. Supponiamo che f una funzione dispari e che −12 ≤ f (x) ≤ 9 quando
x ≥ 0.
(a) Può essere f (−5) = 10 ? Spiegare.
(b) Può essere f (−5) = −10 ? Spiegare.
21. Sia f una funzione pari.
(a) Come sono correlati i grafici di f e di g definita come g (x) = f (| x|)?
(b) h (x) = |f (x)| è pari, dispari o niente di tutto ciò? Giustificare la
risposta.
(c) k (x) = f (x)+|f (x)| è pari, dispari o niente di tutto ciò? Giustificare
la risposta.
22. Sia f una funzione dispari
(a) g (x) = −f (x) è pari, dispari o niente di tutto ciò? Giustificare la
risposta.
(b) h (x) = |f (x)| è pari, dispari o niente di tutto ciò? Giustificare la
risposta.
50
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R
(c) k (x) = f (| x|) è pari, dispari o niente di tutto ciò? Giustificare la
risposta.
(d) k (x) = f (x)+|f (x)| è pari, dispari o niente di tutto ciò? Giustificare
la risposta.
23. Sia f una funzione con dominio R. Mostrare che g (x) = f (| x|) è una
funzione pari.
24. Sia f una funzione dispari decrescente nell’intervallo (a, b) .
(a) f è crescente o decrescente nell’intervallo (−b, −a) ? Spiegare
(b) Può essere a < 0 < b ? Spiegare.
25. Sia f una funzione periodica di periodo 1/2 tale che f (2) = 5, f (9/4) =
2, f (11/8) = 3. Calcolare:
(a) f (0) ;
(b) f (1/4) ;
(c) f (3/8) ;
(d) f (−3) ;
(e) f (1000) ;
(f) f (x + 5) − f (x) ;
26. Sia f una funzione periodica di periodo P e g una funzione definita dalla
regola “g (x) è la pendenza della retta passante per i punti (x, f (x)) e
(x + 1, f (x + 1))”. Mostrare che g (x) è una funzione periodica di periodo
P.
27. Supponiamo che f sia periodica di periodo 2 e che sia crescente e concava
nell’intervallo [0, 1] .
(a) f è crescente nell’intervallo [6, 7] ? Giustificare la risposta.
(b) Può essere f concava nell’intervallo [−3, −2] ? Giustificare la risposta.
(c) Supponiamo che f abbia un massimo locale per x = 13.5 . In quale
punto dell’intervallo [0, 2] f ha un massimo locale?
(d) Supponiamo che sia −2 ≤ f (x) ≤ 5 per −4 ≤ x ≤ 3. Spiegare perché
−2 ≤ f (x) ≤ 5 per tutti i valori di x.
28. Sia f periodica di periodo P.
(a) Mostrare che f (x + 2P ) = f (x) .
(b) Cosa significa (a) graficamente?
29. Sia f una funzione periodica.
(a) Può essere f pari? Se sì disegna un grafico, se no spiega il perché.
1.4. COSA È UNA FUNZIONE
51
(b) Può essere f dispari? Se sì disegna un grafico, se no spiega il perché.
(c) Può essere f né pari né dispari? Se sì disegna un grafico, se no spiega
il perché.
30. Sia f una funzione periodica di periodo P e sia A 6= 0 una costante.
Mostrare che le funzioni seguenti sono periodiche e trovarne il periodo.
(a) g (x) = f (x) + A ;
(b) h (x) = f (x + A) ;
(c) l (x) = Af (x) ;
(d) m (x) = f (Ax) .
52
CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R